Los avatares para el juego dramático en entornos virtuales
La derivada de una Función en un punto (WEBQUEST)
1. “DERIVADA DE UNA
FUNCION EN UN PUNTO”
WebQuest para Alumnos del primer año de la Universidad Nacional de
Formosa de las carreras de: Contador Público, Lic. en Sistema de
Información, Lic. en TIC y Lic. en Bromatología.
Diseñada por: Mario Enrique Quintana
2. OBJETIVOS:
1. Comprender la noción fundamental de la
derivada en un punto
2. Interpretar geométricamente la derivada en un
punto.
3. Comprender la derivada de una función en un
punto como: la pendiente de la recta tangente y
la rapidez de variación instantánea.
4. Calcular las ecuaciones de la recta tangente
5. Hallar la derivada de las funciones utilizando
definición.
Contenidos
Funciones. Variables. Representación.
Derivada. Concepto: Límite. Enfoque variacional
y pendiente de la recta tangente.
4. PRESENTACIÓN
Es fundamental tener en cuenta que la derivada en un
punto es un limite, por ello es importante que el alumno
haya comprendido la idea de limite como aproximación a
un punto.
El concepto de derivada está íntimamente relacionado
con los límites, con el análisis del comportamiento de las
funciones dada la correlación de las variables.
En la presente webquest estudiaremos desde el punto
vista experimental el comportamiento de las variables de
una función, como cambia la función cuando la variable
independiente cambia constantemente. También se
analiza la rapidez de variación instantánea de la función
con respecto a la variable, se establece la analogía con la
pendiente de la función en un punto cualesquiera.
Se encontrará la derivada de funciones
algebraicas mediante la definición de derivada y también
por reglas.
5. INTRODUCCIÓN
Se pretende que el alumno comprenda y
defina el concepto de la derivada mediante
las distintas actividades y
situaciones donde es necesario que el
alumno mida la rapidez de variación con
que cambia la variable dependiente de
acuerdo a la variable independiente que
están íntimamente relacionadas en una
situación o fenómeno. los alumnos tendrán
la experiencia de trabajar con en
situaciones reales donde podrán analizar
esta idea de variación y la relación con la
derivada
6. ACTIVIDADES
ACTIVIDAD 1.- INVESTIGAR LAS
CARACTERÍSTICAS DE RAPIDEZ DE
VARIACION Y RAPIDEZ DE
VARIACION INSTANTANEA.
ACTIVIDAD 2.- DETERMINAR LA
PENDIENTE DE UNA RECTA
TANGENTE EN UN PUNTO DEL
GRAFICO DE LA FUNCIÓN.
ACTIVIDAD 3.- CALCULAR LA
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN,
APLICANDO SU DEFINICIÓN Y
UTILIZANDO FORMULAS.
7. CRITERIOS
LAS ACTIVIDADES PUEDEN SER
RESUELTAS YA SEAN DE FORMA
INDIVIDUAL O POR EQUIPO, POR
TANTO, ES ANTES DE EMPEZAR ME
TIENEN QUE ACERCAR LA NOMINA
DE LOS GRUPOS CON UN
SEUDONIMO. TE SUGIERO QUE TE
ORGANICES CON TÚ EQUIPO Y DE
MANERA CONJUNTA DEFINAN LAS
ESTRATEGIAS QUE LES PERMITAN
ALCANZAR LOS OBJETIVOS EN
CADA UNA LAS ACTIVIDADES.
8. ACTIVIDAD 1.- RAPIDEZ DE VARIACION Y RAPIDEZ DE
VARIACION INSTANTANEA.
Actividad 1.- Vamos a jugar al rugby
Carlos y Javier están jugando al Rugby.
Carlos patea el balón para su
compañero que se encuentra a una
cierta distancia describiendo dicho
lanzamiento un movimiento la ecuación
del movimiento del balón está dada por
h(t)=-t2+5t. donde t es el tiempo en que
tarda en recorrer el balón y h es la altura
que alcanza. Carlos quiere saber con
que velocidad partió el balón.Representa la función utilizando
https://www.geogebra.org/download?lang=es
10. Analiza la representación:
Observa la gráfica, corresponde a la
trayectoria que describe el balón, al ser
lanzado, observa detenidamente, como el
balón se eleva “aumentan los valores de que
variable”, también el balón aumenta su
distancia horizontal
La rapidez de variación la puedes determinar
si consideras dos posiciones del balón dentro
de su trayectoria, las posiciones pueden ser
cualesquiera, no necesariamente deben ser
posiciones consecutivas. A continuación
determina RAPIDEZ DE VARIACION del
balón cuando paso de la posición uno a la
posición tres.
