Distribuciones Log Normal, Pareto y Gamma

Objetivos
La distribución Log Normal
Distribución Pareto
Distribución Gamma

Distribución Log Normal, Pareto y Gamma

Pedro Sandoval
Jeison Lombana
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

.

Objetivos
La distribución Log Normal Objetivo General
Distribución Pareto Objetivos Especicos
Distribución Gamma

Objetivo General

Exponer la teoría y los conceptos que se involucran en la
distribución Log Normal, Pareto y gamma

.

Objetivos
La distribución Log Normal Objetivo General
Distribución Pareto Objetivos Especicos
Distribución Gamma

Objetivos Especicos.

Analizar los diversos teoremas relacionados de la distribución
Log Normal

Dar explicación a las caracteristícas fundamentales de la
distribución Pareto y sus diversas condiciones

Comprender la distribución Gamma y sus posibles aplicaciones

.

Objetivos
Distribución Gamma

Introducción

La distribución logarítmica normal que comúnmente se utiliza para
modelar la vida de las unidades cuyos modos de falla son de una
naturaleza a la fatiga del estrés. Dado que se incluyen la mayoría, si
no todos, los sistemas mecánicos, la distribución logarítmica normal
puede tener aplicación generalizada.

Una variable aleatoria que se distribuye lognormal si el logaritmo de
la variable aleatoria tiene una distribución normal. Debido a esto,
hay muchas similitudes matemáticas entre las dos distribuciones.
Por ejemplo, el razonamiento matemático para la construcción de
la probabilidad trazando escalas y el sesgo de los estimadores de
parámetros es muy similar para estas dos distribuciones.

.

Objetivos
Distribución Gamma

Propiedades
la función de distribución viene dada por :

− (ln(x )−M )
2
1
P (X ) = √ e 2S 2
S 2π x
Esta distribución se puede normalizar si se toma la siguiente
sustitución y = ln(x ) obtenemos dy = dx y x = e y así:
x

− (y −M )
2
∞ 1 ∞
P (X )dx = √ e 2S2 dy =1
0 S 2π −∞

Para hallar la esperanza y la varianza vamos a recurrir a la primera
y segunda derivada de la función generadora de momentos evaluada
en el primer y segundo momento respectivamente
.

Objetivos
Distribución Gamma

y M )2
( −
µ1 = e − 2S 2

y M )2
µ2 = e − 2S 2 (e S − 1)
( − 2

Con lo cual tenemos que :

M +s 2
2
E (X ) = e

S 22 M
(e S − 1 )
+ 2
V (X ) = e

.

Objetivos
Distribución Gamma

Propiedades

La distribución de densidad de probabilidad y función de
probabilidad vienen dadas por:
a−b a
P (X ) =
x +1a

b
a
P (X ) = 1 −
x

con x ≥b

.

Objetivos
Distribución Gamma

Ahora análogo al anterior hallaremos la esperanza y la varianza con
la derivadas de la función generadora
ab
µ1 =
a−1

ab 2
µ2 =
(a − 1)2 (a − 2)

.

Objetivos
Distribución Gamma

En general los momentos vienen dados por la siguiente

µn = abn Γ(a − n)2 F1 (a − n, −n; 1 + a − n;
a
)
a−1

= (1 − a)a−n (−a)n−a abn B (
a
, a − n, n + 1)
a−1

Para a n donde Γ(z ) es función Gamma F1 (a, b, c , z ) es una
función hipergeométrica regularizada y B (z , a, b) función Beta

.

Objetivos
Distribución Gamma

Observamos que la existencia de los dos primeros momentos
depende del valor del parámetro a Es por ello que a menudo
conviene estimar su valor a partir de datos para tener una mayor
información de la variable, con esta tenemos estimación por
momentos y por máxima verosimilítud.

.

Objetivos
Distribución Gamma

momentos

Estimación por momentos

Partiendo de una muestra aleatoria simple (m.a.s) de la distribución
{x1 .........xn }igualamos el momento de orden uno poblacional,
E (X ) con la correpondiente momento usual x luego:

ak
=x
(a − 1)

xk
= am
(x − 1 )

.

