El documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas y continuas como la binomial, Poisson, normal y exponencial. Define conceptos como variable aleatoria, función de probabilidad y valor esperado, y presenta ejemplos para ilustrar el cálculo de probabilidades usando estas distribuciones.
1. PROBABILIDAD E INFERENCIA
ESTADISTICA
MAESTRÍA EN BANCA VALORES Y SEGUROS
( 1RA EDICIÓN – 1RA VERSIÓN )
Msc Jorge Mario Jimenez Aviles
10 de 2011
Santa Cruz - Bolivia
4. Variables aleatorias
Es una descripción numérica del resultado de
un experimento aleatorio
De acuerdo a lo anterior las podemos
clasificar como discretas o continuas
Las discretas son variable aleatorias con un
rango finito ( o infinito contable)
Las continuas son variables que pueden
asumir cualquier valor en un intervalo o
conjunto de intervalos
6. VARIABLES DISCRETAS
Para una variable aleatoria discreta la
distribución de probabilidad se
describe mediante una función de
probabilidad, representada por f(x).
Donde esta función define la
probabilidad de cada valor de la
variable analizada
7. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA
Las condiciones requeridas para una función
son:
f ( x) P( X x)
fx( x) 0
Probabilidad
n
fx( x) 1
i 1
Cantidad discreta
12. Ejercicio
Dada la siguiente tabla de distribución de probabilidades de
una variable aleatoria y.
– Determine si es correcta la distribución de probabilidades
– Calcule E(y)
– Calcule Var(y) y d.s(y)
y F(y)
2 0.20
4 0.30
7 0.40
8 0.10
Total 1.00
13. Distribución Binomial
Es una distribución discreta de probabilidad conocida
por sus variadas aplicaciones que se relaciona con
un experimento de etapas múltiples
Un experimento binomial tiene cuatro propiedades:
1. El experimento consiste en una sucesión de n
intentos idénticos
2. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito o
Fracaso
3. La probabilidad de éxito, representado por p, no
cambia de un intento a otro. En consecuencia, la
probabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de un
intento a otro. Supuesto de estacionariedad
4. Los intentos son independientes
14. Si existen sólo las propiedades 2,3,4 se habla de un
proceso Bernoulli
Un ejemplo de distribución Binomial es determinar
la probabilidad de que en n intentos al lanzar una
moneda salga cara (éxito) y no sello (fracaso)
La fórmula de combinatoria de n objetos
seleccionados en un grupo proporciona la
cantidad de resultados experimentales que
resultan en x éxitos
15. Cantidad de resultados experimentales con
exactamente x éxitos en n intentos
n n!
x x! n x !
También es necesario conocer la probabilidad
asociada a cada uno de los resultados
experimentales el cual se puede determinar a
través de la siguiente relación
p x (1 p)( n x)
16. Combinado las dos expresiones obtenemos la
función de distribución Binomial
n x
f ( x) p (1 p )( n x)
x
f ( x) probabilidad de x exitos en n intentos
n n!
x x !(n - x)!
p probabilidad de un exito en cualquier intento
(1- p )=probabilidad de un fracaso en cualquier intento
17. Valor esperado de la distribución binomial de
probabilidad
Varianza de la distribución binomial de probabilidad
E( x) np
2
Var ( x) np(1 p)
18. Ejemplo
El gerente de una gran tienda necesita determinar cual es
la probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan a
la tienda hagan una compra. Él sabe que la
probabilidad de que un cliente compre es de 0.3
3 3! Cantidad de resultados experimentales
3
2 2! 3 2 !
Probabilidad de cada resultado
0.32 (1 p)(3 1)
0.063 experimental en donde 2 de los tres
clientes compran
Luego 3·0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes
que ingresan a la tienda 2 compren
20. Distribución Poisson
Es una distribución de probabilidad que muestra la
probabilidad de x ocurrencias de un evento en un
intervalo especificado de tiempo o e espacio
Las propiedades de un experimento de Poisson son:
– La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos
intervalos cualesquiera de igual longitud
– La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es
independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en
cualquier otro intervalo
21. La distribución de Poisson se expresa como:
(x = cantidad de ocurrencia)
22. Ejemplo
Se necesita estimar la cantidad de llegadas a la ventanilla
de servicio en automóviles de un banco, durante un
período de 15 minutos en las mañanas de los días
hábiles. Los datos históricos indican que en este
período la cantidad de automóviles en promedio es 10.
A la gerencia le interesa saber cual es la probabilidad
exacta de que lleguen 5 automóviles en 15 minutos
105 e 10
f (5) 0.0378
5!
23. Distribución Normal de Probabilidad
Abraham de Moivre publicó en 1733 la Doctrina de las
Probabilidades y dedujo la distribución normal de
probabilidad
Es la distribución continua más importante de
probabilidad.
24. La función de densidad normal de probabilidad se
expresa como:
1 (x )2 / 2 2
f ( x) e
2
Promedio x
Desviación estándar
25. Características de esta distribución:
– Hay familias de distribuciones normales. Cada una
se identifica por su media y su desviación estándar
– El punto más alto es la media
– La media puede ser cualquier valor numérico
– La distribución de probabilidad normal es simétrica.
Las colas se prolongan hasta el infinito (nunca tocan
el eje de las x)
– Las desviaciones estándares determinan el ancho de
la curva
– El área total es 1
27. La altura de una distribución normal varía por lo
cual en el cálculo del área se debe recurrir al
cálculo infinitesimal
Cuando tenemos una distribución normal con media
0 y desviación estándar 1 se habla de una
distribución normal estándar
28. CALCULO DE PROBABILIDADES PARA CUALQUIER
DISTRIBUCION NORMAL
LA ECUACION PARA CONVERTIR CUALQUIER
VARIABLE ALEATORIA NORMAL X CON UNA MEDIA Y
DESVIACION ESTANDAR ES
x
z
30. Ejemplo
Determine la probabilidad de que neumáticos fabricados
por Goodyear puedan superar las 40.000 millas, si se
tiene un promedio de 36.500 millas y una desv. estándar
de 5.000.
P(x 40000)=?
40000 36500
z 0.7 0.2580
5000
32. Distribución exponencial de probabilidad
Es una distribución continua de probabilidad
que se aplica para determinar las
probabilidades de ocurrencias de un evento
en el tiempo y espacio
La función de densidad de esta distribución es:
1 x/
f ( x) e x 0, 0
De acuerdo a ésta la distribución exponencial
de probabilidad (área bajo la curva)
corresponde a:
xo /
P( x xo ) 1 e
33. Función Distribución
f ( x)
f ( x)
Tiempo Tiempo
34. Ejemplo
Determinar la probabilidad de que un camión
que llega a un puerto sea cargado en 6
minutos o menos. Se sabe que en promedio
se demoran 15 minutos
f ( x)
6 /15
P( x 6) 1 e 0.3297
0 6 Tiempo(min)
