1. Presentación para la clase MATE 5700
Dr. Balbino García Bernal
Por:
Hiram Negrón
Ricardo Negrón
Rosa E. Padilla
22 de diciembre de 2011

2. IID: Independientes idénticamente distribuidas
v.a. : Variable aleatoria
: Media aritmética o promedio
Pr: Probabilidad
X

3. Sea {Xi; i ≥ 1} una secuencia de v.a. IID, y sea
Sn = X1 + X2 + … + Xn.
El proceso estocástico a tiempo entero {Sn; n ≥ 1} es
llamado paseo aleatorio.
También es llamado paseo o camino unidimensional
aleatorio, basado en {Xi, i ≥ 1}
Para cada n dado, Sn es simplemente la suma de las v.a.
IID.

4. Su comportamiento es el proceso del paseo aleatorio
{Sn; n ≥ 1}.
Dado un número real α > 0, queremos encontrar la
probabilidad de una secuencia {Sn; n ≥ 1} que contiene
los términos para los cuales Sn ≥ α.

5. Tenemos que tiende a cuando
Si , Sn tiende a desplazarse hacia abajo.
Si , Sn tiende a desplazarse hacia arriba.
n
Sn
XXE ][
n
0X
0X

6. Suponemos X1, X2,… son v.a. IID binarias.
Cada una toma el valor 1 con probabilidad p y
probabilidad q = 1 – p.
Dejamos Sn = X1 + … + Xn las secuencias de las sumas
{Sn; n ≥ 1} sea llamada “paseo aleatorio simple”.
Sn es la diferencia entre las ocurrencias positivas y
negativas en los primeros n intentos.

7. Los paseos simples no son poco más que una variación de la
notación de Bernoulli.
X toma valores de 1 y 0, mientras que para un paseo aleatorio
simple, X también toma valores de 1 y 0.
Para un paseo aleatorio, si Xm = 1 para m fuera de n intentos,
entonces Sn = 2j – n.
  jnj
n pp
jnj
n
njS 


 )1(
)!(!
!
2Pr

8. La probabilidad de que para cualquier entero k > 0 para
la secuencia S1, S2, … es expresada como:
Se refiere a la probabilidad de que el paseo aleatorio
con límite o umbral en k.
Probabilidad Sn para p ≤ ½:









}{Pr
1
n
n kS
k
n
n
p
p
kS 















 1
}{Pr
1


9. Suponemos que tenemos v.a. enteras IID, x1, x2, …
podemos obtener la probabilidad de su límite para k
ocurre, mientras los paseos aleatorios toman
sólo valores enteros, estos se pueden representar
como cadenas de Markov con el conjunto de enteros
formados por el espacio.
}{
1




n
n kS

10. Si X1, X2, … son v.a. IID positivas, entonces {Sn; n ≥ 1}
también es un caso especial de paseos aleatorios como
de secuencias de un proceso de conteo {N(t); t > 0}.
Para el proceso de renovación de conteo N(α) es el n
más grande para el cual Sn ≤ α y N(α) + 1 es el n más
pequeño con el límite en α, estrictamente extendido.

11. En la figura se ilustras las diferencias entre paseos aleatorios
generales y los paseos aleatorios positivos.
a) Ilustra los paseos aleatorios con tamaño de pasos arbitrarios
(positivos y negativos) {Xi; i ≥ 1}.
b) Ilustra paseos aleatorios con sólo pasos positivos.
c) Proceso de conteo correspondiente a los puntos de ejemplo.

12. Tipo de problema utilizado para detectar problemas de
probabilidad en los problemas de paseos aleatorios.
El problema de detección es generalizado a un problema de
detección secuencial basado en el cruce de límites en paseos
aleatorios.
Consideramos un queue G/G/1 con un FCFS (“First come first
serve”)
Asociamos la probabilidad de que un cliente espere más de un
tiempo α dado en un queue con la probabilidad de que algún
camino aleatorio cruce con el umbral en α.

