Este documento presenta un resumen de tres puntos: 1) Explica cómo utilizar la calculadora ClassPad 300 Plus para resolver problemas relacionados con espacios vectoriales euclidianos, incluyendo el cálculo de productos internos y normas de matrices. 2) Muestra un ejemplo numérico para calcular el producto interno y las normas de dos matrices. 3) Introduce el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt y lo aplica a una base canónica de polinomios de grado menor o igual a 2.

1. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
PRÁCTICA 9 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos: En esta práctica, aprenderemos cómo utilizar nuevos comandos de los menús [Acción]
e [Interactivo] de la Aplicación Principal y nuevos menús de la Aplicación Estadística
para resolver algunos problemas relacionados con Espacios Vectoriales Euclidianos con
ayuda de la calculadora ClassPad 300 PLUS.
Requisitos: Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado los temas relativos al
tópico Espacios Vectoriales con Producto Interior y haber resuelto la práctica 8.
9.1 Producto interior.
El intento de convertir un espacio vectorial en un espacio métrico y poder desarrollar sobre él una
geometría euclidiana, supone la capacidad de medir distancias entre puntos y calcular medidas
angulares. Esto puede lograrse introduciendo el concepto de producto interior entre dos vectores del
espacio vectorial. Estos espacios son llamados espacios euclidianos y su mayor fortaleza es la
posibilidad de establecer la ortogonalidad entre dos vectores, idea fundamental de la cual depende una
gran diversidad de métodos de solución, particularmente en los espacios de funciones.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERIOR PROPIEDADES DE LA NORMA
1.  
a ⋅a ≥0
1. 
a

=a ⋅

a
2. 
a ⋅

a = ⇔
0

a =

o
2. 
a ≥0
3.    
a ⋅b =b ⋅ a
3.   
a =⇔
0 a =
o
4.
 
4.
      
a ⋅ b + ) =a ⋅
( c ( b + ⋅c )
a α α
a =a
5.
    
5.
    
a + ≤
b a +b
(α ⋅
a ) b = ⋅ α = (a ⋅ )
a ( b) α b
6.      
( a ⋅ ) 2 ≤ ⋅ )(b ⋅ )
b (a a b
1. Operación con la ClassPad
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione
para encenderla.
(2) Toque en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
(3) En la barra de menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(4) Toque el botón para acceder directamente al administrador de variables. Toque main
dos veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.]
[Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación
Principal.
M 2,2
2. Considere el espacio vectorial real de las matrices cuadradas de orden 2. Si
 a 11 a 12  b 11 b 12 
A=  y B=   son dos matrices en M 2,2
, definimos sobre este espacio el
 a 21 a 22  b 21 b 22 
producto interior usual A ⋅B =traza( trn(B) A ) = 11b 11 + 12 b 12 + 21b 21 + 22b 22
a a a a .
Recuerde que la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal.
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1 − 2 2 2
a) Calcule el producto interior entre las matrices A =
− 1
y B=
1
y establezca que
3  1 
son ortogonales en M2,2
.
b) Calcule la norma de la matriz A y la norma de la matriz B.
Observe que el producto interior que se ha definido en M 2,2
, es análogo al producto escalar de
vectores en R4 . De modo que, si consideramos la matrices de las componentes de A y B respecto a la
base canónica de M2,2
y las tomamos como vectores columnas, el producto escalar entre éstas nos dará
 1  2
  − 2   2
el producto interior de las matrices A y B. Sean estos vectores a=   y b=   .
3  1
   
 − 1  1
(5) Active el teclado virtual 2D.
(6) 
Calcule el producto escalar entre los vectores y .

