Probabilidades y Variables Aleatorias
Probabilidades y Variables Aleatorias <ul><li>Probabilidad que es? </li></ul><ul><ul><li>Estudia los promedios de fenómeno...
Axiomas de Probabilidad <ul><li>Siendo A: un evento especifico de un espacio Muestral S. </li></ul><ul><li>P{A} > 0 </li><...
Espacio Muestral y Propiedades <ul><li>Espacio de Muestras: el conjunto de todos los resultados posibles dentro de un expe...
Probabilidad Condicional <ul><li>Eventos conjuntos: </li></ul><ul><ul><li>Resultados que ocurren cuando realizamos dos o m...
Probabilidad Condicional <ul><li>Si consideramos un experimento combinado tal que un evento ocurre con probabilidad P(AB) ...
Probabilidad Total y Regla de Bayes <ul><li>Tenemos un espacio S y lo particionamos en eventos tal que la unión de estos r...
Regla de Bayes <ul><li>En el anterior slide vimos que para hallar la P(B) necesitábamos P(B|A i ). </li></ul><ul><li>Que p...
Regla de Bayes
Probabilidades en Toma de Decisiones <ul><li>P(A i ) : probabilidad  “a priori”  (“conocida”) </li></ul><ul><li>B: evento ...
Variables Aleatorias <ul><li>Si el conjunto de eventos posibles S tiene varios elementos </li></ul><ul><li>Variable Aleato...
Funciones cdf y pdf <ul><li>CDF: Función de Distribución Acumulativa </li></ul>s4 s3 s2 s1 X(s2) X(s1) X(s3) X(s4) S x Fx(...
PDF <ul><li>Función densidad de Probabilidad </li></ul><ul><li>Para variables discretas se define la función de masas prob...
Ejemplos de Variables Aleatorias <ul><li>Bernoulli </li></ul><ul><ul><li>VA discreta, modela (1/0, “éxito”/”fracaso”) </li...
Ejemplos de Variables Aleatorias <ul><li>Uniforme </li></ul><ul><ul><li>VA continua, toma valores entre un rango (a,b) con...
VA. Gaussiana o Normal <ul><li>Función CDF de una V.A. Normal con   =0,   =1 es: </li></ul><ul><li>Función Q: </li></ul>...
Tabla Q
Promedios Estadísticos <ul><li>Valor Esperado: </li></ul><ul><li>Momento – n de variable x: </li></ul><ul><li>Valor espera...
Varianza <ul><li>Varianza es la medida de cuan dispersos están los datos recolectados. </li></ul><ul><li>Mide la concentra...
Procesos Estocásticos: Conceptos Básicos Primera realización Segunda realización N-esima realización Proceso Aleatorio o  ...
Descripción <ul><li>Existen dos formas de “observar” este proceso: </li></ul><ul><li>Funciones de tiempo o “realizaciones”...
Descripción Estadística <ul><li>De las dos formas de “observar” un proceso, la segunda es la mas utilizada. </li></ul><ul>...
Promedios Estadísticos <ul><li>Del hecho anterior (descripción estadística) es posible entonces encontrar ciertos promedio...
Promedios Estadísticos <ul><li>AUTOCORRELACION </li></ul><ul><ul><li>Estadística de segundo orden </li></ul></ul><ul><ul><...
Procesos Estacionarios <ul><li>En algunas mediciones de señales aleatorias reales, se encuentra que la caracterización est...
Procesos Ergodicos <ul><li>Un proceso es ergodico si los “promedios conjuntos” son iguales al “promedios de tiempo”. </li>...
Procesos ergodicos <ul><li>Promedio de tiempo    nivel DC </li></ul><ul><li>Promedio conjunto </li></ul><ul><li>X es ergo...
Densidad Espectral de Potencia <ul><li>Definición </li></ul><ul><ul><li>Si X(t) es un proceso aleatorio, y sea X(t,s i ) u...
