Carmen Fernández

1. REPÚBLICA BOLIVARIAN DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENCIÓN SAN CRISTÓBAL
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Autora:
Carmen Fernández
Tutor:
Jesús Gámez
San Cristóbal, febrero 2022

2. INDICE
INTRODUCCIÓN …………………………………………………………………………..1
Historia de las Derivadas ……………………………………………………………………2
Derivada …………………………………………………………………………………….2
Técnicas Básicas de Derivación ……………………………………………………….……3
Reglas para la Derivación …………………………………………………………………..3
Reglas de Derivación Funciones Elementales ……………………………………………...3
Regla de la Cadena ………………………………………………………………………….4
Funciones Implícitas ………………………………………………………………………..4
Derivadas de Funciones Implícitas …………………………………………………………4
Algunas Derivadas por Tabla ……………………………………………………………….4
Posibles Usos de la Derivada ……………………………………………………………….4
¿Qué es Aplicaciones de la Derivada? ……………………………………………………...5
Aplicaciones de la Derivada ………………………………………………………………..5
Aplicaciones de las Derivadas en la Vida Cotidiana ……………………………………….5
Las Funciones Circulares …………………………………………………………………..6
Definición de Funciones Circulares ………………………………………………………..7
Fórmulas de la Suma y Diferencia de Argumentos ………………………………………...9
Factorizaciones ……………………………………………………………………………11
Conclusiones ………………………………………………………………………………12
Referencias…………………………………………………………………………………13

3. 1
INTRODUCCIÓN
La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor
de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La
derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez
de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la
variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por otra parte, los problemas típicos
que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de la
antigua Grecia en el siglo III a. C., pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución
hasta diecinueve siglos después en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried
Leibniz. La derivación o diferenciación es el proceso de hallar la derivada de una función.

4. 2
Historia de las derivadas
El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen
en la antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos
matemáticos ingles Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz su origen se debió a
la búsqueda de solucionas a dos problemas, uno de la geometría y otro de la física, que eran
encontrar las rectas tangentes a una curva y hallar la velocidad instantánea de un objeto en
movimiento.
Derivada
Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática
según cambie el valor de su variable independiente.
También se define como una noción de la matemática que nombra al valor limite del
vinculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.
En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio
instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el
valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir,
se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo,
cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más
pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la
posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto
para todos los momentos. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las
12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar
viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si
entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h.
Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la
velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las
15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

5. 3
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación
lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para
el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
Técnicas Básicas de Derivación
Se llama derivación o diferenciación al proceso de hallar la derivada de una función.
Para dicha derivación se usan algunos teoremas que nos permiten encontrar la derivada de
un gran numero de sunciones de forma rápida y mecánica, sin tener que recurrir a los límites.
Reglas para la Derivación
En muchos casos, el cálculo de limites complicados mediante la aplicación directa
del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de
diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:
Reglas de Derivación Funciones Elementales
La mayor parte de los cálculos de derivadas, requieren tomar eventualmente la
derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas
de las mas frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.

6. 4
Regla de la Cadena
Es la regla que dice que, para derivar una función compuesta, derivas primero la
función mas general y la multiplicas por la derivada de la siguiente función mas general y así
sucesivamente hasta que no puedas derivar más.
(F o g)’(x) = f’(g(x)) . g’ (x)
Funciones Implícitas
Una correspondencia o una función esta definida de forma implícita cuando no
aparece despejada la “y” sino que la relación entre “x” “e” “y” viene dada por una ecuación
de dos incógnitas cuyo segundo miembro es 0.
Derivadas de Funciones Implícitas
Para hallar la derivada de una forma implícita no es necesario despejar “y”. Basta
derivar miembro a miembro, utilizando las reglas cista hasta ahora y teniendo presente que:
Alunas Derivadas por Tablas
Posibles Usos de La Derivada
-La primera derivada se aplica para hallar la pendiente de una tangente, señalar intervalos de
crecimiento o decrecimiento, determinar los extremos de una función.