a b
• Como se puede apreciar (Figura 1), las matrices A y B son
ortogonales en M 2,2
.
(7) Calcule la norma de la matriz A.
(8) Calcule la norma de la matriz B.
• La norma de cualquier matriz puede calcularse con el comando Figura 1
[norm] del menú secundario [Matriz – Calcular ►] de los menús
[Acción] e [Interactivo]. Esta norma, inducida por el producto interior
que se ha definido, se llama Norma de Frobenius.
(9) Utilice el comando [norm] del menú secundario [Matriz – Calcular
►] para calcular la norma de la matriz A.
• Observe que este resultado es el mismo que se obtuvo en el paso (7).
Figura 2
M2,2
3. a) ¿Son Ortogonales A y B en ?, ¿por qué?
b) A = B =
9.2 Proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt.
A partir de una familia F finita o infinita de vectores linealmente independientes que generan el
subespacio gen(F) en un espacio euclidiano E, puede construirse otra familia G de vectores ortogonales
tales que gen(F) = gen(G). Tal construcción se realiza por medio del proceso de ortogonalización de
Gram–Schmidt que se describe como sigue:
Sea {  
F = x 1, x 2 , x 3 ,} una familia finita o infinita de vectores linealmente independientes en un
espacio euclidiano E. Entonces existe una familia de vectores ortogonales {  
G = e 1, e 2 , e 3 ,} en E tal
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      
que para cada entero positivo k, gen(e 1, e 2 , , e k ) = (x 1, x 2 , , x k )
gen . Más aún, cada vector ek
se construye de acuerdo con el algoritmo recursivo:
•
 
e1 = x 1
.
     
   x ⋅e   x ⋅ e2   x ⋅ ek 
• e k = x k −   k  1  e1 −   k
 e ⋅e  e   e 2 −  −   k  −1  ek −1
 e  ; k =,3,4, 
2
 1 1  2 ⋅ e2   k −1 ⋅ ek − 1 
P2
4. En el espacio vectorial real (espacio de los polinomios de grado menor o igual 2) se
1
define el producto interno de dos polinomios p y q por p⋅q = ∫1p( x ) ⋅q( x ) dx
−
. Utilice el
proceso de ortogonalización de Gram–Schmitd para construir una base ortogonal de P2
a partir
de los vectores de su base canónica: q 1 ( x ) =1 , q 2 (x ) =x y q 3 ( x ) =x 2 .
Para el cálculo de integrales indefinidas o definidas debe usarse el comando de integración ∫ del
menú secundario [Cálculo ►] de los menús [Acción] e [Interactivo]. En el caso del cálculo de la integral
b
definida de una función en una variable ∫ f (x )dx
a
, la sintaxis de este comando es la siguiente:
∫
( función, var iable , a, b )
Una manera cómoda de calcular una integral definida, es usando la plantilla del teclado virtual
2D. Basta registrar el integrando, los límites de integración y la variable de integración en el diferencial.
Esto nos permite registrar la integral de la misma manera como se escribe la misma con lápiz y papel.
5. Operación con la ClassPad
(10) Active el teclado alfabético [abc] y toque .
• Para lo que sigue, alterne entre el teclado alfabético [abc] y el
teclado de plantillas 2D. Puede utilizar las teclas , y demás
teclas del teclado físico de la calculadora.
(11) Asigne cada una de los polinomios: 1 x, x 2
,
a las variables Q1, Q2,
y Q3 respectivamente.
Figura 3
Al desarrollar el proceso de ortogonalización por pasos tenemos:
Paso 1: p 1 ( x ) = 1( x ) =
q 1 .
(12) Asigne la variable P1 al polinomio 1.
El segundo polinomio del conjunto ortogonal lo obtendremos en el siguiente paso:
 q ⋅ p1 
Paso 2: p 2 (x ) = q 2 (x ) −  2
 p ⋅ p  p 1( x )

 1 1
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• Observe que el polinomio p2
viene dado por:
 1 
 

