Distribución de la probabilidad

1. Autor: Ángela Guevara #23,923,605
Asesor: ing. Amelia Malavé
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico «Santiago Mariño»
Extensión – Maturín
Escuela de Ing. Industrial (45)

2. Distribución de probabilidad
 En teoría de la probabilidad y
estadística, la distribución de
probabilidad de una variable aleatoria es
una función que asigna a cada suceso
definido sobre la variable aleatoria la
probabilidad de que dicho suceso ocurra.
La distribución de probabilidad está
definida sobre el conjunto de todos los
sucesos, cada uno de los sucesos es el
rango de valores de la variable aleatoria.
 La distribución de probabilidad está
completamente especificada por la
función de distribución, cuyo valor en
cada x real es la probabilidad de que la
variable aleatoria sea menor o igual q x.
La distribución Normal suele conocerse
como la "campana de Gauss".
 Características de una
distribución de probabilidad:
La probabilidad de un resultado siempre
debe estar entre 0 y 1. La suma de todos
los resultados mutuamente excluyentes
siempre es 1.

3. Tipos de distribución

4. Distribuciones de
variable discreta.
Se denomina distribución de variable discreta a
aquella cuya función de probabilidad sólo toma
valores positivos en un conjunto de valores de
finito o infinito numerable. A dicha función se le
llama función de masa de probabilidad. En este
caso la distribución de probabilidad es la suma de
la función de masa, por lo que tenemos entonces
que:
Y, tal como corresponde a la definición de
distribución de probabilidad, esta expresión
representa la suma de todas las probabilidades
desde hasta el valor x.

5. Distribuciones de variable discreta más
importantes:
 Distribución binomial
En estadística, la distribución binomial es
una distribución de probabilidad discreta
que cuenta el número de éxitos en una
secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre sí, con una
probabilidad fija p de ocurrencia del
éxito entre los ensayos.
 Distribución
binomial negativa
En estadística la distribución
binomial negativa es una
distribución de probabilidad
discreta que incluye a la
distribución de Pascal.
 Distribución de Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la
distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de
una frecuencia de ocurrencia media, la
probabilidad de que ocurra un determinado
número de eventos durante cierto período de
tiempo.

6.  Distribución geométrica
En teoría de probabilidad y estadística, la
distribución geométrica es cualquiera de las dos
distribuciones de probabilidad discretas siguientes:
 la distribución de probabilidad del número X del
ensayo de Bernoulli, necesaria para obtener un
éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
 la distribución de probabilidad del número
Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito,
contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.
Cual de éstas es la que uno llama "la" distribución
geométrica, es una cuestión de convención y
conveniencia.
 Distribución hipergeométrica
En teoría de la probabilidad la distribución
hipergeométrica es una distribución discreta
relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo.
Supóngase que se tiene una población de N elementos
de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la
B. La distribución hipergeométrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de
la categoría A en una muestra sin reemplazo de n
elementos de la población original.

7.  Distribución de Bernoulli
En teoría de probabilidad y estadística, la
distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica),
es una distribución de probabilidad discreta, que
toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( P) y valor
0 para la probabilidad de fracaso
 Distribución Rademacher
que toma el valor 1 con probabilidad ½ y el valor -1
con probabilidad ½.
 Distribución uniforme discreta
donde todos los elementos de un conjunto finito son
equiprobables.

8. Distribuciones de variable continúa
Se denomina variable continua a aquella
que puede tomar cualquiera de los infinitos
valores existentes dentro de un intervalo.
En el caso de variable continua la
distribución de probabilidad es la integral
de la función de densidad, por lo que
tenemos entonces que:
 Distribuciones de variable
continua más importantes
 Distribución chi cuadrado
 Distribución exponencial
 Distribución t de Student
 Distribución normal
 Distribución Gamma
 Distribución Beta
 Distribución F
 Distribución uniforme
(continua)
 Distribución de Weibull
 Distribución de Pareto

9. Distribución binomial
 Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.
2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se
representa por p.
3.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,
4 .El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
5.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n
pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.
La distribución binomial se expresa por B(n, p)

10.  Cálculo de probabilidades en una
distribución binomial
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan
leído la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
Ejemplo
La última novela de un autor ha tenido un
gran éxito, hasta el punto de que el 80% de
los lectores ya la han leído. Un grupo de 4
amigos son aficionados a la lectura:
2. ¿Y cómo máximo 2?

11. Parámetros de la distribución binomial
Media Varianza Desviación típica
Ejemplo
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se
envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de
artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

12. Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son
expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc.,:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día,
hora, minuto, etc.
- # de bacterias por cm2 de cultivo
- # de llamadas telefónicas a un conmutador por
hora, minuto, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por
día, mes, etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x
éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la
fórmula a utilizar sería:
donde:
p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando
el número promedio de ocurrencia de ellos es l
l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo,
área o producto
e = 2.718
x = variable que nos denota el número de éxitos que
se desea que ocurra
Hay que hacer notar que en esta distribución el
número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo,
área o producto es totalmente al azar y que cada
intervalo de tiempo es independiente de otro
intervalo dado, así como cada área es independiente
de otra área dada y cada producto es independiente
de otro producto dado.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

13. Ejemplos:
1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que
reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días
consecutivos?
Solución:
a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera
= 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.
1 = 6 cheques sin fondo por día
e = 2.718
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos
= 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.
l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos
Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que
x.

14.  Distribución de Bernoulli
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre
o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso).
En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede
tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles
resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las
v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir
este experimento mediante una v.a. discreta X que toma los valores X=0 si el suceso no
ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota:

15. Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al
aire y considerar la v.a.
Para una v.a. de Bernouilli, tenemos que su función de probabilidad es:
y su función de distribución:

16. Los principales momentos de la X los podemos calcular directamente
o bien usando la función característica y la proposición

17. Gracias por su atención