1) El documento presenta ejemplos de diferentes distribuciones de probabilidad como Bernoulli, binomial, Poisson, normal y gamma. Incluye ejemplos numéricos para calcular probabilidades usando cada distribución. 2) Se explican conceptos básicos de cada distribución como la probabilidad de éxito, el número de ensayos, la media y desviación estándar. 3) Los ejemplos cubren temas como lanzar monedas, dados, tiros al blanco, solicitudes de préstamo y tiempos de viaje, entre otros. Se calculan probabilidades para

1. Universidad Tecnológica de Torreón
Ejemplos de
Distribución de Probabilidad:
Bernoulli
Binomial
Poisson
Normal
Gamma
T de student
Adriana ACOSTA López

2. bernoulli
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es
la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así
poder darles un premio, pero la maestra los seleccionará con
los ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el
alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =
0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =
0.9375

3. 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al
momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay
para que pueda salir premiado el boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =
1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero
342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =
341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga
cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el
éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q)
que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en
un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0
(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que
cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.

4. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
DISTRIBUCION BINOMIAL
Ejemplo 1:
Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la
probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este
caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería
P(X=20):
Ejemplo 2:
La última novela de un autor ha tenido un gran
éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores
ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son
aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo
hayan leido la novela 2 personas?
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

5. 2.¿Y cómo máximo 2?
Ejemplo 3:
Un agente de seguros vende pólizas a cinco
personas de la misma edad y que disfrutan de
buena salud. Según las tablas actuales, la
probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la
probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.

6. Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces.
Calcular la probabilidad de que salgan más caras
que cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
Ejemplo 5:
La probabilidad de que un hombre acierte en el
blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la
probabilidad de que acierte exactamente en tres
ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte
por lo menos en una ocasión?

7. B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
POISSON
Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de
contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si
tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes
n= 100
P=0.03
=100*0.03=3
x=5
Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85
televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.
n=85
P=0.02
P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
X=4
=1.7

8. Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso
n=20
P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418
X=3
=3
Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan
algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular
probabilidad de que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793
=3.2
X=5
Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto
de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular
Probabilidad que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
=10

9. Normal
1.- Una población normal tiene una media
de 80 una desviación estándar de 14.0
µ = 80
σ = 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90
Probabilidad μ
acumulada.
z = 0.7611
z = 0.3594
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
z 0.3594
p(x ≤ 75) = 0.3594
75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor
localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.2389
z = 0.0367
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 55 70
μ
80

10. 2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una
solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
70000 80000
μ
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915
–
z = 0.4013
65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
acumulada.
0.4013

11. –
z =
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
65000 70000
μ
3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de
250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de
24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva
York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la
distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una
distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5
minutos.
µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x ≤ 30)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.1335
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.3300
–
z = 0.1335
30 35 38.3
μ

12. p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
acumulada. –
z 0.5910
µ = 1,200
σ = 225
0.1335 =
Probabilidad
acumulada.
z
–
z 5% = .0500
=
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 =
0.4575 = 45.75%
4.- Las ventas mensuales de
silenciadores en el área de Richmond,
Virginia, tiene una distribución
normal, con una media de $1,200 y
una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer
niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de
que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de
inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
– 5% ó 0.0500
z 1.65
X=
x = 1,571.25 1,571.25

13. 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de
los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y
que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de
universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?
– 95% ó 0.9500
z 1.64
x = 27,462. X=
27,462
75
µ = 20,082 z
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =

14. Distribución gamma
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la
ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable
que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una
distribución gamma con parámetros a= n lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de
elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta
razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de
espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del
segundo paciente”).
Ejercicio 1
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de
una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del
segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente
es 0,98.
Ejercicio 2

15. Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una
cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros
a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

16. Ejercicio

17. DISTRIBUCION t student
Un fabricante de focos afirma que su producto durará
un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos
cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta
afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24

18. t = 2.22
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
El profesor Pérez olvida poner su despertador 3
de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador
acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los
que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?
Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos realizando.
Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en base a los
siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación
traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en
el enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .

19. (b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que
calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la
formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sin
embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir como:
P(T¯) = + =0.69
La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen
media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño
n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del
99.02%

20. Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los
siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en el
punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,
llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila la
llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van
desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente
consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75

21. Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero buscando
en la fila 30 de la tabla. Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840