La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto. Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra. La misma, se aplica en casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable

1. República Bolivariana de Venezuela.
Instituto Universitario de Tecnología.
«Antonio José de Sucre»
Extensión San Cristóbal
San Cristóbal, Febrero del 2022.
Jasmery T. Vivas Gómez.
C.I. 30.722.214
Matemática I B
Jesús Gámez Morales.
Aplicación
de la Derivada

2. Introducción
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por
sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales».
Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y
mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del
cálculo).
En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la
razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función
matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. Por eso
se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a
dicha recta en dicho punto. Físicamente, miden la rapidez con la que cambia
una variable con respecto a otra. La misma, se aplica en casos donde es
necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por
tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de
variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable.

3. Índice
1. ¿Qué es?...........................................................................................................4
2. ¿Cómo se Compone una Derivada?.................................................................5
3. ¿Cómo se Calcula la Derivada?.......................................................................5
4. Objetivo fundamental de la Derivada………………………………………..6
5. Tabla de Derivadas de las funciones elementales……………………….........7
6. Reglas de Derivación………………………………………………………...8
7. Regla de la Cadena. Derivada de potencias………………………………...11
8. Gráficas de funciones matemáticas (Las Funciones Circulares)……………13
9. Funciones Trigonométricas Inversas, gráficas y derivadas…………………15
10.Porque es importante las derivadas trigonométricas………………………..16
11.Conclusión………………………………………………………….…….....17
12.Bibliografía………………………….............................................................18

4. La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión. Un
punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia
de curvatura, donde cambia de cóncavo a convexo o viceversa. En un punto
de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función.
¿Qué es?
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia
el valor de dicha función según cambie el valor de su variable
independiente o, dicho de otro modo, la derivada de una función nos indica el
ritmo con el que dicha función varía (crece, decrece o permanece constante)
cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente
En matemáticas se utilizan las derivadas para estudiar el comportamiento
de las funciones, hallar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los
máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y
convexidad, los puntos de inflexión. También se utilizan las derivadas para
resolver problemas de optimización (conseguir el valor óptimo de una función
sujeta o no a ciertas condiciones)

5. ¿Cómo se Compone una Derivada?
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Podría, pues, no existir
tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera
práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen
en la formula anterior.
¿Cómo se Calcula la Derivada?
1. La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la
definición, mediante el cociente de diferencias, y después calcular su
límite.
2. Donde r es cualquier número real, entonces.
3. Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el
tercero usando la regla del producto.

6. Objetivo Fundamental de la Derivada
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una
herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y
Biología.
Las aplicaciones que tienen las derivadas y su importancia en la solución de
problemas; las derivadas son esenciales para estudios tan importantes como el
de la relatividad, la mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales,
teoría de las probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc.
Actualmente también son necesarios en la computación, etc.

7. Tabla de Derivadas de las Funciones Elementales

8. Reglas de Derivación
 La derivada de una constante: La derivada de una
constante es «0»
 La derivada de una potencia entera positiva: La
derivada de xn es n xn-1, entonces:
 La derivada de una constante por una función: Su
derivada es la constante por la derivada de la función,
o cf'(x)
 La derivada de una suma: Es (f+g)'=f'+g', es decir,
la derivada de una suma de funciones es la suma de las
derivadas de cada uno de los términos por separado.

9.  La derivada de un cociente: La derivada de
un cociente de dos funciones es (la segunda,
por la derivada de la primera, menos la
primera por la derivada de la segunda) entre
la segunda al cuadrado.
 La derivada de un producto: Es (fg)'=
fg'+f'g. En español esto se interpreta como
"la derivada de un producto de dos funciones
es la primera, por la derivada de la segunda,
más la segunda por la derivada de la primera"

10.  La derivada de las funciones trigonométricas:
Fórmulas

11. Regla de la cadena. Derivada de Potencias
No permiten
encontrar la
derivada de una
función
compuesta
como (3x + 5)4,
a menos que
desarrollemos el
binomio y luego
se apliquen las
reglas ya
conocidas.
Observa el
siguiente
ejemplo:

