1. GLOSARIO
Adjunto del elemento aij. Es el menor complementario de Creciente. Una función es monótona creciente o simplemen-
aij precedido del signo + o --, según que la suma i + j sea par te creciente en x = a cuando f (a + h) ≥ f (a) y f (a--h) ≤ f (a), si
o impar, respectivamente. Se expresa de la siguiente forma: h > 0 5 f es creciente en x = a si f' (a) > 0
Aij = (--1)i+j· Mij.
Curvatura. f es ∩ (convexa por arriba) en aquellos interva-
Álgebra de derivadas. Conjunto de reglas para derivar las los en los que f'' (x) < 0 y es # (cóncava o convexa por
operaciones de funciones abajo) en aquellos intervalos en los que f'' (x) > 0.
( f ± g ) = f '( x ) ± g '( x )
|
Derivada de una función en un punto.
( f ⋅ g ) ( x ) = f '( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g '( x )
|
f (a + h ) − f (a )
f '(a ) = lím
h →0 h
( k ⋅ f ) ( x ) = k ⋅ f '( x ), k cons tan te
|
|
Determinante de una matriz cuadrada de orden dos. Es
⎛f ⎞ f '( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g '( x ) el número que resulta del producto de los elementos de la
⎜ g ⎟ (x ) = , g(x ) ≠ 0
⎝ ⎠ [g ( x )] diagonal principal, menos el producto de los elementos de la
2
diagonal secundaria.
|
⎛ k ⎞ ( x ) = − k ⋅ f '( x ) , k ∈ℜ, Determinante de una matriz cuadrada de orden tres. Es
⎜f ⎟
⎝ ⎠ [f ( x ) ]
2
el número que resulta al sumar los productos, de los elemen-
tos de una fila o columna por sus adjuntos correspondientes.
(f g ) ( x ) = f '(g ( x )) ⋅ g '( x )
|
Diferencia. La diferencia de las matrices (aij) y -- (bij) se obtie-
Álgebra de límites. Conjunto de reglas para el cálculo de ne al restar los elementos que ocupan el mismo lugar en
los límites de las operaciones con funciones. una y otra matriz: (aij) -- (bij) = (aij -- bij)
lím ( f ( x ) ± g ( x ) ) = lím f ( x ) ± lím g ( x ) : el límite de una suma o
u Diferencia de sucesos. La diferencia A -- B es como el
x →a x →a x →a
suceso A < È, es decir, los elementos de A que no pertene-
resta es la suma o resta de los límites cen a B.
x →a
( x →a
)( x →a
)
lím ( f ⋅ g ) ( x ) = lím f ( x ) ⋅ lím g ( x ) : el límite de un producto es Discontinuidad evitable. Se evita redefiniendo la función
en ese punto. Existe el límite de la función en el punto (apa-
el producto de límites
rece la indeterminación 0 , que resuelta da un límite finito),
⎛f ⎞ lím f ( x ) 0
lím ⎜ ⎟ ( x ) = x →a , lím g ( x ) ≠ 0 : el límite de un cociente es y de ese modo se redefine la función.
x →a ⎝ g ⎠ lím g ( x ) x →a
x →a
Discontinuidad inevitable de salto finito. Suele darse en
el cociente de límites. funciones definidas a trozos. Los límites laterales son distin-
( ) tos, pero ninguno de ellos es infinito. Es decir, la función toma
lím g ( x )
lím ( f ( x ) )
g(x)
= lím f ( x )
x →a
: el límite de una función elevada a valores finitos distintos a izquierda y a derecha del punto.
x →a x →a
otra es igual al límite de la base elevada al límite del exponente. Discontinuidad inevitable de salto infinito. La función ten-
drá asíntotas verticales en los puntos en los que presenta este
Asíntota. La recta a la que se acerca la función cuando no tipo de discontinuidad. La función no está acotada en el punto.
está acotada en un punto (asíntota vertical), o la recta a la
Discusión de un sistema por el método de Gauss. Si al
que se acerca la función cuando x→±∞ (asíntota horizon-
reducirlo a la forma triangular escalonada aparece alguna
tal y asíntota oblicua)
ecuación del tipo 0z = b con b ≠ 0 el sistema es incompatible.