∫
 q2 (x ) ⋅ p 1(x ) dx 

q 2 (x ) −  −1  p 1( x )
1
 
 ∫
 p 1( x ) ⋅ p 1( x ) dx 

 −1 
Utilizaremos el teclado 2D para registrar esta expresión.
(13) Con el teclado alfabético activo toque .
(14) Active el teclado 2D y toque .
(15) Con el cursor en el numerador toque .
Figura 4
(16) Con el cursor en el denominador toque .
(17) Registre en ambas integrales los límites de integración −1
y 1
.
(18) Con el teclado alfabético activo registre en la integral del numerador
el integrando tocando .
(19) Ubique el cursor en recuadro de la diferencial y toque .
• Observe la Figura 4.
(20) Registre el integrando de la integral del denominador tocando
.
(21) Registre la variable del diferencial tocando .
(22) Ubique el cursor a la derecha de la expresión editada y toque
. Figura 5
(23) Finalmente toque .
• Se obtiene de este modo p 2 ( x ) =x
(Figura 5).
El tercer polinomio del conjunto ortogonal se obtiene en el siguiente paso:
 q ⋅ p1   q3 ⋅ p 2 
Paso 3: p 3 (x ) = q 3 (x ) −  3
 p ⋅ p p 1 ( x ) −  p ⋅ p p 2 (x )
   .
 1 1  2 2 
(24) Asigne la variable P2 al polinomio x
.
(25) Calcule el polinomio p3 siguiendo un procedimiento análogo al
anterior y registrando en el área de trabajo la expresión dada en el Paso
3.
1
• Se obtendrá que p 3 (x ) = x 2 −
3
Figura 6
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6. Base Ortogonal:
1
En el espacio de los polinomios P con el producto interno p ⋅q =∫1p(x ) ⋅q(x )dx
−
se obtiene la
1 3 6 2 3
sucesión ortogonal 1
, x , x2 − , x3 − x , x4 − x + , ... a partir de los polinomios
3 5 7 35
linealmente independientes , x , ,1
, , ... en P. Estos polinomios son llamados polinomios
x2 x3 x4
de Legendre y son importantes en temas de ecuaciones diferenciales y análisis lineal.
R6
7. Considere la siguiente familia de vectores de :
  
x 1 = , 0, − − 2, 2)
(0 1, 1, x 2 = , 1 − , − , 3, 3)
(1 , 2 2 x 3 =2, 2, − , − , 4, 4 )
( 3 3
, , ,

x 4 =− − 0, 0, 1 1
( 1, 1, , )
a) Encuentre una base B para el subespacio S generado por los cuatro vectores.
b) Utilice el proceso de ortogonalización de Gram – Schmitd para construir una base ortonormal
para el subespacio S a partir de los vectores de la base B. Tome como producto interior en
R6 el producto escalar.
8. a) Base B:
b) Base Ortonormal:
9.3 Complementos ortogonales.
Considere un subespacio vectorial S de un espacio euclidiano E . Un vector en E es ortogonal al 
v
subespacio S si es ortogonal a cada vector de S. El conjunto de todos los vectores en E que son
ortogonales a todos los vectores de S se llama complemento ortogonal de S en E y se denota por . S⊥
S⊥
es también un subespacio vectorial de E y { } . S  S⊥

=o
En Rn el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneas AX = O, se sabe que es un
subespacio de Rn y es, además, el complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores fila
de la matriz A. Por otra parte, el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales trn(A)X = O es el
complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores columna de A.
2 −1 3 4 
0 −3 7 − 2
A= 
9. Considere la matriz 1 1 −2 3  y sean S el conjunto solución del sistema
 
1 4 −9 5 
lineal AX = O y T el conjunto solución del sistema lineal trn(A)X = O. Determine bases para los
cuatro subespacios: S, ,Ty . S⊥ T⊥
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10. Base de S:
Base de S⊥
:
Base de T:
Base de T⊥ :
11. Determine una base para el complemento ortogonal del subespacio S generado por los
 
vectores: , , , y
 
a = ,− , ,2)
b = ,3,1 − 4 )
(2 10 1
,(1 , 2,− d = ,7,3,−−
(7 4, 8) c = ,2, ,− 2 )
(3 1 1−
,
.

