Autolazo mason

Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Función Transferencia
1 de 27 (Versión Abr-2011)
FUNCIONES DE REDES: FUNCION TRANSFERENCIA
Cuando se aplica a una red, una única fuente y sólo interesa las variables en una rama (y
no los valores en todas ellas), es conveniente hacer uso de la “función transferencia”.
Supondremos la “red” pasiva y además lineal, caso muy importante en la práctica. Si hay
más de una fuente, se puede aplicar superposición para hallar las variables en la rama de
interés.
La excitación es el aporte energético de la fuente y la respuesta es la variable de interés
en la rama de “salida”. Señal es la manifestación de ellas (por ejemplo: u o i).
1. Tipos de Señales
1.1. Función Constante
cteYy c ==
Figura N°1
1.1.1. Función Escalón unitario (Escalón de Heaviside)
y = h(t)





≥
<
=
0tsi1
0tsi0
)( th
Figura N°2
Ejemplos: Factor matemático, conexión de CC, golpe de ariete.

1.1.2. Función Escalón Unitario Retardado
y = h (t-t0)





≥
<
=−
0
0
0
ttsi1
ttsi0
)( tth
Relaciones: )()( 0 thtth ′=−
Figura N°3
Ejemplos: Factor matemático, conexión de CC.
1.1.3. Función Escalón no unitario
)(. thky =
Figura N°4
1.2. Función Pulso
( ) ( )[ ]TtthtthYy C −−−−= 00
Ejemplo: Impacto

Figura N°5
Area: A=Yc.T. Si A=1, se tendrá un pulso de área unitaria:
Figura N°6
1.3. Función Exponencial
t
0
α
eyy =
Ejemplos: 0<α : descarga de capacitor, liberación de presión de vapor.
Figura N°7
En a se suele explicitar el signo (-)
1.4. Función Armónica amortiguada
0con)cos( <+= αβα
wteyy t
n

Figura N°8
Ejemplos: 0<α : circuito RLC, 0=α : CA, vibración de máquina.
Fasor
R
J
Yn
t=0
Figura N°9
1.5. Función Rampa
)(.)(..1 tkthtkyy ρ===
Ejemplos: Prueba de tracción.
Figura N°10
1.6. Función Parábola
)(..2 2
2 thtkyy ==

Figura N°11
Relaciones:
dt
dy
y 1
0 = ∫∞−
==
t
dty
dt
dy
y .0
2
1 (con y0 :constante y1: rampa e y2: parábola)
1.7. Función Delta de Dirac
La función pulso con área unitaria y T 0
y se define como )(tδ



→∆
≠
=
0si/1
0si0
)(
tt
t
tδ
Figura N°12

Figura N°13
Relaciones:
dt
tdh
t
)(
)( =δ
∫ ∫∫ − −
→→
∞
∞−
=
∆
=
∆
=
ε
ε
ε
ε
εε
δ dt
t
dt
t
dtt
1
lím.
1
lím).(
00
)(1))(.(
.2
1
lím
0
th==−−=
→
εε
εε
1.8. Función Impulso (no unitario)
IArea =
)(. tIy δ=
1.9. Impulso Desplazado
∫
∞− 


≥
<
=−
t
ttsik
ttsi
dtttk
0
0
0
0
).(δ
kδ(t-t0)
t0
Figura N°14
La respuesta a la función escalón y al impulso se denominan:
Excitación Respuesta
Escalón indicial
Impulso Impulsiva

1.10. Función Exponencial Generalizada
aamortiguadarmónicacon ⇒±±=
=
jws
theYy st
α
)(..0
puede existir la parte real sola, la parte imaginaria sola o ambas a la vez.
Ejemplos: Engloba todas las señales precedentes (menos la rampa y las poliarmónicas).
).(
2
1
cos
lexponencia
000
tjtj
eYeYtYjs
s
cteos
ωω
ωω
α
−
+=→±=
→±=
→=
Por ejemplo, la exponencial unitaria (ver Figura 15):
t
t
t
eee −
−
−
== τα
τ 2τ 3τ 4τ 5τ
Figura N°15
se ve que no tiene sentido estudiar el transitorio para t≥5τ.
Sea la siguiente expresión general:
)(.)( thYety st
=
que incluye varios casos según la ubicación de s en el plano complejo. En las siguientes
Figuras se muestra la forma de la respuesta en función de la ubicación de s:
ω
σ
Figura N°16

