Distribucion de Frecuencias Discretas, Binominal, Hipergeométrica, Poisson

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO
MARIÑO”
MATURÍN – EDO – MONAGAS
AUTOR:
LILIANNY
RONDÓN
FACILITADOR (A):
MORELIA MORENO

2. En teoría de la probabilidad y estadística, la
distribución de probabilidad de una variable
aleatoria es una función que asigna a cada suceso
definido sobre la variable aleatoria la probabilidad
de que dicho suceso ocurra. La distribución de
probabilidad está definida sobre el conjunto de
todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el
rango de valores de la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está
completamente especificada por la función de
distribución, cuyo valor en cada x real es la
probabilidad de que la variable aleatoria sea
menor o igual que x.

3. Toda distribución de
probabilidad es generada
por una variable aleatoria
x, la que puede ser de dos
tipos:
Variable aleatoria discreta (x).
Se le denomina variable porque
puede tomar diferentes valores,
aleatoria, porque el valor tomado
es totalmente al azar y discreta
porque solo puede tomar valores
enteros y un número finito de
ellos.
Variable aleatoria continua (x).
Se le denomina variable porque
puede tomar diferentes valores,
aleatoria, porque los valores que
toma son totalmente al azar y
continua porque puede tomar
tanto valores enteros como
fraccionarios y un número
infinito de ellos.

4. Se denomina distribución de variable discreta a aquella
cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en
un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A
dicha función se le llama función de masa de probabilidad.
En este caso la distribución de probabilidad es la suma de
la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

5. • Y, tal como corresponde a la definición de distribución de
probabilidad, esta expresión representa la suma de todas
las probabilidades desde -infty hasta el valor x.
• Se le denomina variable porque puede tomar diferentes
valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente
al azar y discreta porque solo puede tomar valores
enteros y un número finito de ellos.

6. • p(xi)<1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los
valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y
menores o iguales a 1.
E p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas
a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

7. Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar
sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la
cuenta de alguna característica de interés.
Las distribuciones de variable discreta más
importantes son las siguientes:
Distribución binomial o Bernoulli
Distribución hipergeométrico
Distribución Poisson

8. Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan
procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una
serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se
pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo
aleatorios e independientes. Para identificar un proceso Bernoulli en
una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:
Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se
pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o
"fracaso" en el caso contrario.
Independencia de las pruebas: El resultado de una
prueba cualquiera es independiente del resultado
obtenido en la prueba anterior, y no incide en el
resultado de la prueba siguiente.
Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de
obtener un resultado considerado como un éxito se
mantiene constante a lo largo de toda la serie de
pruebas.

9. • Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la
probabilidad de obtener exactamente r éxitos, en una serie de n
pruebas, con una probabilidad de éxito p, se puede aplicar la
fórmula de la probabilidad binomial:
𝑷 𝒙 =
𝒏
𝒙
𝒑 𝒌
(𝟏 − 𝐩) 𝒏−𝒌
𝒏
𝒙
𝒑 𝒌
=
𝒏!
𝒌! 𝒏 − 𝒌 !
La media o valor esperado es
m=np
Donde:
P(X)= es la probabilidad de
ocurrencia del evento
p = es la probabilidad de éxito del
evento (en un intento)
X = ocurrencia del evento o éxitos
deseados
n = número de intentos

10. • Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener
una molécula rara particular. Suponga que las muestras son
independientes con respecto a la presencia de la molécula
rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18
muestras, exactamente 2 contengan la molécula rara.
• SOLUCIÓN:
Sea X=número de muestras (2) de aire que contiene la molécula
rara en la siguientes 18 muestras analizadas. Entonces X es
una variable aleatoria binomial con
• X=2
• p=0,1
• n=18.

11. • Por lo tanto
𝑓 𝑥 = 𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
∗ pk(1 − p)n−k
𝑃 𝑥 = 2 =
18!
2! 18 − 2 !
∗ (0,1)2(1 − 0,1)18−2
𝑃 𝑥 = 2 = 153 ∗ (0,1)2
(0,9)16
𝑃 𝑥 = 2 = 0,284
• La probabilidad es de 28,4%

12. • En teoría de la probabilidad la distribución
hipergeométrica es una distribución discreta relacionada
con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase
que se tiene una población de N elementos de los
cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La
distribución hipergeométrica mide la probabilidad de
obtener x (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑) elementos de la categoría A en
una muestra sin reemplazo de n elementos de la
población original.
• La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos
sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo.

