ALGEBRA LINEAL

1. ALGEBRA LINEAL
DEBER #8
VALORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CUADRÁTICAS.
1. Determine el valor de verdad de las proposiciones. Justifique formalmente:
a) Sea la matriz

















1000
5100
6710
8901
A , entonces los valores característicos de A son: 8, -8, 1 y -1.
b) Si una matriz cuadrada A no es inversible, entonces 0 es un valor propio de A .
c) Sea la matriz











400
023
012
A , entonces 16 es un valor característico de 2
A .
d) Si una matriz A es semejante a una matriz B , entonces sus polinomios característicos son
iguales.
e) Sean A y B matrices nn que representan al operador T con respecto a las base 1 y 2
entonces A y B son semejantes.
f) Sean A y B matrices semejantes. Si X es un vector propio de A asociado al valor propio  ,
entonces X es un vector propio de B asociado a  .
g) Sea  un valor propio de los operadores 1T y 2T de V en V entonces 5 es un valor propio
de 21 4TT 
h) Sean 1v y 2v dos vectores propios de una matriz A asociados a un valor propio  . Entonces el
vector 1 1 2 2c v c v es también un vector propio de la matriz A asociado al valor propio 
i) Si A  M2x2 entonces el polinomio característico de A es p() =2
- (traza de A) + det(A)
j) Sea V un espacio vectorial finito. Si el operador VVT : es diagonalizable entonces
cualquier matriz que los represente es simétrica.
k) La matriz
0
1 3
k
A
 
  
 
es diagonalizable para todo k.
2. Sea 11 12
21 22
/ ijX
 

 
   
   
   
y la transformación lineal XX:T  tal que
| 















22112211
21121211
2221
1211
T
Determine el polinomio característico.
3. Sea 22 PP:T  una transformación lineal definida por, Justifique:
      2
20110
2
210 52323 xaxaaaaxaxaaT  .
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) 12
x es un vector característico de T correspondiente al valor característico 1 .
b) La representación matricial de T respecto a la base canónica es diagonalizable.
c) 1, -1 y 5 son los valores propios de T .
d) La representación matricial de T respecto a la base  x;x;xP  11 2
2 es una matriz
diagonal.

2. 4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique:
a) La matriz














4917
91125
6919
A no es diagonalizable.
b) Si 







21
01
A , entonces 






10241023
0110
A .
c) El subespacio de 3
2 2 ; ,
s
W s t s t
t
  
  
     
  
  
es un espacio característico de











324
202
423
A correspondiente al valor propio 1 .
d) Si














112
123
411
A , entonces 0652 23
 IAAA .
e) Si la matriz











a
aa
aa
A
00
0
0
entonces se puede determinar la matriz 3 3C  que diagonaliza a A .
f) Sea A una matriz simétrica real de nn . Entonces los valores propios de A son reales.
g) Sea A una matriz simétrica real de nn / ] 0n
v v Av      . Entonces los valores propios
de A son positivos.
5. Sea 2222:   MMT dada por T
AAT )( . Determine:
a) Su polinomio característico
b) Sus valores propios
c) Bases para los espacios propios correspondientes
d) Si es o no diagonalizable el operador.
6. Sea A una matriz nn diagonalizable. Demuestre que nAdet  321 , donde
n,,,  321 son los valores característicos de A .
7. Sea VV:T  una transformación lineal cualquiera. Sean 1 y 2 , dos valores característicos
distintos de T . Si 1v y 2v son dos vectores característicos correspondientes a 1 y 2
respectivamente, demuestre que el vector 21 vvv  no es un vector característico de T .
8. Si A es una matriz inversible y    IAdetp  es un polinomio característico; probar que el
polinomio característico de 1
A es:      
 111
p
Adet
IAdet n
.
9. Considérese el operador lineal: 3 3
:T  tal que   AXXT  donde











3332
2322
1312
3
2
1
aa
aa
aa
A y 3
X  . Los tres vectores propios del operador lineal son:
   011110 21 ,,x,,,x  y  1013  ,,x
a) Determine la regla de correspondencia de T .
b) Obtenga la dimensión del complemento ortogonal del Ker T .
10. Sea V el espacio vectorial:  sen / , ,x
V x e x         y T es el operador segunda
derivada 2
DT  . Encuentre los valores y vectores característicos de T .

