Éteres. Química Orgánica. Propiedades y reacciones
Hoja 1 ejercicios algebra matrices
1. I.E.S. Griñón Ejercicios Álgebra Hoja 1 Matemáticas II 2010/2011
1 3 − 4 2 − 2
1. Dadas las matrices A = 0 2 y B = − 3 3 3
a. Resolver la ecuación matricial: X+X·A=B .
t
b. Calcular todas las matrices M que conmutan con A.
c. Calcular A25.
2 1
2. Encuentra los valores de α y λ sabiendo que la matriz A =
1 2 verifica la
ecuación A + α ⋅ A + λ ⋅ I = 0 .
2
3. Resuelve razonadamente la siguiente ecuación matricial:
4 1 1 2 0 − 1 0 − 1 2 1
−1 0 X − 2 −1 0 1 = 1 0 − 3 0
1 1
4. Encontrar todas las matrices X que verifiquen X ⋅ A = A ⋅ X donde A =
0 1
1 3
5. Dada la matriz A = − 1 2 , encontrar una matriz B triangular superior, cuya
suma de elementos de la diagonal principal sea 2, que además conmute con la
matriz A.
a − b
6. Sea el conjunto M de matrices de números reales de la forma b a con
a + b = 1 . Demostrar que si se multiplican dos matrices del conjunto M se
2 2
obtiene como resultado otra matriz que también pertenece al conjunto M, esto es,
si A ∈ M y B ∈ M entonces A ⋅ B ∈ M
1 1
7. Dada la matriz A =
2 1 , obtener las matrices B tales que A·B=B·A .
T
x y u v
8. Demostrar que las matrices A = − y x y B= − v u son conmutables para
todo valor real x, y, u, v.
a b 1 1
9. Se consideran las matrices M = 0 a y
V =
0 1
a, b ∈ ℜ . Calcular
M , n = 1, 2, ...
n
10. Hallar todas las matrices M tales que M 100 = V .
0 0 1 0 0 1
11. Considera las matrices A = 0 1 0 y B = x 1 0 , se pide:
1 0 0 y 0 0
a) Calcula A127 y A128.
b) Determina x e y tal que AB = BA
2 1
12. Se considera la matriz A =
− 1 0 determinar,
Profesor: Alfredo Martín
2. a) Calcular An y deducir de esta expresión A-1.
b) El conjunto de todas las matrices que conmutan con A.
13. Dada una matriz A se define su traza, Tr(A), como la suma de los elementos de la
diagonal principal. Se pide:
a) Dadas dos matrices A y B, demostrar que Tr(AB) = Tr(BA).
7 5 a 8
b) De dos matrices cuadradas A y B se sabe que AB = y BA =
5 15 2 b .
Calcular los posibles valores de a y b.
0 1 0
14. Sea la matriz A = 0 0 1 , se pide:
1 0 0
a) Encontrar su potencia n-ésima.
4 3 2
b) Resolver la ecuación matricial X ⋅ ( A + A − A) =
1 1 1
4 2
15. Se dice que una matriz cuadrada en nilpotente cuando alguna de sus potencias es
igual a la matriz nula. En el caso de que n sea el menor entero positivo tal que
A n = 0 , se dice que A es nilpotente de grado n.
1 1 3
a. Demostrar que A = 5 2 6 es nilpotente de grado 3.
− 2 − 1 − 3
0 a
b. Encuentra todas las matrices B =
b 0 nilpotentes de grado 2
a 1 0
16. Encontrar las matrices de la forma X = 0 b 1 que verifican X = I
2
0 0 c
17. Se dice que una matriz cuadrada es idempotente cuando verifica que su segunda
potencia es igual a ella misma.
4 2
a. Calcular el valor de m que hace que la matriz A =
m − 3 sea
idempotente.
1 a
b. Encuentra todas las matrices del tipo
b 0 que sean idempotentes
1 + λ 1 − λ 1 1 1 − 1
18. Dadas las matrices X =
1 − λ 1 + λ , A = 1 1 y B = − 1 1 :
a. Demuestra que A y B son conmutables y expresa X en función de A y de
B.
b. Calcula las potencias n-ésimas de A y de B.
Profesor: Alfredo Martín