)(.)(0 thYtys =→= :
σ
ω
Figura N°17
)(..)( theYtys tα
α =→= :
ω
σα
Figura N°18
si α2>α1, la respuesta crece más rápido:
ω
σα
Figura N°19
)(..)( theYtys tα
α −
=→−= :

ω
σ−α
Figura N°20
si α2>α1, para s=-α2 (mayor velocidad de caída):
−α σ
ω
Figura N°21
)(.sen)( thtYtyjs ωω =⇒±= :
ω
σ
ω
ω
Figura N°22
12 ωω jjs >±= (mayor frecuencia):
ω
σ
ω
ω

Figura N°23
)(.sen)( 1
1 thtYetyjs t
ωωα α
=⇒±= :
ω
σ
ω
ω
-15
-10
-5
0
5
10
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
101
105
109
113
117
t
y(t)
Figura N°24
1221 ωωωα >±= conjs , igual al anterior, pero con mayor “frecuencia”.
)(.sen)( thtYetyjs t
ωωα α−
=⇒±−= :
ω
σ
ω
ω

-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
101
105
109
113
117
t
y(t)
Figura N°25

2. Función Transferencia o Transmitancia
Es la expresión que relaciona respuesta con excitación y será, en general, función del
operador p (=d/dt):
)(
)(
)(
te
tr
pT = [ ]1
Ejemplo: dado:
e(t) L
R
r(t)
T(p) r(t)e(t)
Figura N°26
Es
pLR
pL
ipLR
piL
te
u
pT L
.
.
)()(
)(
+
=
⋅+
⋅
==
r(t) es la variable dependiente (desconocida) y e(t) la independiente (conocida).
Se suelen expresar mediante los polinomios N(p) y D(p)
)(
)(
...
...
)(
)(
)(
01
01
te
tr
apapa
bpbpb
pD
pN
pT n
n
m
m
=
+⋅++⋅
+⋅++⋅
== [ ]2 que, operando nos queda:
a
d r
dt
a
dr
dt
a r b
d e
dt
b
de
dt
b e f tn
n
n m
m
m⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ =... ... ( )1 0 1 0 [ ]3
Con f(t) conocida, llamada función de excitación.
La [3] es una ecuación diferencial ordinaria (las incógnitas dependen de una sola variable
independiente t) de orden n con coeficientes constantes (elementos lineales), cuya
solución está formada por las componentes forzada y natural: r (t) = rf +rn (por el principio
de superposición), y que se corresponden, respectivamente, con las soluciones:
• Particular de la ecuación completa o con el 2° miembro no nulo, y
• General de la ecuación homogénea o con el 2° miembro nulo.
2.1. Ecuación característica
La expresión [3] puede escribirse:

( ... ) ( ) ( )a p a p a r t f tn
n
⋅ + + ⋅ + ⋅ =1 0
pues el operador p (=d/dt) tiene propiedades algebraicas. Cuando f(t)=0 (ecuación
homogénea) deberá ser:
a p a p an
n
⋅ + + ⋅ + =... 1 0 0 [ ]´3 ecuación característica
para no tener una solución trivial (r = 0). Esta ecuación corresponde al denominador de
T(p) igualado a cero (D(p)=0), y tiene gran importancia en el comportamiento transitorio
del circuito, como se verá más adelante.
Para hallar r(t) a partir de la expresión [3], no obstante, es imprescindible conocer T(p).
Este capítulo está dedicado a estudiar su determinación.
El grado n de la [3’] es igual al n° de variables de estado (VE) presentes en el circuito.
3. Métodos para hallar T(p)
Analítico : aplicando Ohm y Kirchoff. En general muy engorroso.
Gráficos:
Bloques: Reducción.
Diagramas de fluencia o lineales o Grafos de señales
3.1. Bloques: Definiciones básicas:
3.1.1. Bloques
x
T y=x.T
x
T1 y=x.T1.T2T2
z
Figura N°27
3.1.2. Sumador
x
y
+/-
X=x+/-y
Figura N°28
3.1.3. Derivador:
x
y=x
Figura N°29

3.1.4. Sistema realimentado
H
G
-
x
y
Figura N°30
HG
G
xy
xGHGy
xGyHGy
yHxGy
.1
.
.).1.(
...
).(
+
=⇒










=+
=+
−=
3.1.5. Ejemplo 1
Dado el circuito de la Figura, hallar
1
2
)(
u
u
pT =
Figura N°31








