Sistema Endocrino, rol de los receptores hormonales, hormonas circulantes y l...
Numeros
1. MATEMÁTICAS BÁSICAS
Profesora: Jeanneth Galeano Peñaloza
Coordinadora: Margarita Ospina
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá
Departamento de Matemáticas
9 de marzo de 2009
JGP Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS BÁSICAS
2. Sistemas Numéricos
Parte I
Sistemas Numéricos
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
3. Sistemas Numéricos
Números Naturales
Números Naturales
Fueron creados por la mente humana para contar los objetos
en diversas colecciones.
N = {0, 1, 2, 3, . . . }
Para algunos autores los naturales comienzan en 1 y al
conjunto {0, 1, 2, . . . } lo llaman el conjunto de los enteros
no-negativos o números cardinales. En éste último caso, el 0
corresponde al cardinal del conjunto vacío.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
4. Sistemas Numéricos
Números Naturales
En el conjunto de los números naturales podemos considerar
dos operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los naturales
Para todo a, b, c números naturales,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inverso aditivo
3 + = 0?
Falla!!!!
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
5. Sistemas Numéricos
Números Naturales
En el conjunto de los números naturales podemos considerar
dos operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los naturales
Para todo a, b, c números naturales,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inverso aditivo
3 + = 0?
Falla!!!!
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
6. Sistemas Numéricos
Números Naturales
En el conjunto de los números naturales podemos considerar
dos operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los naturales
Para todo a, b, c números naturales,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inverso aditivo
3 + = 0?
Falla!!!!
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
7. Sistemas Numéricos
Números Naturales
En el conjunto de los números naturales podemos considerar
dos operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los naturales
Para todo a, b, c números naturales,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inverso aditivo
3 + = 0?
Falla!!!!
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8. Sistemas Numéricos
Números Enteros
Números Enteros
Es el conjunto formado por los números naturales y sus
opuestos.
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
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9. Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dos
operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
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10. Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dos
operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
11. Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dos
operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
12. Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dos
operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
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13. Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dos
operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
14. Sistemas Numéricos
Números Enteros
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a(bc) = (ab)c
Conmutativa ab = ba
Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a
Existencia de inverso multiplicativo
5 · = 1?
Falla!!!!
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15. Sistemas Numéricos
Números Enteros
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a(bc) = (ab)c
Conmutativa ab = ba
Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a
Existencia de inverso multiplicativo
5 · = 1?
Falla!!!!
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16. Sistemas Numéricos
Números Enteros
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a(bc) = (ab)c
Conmutativa ab = ba
Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a
Existencia de inverso multiplicativo
5 · = 1?
Falla!!!!
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17. Sistemas Numéricos
Números Enteros
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a(bc) = (ab)c
Conmutativa ab = ba
Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a
Existencia de inverso multiplicativo
5 · = 1?
Falla!!!!
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18. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Números Racionales
Es el conjunto formado por los enteros y cocientes de enteros.
Q = {
a
b
|a, b ∈ Z, b = 0}
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19. Sistemas Numéricos
Números Racionales
El conjunto de los números racionales, con las operaciones
suma y multiplicación satisface las siguientes propiedades.
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20. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Para todo a, b, c números racionales,
Asociativas
a + (b + c) = (a + b) + c,
a(bc) = (ab)c.
Conmutativas
a + b = b + a,
ab = ba.
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21. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Para todo a, b, c números racionales,
Asociativas
a + (b + c) = (a + b) + c,
a(bc) = (ab)c.
Conmutativas
a + b = b + a,
ab = ba.
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22. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Existencia de elementos neutros
Existe un elemento 0 tal que a + 0 = 0 + a = a,
Existe un elemento 1 tal que a1 = 1a = a.
Existencia de inversos aditivos y multiplicativos
Para todo a racional existe −a tal que a + (−a) = 0
Para todo racional a = 0 existe 1
a tal que a 1
a = 1
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
a(b + c) = ab + ac.
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23. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Existencia de elementos neutros
Existe un elemento 0 tal que a + 0 = 0 + a = a,
Existe un elemento 1 tal que a1 = 1a = a.
Existencia de inversos aditivos y multiplicativos
Para todo a racional existe −a tal que a + (−a) = 0
Para todo racional a = 0 existe 1
a tal que a 1
a = 1
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
a(b + c) = ab + ac.