Objetivos
Distribución Gamma

máxima verosimilítud

estimación por máxima verosimilítud Partiendo de una muestra
aleatoria simple (m.a.s) de la distribución {x1 .........xn }construimos
la siguiente función :

n
)n ∏( xi )a+1
a k
L(x , a) = (
k i =1
Tomando logaritmos:

n
lnL(x , a) = n(ln(a) − ln(k )) + ∑ (a + 1)(ln(k ) − ln(xi ))
i =1

.

Objetivos
Distribución Gamma

Derivando respecto a a e igualando a 0 depejamos el estimador
como sigue:

1
ˆMV =
a
¯
ln(x ) − ln(k )

1 n
Donde ¯
ln(x ) = n ∑i =1 ln(xi )

.

Objetivos
Distribución Gamma

Pareto segundo tipo

La distribución de Pareto segundo tipo no es más que la del primer
tipo trasladada al origen, es decir, si Y es una v.a aleatoria con
distribución Pareto (primer tipo) y parámetros k , α se dene
entonces esta nueva distribución como : X = Y − k
Ahora relacionando esta con las funciones de distribución tenemos:

k
F (x ) = P (X ≤ x ) = P (Y − k ≤ x ) = P (Y ≤ x + k ) = 1 − ( )α
x +k

si x ≥0 y F (x ) = 0 en otro caso

.

Objetivos
Distribución Gamma

Pareto tercer tipo

la distribución de Pareto de tercer tipo es una generalización de las
anteriores, en que además de la traslación se produce un cambio en
la estructura de la varianza. Se dene como distribución de Pareto
de tercer tipo como variabla aleatoria X cuya función de
distribución está dada por :

)α e −bx
k
F (x ) = P (X ≤ x) = 1 − (
x +k

si x ≥0 y F (x ) = 0 en otro caso

.

Objetivos
Distribución Gamma

Distribución de Burr

Su función de densidad de probabilidad está dada por:

α−1
αk x
β
f (x ) =
k +1
x
α
β 1+ β

función cumulativa

x
α −k
F (x ) = 1 − 1+
β

.

Objetivos
Distribución Gamma

Ahora si denimos una forma analítica de la función de cuantía
tenemos que:
1 1
q (u ) = ( u
−k
− 1) c
Donde q (u ) es una función monótona creciente con parámetros c y
k ; la derivada es:

q (u ) = ( u− k −1 )(u− k −1) c −1/(ck )
1 1 1

El propósito de esta nueva forma es para llegar a la demostración
de la esperanza de esta distribución

.

Objetivos
Distribución Gamma

Ahora con la anterior información podemos armar que para hallar
la esperanza está dada por:
1 1
E [q (u )
r] = r
q (u ) du =
1 1
(u − k − 1) c du
0 0

=Γ[ c +r ]Γ][ k −r ]/Γ[ ]
c c k

.

Objetivos
Distribución Gamma

Denición

consideremos inicialmente un proceso de Poisson que se extiende al
enésimo momento se tendria entonces lo siguiente:

D (x ) = P (X ≤ x ) = 1 − P (X x )

h−1 (λ x )k e −λ x h−1 (λ x )k
1− ∑ = 1 − e −λ x ∑
k =0 k! k =0 k!

Γ(h, x , λ )
1−
Γ(h)
La cual es la distribución Gamma incompleta o Erlang

.

Objetivos
Distribución Gamma

Para considerar la distribución completa procedemos a derivar
nuestra condición inicial como sigue:

P (x ) = D (x )

h−1 (λ x )k h−1 k (λ x )k −1 λ
= λ e −λ x ∑ − e −λ x ∑
k =0 k! k =0 k!

h−1 (λ x )k h−1 k (λ x )k −1 λ
= λ e −λ x + λ e −λ x ∑ − e −λ x ∑
k =1 k! k =1 k!

.