Teorema de Wiener-Khintchine <ul><li>El método anterior para hallar la PSD es poco practico. </li></ul><ul><li>Un método a...
Aplicación de la PSD <ul><li>Para hallar la potencia promedio de una señal aleatoria. </li></ul><ul><li>PSD medida en (W/H...
Aplicaciones <ul><li>DC: Voltímetro, Amperímetro miden valores promedios E[X(t)] </li></ul><ul><li>AC: RMS Voltímetro, mid...
Procesos Ruido Blanco <ul><li>Se   usa para denotar procesos en que todas las componentes espectrales aparecen con igual p...
Señales Aleatorias y Sistemas Lineales <ul><li>El análisis es similar a lo visto en Sistemas Lineales, el objetivo es que ...
Señales Aleatorias y Sistemas Lineales <ul><li>Media de señal de salida </li></ul><ul><li>Autocorrelación de salida </li><...
Ruido a través de un filtro paso bajo <ul><li>Características: </li></ul><ul><li>El ruido blanco pasa a través de un filtr...
El proceso aleatorio Gaussiano <ul><li>X(t) es una señal aleatoria gaussiana si las variables aleatorias x 1 =x(t 1 ), x 2...
Proceso Gaussiano <ul><li>Covarianza </li></ul><ul><li>Si el proceso es WSS: </li></ul><ul><li>Si los N elementos no están...
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    1. 1. Probabilidades y Variables Aleatorias
    2. 2. Probabilidades y Variables Aleatorias <ul><li>Probabilidad que es? </li></ul><ul><ul><li>Estudia los promedios de fenómenos en masa que ocurren ya sea secuencialmente o en forma simultanea. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ej.: llamadas telefónicas, ruido, teoría de colas, tomas de decisión. </li></ul></ul><ul><ul><li>Se lo representa mediante un numero entre 0 y 1. </li></ul></ul><ul><li>Por que? </li></ul><ul><ul><li>Se ha observado que ciertos promedios se aproximan a un valor constante, a medida que el numero de observaciones se incrementa. </li></ul></ul><ul><li>Propósito </li></ul><ul><ul><li>Descubrir y predecir estos promedios en términos de probabilidades de eventos. </li></ul></ul><ul><li>Evento </li></ul><ul><ul><li>Ocurrencia de un suceso </li></ul></ul>
    3. 3. Axiomas de Probabilidad <ul><li>Siendo A: un evento especifico de un espacio Muestral S. </li></ul><ul><li>P{A} > 0 </li></ul><ul><li>P{S} = 1 </li></ul><ul><li>Si AB = { Ø } entonces P{A} + P{B} = P{A+B} </li></ul><ul><li>Generalizando (3), Si eventos E 1 ,E 2 ,E 3 ,… tales que E i ∩E j ={ Ø } , para todo i ≠j entonces: </li></ul>
    4. 4. Espacio Muestral y Propiedades <ul><li>Espacio de Muestras: el conjunto de todos los resultados posibles dentro de un experimento. </li></ul><ul><li>Propiedades </li></ul><ul><ul><li>P { Ø } = 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>P(A) = 1- P( Ā) </li></ul></ul><ul><ul><li>Si A y B tienen elementos comunes: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) </li></ul></ul></ul>
    5. 5. Probabilidad Condicional <ul><li>Eventos conjuntos: </li></ul><ul><ul><li>Resultados que ocurren cuando realizamos dos o mas experimentos. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ejemplo: Lanzamiento de dos dados, experimento  {lanzar un dado y luego otro} o {lanzar dos dados al mismo tiempo}. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Resultado: 36 “tuples” o combinaciones (i,j) siendo i,j=1,…,6 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Probabilidad de cada evento puntual es de 1/36. </li></ul></ul></ul>