Combinaciones. Combinaciones de n elementos, tomados
de p en p, son los grupos de p elementos distintos, de modo ● Si no sucede lo anterior, el sistema es compatible.
que dos combinaciones son diferentes si se diferencian en ● Si el número de ecuaciones es igual al número de incóg-
algún elemento. Sin embargo, dos combinaciones son igua- nitas, el sistema es compatible, determinado.
les si tienen los mismos elementos a pesar del orden en que ● Si el número de ecuaciones es menor que el de incógni-
aparezcan. tas, el sistema es compatible, indeterminado.
n! Discutir por Gauss un sistema homogéneo. Si el número
Vn ,p (n − p)! n!
Cn ,p = = = . de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el sistema
p! p! p ! ⋅ (n − p)! es compatible, determinado. Si el número de ecuaciones es
menor que el de incógnitas, el sistema es compatible e inde-
terminado.
272

2. Ecuaciones o sistemas de ecuaciones matriciales. Son Intervalo de confianza para la proporción. Es el interva-
las ecuaciones y sistemas en los que las variables son lo centrado en la proporción muestral que, cuando n es
matrices. grande, es aproximadamente:
Error máximo. Es diferencia máxima entre la media pobla- ⎛ p(1 − p ) p(1 − p ) ⎞
⎜ p − zα 2 ⋅ , p + zα 2 ⋅ ⎟
cional, µ, y la media de la muestra elegida, ¥; o la diferen- ⎜ n n ⎟
cia máxima entre la proporción muestral ∫ y la poblacional ⎝ ⎠
p. Sus fórmulas son: Leyes de De Morgan. Son propiedades que relacionan la
z ⋅σ p(1 − p) unión e intersección con los complementarios de los conjun-
E= α2 y E = zα 2 ⋅ tos y se enuncian así: 1ª A ∪ B = A ∩ B , el complementario
n n
de la unión es igual a la intersección de complementarios.
Estadístico. Se llama así a un parámetro de la muestra.
2ª A ∩ B = A ∪ B , el complementario de la intersección es
Estimación. Procedimiento por el cual los resultados de la igual a la unión de complementarios.
muestra permiten deducir resultados relativos al total de la
población. Matrices regulares. Las matrices cuadradas que tienen
inversa se llaman matrices regulares.
Estrictamente decreciente. La función f es estrictamente
decreciente en x = a cuando f (a + h) < f (a) y f (a--h) > f (a), si Matrices singulares. Las matrices cuadradas que no tienen
h > 0 5 f es decreciente si f í(a) < 0. inversa se llaman matrices singulares.
Matriz. Es una disposición en tabla rectangular de m x n
Extremos relativos. La función f tiene un punto crítico en x0 números reales dispuestos en m filas y n columnas.
cuando f í(x0)=0. Es un máximo relativo si f ì(x0) < 0 y un míni-
mo relativo si f ì(x0) > 0. Matriz adjunta. Dada una matriz cuadrada A su adjunta se
representa por adj(A), y es la matriz que resulta de sustituir
Frecuencia relativa. La frecuencia relativa del suceso A, fr, cada elemento aij de la matriz A por su adjunto correspon-
es el cociente que resulta al dividir el número de veces que diente Aij.
ocurre A, nA, entre el número de veces que realizamos el Matriz ampliada asociada al sistema. Disposición rectan-
experimento aleatorio, N, gular de los coeficientes y de los términos independiente del
número de veces que ocurre A n sistema, que facilita las trasformaciones de un sistema en
f r ( A) = = A
número de veces que realizamos el exp erimento N otro triangular equivalente.
Función derivada. f '( x ) = lím f ( x + h ) − f ( x )
Matriz cuadrada. Matriz en la que el número de filas y de
h →0 h columnas coincide.