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24. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Existencia de elementos neutros
Existe un elemento 0 tal que a + 0 = 0 + a = a,
Existe un elemento 1 tal que a1 = 1a = a.
Existencia de inversos aditivos y multiplicativos
Para todo a racional existe −a tal que a + (−a) = 0
Para todo racional a = 0 existe 1
a tal que a 1
a = 1
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
a(b + c) = ab + ac.
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25. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Los números racionales son de la forma a
b , al realizar la
división encontramos la expresión decimal del número. Dicha
división puede terminar, como en
5
8
= 0,625
o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite,
como en
2
11
= 0,1818181818 . . .,
podemos decir entonces, que los números racionales son
aquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
26. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Los números racionales son de la forma a
b , al realizar la
división encontramos la expresión decimal del número. Dicha
división puede terminar, como en
5
8
= 0,625
o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite,
como en
2
11
= 0,1818181818 . . .,
podemos decir entonces, que los números racionales son
aquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
27. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Los números racionales son de la forma a
b , al realizar la
división encontramos la expresión decimal del número. Dicha
división puede terminar, como en
5
8
= 0,625
o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite,
como en
2
11
= 0,1818181818 . . .,
podemos decir entonces, que los números racionales son
aquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.
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28. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Ejercicio
Encontrar la expresión decimal de los siguientes números
1 24
5
2 19
3
3 56
200
4 36
7
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29. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de la
siguiente forma,
x = 1.25
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
30. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de la
siguiente forma,
x = 1.25
100x = 125.25
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
31. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de la
siguiente forma,
x = 1.25
100x = 125.25
99x = 124 Restando
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
32. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de la
siguiente forma,
x = 1.25
100x = 125.25
99x = 124 Restando
x =
124
99
.
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33. Sistemas Numéricos
Números Racionales
Ejercicio
Encontrar la expresión racional de los siguientes números
1 1.6
2 8.42
3 47,9335
4 23,56782
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34. Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en la
forma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√
2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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35. Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en la
forma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√
2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
36. Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en la
forma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√
2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
37. Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en la
forma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√
2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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38. Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en la
forma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√
2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
40. Sistemas Numéricos
Números Irracionales
La suma de irracionales es irracional?
La multiplicación de irracionales es irracional?
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41. Sistemas Numéricos
Números Irracionales
La suma de irracionales es irracional?
La multiplicación de irracionales es irracional?
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42. Sistemas Numéricos
Números Reales
Números Reales
El conjunto de los números reales está formado por los
racionales y los irracionales. Se nota R.
R satisface todas las propiedades que vimos que cumplen los
números racionales. Tanto los reales como los racionales, con
estas propiedades reciben el nombre de cuerpos.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
43. Sistemas Numéricos
Sistemas numéricos
Note que
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Muestre que estas contenencias son estrictas.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
44. Sistemas Numéricos
Sistemas numéricos
Note que
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Muestre que estas contenencias son estrictas.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
45. Sistemas Numéricos
Sistemas numéricos
Note que
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Muestre que estas contenencias son estrictas.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
46. Sistemas Numéricos
Sistemas numéricos
Note que
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Muestre que estas contenencias son estrictas.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
47. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
48. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
49. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
50. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
51. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c = 0
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
52. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c = 0
a · 0 = 0 para todo a
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
53. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c = 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
54. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c = 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
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55. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c = 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
(−a)b = −(ab) = a(−b)
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56. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c = 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
(−a)b = −(ab) = a(−b)
(−a)(−b) = ab
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57. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c = 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
(−a)b = −(ab) = a(−b)
(−a)(−b) = ab
(−1)a = −a
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58. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c = 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
(−a)b = −(ab) = a(−b)
(−a)(−b) = ab
(−1)a = −a
Si a = 0 entonces el inverso multiplicativo de a se nota a−1
y a−1 = 1
a
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59. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
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60. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
a
b = c
d si ad = bc
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61. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
a
b = c
d si ad = bc
ad
bd = a
b
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
62. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
a
b = c
d si ad = bc
ad
bd = a
b
a
−b = −a
b = −a
b
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
63. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
a
b = c
d si ad = bc
ad
bd = a
b
a
−b = −a
b = −a
b
a
b + c
b = a+c
b
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64. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
a
b = c
d si ad = bc
ad
bd = a
b
a
−b = −a
b = −a
b
a
b + c
b = a+c
b
a
b + c
d = ad+bc
bd
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
65. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
a
b = c
d si ad = bc
ad
bd = a
b
a
−b = −a
b = −a
b
a
b + c
b = a+c
b
a
b + c
d = ad+bc
bd
a
b · c
d = ac
bd
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
66. Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
a
b = c
d si ad = bc
ad
bd = a
b
a
−b = −a
b = −a
b
a
b + c
b = a+c
b
a
b + c
d = ad+bc
bd
a
b · c
d = ac
bd
a
b ÷ c
d = a
b · d
c = ad
bc
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67. Sistemas Numéricos
Representación gráfica
A continuación vemos cómo podemos representar en una recta
cada uno de estos conjuntos.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
68. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta,
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69. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0
0
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70. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 y
otro, normalmente a la derecha, que representa el 1.