    6. 6. Probabilidad Condicional <ul><li>Si consideramos un experimento combinado tal que un evento ocurre con probabilidad P(AB) </li></ul><ul><li>Supongamos que B ocurrió, cual es la probabilidad de que A ocurra? </li></ul><ul><ul><li>P(A|B) “probabilidad de A dado que B ocurrió” </li></ul></ul>P(B)>0
    7. 7. Probabilidad Total y Regla de Bayes <ul><li>Tenemos un espacio S y lo particionamos en eventos tal que la unión de estos reconstruya dicho espacio. </li></ul><ul><li>S = A 1 + A 2 + A 3 + …..+A n , siendo A i mutuamente excluyentes </li></ul><ul><li>Si B es un evento arbitrario cual es P(B)? </li></ul>
    8. 8. Regla de Bayes <ul><li>En el anterior slide vimos que para hallar la P(B) necesitábamos P(B|A i ). </li></ul><ul><li>Que pasaría si conocemos la probabilidad de B pero deseamos hallar P(A i |B). </li></ul><ul><li>Este pregunta es muy común en problemas de toma de decisión. </li></ul><ul><ul><li>Significa: “si observo una señal B, cual es la probabilidad de que “la señal transmitida” fue A i ?” </li></ul></ul>
    9. 9. Regla de Bayes
    10. 10. Probabilidades en Toma de Decisiones <ul><li>P(A i ) : probabilidad “a priori” (“conocida”) </li></ul><ul><li>B: evento de recibir una señal que sea parte del conjunto de señales A i mas una distorsión debido al ruido. </li></ul><ul><li>P(A i |B): probabilidad “a posteriori” de A i dado que recibimos la señal B. </li></ul><ul><li>P(B| A i ): función de “verisimilitud” (“likelihood”), quiere decir, si tengo una señal A i cual es la probabilidad de que este “cerca de” B. </li></ul>
    11. 11. Variables Aleatorias <ul><li>Si el conjunto de eventos posibles S tiene varios elementos </li></ul><ul><li>Variable Aleatoria es una función X(s) cuyo dominio es el espacio S y su rango es el conjunto de los números Reales. </li></ul>s4 s3 s2 s1 X(s2) X(s1) X(s3) X(s4) S
    12. 12. Funciones cdf y pdf <ul><li>CDF: Función de Distribución Acumulativa </li></ul>s4 s3 s2 s1 X(s2) X(s1) X(s3) X(s4) S x Fx(x) = P[X(s2)]+P[X(s1)]+P[X(s3)] V.A. Discreta V.A. Continua 1 x F x (x) 1 F x (x) x
    13. 13. PDF <ul><li>Función densidad de Probabilidad </li></ul><ul><li>Para variables discretas se define la función de masas probabilística. </li></ul>
    14. 14. Ejemplos de Variables Aleatorias <ul><li>Bernoulli </li></ul><ul><ul><li>VA discreta, modela (1/0, “éxito”/”fracaso”) </li></ul></ul><ul><ul><li>“ 1”  p y “0”  1-p, siendo p “probabilidad” </li></ul></ul><ul><li>Binomial </li></ul><ul><ul><li>VA discreta que resulta del conteo de “1” (“exitos”) que ocurren en n repeticiones independientes. </li></ul></ul>
    15. 15. Ejemplos de Variables Aleatorias <ul><li>Uniforme </li></ul><ul><ul><li>VA continua, toma valores entre un rango (a,b) con igual probabilidad sobre intervalos de igual longitud. </li></ul></ul><ul><li>Gaussiana </li></ul><ul><ul><li>VA continua, muy común en comunicaciones  ruido termico. </li></ul></ul>
    16. 16. VA. Gaussiana o Normal <ul><li>Función CDF de una V.A. Normal con  =0,  =1 es: </li></ul><ul><li>Función Q: </li></ul><ul><li>Normalización: N (  ,  2 )  N (  ,  ) </li></ul>
    17. 17. Tabla Q
    18. 18. Promedios Estadísticos <ul><li>Valor Esperado: </li></ul><ul><li>Momento – n de variable x: </li></ul><ul><li>Valor esperado para variables discretas: </li></ul>