e = − 1 −2)
(1, 4,−1 −
, ,
S⊥
12. Base de :
9.4 Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio.
Si S es un subespacio vectorial de un espacio euclidiano E
   
de dimensión finita con base ortogonal {w 1, w 2 , w 3 , , w m }
y es cualquier vector de E, entonces existe un único vector

v
en S y un único vector

w
en tales que 
u
. S⊥

v =

w +

u
El vector recibe el nombre de proyección ortogonal del

w

vector sobre el subespacio S, y se denota por proy S v .

v
Por otra parte, este vector se calcula por la fórmula: Figura 7
     
   v ⋅ w1    v ⋅ w2   v ⋅ wm 
w = proy S v =  
w ⋅w   w1 +  
w ⋅w   w2 + +  
 w ⋅w   wm

 1 1  2 2   m m 
13. Considere el
subespacio S de R4 cuya base es
= 1 1 0, 1 (2, − 0, 0 ), (0, 1 0, 1 }
{ , , y el vector .

B ( ), 1, , ) v = , 0, 1 1
(0 , )
a) Construya una base ortogonal para S.

b) Determine proy S v .
c) Determine la distancia de 
v
a S.
14. a)
b)
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7. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
c)
S =(a + , b + , a − − c, b + ) : a, b, c ∈ }
{ b c b 2 c R
15. Considere el subespacio de R4. y el
vector .

v =, 2, 3, 4 )
(1
a) Encuentre una base para S.
b) Construya una base ortogonal para S.