=
=
−=
=
−=
pCui
iii
Riuu
upCi
Riuu
a
a
aa
a
..
-
.
..
.
222
12
222
1
111
u1 ua
u2
R2
C1p
R1
ia
i2
i1
--
C2p
Figura N°32
Parece complicado de resolver.
Otra forma de indicar este circuito, de forma más sencilla, sería:














⋅
=
−
=
⋅
−
=
−
=
pC
i
u
R
uu
i
pC
ii
u
R
uu
i
a
a
a
2
2
2
2
2
2
1
21
1
1
1
u1
1/R1 1/C1p 1/R2 1/C2p
i1 ua i2 u2
- --
Figura N°33
Para esta última configuración se inicia el proceso de reducción para lo cual primero se
trasladan el sumador y el derivador indicados:
Para el sumador
T
x
z
y
-
zTxy −= .
Figura N°34
z
1/T
-
T y
x
).
1
.( z
T
xTy −=
Figura N°35
Para el derivador:

T
x
z
y x
z
T
y
1/T
xTy
xz
..=
=
y
T
z .
1
=
Figuras N°36 y 37
y resulta:
1/R1
R1 C2p
1/R2 1/C2p
u1
- - -
u2
(a) (b)
1/C1p
Figura N°38
-
u1
1/(1+R1C1p)
R1C2p
1/(1+R2C2p)
u2
Figura N°39
∴ =
+ ⋅ ⋅
⋅
+ ⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
T(p
R C p R C p
R C p
R C p R C p
)
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1
1
1 1
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
igual a la que luego se obtendrá mediante grafo de señal.
3.2. Grafos de Señal
3.2.1. Definiciones Básicas
T
x y=x.T
x
y x+y
u=x+y
v=x+y
Figura N°40

Figura N°41
Figura N°42
Figura N°43
3.2.2. Ejemplo
Figura N°44
Lpiu
iLpRu
L =
+= ).(
Figura N°45
3.2.3. Realimentaciones
Figura N°46

)( zdxabbyz +==
Figura N°47
para reducir y eliminar “y”, por ejemplo, se hace (de la Figura N°46):
ω
Figura N°48
para reducir un autolazo L, en general:
Figura N°49
se aisla el autolazo de las transmitancias:
Figura N°50
Lywy += 1.
se reemplaza lo que hay entre w e y:
L
wy
−
=
1
1

Figura N°51
en el problema anterior:
Figura N°52
3.2.4. Fórmula de Mason
...)1()1()1(1 321
+⋅⋅−+⋅−+−+=∆
∆
∆⋅
= ∑∑ ∑
∑
kjijii
KK
LLLLLLdonde
T
T
Donde Li son los lazos individuales; Li Lj los lazos que no tienen nodos comunes tomados
de a dos; ; Li Lj Lk idem, de a tres.
La transmitancia directa Tk es cualquier camino directo entre la entrada y la salida,
respetando las direcciones, pasando solo una vez por cada nodo.
∆K =∆ del subgrafo que queda al retirarse la “transmitancia directa” TK
3.2.5. Resolución del Ejemplo 1 mediante ambos métodos
Para las mismas ecuaciones del Ejemplo 1:








⋅=
−=
⋅−=
⋅⋅=
⋅−=
222
12
222
1
111
.. upCi
iii
Riuu
upCi
Riuu
a
a
aa
a
Resolveremos por dos métodos, aplicables a los grafos de señal.
u1
1
1
11
c2p-R2
c1p-R1
i1 ia
u2
i2
ua
Figura N°53

3.2.5.1. Resolución por el método de reducción:
Se pasa de i1 a ua
u1
11
C2p-R2
-C1R1p
u2
i2
ua
-R1
Figura N°54
Se aplica
x3
T2
T1
T3
=
T2T3
T1T3
x3
x2
x1
x2
x1
Figura N°55
Se pasa de i2 a u2
11
-C2R2p
-C1R1p
u2
ua
-R1C2p
Figura N°56
Se aplica
1
2
T2
T1
T3
=
T1T3
T1T2
1
3
2
3
Figura N°57
Como se observa, a los nodos involucrados sigue llegando la misma información.
Por lo tanto queda:
u1
-C2R2p-C1R1p
-R1C2p
ua1 1 ua 1 1u2 1 u2 u2
Figura N°58
Para reducir los autolazos L:
1
L
u ux 1 1/1-L xx
L
u x
+
Figura N°59
-Lu
x
-Lu
x
ux.Lx
1
1
1
1
=≡=≡+=
Al final nos queda:

u1
1 1/(1+C2R2p)1/(1+C1R1p)ua
-R1C2p
u2
a b
-
G
H
u1
ua
u2
Figura N°60
.
..
..
2211
2