0 1
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
71. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 y
otro, normalmente a la derecha, que representa el 1.
0 1 2
luego, a la misma distancia, marcamos el 2,
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
72. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 y
otro, normalmente a la derecha, que representa el 1.
0 1 2 3
luego, a la misma distancia, marcamos el 2, el 3
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73. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 y
otro, normalmente a la derecha, que representa el 1.
0 1 2 3 4
luego, a la misma distancia, marcamos el 2, el 3 y así
sucesivamente, de manera que queden todos los naturales en
dicha recta.
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74. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los enteros
Sobre la recta,
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75. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los enteros
Sobre la recta, marcamos los números naturales,
0 1 2 3 4
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76. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los enteros
Sobre la recta, marcamos los números naturales, y luego, hacia
la izquierda los inversos aditivos de los números naturales
0 1 2 3 4-1-2-3-4
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77. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los enteros
Sobre la recta, marcamos los números naturales, y luego, hacia
la izquierda los inversos aditivos de los números naturales
0 1 2 3 4-1-2-3-4
y tenemos la representación en la recta de los números
enteros.
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78. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo
0 1 2 3 4-1-2-3-4
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79. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 1
2 ,
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
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80. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 1
2 , 1
4 ,
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
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81. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 1
2 , 1
4 , 3
2 ,
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
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82. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 1
2 , 1
4 , 3
2 , 13
4 ,
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4
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83. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 1
2 , 1
4 , 3
2 , 13
4 ,
−1
3 ,
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3
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84. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 1
2 , 1
4 , 3
2 , 13
4 ,
−1
3 , −12
5 .
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3−12
5
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85. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 1
2 , 1
4 , 3
2 , 13
4 ,
−1
3 , −12
5 .
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3−12
5
y tenemos la representación gráfica de los racionales.
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86. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3−12
5
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87. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√
2,
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3−12
5
√
2
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88. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√
2,−
√
3,
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3−12
5
√
2−
√
3
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89. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√
2,−
√
3, π,
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3−12
5
√
2−
√
3 π
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90. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√
2,−
√
3, π, r1 = −3,456789101112 . . .
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3−12
5
√
2−
√
3 πr1
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91. Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√
2,−
√
3, π, r1 = −3,456789101112 . . .
0 1 2 3 4-1-2-3-4 1
2
1
4
3
2
13
4−1
3−12
5
√
2−
√
3 πr1
y obtenemos la representación gráfica de los números reales.
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92. Sistemas Numéricos
Números reales
Los números que se encuentran a la derecha del cero se
llaman números reales positivos , los que se encuentran a la
izquierda se llaman números reales negativos. El número
cero no es ni positivo ni negativo.
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93. Sistemas Numéricos
Números reales
Si a es positivo, entonces −a es negativo.
Si a es negativo, entonces −a es positivo.
Si a es positivo, entonces 1
a es positivo.
Si a es negativo, entonces 1
a es negativo.
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94. Sistemas Numéricos
Números reales
Si a es positivo, entonces −a es negativo.
Si a es negativo, entonces −a es positivo.
Si a es positivo, entonces 1
a es positivo.
Si a es negativo, entonces 1
a es negativo.
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95. Sistemas Numéricos
Números reales
Si a es positivo, entonces −a es negativo.