Matriz inversa. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no
Función objetivo. Nombre de la función que se debe opti- siempre existe matriz inversa de A, tal que A· B = B· A = In,
mizar en programación lineal, y que está sometida a una la matriz inversa se designa así: B = A-1. La inversa de una
serie de restricciones expresadas mediante sistemas de matriz regular A es igual a la transpuesta de su adjunta divi-
inecuaciones lineales. dida por el determinante de A; es decir:
Función primitiva o primitiva. La función F es una función
primitiva o primitiva de f si F í(x) = f(x). (adj ( A))t
A−1 = .
Hipótesis alternativa. Es la hipótesis que contradice la A
hipótesis nula. Se simboliza por H1.
Máximo relativo. Ver extremos relativos.
Hipótesis nula. Es la hipótesis que provisionalmente se
considera verdadera y se simboliza por H0. Menor complementario del elemento aij. Es el determinan-
te que resulta al suprimir en la matriz cuadrada dada A la fila i
Inecuaciones. Expresiones algebraicas separadas por los y la columna j a la que pertenece aij, se representa por Mij.
signos de desigualdad.
b Método de Gauss para el cálculo de la matriz inversa.
Integral definida. ∫ f ( x )dx
a
Este método para el cálculo de la matriz inversa de A si existe,
parte de la matriz (A I In); y mediante las trasformaciones ele-
mentales sobre la matriz de partida se llega a la matriz (In I B);
Integral indefinida. ∫f = F + k ó ∫ f ( x )dx = F ( x ) + k la matriz B = A-1, es la inversa de A.
Intervalo de confianza para la media. Es el intervalo cen- Método de Gauss para la resolución de sistemas.
trado en le media muestral y viene dado por la expresión: Permite, basándose en el método de reducción, tratar siste-
⎛ zα 2 ⋅ σ zα 2 ⋅ σ ⎞ mas de cualquier número de ecuaciones, obtener un siste-
⎜X − ,X+ ⎟ ma escalonado equivalente al inicial que facilita la clasifica-
⎝ n n ⎠ ción y solución, en su caso, del sistema objeto de estudio.
273

3. Mínimo relativo. Ver extremos relativos. Probabilidad condicionada. La probabilidad de B condicio-
Monotonía. Consiste en el estudio del crecimiento y decre- nada a A, nos indica la proporción de veces que ocurre B
cimiento de una función. entre todas las que ocurre A y esta probabilidad se calcula
por las fórmulas:
Muestra. Subconjunto de individuos de la población elegido
para hacer un estudio estadístico. P ( A ∩ B)
⎛n⎞ P ( B / A) = o P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B / A)
P ( A)
Número combinatorio. Se simboliza por ⎜ ⎟ y correspon-
⎝p⎠ Producto de matrices. El producto de la matrices Amxn y Bnxp
de a Cn,p . Luego
n! es otra matriz Cmxp de orden m x p con m filas (las del primer
⎛n⎞ Vn ,p (n − p)! n! factor A) y p columnas (las del segundo factor B). El elemen-
⎜ ⎟ = Cn ,p = p ! = p ! = p !·(n − p)! to cij de la matriz producto C es el resultado de multiplicar la
⎝ p⎠
fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B considera-
Número e. Es el número: das ambas como matrices fila y columna respectivamente:
k =n
c1j = ( ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj ) = ∑ aik bkj
x p( x )
⎛ 1 ⎞
e = lím ⎛ 1 + ⎞ = lím (1 + x ) x = lím ⎜ 1 +
1 1
x →∞ ⎝
⎜ x ⎟ x →0 p( x ) ⎟
, k =1
⎠ x →∞
⎝ ⎠
si p( x ) → ∞ cuando x → ∞ Producto de matrices cuadradas. Las matrices cuadradas
de orden n se multiplican entre sí y el resultado es una
Optimización de funciones. Consiste en buscar los extre- matriz de orden n.
mos relativos de las funciones.