7. 5
-La segunda derivada para hallar el punto de inflexión y decidir si el caso es máximo o
mínimo local. También la concavidad es hacia arriba o hacia abajo.
-La tercera derivada interviene en la torción.
-Y cualquier derivada interviene en el desarrollo de una función en una serie de potencias en
un dominio adecuado, todas ellas en otras cosas más.
¿Qué es Aplicaciones de la derivada?
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente
de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de
variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
Aplicaciones de la Derivada
-Derivada parcial, supongamos que estamos sobre un puente y observamos como varía la
concentración de peces con el tiempo exactamente. Estamos en una posición fija del espacio,
por lo que se trata de una derivada parcial de la concentración con respecto al tiempo
manteniendo fijas la posición en la dirección "x", "y" o "z".
-Derivada total con respecto al tiempo, supongamos que nos movemos en una lancha a motor
que se mueve en el río en todas direcciones, unas veces en contra de la corriente, otras a
través y otras a favor. Al referir la variación de concentración de peces con el tiempo, los
números que resultan han de reflejar también el movimiento de la lancha. La variación de la
concentración con el tiempo corresponde a la derivada total.
-Derivada substancial con respecto al tiempo, supongamos que vamos en una canoa a la que
no se comunica energía, sino que simplemente flota. En este caso, la velocidad del observador
es exactamente la misma que la velocidad de la corriente "v". Al referir la variación de la
concentración de peces con respecto al tiempo, los números dependen de la velocidad local
de la corriente. Esta derivada es una clase especial de derivada total con respecto al tiempo
que se denomina <<derivada sustancial>> o, a veces (más lógicamente) derivada siguiendo
al movimiento.
Aplicación de las Derivadas en la Vida Cotidiana
-Un ejemplo claro de la utilización de las derivadas en la vida cotidiana es cuando vamos al
supermercado a comprar verduras, carne y pollo. Ahí se usan ya que estamos adquiriendo
tantos kilos por bolívares(dinero)
-Cuando existe una fuga de gas, de aire, o de algo en específico, que te dicen que ahí se van
tantos m/seg. Lo cual significa perder tantos bolívares diarios en alguna producción. Esto es
un ejemplo de derivada, ya que existe una razón de cambio.
-Existe otro ejemplo, que es cuando se saca la tasa de crecimiento de alguna población, de
un cultivo, entre otras.

8. 6
-También las derivadas permiten determinar en cuanto tiempo se puede llenar o vaciar un
tanque o contenedor o a que velocidad se propaga una grieta en una pieza mecánica.
-La derivada existe tanto en la ingeniería, como la física, la administración. Siempre existe,
cuando se tenga alguna razón de cambio, o existan variables dependientes como
independientes.
Las Funciones Circulares
Son las funciones trigonométricas que utilizamos en la vida corriente, las que son
imprescindibles en cualquier mínimo cálculo.
-Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas: Denominamos
funciones trigonométricas circulares a aquellas funciones trigonométricas referenciadas en
la circunferencia. Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola
se denominan funciones hiperbólicas.
Por simplicidad, y puesto que lo permite el Teorema de Thales, usamos la
circunferencia trigonométrica (de radio unidad) para el estudio de las funciones circulares,
lo mismo que podríamos usar la hipérbola equilátera de parámetro unidad para el estudio de
las funciones hiperbólicas.
-Circunferencia trigonométrica: Para un punto cualquiera (x,y) se verifica,
cualquiera que sea el radio r de la circunferencia, que son constantes las razones x/r, y/r, en
virtud del Teorema de Thales. Por lo cual, y por simplicidad, podemos utilizar, en el estudio
de las funciones circulares, la circunferencia en la que r = 1, es decir, la que llamaremos
circunferencia trigonométrica, de radio unidad.