c) Determine proy S v .
16. a)
b)
c)
9.5 El método de los mínimos cuadrados.
El método de los mínimos cuadrados proporciona un ejemplo de aplicación del problema de
encontrar, en un espacio euclidiano E, la distancia de un vector a un subespacio S. Este método se emplea
como modelo matemático para realizar predicciones a partir de datos recolectados en la vida cotidiana o
para estimar parámetros a partir de datos recogidos experimentalmente. El caso más sencillo, y del que se
deducen otros modelos, consiste en determinar la ecuación de una recta: y =ax +b
a la que deberían
pertenecer todos los puntos de coordenadas ( x i , yi ) para
i = , 3,  , n
1 2
,
, obtenidos en algún
proceso de recolección de datos. Generalmente, por imprecisión de los instrumentos, los errores en los
experimentos o en la misma recolección de datos, se obtienen puntos que no están alineados. El problema
es encontrar la recta que “mejor ajusta” este conjunto de puntos (recta de regresión lineal). El método
de los mínimos cuadrados proporciona “buenas aproximaciones” de los coeficientes a y b.
17. Operación con la ClassPad
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8. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
(26) Borre la pantalla de la aplicación Principal.
(27) Toque el botón en la barra de herramientas. Al desplegarse el
menú toque para acceder directamente a la Aplicación
Estadística.
• Aparecerá en la parte inferior de la pantalla dividida la ventana del
editor de listas.
(28) En el panel de iconos toque para maximizar la ventana del
editor de listas.
(29) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el editor de listas.
Figura 8
x y
18. Un problema de resistencia de materiales: 680 190
800 200
780 209
En la primera columna de la tabla están representados los
885 215
diámetros de varias soldaduras. En la segunda columna están
975 215
representadas las resistencias de corte correspondientes. Se
1025 215
supone que existe una relación afín ( ) entre estas dos
y =ax +b
1100 230
variables. Encuentre la recta de regresión lineal entre estas
1030 250
variables.
1175 265
1300 250
(30) Con las teclas direccionales ubique el cursor el la primera celda de la lista 1 (list1) y teclee 680.
Confirme con [EXE].
• Observe que el cursor se ubica en la segunda celda de la lista 1.
(31) De la misma manera registre los demás datos correspondientes a la variable x.
(32) Al terminar, ubique el cursor en la primera celda de la lista 2 (list2) y registre los datos que
corresponden a la variable y.
• De esta manera, en la lista 1, se encuentran todos los datos de la variable x y en la segunda lista
se encuentran todos los datos de la variable y.
• Para trazar el diagrama de dispersión de los datos será necesario hacer las siguientes
operaciones de configuración de gráficos estadísticos:
(33) En la barra de menús, toque [ConfGráf] [Opciones …]. En el cuadro de diálogo utilice los
botones para configurar los siguientes parámetros: Dibujo: On, Tipo: Disper., Lista X: list1,
ListaY: list2, Frec.: 1, Marca: Cuadrado. Finalmente toque [Def.] para confirmar la configuración.
(34) Toque en la barra de herramientas para trazar el gráfico de dispersión.
• Aparecerá la ventana de gráficos mostrando el diagrama de dispersión.
(35) Toque [Cálc.] [Regresión lineal]. En el cuadro de diálogo toque [Acep.].
• Aparece en pantalla el cuadro Cálculo Estadístico que muestra los valores de los parámetros de
interés a, b y los parámetros estadísticos r, y MSe (Figura 11).
r2
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9. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
Figura 9 Figura 10 Figura 11
Los parámetros estadísticos indicados en la pantalla de la Figura 11 son los siguientes:
y =ax +b
: es la fórmula del modelo de regresión lineal.
a
: coeficiente de regresión (pendiente).
b
: término constante de regresión (ordenada en el origen).
r : coeficiente de correlación
r2 : coeficiente de determinación.
n
1
MSe
: Error cuadrático medio dado por MSe =
n −2 ∑yi −(ax i +b))2 .
(
i=1
Observación:
El coeficiente de determinación satisfacer2 . Indica “qué tan bueno” es el ajuste de la
r 2 ≤1
recta de regresión a los datos. Mientras más cercano a 1 se encuentre este valor, mejor será el ajuste. Si
r 2 =1 entonces los puntos están alineados. Por otra parte, el coeficiente de correlación r nos da una
medida de qué “tan buena” es la relación entre las dos variables. Este coeficiente satisface . −≤ ≤
1 r 1
Mientras más cercano a 1 se encuentre el valor absoluto de este coeficiente, “más fuerte” será la relación
entre las variables x e y. El diagrama de dispersión muestra un conjunto de puntos que tiende a alinearse.
Si r
está más cercano a cero, esto indicará que la relación entre las variable es “muy débil” y que los
datos presentan una alta dispersión que no les permite alinearse.
19. ¿Cuál es la ecuación de la recta de regresión lineal?
(36) Toque para trazar la recta de regresión lineal.
• Aparecerá la gráfica de la recta de regresión en el diagrama de
dispersión.
• Observe la disposición de los puntos respecto a la recta de regresión.
Figura 12
20. ¿Qué puede concluir del gráfico mostrado en la pantalla (Figura 12) y el valor del
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coeficiente de determinación r 2 = .758492
0 (alrededor de un 75%)?
21. En el problema anterior, ¿qué valor de la resistencia de corte “y” se puede predecir para
un valor de diámetro de soldadura x = 1400?
Luego de trazar un gráfico de regresión se pueden calcular los valores estimados xˆ
y yˆ
de las
variables x, y, respectivamente, en la aplicación Principal.
(37) Toque en la barra de menús [Análisis] [Trazo].
• Aparecerá un cursor sobre la gráfica de la recta de regresión.
• Por otra parte, en el recuadro inferior aparecerá la ecuación de la
recta de regresión.
• Si utiliza las teclas direccionales ► y ◄ de la tecla elíptica del teclado
de la calculadora, observará que el cursor se desplaza sobre la recta Figura 13
de regresión indicando los valores estimados xˆ
e yˆ
de las
variables x, e y.
(38) Toque en el recuadro inferior el botón para copiar en el
portapapeles la ecuación de la recta de regresión.
(39) En la barra de herramientas toque y luego para acceder a
la aplicación Principal. Toque para maximizar la pantalla.
(40) Active el teclado matemático [mth]. Toque para copiar, en la
línea de entrada, la ecuación de la recta de regresión, luego toque
para activar el comando “with”. Toque finalmente
para evaluar la ecuación.
(41) Seleccione la fracción correspondiente al valor estimado de la
resistencia de corte y. Toque para obtener dicho valor en forma Figura 14
decimal (Figura 14).
yˆ
22. ¿Cuál es el valor estimado de la resistencia de corte para un diámetro de la soldadura
x = 1400?
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11. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
23. ¿Qué valor del diámetro de la soldadura “x” se puede predecir para un valor de resistencia
de corte y = 300?
Para encontrar este valor se siguen los siguientes pasos:
(42) Toque .
• Con esta secuencia de botones la calculadora construye una
ecuación en la línea de salida. Al resolver esta ecuación para la
variable x, se obtiene el valor estimado del diámetro de la soldadura.
(43) Toque [Acción] [Ecuación / Desigualdad] [solve] [ans] [Ejec.].
(44) Seleccione la fracción correspondiente al valor estimado del diámetro
de soldadura x. Toque para obtener dicho valor en forma decimal Figura 15
(Figura 15).
xˆ
24. ¿Cuál es el valor estimado de la resistencia de corte para un diámetro de la soldadura
y = 300?
x y
25. Un problema relacionado con la industria del vidrio.
1390 0.3010
En ciertos problemas no hay una relación afín directa entre una 1154 0.4771
variable y la otra, sino entre una variable y el inverso de la otra, entre 984 0.6021
el inverso de una y el inverso de la otra, entre una y el logaritmo de la
otra, etc. En este problema, la segunda columna contiene el logaritmo 874 0.6990
decimal de la viscosidad y la primera columna la temperatura x de 791 0.7782
cierto tipo de vidrio en ° C .
729 0.8451
La teoría prevé que el logaritmo decimal de la viscosidad es una función exponencial de la
temperatura ( y =
) o dicho de otro modo, que el logaritmo neperiano del logaritmo decimal
ae bx
de la viscosidad es una función afín de la temperatura. En base a esto, encuentre la función
exponencial que mejor ajusta los puntos de la tabla.
(45) Toque y luego para regresar a la aplicación
Estadística y maximizar la pantalla.
(46) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para borrar las listas.
(47) Registre en list1 los valores de la variable x.
(48) Registre en list2 los valores de la variable y.
(49) Toque para trazar el diagrama de dispersión.
(50) Toque [Cálc.] [Regr. exponencial]. En el cuadro de diálogo toque
[Acep.] para confirmar que se desea realizar una regresión
exponencial.
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12. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
Figura 16
26. ¿Cuál es la relación exponencial que existe entre las variables?
Observación:
Observe que el coeficiente de correlación es negativo. Esto indica que cuando una variable crece la
otra decrece. Si el coeficiente de correlación es positivo, como en el problema precedente, tendremos
que cuando una variable crece la otra también crece.
(51) Toque [Acep.].
(52) Toque para trazar la curva de regresión exponencial.
Figura 17
27. ¿De acuerdo al gráfico presentado en la figura 17 y al coeficiente de correlación calculado,
qué puede concluir?
28. Sólo es posible trabajar el vidrio cuando su viscosidad está entre 7.65 y 13. Determine en
qué intervalo debe mantenerse la temperatura para realizar el trabajo.
Sugerencia: Para no tener problemas de desbordamiento en la resolución de la ecuación,
proceda de la siguiente manera:
• Copie la ecuación en la ventana de la Aplicación Estadística y péguela en la línea de entrada
de la Aplicación Principal.
• Sustituya el valor para la variable y ( tenemos dos valores log(7.65) y log(13)).
• Ejecute Ln(ans) para tomar logaritmo neperiano en ambos miembros de la ecuación.
• Finalmente ejecute solve(ans) para obtener la solución.
29. Intervalo de variación de la temperatura:
x y
30. Un problema de estimación de parámetros. 12 106
15 109
20 112
Prof. Robinson Arcos 99 Departamento Matemática Aplicada

13. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
Queremos estimar la cantidad de masa de gas licuado en un 24 115
encendedor de bolsillo de una marca determinada. Para ello se 25 116
dispone de 10 encendedores usados. A cada encendedor se le 30 119
determina en una balanza la cantidad de masa “y” en gramos y 35 122
se le mide la altura “x” en milímetros de la columna de líquido. 40 125
45 128
Responda a cada una de las preguntas que se formulan: 48 131
a) ¿Qué tipo de función necesariamente deben verificar las variables x, y? Explique.
b) En la aplicación Estadística, registre en la list1 las alturas x, en list2 las correspondientes
masas y. Trace el diagrama de dispersión. ¿Qué ajuste le sugiere la nube de puntos?
c) ¿Esperaría, por el diagrama de dispersión, que no hubiesen errores de medición?, ¿porqué?.
d) Si el ajuste propuesto es lineal, esto es, y = ax + b, ¿qué representan físicamente en este
modelo los parámetros a y b?.
e) ¿Cuál es la masa aproximada de un encendedor vacío?
f) ¿Cuál es la masa aproximada del líquido en un encendedor nuevo, si la altura del depósito
es de 55 mm?
31. a)
b)
c)
d)
e)
f)
9.6 Regresión lineal con más de una variable independiente.
En la Aplicación Estadística de la calculadora Class Pad 300 PLUS se pueden realizar solamente
cálculos de regresión simple, esto es con una sola variable independiente. Para realizar cálculos de
regresión múltiple (con más de una variable independiente), es necesario plantear el problema utilizando
los recursos del álgebra lineal. Recordemos que estos problemas de ajuste de curvas a un conjunto de
puntos se reducen al problema de la proyección de un vector de un espacio euclidiano E sobre un
subespacio S.
Consideremos el problema siguiente:
Composición M1 M2 M3
32. Un problema de mezclas en la construcción.
Cemento 20 18 12
Prof. Robinson Arcos 100 Departamento Matemática Aplicada

14. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
Arena 20 25 15
Una compañía constructora almacena, en sacos de 50 Grava 10 5 15
Kg, tres mezclas básicas M1, M2 y M3. Pueden
prepararse mezclas de argamasa efectuando Cal 0 2 8
combinaciones de estas tres mezclas básicas.
Suponga que se desea preparar una mezcla especial compuesta por una tonelada de cemento,
una tonelada de arena, media tonelada de grava y 300 Kg de cal. ¿Cuántos sacos de cada mezcla
básica M1, M2 y M3 se necesitarán para preparar la mezcla especial?
Si x, y, z representan el número de sacos de cada una de las mezclas básicas M1, M2 y M3
respectivamente, que se deben combinar para obtener la mezcla especial, entonces el problema se reduce
a encontrar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
20x + 18 y + 12z = 1000

20 x + 25 y + 15 z = 1000

 10 x + 5 y + 15 z = 500

 2 y + 8z = 300
33. Muestre que este sistema es incompatible. Para ello realice los siguientes pasos en su
calculadora:
(53) En el panel de iconos toque para acceder a la aplicación
Principal.
(54) Borre la pantalla.
(55) Active el teclado 2D. Toque .
(56) Registre en la plantilla las tres primeras ecuaciones y resuelva el
sistema.
Figura 18
• Observará que esta solución no satisface la cuarta ecuación.
El sistema anterior es equivalente al problema de establecer si el vector cuyas componentes

v
representan la composición de la mezcla especial, pertenece al subespacio de R4 generado por los
vectores , b y cuyas componentes representan las cantidades de los componentes de cada una
 
a c
de las tres mezclas básicas M1, M2 y M3 respectivamente. Esto es:
1000  20  18  12 
1000  20  25  15 
  
v = a +b +
x y

zc
⇔  =x  +y  +z  
 500  10  5  15 
       
 300  0 2  8
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15. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
Dado que el sistema es incompatible se tiene
  
que . Se plantea el problema de

v ∉gen(a, b, c )

encontrar el vector w ∈ (a, b, c) más cercano
  
gen
a , o dicho de otro modo,

v

u

= −
v

w
debe
ser mínima.
Si , y son linealmente
  
a b c
independientes, el vector debe ser

u
perpendicular a cada uno de estos vectores; de
manera que se construye bajo
   
w = a +b +
x y zc
las siguientes tres condiciones de ortogonalidad: Figura 19
   
; ; .
          