Si a es negativo, entonces −a es positivo.
Si a es positivo, entonces 1
a es positivo.
Si a es negativo, entonces 1
a es negativo.
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96. Sistemas Numéricos
Números reales
Si a es positivo, entonces −a es negativo.
Si a es negativo, entonces −a es positivo.
Si a es positivo, entonces 1
a es positivo.
Si a es negativo, entonces 1
a es negativo.
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97. Sistemas Numéricos
Números reales
Ejercicio
Complete
Si a = 3
5 , entonces −a = y 1
a =
Si a = 281, entonces −a = y 1
a =
Si a = −π, entonces −a = y 1
a =
Si a = 1√
2
, entonces −a = y 1
a =
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99. Orden
Orden
a > b se lee a es mayor que b,
significa que a − b es positivo.
En la recta real a está a la derecha de b.
a < b se lee a es menor que b,
significa que a − b es negativo.
En la recta real a está a la izquierda de b.
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100. Orden
Orden
a > b se lee a es mayor que b,
significa que a − b es positivo.
En la recta real a está a la derecha de b.
a < b se lee a es menor que b,
significa que a − b es negativo.
En la recta real a está a la izquierda de b.
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101. Orden
Orden
Ejercicio
Organice los siguientes números en orden ascendente.
1
3 ; 0,333; 0,313233343536373839404142434445...;
0,3; 0,32; 99
300 ; 98
300 .
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102. Orden
Orden
Ley de la tricotomía
Si a y b son números reales, entonces una y solo una una de
las siguientes expresiones es verdadera:
a = b, a < b o bien a > b.
Ley de los signos
Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y a
b son
positivos.
Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y a
b son
negativos.
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103. Orden
Orden
Ley de la tricotomía
Si a y b son números reales, entonces una y solo una una de
las siguientes expresiones es verdadera:
a = b, a < b o bien a > b.
Ley de los signos
Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y a
b son
positivos.
Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y a
b son
negativos.
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104. Orden
Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de la recta real, que contiene
todos los puntos que cumplen ciertas desigualdades: x > a,
x ≥ a, x < b, x ≤ b o a < x < b.
Note que a < x < b es una expresión resumida de a < x y
x < b.
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105. Orden
Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de la recta real, que contiene
todos los puntos que cumplen ciertas desigualdades: x > a,
x ≥ a, x < b, x ≤ b o a < x < b.
Note que a < x < b es una expresión resumida de a < x y
x < b.
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106. Orden
Notación para intervalos
1 (a, b) = {x|a < x < b}
2 (a, b] = {x|a < x ≤ b}
3 [a, b) = {x|a ≤ x < b}
4 [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
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107. Orden
Notación para intervalos
1 (a, b) = {x|a < x < b}
2 (a, b] = {x|a < x ≤ b}
3 [a, b) = {x|a ≤ x < b}
4 [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
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108. Orden
Notación para intervalos
1 (a, b) = {x|a < x < b}
2 (a, b] = {x|a < x ≤ b}
3 [a, b) = {x|a ≤ x < b}
4 [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
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109. Orden
Notación para intervalos
1 (a, b) = {x|a < x < b}
2 (a, b] = {x|a < x ≤ b}
3 [a, b) = {x|a ≤ x < b}
4 [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
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110. Orden
Notación para intervalos
1 (a, ∞) = {x|x > a} ♣
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea de
que los elementos de ese intervalo se extienden infinitamente
en los positivos.
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111. Orden
Notación para intervalos
1 (a, ∞) = {x|x > a} ♣
2 [a, ∞) = {x|x ≥ a}
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea de
que los elementos de ese intervalo se extienden infinitamente
en los positivos.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
112. Orden
Notación para intervalos
1 (a, ∞) = {x|x > a} ♣
2 [a, ∞) = {x|x ≥ a}
3 (−∞, b) = {x|x < b} ♠
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea de
que los elementos de ese intervalo se extienden infinitamente
en los positivos.
♠ aquí el signo − nos indica la parte negativa de la recta real.
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113. Orden
Notación para intervalos
1 (a, ∞) = {x|x > a} ♣
2 [a, ∞) = {x|x ≥ a}
3 (−∞, b) = {x|x < b} ♠
4 (−∞, b] = {x|x ≤ b}
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea de
que los elementos de ese intervalo se extienden infinitamente
en los positivos.