    19. 19. Varianza <ul><li>Varianza es la medida de cuan dispersos están los datos recolectados. </li></ul><ul><li>Mide la concentración de datos (elementos de un espacio muestral) alrededor de un valor promedio (media). </li></ul>
    20. 20. Procesos Estocásticos: Conceptos Básicos Primera realización Segunda realización N-esima realización Proceso Aleatorio o Señales Aleatorias
    21. 21. Descripción <ul><li>Existen dos formas de “observar” este proceso: </li></ul><ul><li>Funciones de tiempo o “realizaciones” de una muestra. </li></ul><ul><li>Conjunto de variables aleatorias dentro de un tiempo fijo t k. </li></ul>t k
    22. 22. Descripción Estadística <ul><li>De las dos formas de “observar” un proceso, la segunda es la mas utilizada. </li></ul><ul><li>Una descripción estadística completa de un proceso estocástico (o señal aleatoria) X(t) es conocida si para cualquier entero n y cualquier elección de tiempos (t 1 ,t 2 ,…,t n ), la funcion densidad conjunta de (X(t 1 ),X(t 2 ),…,X(t n )) es conocida. </li></ul><ul><li>Esto en otras palabras define el proceso como una colección de variables aleatorias indexadas. </li></ul>
    23. 23. Promedios Estadísticos <ul><li>Del hecho anterior (descripción estadística) es posible entonces encontrar ciertos promedios. </li></ul><ul><li>MEDIA O ESPERANZA </li></ul>X(t,s 2 ) X(t,s 1 ) X(t,s 3 ) m(t) t 1 t 2
    24. 24. Promedios Estadísticos <ul><li>AUTOCORRELACION </li></ul><ul><ul><li>Estadística de segundo orden </li></ul></ul><ul><ul><li>Utilizada para describir la densidad espectral de una señal. </li></ul></ul><ul><ul><li>Mide la existencia de ciertos patrones de la señal, consigo misma </li></ul></ul><ul><ul><li>Determina la presencia de una señal que esta opacada por el ruido, cierta frecuencia o armónicas dentro de la señal. </li></ul></ul><ul><ul><li>Medida del grado de similitud de la distribucion de muestras, es funcion de los desplazamientos en el tiempo. </li></ul></ul><ul><ul><li>Definición: </li></ul></ul>
    25. 25. Procesos Estacionarios <ul><li>En algunas mediciones de señales aleatorias reales, se encuentra que la caracterización estadística del proceso es independiente del tiempo en que se inicia el proceso . </li></ul><ul><li>Es decir si tenemos un proceso cuyas variables aleatorias X(t 1 ), X(t 2 ),..,X(t n ) tomadas a diferentes tiempos, entonces, el proceso será ESTRICTAMENTE ESTACIONARIO si cumple: </li></ul>
    26. 26. Procesos Ergodicos <ul><li>Un proceso es ergodico si los “promedios conjuntos” son iguales al “promedios de tiempo”. </li></ul><ul><li>Interpretación: </li></ul><ul><ul><li>“ promedios de tiempo”  promedios a lo largo del proceso o a largo plazo. </li></ul></ul><ul><ul><li>“ promedios conjuntos”  media o esperanza de una variable aleatoria X(t k ) en un tiempo fijo t k , basado en el conjunto de valores posibles que pueda tomar dicha variable aleatoria. </li></ul></ul>
    27. 27. Procesos ergodicos <ul><li>Promedio de tiempo  nivel DC </li></ul><ul><li>Promedio conjunto </li></ul><ul><li>X es ergodico si </li></ul><ul><li>Todo proceso ergodico es estacionario, sin embargo lo contrario puede no aplicarse. </li></ul>Sobre una “realizacion” especifica Sobre una i-esima “realizacion”