13. Sea {Xi; I ≥ 1} un intervalo de arribo IID de un queue G/G/1, sea
{Yi; i ≥ 0} los tiempos de servicio IID y asumimos que el sistema
está vacío a tiempo = 0 cuando el cliente 0 arriba.
Sea Wn una demora para el enésimo cliente.
Sea para n ≥ 1 y sea
para 1 ≤ i ≤ n.
Entonces:
Para cada α > 0 y n ≥ 1
es la probabilidad de que el paseo aleatorio basado en
{Ui; i ≥ 1} cruce el umbral en α en o antes del enésimo intento.
Finalmente:
Es igual a la probabilidad de que un paseo aleatorio basado en {Ui; i ≥ 1}
nunca cruce el umbral en α.
nnn XYU  1 11 ...   innn
n
i UUUZ
 n
n
nn
n ZZZW ,...,,,0max 21
 nWPr
      nnn WW PrlimPr

14. Consideramos una situación en la cual hacemos
n observaciones ruidosas de los resultados de
una variable discreta aleatoria H.
El invitado en las observaciones, sólo en las
cuales ocurren, son ejemplo de valores de H.
En tecnología de la comunicación, se le llama
“problema de detección”

15. Situación en la cual un símbolo es transmitido
sobre un canal de comunicación y las
observaciones ruidosas son recibidas.
Modelos similares del problema de detección
del clima.
Teoría de control  problemas de decisión
Estadística  prueba de hipótesis, problemas
de inferencia estadística

16. La Regla de Neyman Person viene de los
prominente matemáticos Jezzy Neyman y Egon
Pearson.
Jezzy Neyman Person era de origen polaco
dedicado al estudio de las probalidades.
Egon Pearson era de origen Ingles estudioso de
las Estadísticas.

17. Neyman-Pearson es la teoría de las pruebas de
hipótesis estadísticas, y es responsable de
muchas contribuciones importantes a los
problemas de la inferencia estadística y la
metodología, especialmente en el desarrollo y
la utilización del criterio de la razón de
verosimilitud

18. Ha desempeñado un papel destacado en la
promoción de las aplicaciones de los métodos
estadísticos - por ejemplo, en la industria, y
también durante y después de la guerra, en la
evaluación y ensayos de armas.

19. En las estadísticas, el lema de Neyman-Pearson,
afirma que cuando se realiza una prueba de
hipótesis entre dos hipótesis punto H0: θ = θ0 y
H1: θ = θ1, entonces la prueba de razón de
verosimilitud que rechaza H0 en a favor de H1
cuando

20. Donde es la prueba más
poderosa de α η tamaño de un umbral. Si la
prueba es la más poderosa de todas, que se
dice que es uniformemente más potente de
alternativas en el conjunto.

21. En la práctica, la razón de verosimilitud
se utiliza a menudo directamente a la
construcción de pruebas. Sin embargo,
también puede ser usado para sugerir
concreta de las estadísticas que pudieran
ser de su interés o para sugerir las
pruebas simplificadas.

22. De este se tiene en cuenta la manipulación
algebraica de la relación para ver si hay
estadísticas clave se relaciona con el tamaño de
la relación es decir, si una estadística de gran
corresponde a una relación pequeña o una
grande.

23. Hernan Chernoff- Matemático norteamericano
actualmente es Profesor en Michigan State
University (Mit)
Ph.D., Applied Mathematics, 1948. Brown
University.[
M.S., Applied Mathematics, 1945. Brown
University.
B.S., Mathematics, 1943. City College of New
York.

24. Da los límites de manera exponencial
decreciente en las distribuciones de cola de
sumas de variables aleatorias independientes.
Es mejor que los límites momento la primera o
segunda cola como base la desigualdad de
Markov o la desigualdad de Chebyshev, que sólo
el rendimiento de ley de potencia límites en la
decadencia cola.

25. Se relaciona con las desigualdades
históricamente la más antigua Bernstein, y la
desigualdad de Hoeffding.
Sean X1, ..., Xn variables independientes de
Bernoulli al azar, cada uno con probabilidad
p > ½. Entonces la probabilidad de ocurrencia
simultánea de más de n / 2 de los eventos
{Xk = 1} tiene un valor de p exacto.