⋅−=
=
upCRuu
ubau
a
a
ua1
u1
-R1C2p
H
G
a b u2u2
Figura N°61
de aquí:
GH
G
T
−
=
1
)1()1(
1
1
1
1
1
2211
21
2211
pCRpCR
pCR
pCRpCR
T
⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅
+
⋅⋅+
⋅
⋅⋅+
=∴
(igual al resultado obtenido por bloques)
1)(
1
)1()1(
1
2122112121
2
212211
+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+
=
CRCRCRpCCRRp
pCRpCRpCR
El grado de la ecuación característica es 2 (hay dos variables de estado).
3.2.5.2. Resolución por el método de Mason
Figura N°62














⋅
=
−
=
⋅
−
=
−
=
pC
i
u
R
uu
i
pC
ii
u
R
uu
i
a
a
a
2
2
2
2
2
2
1
21
1
1
1
u1
1/C1p1/R1 i2i1 u2ua 1/C2p1/R2 1 u2
-1/R1 -1/C1p -1/R2
L1 L2 L3
Figura N°63
...)1()1()1(1 321
+⋅⋅−+⋅−+−−=∆
∆
∆⋅
= ∑∑ ∑
∑
kjijii
KK
LLLLLLdonde
T
T
Para este ejemplo es:







=∆
⋅
⋅⋅
⋅
⋅=
⋅+++−=∆
1
1111
)()(1
1
2211
1
31321
pCRpCR
T
LLLLL
pCR
L
⋅⋅
−=
11
1
1
pCR
L
⋅⋅
−=
12
2
1
pCR
L
⋅⋅
−=
22
3
1






⋅⋅
−⋅





⋅⋅
−+





⋅⋅
−
⋅⋅
−
⋅⋅
−−=∆
pCRpCRpCRpCRpCR 2211221211
11111
1
( )( )( )( )
=
++++
=∴
2
2121221211
2211
....
1
..
1
..
1
..
1
1
1../1./1../1./1
pCCRRpCRpCRpCR
pCRpCR
T
1).(.
1
212211
2
2121 +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅
=
pCRCRCRpCCRR
Con el esquema de la Figura 53 previa transformación, quedaría:

u1
1
11
C2p-R2
C1p-R1
u2ua 1 1 1
L1
L2
L3
Figura N°64
anteriorlaaigual:
)..).(..(
)......(1
1
1.1.1.1.1
3
22
1
11
3
22
2
21
1
11
1
1
T
pCRpCR
pCRpCRpCR
T
LL
LLL
∴
−−+
−−−−=∆
=∆
=
4342143421
434214342143421
3.2.6. Ejemplo 2
Sistema doblemente excitado. Motor de C.C.
4444 84444 76 ROTOR
Figura N°65
Determinar la velocidad Ω resultante cuando se aplican (o varían) u y Tu












⋅=
⋅⋅=
++=
+⋅⋅+=
→=
Ω
=



⋅⋅=
⋅⋅=
BT
pJT
T)T(TT
eip)L(Ru
i
Te
K
iKT
Ke
B
J
UBJe
e
e
66Fig.verφ
φ
φ
[1]

e
i
k :1
T
Figura N°66
Figura N°67
(todo correspondiendo al rotor)
u
-
1/(B+Jp)1/(R+Lp) k
k
e
i Te
Tu
-
Figura N°68
u
1/(R+Lp)1 Tei 1k 1/(B+Jp)
Tu
-1
k
e
-1
Figura N°69
Aplicando superposición:
⇒=
⋅+⋅⋅+
⋅
+
⋅+
−
=
Ω ′′
=
⋅+⋅⋅+
⋅
+
⋅+⋅⋅+
⋅
=
Ω′
)(
)()(
)(
1
1
;)(
)()(
)(
1
)()(
2212
pT
pLRpJB
K
pJB
T
pT
pJBpLR
K
pJBpLR
K
u U φφ
φ

1-Tu 1/(B+Jp)
-(K )²/(R+Lp)
-Tu
1/(B+Jp)
-(K )²/(B+Jp).(R+Lp)
=
Figura N°70
Combinando: Ω Ω Ω= ′ + ′′ = ⋅ + ⋅T p u T p Tu1 2( ) ( )
Reemplazando se tiene:
[ ]uTLpRuk
kLpRJpB
⋅+−
+++
=Ω )().(
)()).((
1
2
φ
φ
Si trabajamos con variables de estado, las ecuaciones [1] se podrían haber combinado
así:



=+Ω⋅⋅+=
Ω⋅⋅+⋅⋅+=
iktTpJBT
KipLRtu
ue φ
φ
)()(
)()(
en variables de estado ( i, Ω )
o sea: 





⋅










−
+





Ω
⋅










−
⋅
⋅
−−
=





Ω⋅
⋅
)(
)(
1
0
0
1
tT
tu
J
Li
J
B
J
K
L
K
L
R
p
ip
u
φ
φ
expresión de la forma: p x A x B u t[ ] [ ] [ ( )]= ⋅ + ⋅
donde aparecen las constantes de tiempo:




=
=
.)10:(:
.)1.0:(:
segejemplopor
B
JMecánica
segejemplopor
R
LEléctrica
u
e
τ
τ
Si u = Uc = cte. (CC) y el régimen es permanente (Tu = Tuc ), desaparece “p”
222
)()(
1
1
)(
1
φ
φ
φφ
φ
⋅+⋅
⋅−⋅⋅
=⋅
⋅
⋅
+
−⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=Ω
KRB
RTUK
T
BR
K
BU
BR
K
BR
K
C
C
Uc
UCC
Tuc
c
U
c1
U
c2
Figura N°71

Si u = 0 (frenado dinámico) queda:
1/(B+Jp)
(K )²/(R+Lp)
Tu
-
-
Figura N°72
o, como diagrama de flujo:
Tu
1/(B+Jp)-1
(K )²/(R+Lp)
Figura N°73
∴ =
− + ⋅
+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
Ω
T
R L p
R L p B J p KU
( )
( ) ( ) ( )φ 2
y en régimen permanente (p=0):
2
)( φ⋅−⋅
−
=
Ω
KBR
R
Tu
Si se desea hallar i sólo por influencia de Tu (con u = 0):
kφ
-K /(B+Jp)(R+Lp)
Tu
i
-
-
Figura N°74

4. Índice
FUNCIONES DE REDES: FUNCION TRANSFERENCIA ........................................................................................1
1. TIPOS DE SEÑALES .............................................................................................................................................1
1.1. FUNCIÓN CONSTANTE.......................................................................................................................................1
1.1.1. Función Escalón unitario (Escalón de Heaviside)......................................................................................1
1.1.2. Función Escalón Unitario Retardado .........................................................................................................2
1.1.3. Función Escalón no unitario.......................................................................................................................2
1.2. FUNCIÓN PULSO ...............................................................................................................................................2
1.3. FUNCIÓN EXPONENCIAL ...................................................................................................................................3
1.4. FUNCIÓN ARMÓNICA AMORTIGUADA ...............................................................................................................3
1.5. FUNCIÓN RAMPA ..............................................................................................................................................4
1.6. FUNCIÓN PARÁBOLA ........................................................................................................................................4
1.7. FUNCIÓN DELTA DE DIRAC...............................................................................................................................5
1.8. FUNCIÓN IMPULSO (NO UNITARIO)....................................................................................................................6
1.9. IMPULSO DESPLAZADO.....................................................................................................................................6
1.10. FUNCIÓN EXPONENCIAL GENERALIZADA .........................................................................................................7
2. FUNCIÓN TRANSFERENCIA O TRANSMITANCIA....................................................................................12
2.1. ECUACIÓN CARACTERÍSTICA ..........................................................................................................................12
3. MÉTODOS PARA HALLAR T(P).....................................................................................................................13
3.1. BLOQUES: DEFINICIONES BÁSICAS:.................................................................................................................13
3.1.1. Bloques......................................................................................................................................................13
3.1.2. Sumador ....................................................................................................................................................13
3.1.3. Derivador:.................................................................................................................................................13
3.1.4. Sistema realimentado................................................................................................................................14
3.1.5. Ejemplo 1 ..................................................................................................................................................14
3.2. GRAFOS DE SEÑAL..........................................................................................................................................16
3.2.1. Definiciones Básicas .................................................................................................................................16
3.2.2. Ejemplo .....................................................................................................................................................17
3.2.3. Realimentaciones ......................................................................................................................................17
3.2.4. Fórmula de Mason ....................................................................................................................................19
3.2.5. Resolución del Ejemplo 1 mediante ambos métodos.................................................................................19
3.2.6. Ejemplo 2 ..................................................................................................................................................23
4. ÍNDICE...................................................................................................................................................................27

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