3. 11. Sea A que pertenece a las matrices nn y  nk,,, k  321 sus correspondientes valores
característicos, sea  una constante cualquiera; pruebe que los valores característicos de A son
k,,,  321
12. Dada la matriz
1
1 1 1 ;
1 0 2
a a
A a
 
 
    
 
 
a. Demostrar que los valores propios de A son independientes del valor del parámetro.
b. Demostrar que 0a  si y solo si la matriz A es diagonalizable.
c. Determinar la matriz C tal que 1
D C AC
 .
13. Sea T: P2P2 la transformación lineal definida por:
T(ax2
+bx+c)=2ax2
+(3a+2b+c)x+(4a+b+2c)
De ser posible, détermine una base de P2 respecto de la cual la matriz que representa a T sea una
matriz diagonal.
14. Sea T un operador lineal en 3
definido como:
2
3
a a b c
T b b
c b c
    
   
   
      
. Determine si 2
T es
diagonalizable.
15. a) Construya una matriz 3 3A M  no singular que tenga por valores propios sólo a los números 2 y -2
b) Si  p  es el polinomio característico de la Matriz A construida en el literal anterior, evalúe
 p A .
16. Sea
3 2 0
2 3 0
0 0 5
A
 
 
  
 
 
a. ¿Es la matriz A ortogonalmente diagonalizable? Justifique su respuesta.
b. Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los valores característicos de A y describa
los correspondientes espacios característicos.
c. Si A fuese diagonalizable, encuentre la matriz Q tal que AQQD T
 , sea una matriz diagonal.
d. Escriba la matriz D .
17. Sea 3
2:T P una transformación lineal, donde  1 , ,B  i j k y  2
2 1 x,x,B  son bases de 3
y
2P respectivamente. Si se conoce que:
 
 
 
2
2
9 9
9 9
1 8
T x
T x x
T x x
  
  
   
i j
j k
k i
a) Encuentre la representación matricial de T con respecto a las bases 1B y 2B .
b) ¿Es diagonalizable ortogonalmente la matriz encontrada en a)?
c) Si su respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, encuentre la matriz Q que diagonalice
ortogonalmente a la matriz encontrada en a).
d) ¿Representa T un isomorfismo? Justifique su respuesta.
18. Determine la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz











402
022
223
A :
19. Determine la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:













122
212
221
A

4. 20. Sea 3
2:T P  una transformación lineal tal que  











1
0
2
12
xxT ,  











0
1
3
12 2
xT y
 











3
2
1
2
xxT . Halle una base para 2P y otra para 3
de modo que la representación matricial
de T con respecto a esas bases, sea la matriz identidad.
21. Sea 35)( 23
Ap el polinomio característico de la matriz











cba
A 100
010
a) Determine a, b y c.
b) Determine si A es diagonalizable.
22. Sea T un operador lineal en 4
tal que:
 Uno de los espacios característicos de T es el





























 Ryx
y
x
TKer ,/
0
0
)(
 Una valor propio de T es 1












































0
0
2
0
0
1
1
1
T
 Los Espacios característicos de T son ortogonales.
Determine la regla de correspondencia de T .
23. Construya de ser posible una Transformación Lineal de 2P en 3P que satisfaga las siguientes dos
condiciones:
a)  RaaxaxE  /2
3
b) xx 23
 y 15 2
x pertenecen a la Imagen de T .
24. Construya de ser posible un operador lineal 2222:   SST tal que:
a) No sea inversible
b) Sea diagonalizable
c)  2 2 2 11 22Rec( ) / 0T E A S a a     
25. Identificar y graficar la cónica cuya ecuación es 86 22
 yxyx
26. Grafique el lugar geométrico correspondiente a 2 2
9 6 10x xy y  
27. Identificar y graficar la cónica cuya ecuación es 0657363 22
 yxyxyx
28. Identifique y grafique el conjunto solución de la siguiente ecuación:
2 2
5 5 6 16 16 16 0x y xy x y     
29. Identifique y grafique con precisión el lugar geométrico correspondiente a la ecuación cuadrática:
2 2
8 8 16 33 2 31 2 70 0x y xy x y     
30. Identifique y grafique el conjunto solución de la siguiente ecuación de segundo orden
2 2
4 9 12 8 13 14 13 117 0x y xy x y     

5. 31. Identifique y grafique el conjunto solución de la siguiente ecuación de segundo orden
2 2
3 3 2 2 2 10 2 14 0x y xy x y     
32. Identifique y grafique el conjunto solución de la siguiente ecuación de segundo orden
2 2
2 4 2 2 0x y xy x    
33. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique.
a) La ecuación 4525 22
 yxyx no representa ningún lugar geométrico en el plano real.
b) La ecuación 36563 22
 yxyx representa una elipse en el plano.
c) La ecuación cuadrática 07656 22
 yxyx representa una hipérbola en el plano.
d) La ecuación cuadrática en las nuevas variables z,y,x  de 0222 222
 zyzxzyxyx
es:       110 222
 zyx .
34. Sea T un operador lineal sobre 2
. Se conoce que los valores propios de T son 1 y -3 y sus vectores
propios son:
3
2
 
 
 
y
1
1
 
 
 
respectivamente. Determine:
a. La regla de correspondencia de T.
b. La matriz asociada a T en la base
3 1
,
2 1
B
     
     
     
35. a. Encuentre una matriz 2 2xA M , tal que 1 1   y 2 3  sean sus valores propios, y, además:
1
1
Gen
1
E

   
   
    2
5
Gen
1
E

    
   
   
b. Sea 1 1:L P P un operador lineal tal que A es su representación matricial respecto de la base
 1 1 , 1B x x   de 1P . Encuentre, de ser posible, una base 2B de 1P respecto de la cual la
matriz asociada a L sea una matriz diagonal.