26. Donde ;
El límite de Chernoff muestra que la p tiene los
siguientes límites bajos.

27. Este resultado admite varias generalizaciones
como se indica a continuación.
Uno puede encontrar muchos sabores de los
límites Chernoff: la forma de aditivo original
que da un salto en el error absoluto o la forma
de multiplicación más práctico que limita el
error respecto a la media.

28. El siguiente lema muestra que un paseo
aleatorio tanto con un umbral positivo y
negativo, es decir α > 0 y β < 0, eventualmente
cruza uno de los umbrales.
El primer paseo aleatorio cruza un umbral en el
juicio n si β < Si < α para 1 ≤ i <n, y sea Sn ≥ α o
Sn ≤ β.

29. Para tener una mejor idea debemos
comprobar el siguiente ejemplo:
Sea {Xi, i ≥ 1} IID rv, no idénticamente
0. Para cada n ≥ 1, si Sn =X1 + · · · + Xn.
Permitiendo que α > 0 y β < 0
arbitrario, y sea J el menor n para el cual
Sn ≥ α o Sn ≤ β.
J es una variable aleatoria es decir,
lim m→∞ Pr{J ≥ m} = 0.

30. La gráfica que pretendemos comprobar es la
siguiente:

31. Comprobación
Dado que X no es idénticamente 0, existe
algún n para que sea Pr{Sn ≤ −α + β} > 0 o
para que Pr {Sn ≥ α - β}> 0.
Para cualquier n definiendo ϵ como:
ϵ = max[Pr{Sn ≤ −α + β} , Pr{Sn ≥ α − β}].
en un intervalo k ≥ 1, teniendo en cuenta que
J > n (k - 1), y teniendo en cuenta un valor de Sn (k-1)
en (β, α)un intercepto cruza por nK con una
probabilidad de al menos ϵ.
Por tanto Pr{J > nk | J > n(k − 1)} ≤ 1 − ≤ 0

32. Cuando interactúa con k se obtiene
Pr{J > nk} ≤ (1 − ≤) k.
Esto demuestra que J es finito con probabilidad
1 y Pr {J} j ≥ va a 0, al menos geométricamente.

33. Teorema
Sea {Xi; i ≥ 1} IID y sea la semi-
invariante MGF de cada Xi. Asumamos que ϒ(r) es
finito en el intervalo abierto (r+, r-) con r- < 0 < r+ .
Para cada n≥ 1 , sean Sn= X1+X2+ …. + Xn si α > 0 y
β < 0 números reales arbitrarios y J sea el numero
más pequeño para Sn ≥ α o Sn ≤ β. Para todo
r ϵ(r- ,r+),
  rX
eEr ln)( 

34. Comprobación
Supongamos que Xi es distinta para cada i con el
PMF px(x). Para el caso aviento el PMF debe ser
remplazada por la suma por integrantes stieltjes,
cumpliendo los detalles técnicos, pero no la
introducción de una nueva idea. Para cualquiera r
ϵ(r-,r+), utilizando la inclinación PMF qX, r(x).
qX,r(x) = pX(x) exp[rx − ɤ(r)].

35. Tomando el Xi a ser independiente en la medida
de probabilidad inclinada, para el
n-tuple X^n = (X1,X2, . . . ,Xn)
es dada por

36. Ahora bien, Tn es el conjunto de n-tuplas X1,. . . ,
Xn tal que β <Si <α para 1 ≤ i <n, y sea Sn ≥ α or
Sn ≤ β.

37. Si tomamos la derivada de
a ambos lados se obtiene
si decimos que r = 0 y recordamos ɤ(0) = 0 y
ɤ’(0) = esto se convierte en la igualdad de Wald.X

38. Tenemos que decir que esta igualdad de Wald
esta restringida a una caminada con 2
transversales.

39. Si tomamos la segunda derivada de al
ecuación:
Se obtiene la ecuación:
Sustituimos en r = 0, el resultado es:

40. Tomando como ejemplo la ecuación:
Teniendo en cuenta un paseo aleatorio simple,
si utilizamos la ecuación de igualdad de Wald
E[SJ = α] = 0, obtenemos:

41. Utilizando el valor de y recordando que α^2X
obtenemos
Como una comprovación de validez, tengo en
cuenta que se α y β se multiplican por alguna
constante K grande, E[J] se incrementa en k2.
q