Producto de un número por una matriz. El producto k(aij)
Parámetro poblacional. Valor desconocido de una pobla- se obtiene al multiplicar por k cada elemento de A = (aij):
ción, que estimamos a partir de una muestra.
k(aij) = (k.aij)
Parámetros. Si en un sistema algunos de los coeficientes
de las incógnitas o términos independientes se expresan Programación lineal. Parte de las matemáticas que trata
mediante letras, nos encontramos en realidad ante el estu- de resolver problemas, en los que se debe optimizar (calcu-
dio de infinitos sistemas uno por cada valor del parámetro. lar máximos o mínimos) de una función de varias variables,
sometidas a ciertas condiciones llamadas restricciones.
Permutaciones. Las permutaciones n objetos son variacio-
nes simples de n objetos tomados de n en n y corresponden Propiedades de linealidad de la integral.
∫ ( f + g ) = ∫ f + ∫ g ≡ la integral de una suma es igual a la
a todas las posibles ordenaciones del conjunto de esos n
objetos. Se simbolizan por Pn y hemos visto que su número
es Pn = n!. suma de las integrales.
Permutaciones con repetición. Permutaciones con repeti- ∫ ( λf ) = λ ∫ f ≡ la integral del producto de una constante
ción de n objetos, clasificados en p clases, de modo que en por una función es igual a la constante por la integral de la
la primera clase hay n1 objetos iguales, en la segunda n2 función.
objetos iguales,… y en la última clase np objetos iguales, de
modo que n1 + n2 + …+ np = n, vienen dadas por Proporción poblacional. Porcentaje de una población de
n ,n ,...,n n! tamaño N que tiene una determinada característica.
Pn 1 2 p =
n1 !⋅ n2 !·...· np ! Punto de inflexión. La función f tiene un punto de inflexión
en x0 cuando f ì(x0) = 0.
Potencias de matrices. Como el producto de dos matrices
cuadradas es otra del mismo orden; esto hace que una Puntos críticos. Ver extremos relativos.
matriz se pueda repetir como factor cuantas veces se preci- Recta tangente. Es la recta.
se, dando lugar a las potencias de matrices, esto es:
Región de aceptación. La región de aceptación para la media
A· A = A2; A· A· A = A3; ... ; A· A· …n veces ...· A = An
⎛ zα 2 ⋅ σ zα 2 ⋅ σ ⎞
Principio de la multiplicación. Si un experimento aleatorio es el intervalo ⎜ µ0 − , µ0 + ⎟ y para la propor-
está constituido por p pruebas, teniendo cada una de ellas ⎝ n n ⎠
n1, n2, n3,…, np resultados, entonces el número total de ⎛ p (1 − p0 ) p (1 − p0 ) ⎞
resultados del experimento aleatorio es ción ⎜ p0 − zα 2 ⋅ 0 , p0 + zα 2 ⋅ 0 ⎟
⎜ n n ⎟
n1· n2· n3· …· np ⎝ ⎠
274

4. Región factible. De un sistema lineal con dos incógnitas, es Sistemas Compatibles. Sistemas que tienen solución.
la solución general del sistema; está formada por el conjun- Sistemas de Cramer. Se llaman así a los sistemas lineales
to de los puntos del plano A(x, y) que cumplan simultánea- que tienen el mismo número de ecuaciones que de incóg-
mente todas las inecuaciones del sistema. nitas y, además, escritos en forma matricial, la matriz de los
b
x =b
coeficientes tiene inversa.
Regla de Barrow. ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a ) = F ( x ) x =a Sistemas Determinados. Sistemas que únicamente tienen
a
una solución.
Regla de Laplace. Es la regla que empleamos para calcu- Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
lar la probabilidad de un suceso en experimentos aleatorios Conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales con
con sucesos elementales equiprobables y viene dada por la dos incógnitas.
fórmula:
Sistemas equivalentes. Son aquellos que teniendo el
n º de sucesos elementales de A mismo número de incógnitas (el número de ecuaciones
P ( A) = puede ser distinto) tienen la misma solución.
n º de sucesos elementales de E
Sistemas Homogéneos. Sistemas en los términos inde-
Regla de L’Hôpital. Método para la resolución de indetermi- pendientes bi son todos ceros.
0 ∞
naciones de las formas , , 0 ⋅ ∞ . Consiste en cambiar Sistemas Incompatibles. Sistemas que no tienen solución.