13. • La función de probabilidad de una variable aleatoria con
distribución hipergeométrica puede deducirse a través de
razonamientos combinatorios y es igual a
• 𝐻 𝑥, 𝑁 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑁1
𝑥
𝑁−𝑁1
𝑛−𝑥
𝑁
𝑛
donde
N= es el tamaño de población,
n =es el tamaño de la muestra extraída
N1= es el número de elementos en la población original que
pertenecen a la categoría deseada
x= es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha
categoría.

14. • Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería
local y 200 unidades de un proveedor de tubería del
estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y
sin reemplazo
(a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del
proveedor local?
(b) (b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza
de la muestra sea del proveedor local?

15. • SOLUCIÓN:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que
todas sean del proveedor local?
Sea X igual al número de piezas de
la muestra del proveedor local.
Entonces, X tiene una distribución
hipergeométrica y la probabilidad
pedida es P(x=4). Por consiguiente.
N= 200 + 100 = 300 Tamaño de la
población
N1 = 100 (Proveedor local) Número
total de casos exitosos en la
población
X = 4 Número de éxitos que
interesan
n = 4 Tamaño de la muestra
𝐻 𝑥, 𝑁 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑁1
𝑥
𝑁 − 𝑁1
𝑛 − 𝑥
𝑁
𝑛
𝑃 𝑋 = 4 =
100
4
300 − 100
4 − 4
300
4
𝑃 𝑋 = 4 =
100
4
200
0
300
4
𝑃 𝑋 = 4 =
3921225 1
330791175
𝑃 𝑋 = 4 = 0,0119
La probabilidad es de 1,19%

16. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la
muestra sea del proveedor local?
P(x≥1) = 1 –P(x = 0)
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃 𝑋 = 0
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 −
100
0
300 − 100
4 − 0
300
4
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 −
100
0
200
4
300
4
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 −
1 64684950
330791175
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 0,1955
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 0,8044 La probabilidad es de 80,44%

17. • Se denominan procesos de tipo Poisson, a todo
experimento consistente en una serie de pruebas
repetidas dentro de un continuo, caracterizadas por tener
resultados que se pueden clasificar en si verifican o no,
cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e
independientes del lugar que ocurren dentro del
continuo.
• Expresa la probabilidad de un número k de eventos
ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con
una tasa media conocida, y son independientes del
tiempo desde el último evento.

18. Sucesos puntuales: Los sucesos ocurren dentro de un continuo
(espacio o tiempo) y ocupan una parte infinitesimal del mismo. Es
decir, en el espacio un suceso es puntual y en el tiempo es
instantáneo. En términos prácticos, los sucesos no ocupan una parte
apreciable del continuo.
Sucesos independientes: La ocurrencia de un suceso en un lugar
del continuo no condiciona la ocurrencia del anterior (o del
siguiente) en otra parte del mismo.
Probabilidad constante: La probabilidad de ocurrencia de un suceso
en un lugar del continuo es la misma en todo punto del mismo.
Para identificar un proceso Poisson en una serie
de pruebas repetidas, se deben verificar tres
condiciones:

19. • Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber
la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en un
intervalo de tiempo, con un promedio de eventos
esperados l , se puede aplicar la fórmula de la
probabilidad de Poisson:
X = 0, 1, 2, …., n
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜆 𝜆 𝑥
𝑥!
e =es el base del logaritmo natural
x!= es el factorial de k
x = es el número de ocurrencias de un
evento
λ = es un número real positivo,
equivalente al número esperado de

20. • Supongamos que el número de imperfecciones en un
alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson
con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.
(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un
milímetro de alambre.
(b) (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en
5 milímetros de alambre.

21. • SOLUCIÓN:
(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un
milímetro de alambre.
Entonces E(x)=2.3 imperfecciones
𝜆 = 2,3
𝑥 = 2
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜆
𝜆 𝑥
𝑥!
𝑃 𝑋 = 2 =
𝑒−2,3
(2,3)2
2!
𝑃 𝑋 = 2 =
0,1003 ∗ 5,29
2
𝑃 𝑋 = 2 = 0,2652
La probabilidad es de 26,52%

22. (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5
milímetros de alambre.
Sea que X denote el número de imperfecciones en 5
milímetro de alambre. Entonces, X tiene una distribución
Poisson con
E(x)=5mmx2.3 imperfecciones/mm= 11,5 imperfecciones.
Por lo tanto
𝜆 = 11,5
𝑥 = 10
𝑃 𝑋 = 10 =
𝑒−11,5
(11,5)10
10!
𝑃 𝑋 = 10 = 0,1129
La probabilidad es de 11,29%