11. RAPIDEZ DE VARIACION
Ahora, determina la RAPIDEZ DE VARIACION entre las
siguientes posiciones del balón, que se indican en la tabla:
RAPIDEZ DE VARIACION
ENTRE los tiempos
t
CALCULO
RAPIDEZ DE VARIACION
¿Qué observa?
De 0,5 a 1
De 1,5 a 2,5
De 2,5 a 3
De 3,5 a 4
12. h(t)=-t2+5t
Si, lo que interesa es determinar la RAPIDEZ
DE VARIACION INSTANTANEA, en
cualesquier posición que tenga el balón,
también suele llamarse razón de cambio
instantáneo, entonces hay que, averiguar la
RAPIDEZ DE VARIACION INSTANTANEA,
para el balón en una posición particular, por
ejemplo: cuando el balón se encuentra a una
altura de 3 metros cuando asciende y a una
distancia de 4 metros cuando desciende con
respecto a su posición de salida.
Recordemos que la trayectoria está definida
por la ecuación h(t)=-t2+5t
13. tiempo inicial del
balón
t
Incremento en el
tiempo
∆t
Tiempo próxima a
la inicial
t+∆t
Incremento en la
altura.
altura final – altura
inicial
∆ℎ=h(t+∆𝑡 )−h(t)
Rapidez de
variación
instantánea
∆ℎ/∆𝑡
3 0.1
3 0.01
3 0.001
3 0.0001
3 0.00001
Completa la siguiente tabla:
14. Otra cuadro y conclusiones
Hacemos los mismos para 4
Conclusión:_____________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
__________
15. De las conclusiones anteriores, da
lugar a la definición de RAPIDEZ DE
VARIACIÓN INSTANTÁNEA o
también llamada RAZÓN DE CAMBIO
INSTANTÁNEO, que se representa
mediante la ecuación:
SI remplazamos una por la otra en la ecuación
anterior.
Mediante la aplicación de la ecuación de RAPIDEZ
DE VARIACION INSTANTANEA, se simplificaría
los cálculos, a solo, la determinación del limite de
la ecuación que describe la trayectoria el proyectil
en una posición cualesquiera, y para un valor
definido de t .
16. A continuación determina la rapidez de variación
instantánea para las diferentes tiempos del balón,
que se observan en la grafica.
POSICIONES descritas por el
balon.t
CALCULO
RAPIDEZ DE VARIACION
DESARROLLO
1. (De 0,5 a 1)
1. (De 1 a 1,5)
1. ( De 2 a 3)
3,5 ( de 3,5 a 4)
17. Después de haber realizado toda la actividad,
contesta las preguntas que se plantean y comparte
tus respuestas con tus compañeros de grupo,
justificando tus resultados.
Preguntas:
1. ¿Cuál es la altura máxima que recorre el balón?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
____
2. ¿Cuál el es valor de t para que el balón alcance su máxima altura?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
____
3. ¿Cuál es la rapidez de variación instantáneo de la altura del balón respecto
al cambio de tiempo en t igual 0, 2 , 4 y 5?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________
4. ¿Cuál es la rapidez de variación instantánea del balón cuando alcanza su
máxima altura?
_________________________________________________________________
__
18. Actividad 2.-
DETERMINAR LA PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
EN UN PUNTO DEL GRAFICO DE LA FUNCIÓN.
Por geometría analítica sabemos que para encontrar la pendiente
de una recta son necesarios dos puntos.