0 ∞
en un cociente el numerador y el denominador por sus res- Sistemas Indeterminado. Sistemas que tienen infinitas
soluciones.
pectivas derivadas, y calcular a continuación el límite. Si
vuelve a salir una indeterminación se procede de forma aná- Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógni-
tas. Conjunto formado por dos ecuaciones lineales con dos
loga hasta que ésta desaparezca. Puede enunciarse como: incógnitas.
f (x ) 0 ∞ f (x ) f '( x )
Si lím = ó entonces lím = lím Sistemas No homogéneos. Sistemas en los que algunos
x →a g ( x ) 0 ∞ x →a g ( x ) x →a g '( x )
de los términos independientes bj son distintos de cero.
Resolver problemas. Para resolver un problema mediante Solución general. La solución general de una inecuación
álgebra se deben seguir los pasos siguientes: lectura com- lineal con dos variables está formada por los puntos de uno de
los semiplanos en los que la recta ax + by = c divide al plano.
prensiva del problema, elección de incógnitas, planteo,
resolución y discusión. Sucesos independientes. Son aquellos en los que la reali-
zación de uno no suministra información sobre la realización
Resolver una inecuación. Consiste para dos variables en del otro; se pueden encontrar en un juego simple o en expe-
encontrar los valores (x, y) que satisfacen la desigualdad; rimentos aleatorios compuestos de varias pruebas. Si A y B
estos valores se suelen localizar sobre un plano cartesiano. son independientes, se cumple que P(A < B) = P(A )· P(B).
Sistema completo de sucesos. Un conjunto de sucesos Suma de matrices. La suma de las matrices (aij) y (bij) se
A1, A2 ,..., An constituye un sistema completo de sucesos si obtiene al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar
cumple dos condiciones: 1ª) Son incompatibles dos a dos, en una y otra matriz: (aij) + (bij) = (aij + bij).
Ai < Aj= Ø , siempre que i ≠ j; y 2ª) la unión de A1, A2 ,..., An Tabla de integrales inmediatas.
es el suceso seguro A1 = A2 = ... = An=E.
Integrales inmediatas
Sistema escalonado de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Tiene la forma: x n+1
∫ x dx = + k , n ≠ −1
n
⎧ a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 = b1 n +1
⎪
⎨ a22 x 2 + a23 x 3 = b2 1 dx
⎪ a33 x 3 = b3
∫ x dx = ∫ x = ln x + k
⎩
Sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas. Se ∫ cos xdx = senx + k
escribe de la forma:
∫ senxdx = − cos x + k
⎧ a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
⎪ a x + a x + ... + a x = b ∫ e dx = e
x x
+k
⎪ 21 1 22 2 2n n 2
⎨
⎪ ... + ... + ... + ... = ...
.
∫ (1 + tg x ) dx = ∫ cos
1 dx
⎪am1x1 + am 2 x 2 + ... + amn x n = bm
2
dx = ∫ = tgx + k
⎩ 2
x cos2 x
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5. Teorema de Bayes. Permite calcular la probabilidad de que Variaciones simples. Variaciones simples de n objetos
un efecto B tenga una determinada causa Ai, y viene dado tomados de p en p son todos los grupos de p objetos que
por la fórmula: pueden formarse con los n disponibles. Además dos varia-
ciones son distintas si tienen distintos objetos o, si tienen los
P ( Ai ) ⋅ P (B / Ai )
P ( Ai / B ) = mismos, en orden diferente. Su fórmula es:
P ( A1 ) ⋅ P (B / A1 ) + P ( A2 ) ⋅ P (B / A2 ) + ... + P ( A1 ) ⋅ P (B / An )
n!
Vn ,p = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − p + 1) =
(n − p)!
x
Teorema fundamental del cálculo. ∫ f (t )dt = F ( x ) + k
a
Variaciones con repetición. Variaciones con repetición
de n objetos tomados o elegidos de p en p son los grupos
de p objetos en los que puede haber objetos diferentes o
repetidos. VRn,p = np.
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