( v − a − b −c) ⋅
x y z a =0 ( v − a − b −c ) ⋅
x y z b =0 ( v − a − b −c ) ⋅
x y z c =0
Estas condiciones generan el siguiente sistema        
(a ⋅ a)x + (b ⋅ a)y + (c ⋅ a)z = (v ⋅ a)
de ecuaciones lineales compatible determinado que        
permite encontrar los coeficientes x, y, z de la (a ⋅ b)x + (b ⋅ b)y + (c ⋅ b)z = (v ⋅ b)
 
     
(a ⋅ c)x + (b ⋅ c)y + (c ⋅ c )z = ( v ⋅ c)
combinación lineal :
   

w =a +b +
x y zc
(57) Haciendo uso del teclado 2D, asigne cada uno de los vectores
columnas , , y a las variables v, a, b y c
  
v ba c
respectivamente.
(58) Registre la primera ecuación. Para ello edite en la línea de entrada la
secuencia de comandos:
dotP(a,a)x+dotP(b,a)y+dotP(c,a)z=dotP(v,a)
(59) Toque [Ejec.].
(60) Registre de manera análoga las demás ecuaciones. Figura 20



34. Escriba el sistema de ecuaciones a resolver: 


(61) En el teclado virtual 2D. Toque .
(62) Copie y pegue en la plantilla cada una de las ecuaciones
construidas. No olvide registrar en el recuadro inferior derecho las
variables básicas x, y, z.
(63) Toque [Ejec.].
(64) En la línea de salida seleccione los valores encontrados de las
variable x, y, z. Figura 21
(65) Toque para obtener dichos valores en formato decimal.
Prof. Robinson Arcos 102 Departamento Matemática Aplicada

16. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
Figura 22
La solución aproximada del problema gira en torno al vector solución:
   
w = .15 a + .92b + .54c
18 15 20 =(896 .04, 1069 .10, 569 .20, 196 .16 )
35. Si al preparar la mezcla especial se requieren un número entero de sacos.
a) De acuerdo a su intuición, ¿cuál debe ser la combinación lineal más cercana a los
requerimientos en peso del vector 
v
?
b) Complete la siguiente tabla y encuentre la mejor solución.
x y z Cemento (kg) Arena (kg) Grava (kg) Cal (kg)
18 15 20
18 15 21
18 16 20
18 16 21
19 15 20
19 15 21
19 16 20
19 16 21
x y z   
v − − −
xa yb

zc
18 15 20
18 15 21
18 16 20
Continúa…
x y z   
v − − −
xa yb

zc
18 16 21
19 15 20
19 15 21
19 16 20
19 16 21
c) ¿Qué componentes se están combinando de más y qué componentes se están combinando
de menos en la mezcla especial aproximada?
36. a)
Prof. Robinson Arcos 103 Departamento Matemática Aplicada

17. Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9
c)
y
x1 x2 x3
37. Un problema con datos recolectados 1.02 122 –4 319.2
en un laboratorio.
1.00 122 4 263.5
1.04 122 8 258.8
Los datos de la tabla se han obtenido 0.87 175 –4 352.8
experimentalmente en un laboratorio. Si se 1.21 175 4 322.8
establece que la relación entre la variables
1.08 175 8 285.9
es de la forma y =ax 1 +bx 2 +cx 3 +d , ¿cuál
2.05 210 –4 463.8
es el hiperplano de regresión que mejor 1.98 210 4 404.9
ajusta el conjunto de datos?
1.94 210 8 347.0
2.10 235 –4 484.9
2.14 235 4 436.1
2.01 232 8 396.2
38. Ecuación del hiperplano de ajuste:
Prof. Robinson Arcos 104 Departamento Matemática Aplicada