Objetivos
Distribución Gamma

h−1 k
k (λ x ) −1 (λ x )k
= λ e −λ x − λ e −λ x ∑ −
k =1 k! k!

h−1 k
k (λ x ) −1 (λ x )k
= λ e −λ x 1 − ∑ −
k =1 (k − 1)! k!

(λ x )h−1
= λ e −λ x 1 − 1 −
(h − 1)!

λ (λ x )h−1 −λ x
e
(h − 1)!
1
si α = h y θ = λ la anterior se puede reeescribir como:

.

Objetivos
Distribución Gamma

x
x α−1 e
−
θ
P (x ) =
Γ(α)θ α
x
Que es la función de probabilidad Gamma con parámetros (α, θ )

La función generadora de momentos está dada por:

∞e tx x α−1 e −θx dx
M (t ) =
0 Γ(α)θ α

∞ x α−1 e
tx
−(1−θ )
θ dx
=
0 Γ(α)θ α

.

Objetivos
Distribución Gamma

Ahora sean y = tx
(1−θ )
dy = 1−θ t dx
θ θ

Asi

∞ θy α−1
e−y θ dy
M (t ) =
0 1−θt Γ(α)θ α 1 − θ t

=
1 ∞
y
α−1 −
e
y dy
(1 − θ t )α Γ(α) 0

.

Objetivos
Distribución Gamma

1
=
(1 − θ t )α

Expresando como logaritmos las derivadas de la función generadora
vienen dadas por:

R (t ) = −α ln(1 − θ t )

αθ
R (t ) =
1−θt

αθ 2
R (t ) =
(1 − θ t )2
.

Objetivos
Distribución Gamma

Finalmente la esperanza y la varianza estan dadas por:

E (X ) = αθ

2
V (X ) = αθ

.

Objetivos
Distribución Gamma

Distribución Exponencial

La distribución exponencial se puede introducir como el caso
particular de la distribución cuando el parámetro r = 1, en este
caso:
Denición
Se dice que la v.a X sigue una distribución exponencial de parámetro
a 0, y se denota por (a), si su función de densidad viene dada por

f (x ) = ae
ax x ≥ 0
−

y f (x ) = 0 en otro caso.

.

Objetivos
Distribución Gamma

Propiedades.
Media

1
E (X ) =
a

Varianza
1
V (X ) =
a2

Funcion generatriz de momentos
u −1
δX (u ) = 1 −
a

Función Caracteristica
.
−1
iu

Objetivos
Distribución Gamma

Proposicion
La suma de v.a. independientes con distribución γ del mismo
parámetro a, es una v.a. con distribución γ del mismo parámetro a
y donde su parámetro r se obtiene como suma de dichos
parámetros en las distribuciones que hemos sumado.

.

Objetivos
Distribución Gamma

Distribución Exponencial Desplazada

La distribución exponencial se puede generalizar, trasladándola del
origen. Surge así, la distribución exponencial desplazada.

Sea X una v.a. con distribución exponencial de parámetro a.
X ∈ ε(a). Consideremos la v.a. transformación lineal de

X, Y = X + k , k 0.

La función de densidad de Y , vendrá dada por:

f X (y − k ) = ae −a(y −k ) si y ≥k
fY (y ) = 0 e .o .c

.

Bibliografía

Denición
Se dice que la v.a X sigue una distribución exponencial desplazada
de parámetros a 0, k 0y se denota por ε(a, k ), si su función de
densidad viene dada por

ax k
ae − ( − ) si x ≥k 0
f (x ) =
0 e .o .c

1
E (X ) = a +k
1
V (X ) = a2
Función Caracteristica
−1
ψX (iu ) = e iuk 1 −
iu
a

.

Bibliografía

Bibliografía

http://www.m-hikari.com/ams/ams-2010/ams-45-48-
2010/headrickAMS45-48-2010.pdf
http://pouyanne.perso.math.cnrs.fr/barcelona.pdf
[López Cachero, 1996] López Cachero, M. (1996). Estadística
para actuarios. Fundación Mapfre Estudios, Madrid.

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