    28. 28. Densidad Espectral de Potencia <ul><li>Definición </li></ul><ul><ul><li>Si X(t) es un proceso aleatorio, y sea X(t,s i ) una i-esima realización o muestra de dicho proceso, entonces la DEP es: </li></ul></ul><ul><ul><li>Donde se tiene una señal truncada </li></ul></ul><ul><ul><li>Para así obtener la transformada de Fourier </li></ul></ul>
    29. 29. Teorema de Wiener-Khintchine <ul><li>El método anterior para hallar la PSD es poco practico. </li></ul><ul><li>Un método adecuado es usar la autocorrelación del proceso X(t). </li></ul><ul><li>Solo Si este proceso es estacionario en sentido amplio (WSS): </li></ul><ul><ul><ul><li>La media E[X(t)]  constante (no depende del tiempo) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>R x (t 1 ,t 2 ) = R x (  ), cuando  =t 2 -t 1 </li></ul></ul></ul><ul><li>Por tanto la PSD puede encontrarse asi: </li></ul>
    30. 30. Aplicación de la PSD <ul><li>Para hallar la potencia promedio de una señal aleatoria. </li></ul><ul><li>PSD medida en (W/Hz). </li></ul><ul><li>Potencia se define: </li></ul><ul><li>Si el proceso es ergodico entonces el promedio del tiempo es igual a los promedios conjuntos: </li></ul>
    31. 31. Aplicaciones <ul><li>DC: Voltímetro, Amperímetro miden valores promedios E[X(t)] </li></ul><ul><li>AC: RMS Voltímetro, mide: </li></ul><ul><li>Potencia promedio normalizada RF, mide un medidor de potencia (power meter o Analizador de Espectro) </li></ul>No olvidarse que la Señal aleatoria es medida en Voltios y para obtener varianza Hay que multiplicar la potencia medida por el valor de carga (50  para RF)
    32. 32. Procesos Ruido Blanco <ul><li>Se usa para denotar procesos en que todas las componentes espectrales aparecen con igual potencia  ”luz blanca”. </li></ul>
    33. 33. Señales Aleatorias y Sistemas Lineales <ul><li>El análisis es similar a lo visto en Sistemas Lineales, el objetivo es que deseamos conocer lo siguiente: </li></ul><ul><ul><li>Media de la señal de salida </li></ul></ul><ul><ul><li>Autocorrelación de la salida </li></ul></ul><ul><ul><li>Varianza o Potencia de salida </li></ul></ul><ul><ul><li>Correlación cruzada entre la entrada y salida. </li></ul></ul>Sistema lineal X(t) Y(t) m x R x (  ) S x (f) m y R y (  ) S y (f)
    34. 34. Señales Aleatorias y Sistemas Lineales <ul><li>Media de señal de salida </li></ul><ul><li>Autocorrelación de salida </li></ul><ul><li>DEP </li></ul>A partir de aqui usando la transformada inversa de Fourier podemos obtener R y (  )
    35. 35. Ruido a través de un filtro paso bajo <ul><li>Características: </li></ul><ul><li>El ruido blanco pasa a través de un filtro paso bajo (ancho de banda B). </li></ul><ul><li>La DEP resultante esta limitada en banda. </li></ul><ul><li>Para obtener la auto correlación, aplicamos TF inversa. </li></ul>
    36. 36. El proceso aleatorio Gaussiano <ul><li>X(t) es una señal aleatoria gaussiana si las variables aleatorias x 1 =x(t 1 ), x 2 =x(t 2 ),…x N =x(t N ), tienen una distribucion normal N-dimensional conjunta. </li></ul><ul><li>Usando matrices: </li></ul>pdf covarianza promedio
    37. 37. Proceso Gaussiano <ul><li>Covarianza </li></ul><ul><li>Si el proceso es WSS: </li></ul><ul><li>Si los N elementos no están correlacionados, la matriz covarianza se reduce a: </li></ul>  = R x (0)-m 2

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