9. 7
Definición de Funciones Circulares
Que llamaremos:
sen a: “seno circular del ángulo a”, o, simplemente, “seno de a”
Función seno: f(x)= senx
cos a: “coseno circular del ángulo a”, o, simplemente, “coseno de a”
Función coseno: f(x)= cosx
tg a: “tangente circular del ángulo a”, o, simplemente, “tangente de a”
Función tangente: f(x)= tgx
ctg a: “cotangente circular del ángulo a”, o, simplemente, “cotangente de a”
Función cotangente: f(x)= ctgx (inversa de la tangente)
sec a: “secante circular del ángulo a”, o, simplemente, “secante de a”
Función secante: f(x)= secx (inversa del coseno)
cosec a: “cosecante circular del ángulo a”, o, simplemente, “cosecante de a”
Función cosecante: f(x)= cosecx (inversa del seno)
Del Teorema de Pitágoras en la anterior figura, tenemos:
y de la definición de las restantes razones:
de la anterior relación pitagórica:

10. 8
También pueden expresarse la tangente y la cotangente en función de la secante y cosecante:
por tanto:
El Seno y su Inversa
Características de y= sen x:
Función seno: función real de variable real
Dominio: Dom (sen(x)) =R
Rango: (-1,1)
Paridad: sen x = - sen(-x) (función impar)
La Cosecante:
y= cosec x = 1/sen x
Función cosecante: Función real de variable real:
Dominio: Dom(cosec(x)) = R-
Rango: R - (-1, 1)
Paridad: cosec x = -cosec(-x) (función impar)
El Coseno y su Inversa
Características de y = cos x:
Función coseno: función real de variable real
Dominio: Dom(cos(x)) =R
Rango: [-1,1]
Paridad: cos x = cos(-x) (función par)

11. 9
La Secante:
y= sec x = 1/cos x
Función secante: Función real de variable real:
Dominio: Dom(sec(x)) =R-
Rango: R - (-1, 1)
Paridad: sec x = sec(-x) (función par)
La tangente y su inversa:
Características de y = tg x:
Función tangente: función real de variable real
Dominio: Dom(tg(x)) =R-
Rango: R
Paridad: tg x = - tg(-x) (función impar)
La cotangente:
y= ctg x = 1/tg x
Función cotangente: Función real de variable real:
Dominio: Dom(ctg(x)) =
Rango: R
Paridad: ctg x = - ctg(-x) (función impar)
Fórmulas de la Suma y Diferencia de Argumentos
Es fácil obtener las razones trigonométricas circulares del ángulo suma y diferencia de otros
dos ángulos a + b y a - b.

12. 10
Si, en la figura, consideramos los vectores perpendiculares y :
Podemos expresar con respecto a ellos el vector
(1.1)
O sea:
[1.2]
Identificando ahora las igualdades [1.1] y [1.2] aparecen:
Por tanto:
También, sustituyendo la b por -b en las relaciones obtenidas:
Para las restantes razones de los ángulos suma y diferencia pueden obtenerse a partir
de las anteriores diferentes expresiones, en función de las tangentes, cotangentes, secantes o
cosecantes de ambos ángulos. Veamos algunos ejemplos:

13. 11
Factorizaciones
A partir de las razones de los ángulos suma y diferencia pueden obtenerse fórmulas
que conviertan sumas y diferencia de senos o cosenos en productos, es decir, que nos
permitan factorizar sumas y diferencias.
Llamando a + b = A y a - b = B, se tiene:
entonces:
en definitiva, se tiene para la factorización de suma y diferencia de senos o de cosenos:

14. 12
CONCLUSIONES
-Es importante comprender y derivar fórmulas, que a su vez tienen una importante aplicación
en cualquier campo de trabajo y la ciencia en general.
-los derivados son útiles para la búsqueda de los intervalos de aumento o disminución del
valor de interés cada vez que se puede expresar por funciones.
-Las derivadas ayudan a encontrar valores máximos y mínimos para problemas físicos reales.
Muchas son las aplicaciones de la derivada en profesiones como la ingeniería, la economía,
la administración etc.

15. 13
REFERENCIAS.
Derivada. (2021). Wikipedia. https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
Derivadas y sus aplicaciones. (2014). Yanna. issu.
https://issuu.com/guerrayanna/docs/revista_de_aceto.