Si consideramos la recta que interseca a la función h (x) en dos de
sus puntos cualquiera. Graficar
Determina la pendiente de la recta que pasa por los
puntos P(x,f(x)) y Q(x+h, f(x+h)), si recuerdas los conocimientos de
geometría analítica adquiridos en el curso anterior de matemáticas,
y remplaza estos puntos en la formula anterior:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
___________________________________________________________________________________________
20. REALIZAR EJERCICIOS SOBRE LA DETERMINACION DE LA
PENDIENTE GENERAL DE UNA FUNCION EN CUALESQUIER
PUNTO, ASI COMO CALCULAR LA ECUACION DE LA RECTA
TANGENTE en un punto
Determinar la ecuación de la recta tangente
en el punto (1,0) de la grafica de la función
utiliza en la actividad 1
Función f(x)
Paso uno
Función incrementada f(x+h)
Paso dos
Hallar la variación de la función
Paso tres
Cociente incremental
Paso cuatro
Pendiente general=derivada
Pendiente de la recta en el punto
A(1,0)= derivada de la función en un punto=
rapidez de variación instantánea
Ecuación punto-pendiente
Sustitución de datos en la ecuación punto-
pendiente.
Resultados
21. ¿QUE ES UNA RECTA TANGENTE?
Representa las rectas y la función utilizando
https://www.geogebra.org/download?lang=es
________________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
_____________________________________
Determinar la ecuación de la recta tangente en el punto (4,2) para
la misma función. Realiza el mismo cuadro.
Representa las rectas y la función utilizando
https://www.geogebra.org/download?lang=es
¿QUE ES LA DERIVADA DE UNA FUNCION?
________________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
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22. ACTIVIDAD Nº 3
OBTENER LA DERIVADA DE UNA FUNCION ALGEBRAICA
MEDIANTE “FORMULAS”
Obtención de la derivada de un función algebraicas mediante
“FORMULAS.”
Observación: Es importante que investigues en la INTERNET, algunas formulas que
te permitan derivar algunas funciones, algebraicas, logarítmicas y trigonométricas.
Función FORMULA EJEMPLO
y = x
y= x2
y=5
y= 3x
y= sen x
23. EVALUACIÓN.
Criterios a tener en cuenta para evaluar
Tecnológico: Manejo de las herramientas de la comunicación.
Su trabajo satisface las condiciones siguientes:
Visito los sitios sugeridos u otros.
El equipo elabora una presentación grafica utilizando los recursos de las Tics.
El equipo realiza la exposición de su presentación utilizando recursos tecnológicos.
Compresión del tema y conceptos claves (Cognitivo)
Identifica las diferencias entre una variable dependiente y la independiente en una función.
Identifica los elementos básicos de una grafica de una función.
Dibuja una grafica elemental de una función.
Define los conceptos económicos representados en las graficas de las funciones.
Interpreta la relación entre las variables representadas como inversas o directas.
Identifica las variables económicas que interaccionan.
Representa las variables económicas en una grafica de una función.
Relaciona con las leyes y principios Matemáticos y económicos.
Predice el comportamiento en un cambio en las variables.
Trabajo colaborativo
Entrega los trabajos en tiempo y forma sin necesidad de seguimiento.
Aporta al logro de los objetivos, busco, sugiero soluciones a los problemas.
Trabaja para cumplir las metas, respeto las normas y me adapto a los cambios del equipo.
Asistió al 90-100% de las reuniones y actividades del equipo.
24. SITIOS DE CONSULTA
Se sugiere visitar estos sitios web:
https://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/list
ar?etiqueta_id=70374&referente=docentes
https://www.educatina.com/matematicas/anali
sis-matematico/calculo-diferencial/estudio-
de-las-derivadas/video-definicion-de-derivada
https://www.youtube.com/watch?v=ia8L26ub
_pc
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://sites.google.com/site/capitancalculo/h
ome/derivadas/apuntes-de-
derivadas/webquest-de-funciones-derivadas
25. Conclusión
Con la actividad que UD como alumno desarrollo en el
Websquet pretende sobre todo profundizar el concepto
de la derivada como una herramienta poderosa y
fundamental para resolver situaciones problemáticas
reales. Durante el desarrollo del mismo Ud recorrió todas
las instancias previstas para lograr los objetivos que nos
propusimos. En esta trayectoria han descubierto y
construido conceptos, propiedades e interpretaciones
de una temática fundamental en el cálculo.
En este aprendizaje te brindamos situaciones reales y
concretas donde la temática es fundamental en su
aplicación, sin descuidar de ninguna manera los
conocimientos matemáticos que sustentan el concepto.
Espero que le haya sido útil y haber logrado los objetivos
planteados al iniciar la actividad.
Muchas Gracias
PROF. MARIO ENRIQUE QUINTANA