12. Teorema
Sea y=f(u) una función diferenciable de u y sea u=g(x) una función
diferenciable de x, las cuales determinan la función compuesta fog, entonces:
Dx(fog)(x)=Dxf(g(x))=f´(g(x)).g´(x)
Si f es una función diferenciable de x y r es un número racional, entonces,
según la regla de la cadena:
Dx [f(x)] r= r[f(x)] r-1.f´(x)

13. Gráfica de funciones Matemáticas
(Funciones Circulares)
Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas:
Aquellas funciones trigonométricas referenciadas en la circunferencia.
Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola
se denominan funciones hiperbólicas.
Circunferencia trigonométrica:
Para un punto cualquiera (x,y) se verifica,
cualquiera que sea el radio r de la
circunferencia, que son constantes las razones
x/r, y/r, en virtud del Teorema de Thales. Por lo
cual, y por simplicidad, podemos utilizar, en el
estudio de las funciones circulares, la
circunferencia en la que r = 1, es decir, la que
llamaremos circunferencia trigonométrica, de
radio unidad.

14. Funciones Circulares
Son las funciones que se definen usando un círculo unitario, que tiene su
centro en el origen de coordenadas, su radio igual a uno se considera un ángulo
cuyo lado inicial es el eje Ox, su lado terminal es OP, P un punto sobre la
circunferencia del círculo unitario

15. Funciones Trigonométricas Inversas,
Gráficas y Derivadas
 Inversas: La función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa
de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.
 Derivada de la función arc sen x: La función sen x tiene una función inversa llamada
arco-seno y se simboliza por arc sen x. De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1,
cos2y = 1 sen2y ®
 Derivada de la función arc cos x: Análogamente, la función cos x tiene una función
inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se
deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena.
 Derivada de la función arc tg x: La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente»
y se simboliza por arc tg x. y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena.
 Derivada de la función arc cotg x: La inversa de la función cotg x se llama «arco-
cotangente» y se simboliza por arc cotg x. Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta
igualdad por la regla de la cadena.
 Derivada de la función arc sec x: Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una
función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x.
y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,
1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1)
 Derivada de la función arc cosec x:Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,
y = arc cosec x, x = cosec y
Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)

16. Porque es importante las derivadas
trigonométricas
La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso
matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia
respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las
funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y
tan(x).
La derivación constituye una
de las operaciones de mayor
importancia cuando tratamos de
funciones reales de variable real
puesto que nos indica la tasa de
variación de la función en un
instante determinado o para un
valor determinado de la variable, si
ésta no es el tiempo

17. Conclusión
La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria,
con la derivada se puede calcular: con la derivada implica se
calcula la «razón de cambio» o en palabras más simples,
velocidad. También nos ayuda a encontrar valores máximos
y mínimos para problemas físicos reales (bajo el mismo
principio de razón de cambio).
Las derivadas sirven para solucionar problemas de física
y todas las materias que se basan en ella como estática,
cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente eléctrica,
magnetismo, etc. Aplicable también en la economía para
hallar valores mínimos y máximos los cuales son
importantes para proyectar en economía.

18. Bibliografía
• María Guadalupe (30.03.2021) ALEPH. ¿Qué es la derivada y cuáles son
sus aplicaciones? (Pág. Web) https://aleph.org.mx/que-es-la-derivada-y-
cuales-son-sus-
aplicaciones#:~:text=%C2%BFCu%C3%A1l%20es%20la%20aplicaci%C3
%B3n%20de,la%20gr%C3%A1fica%20de%20la%20funci%C3%B3n.
• Ing. Jesús Gámez (21.06.21) Tabla de Derivación (1pág) [Archivos PDF]
https://saia2.uts.edu.ve/pluginfile.php/194682/mod_resource/content/1/tabla
%20de%20derivaci%C3%B3n.pdf
• Matemáticas en movimiento (S.F) Calculo Diferencial. Reglas de Derivación
(Pág. Web)
• http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/d
erivada/der_reg.html
• Marleny (21.03.2012) Gráficas de las funciones matemáticas (Documento
Word)
• SAIA (21.06.2021) Regla de la Cadena. Derivada de potencias (Pág. Web)
https://saia2.uts.edu.ve/mod/page/view.php?id=140836
• SAIA (21.06.2021) Funciones Trigonométricas Inversas, Gráficas y
Derivadas (Pág. Web) https://saia2.uts.edu.ve/mod/page/view.php?id=140837