♠ aquí el signo − nos indica la parte negativa de la recta real.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
114. Orden
Notación para intervalos
1 (a, ∞) = {x|x > a} ♣
2 [a, ∞) = {x|x ≥ a}
3 (−∞, b) = {x|x < b} ♠
4 (−∞, b] = {x|x ≤ b}
5 (−∞, ∞) = R
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea de
que los elementos de ese intervalo se extienden infinitamente
en los positivos.
♠ aquí el signo − nos indica la parte negativa de la recta real.
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115. Orden
Ejemplos de intervalos
0 1 2 3 4-1-2-3-4
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116. Orden
Ejemplos de intervalos
0 1 2 3 4-1-2-3-4
1-3(−3, 1)
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117. Orden
Ejemplos de intervalos
0 1 2 3 4-1-2-3-4
1-3
-1 3
(−3, 1)
[−1, 3)
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118. Orden
Ejemplos de intervalos
0 1 2 3 4-1-2-3-4
1-3
-1 3
1 3
(−3, 1)
[−1, 3)
[1, 3]
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119. Orden
Ejemplos de intervalos
0 1 2 3 4-1-2-3-4
1-3
-1 3
1 3
-4 1
(−3, 1)
[−1, 3)
[1, 3]
(−4, 1]
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120. Orden
Ejemplos de intervalos
0 1 2 3 4-1-2-3-4
1-3
-1 3
1 3
-4 1
-2
(−3, 1)
[−1, 3)
[1, 3]
(−4, 1]
(−2, ∞)
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121. Valor absoluto
Parte III
Valor absoluto
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122. Valor absoluto
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real corresponde a la distancia
que hay entre él y el origen.
Definición
Sea x un número real,
|x| =
x si x ≥ 0,
−x si x < 0.
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125. Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| = 3.7
| − 12,4| =
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
126. Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| = 3.7
| − 12,4| = 12.4
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127. Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| = 3.7
| − 12,4| = 12.4
|x − 1| =
x − 1 si x − 1 ≥ 0
−(x − 1) si x − 1 < 0
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
128. Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| = 3.7
| − 12,4| = 12.4
|x − 1| =
x − 1 si x − 1 ≥ 0
−(x − 1) si x − 1 < 0
=
x − 1 si x ≥ 1
−x + 1 si x < 1
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129. Valor absoluto
Valor Absoluto
Sea a ≥ 0
|x| ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a
a0−a
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130. Valor absoluto
Valor Absoluto
Sea a ≥ 0
|x| ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a
a0−a
|x| ≥ a equivale a x ≥ a o x ≤ −a
a0−a
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131. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
¿Qué pasa si a = 0?
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132. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a
¿Qué pasa si a = 0?
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133. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
¿Qué pasa si a = 0?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
134. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a
¿Qué pasa si a = 0?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
135. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
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136. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x| ≤ 0
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137. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x| ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
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138. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x| ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x| ≥ 0
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139. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x| ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x| ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
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140. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x| ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x| ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
|x| < 0
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141. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x| ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x| ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
|x| < 0 no tiene solución.
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142. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x| ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x| ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
|x| < 0 no tiene solución.
|x| > 0
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143. Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x| ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto de
un número es mayor o igual a cero.
|x| ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x| ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x| ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
|x| < 0 no tiene solución.
|x| > 0 tiene como solución a todos los reales, excepto al
cero.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
144. Valor absoluto
Valor absoluto
Propiedades
|a| ≥ 0
|a| = | − a|
|ab| = |a||b|
a
b = |a|
|b|
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
145. Valor absoluto
Valor absoluto
Desigualdad triangular
|a + b| ≤ |a| + |b|
Ejercicio. Encuentre números a y b para los que se cumpla
que
(i) |a + b| < |a| + |b|
(ii) |a + b| = |a| + |b|
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
146. Valor absoluto
Valor absoluto
Desigualdad triangular
|a + b| ≤ |a| + |b|
Ejercicio. Encuentre números a y b para los que se cumpla
que
(i) |a + b| < |a| + |b|
(ii) |a + b| = |a| + |b|
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
147. Valor absoluto
Valor absoluto
Distancia
Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los
puntos a y b en la recta real está dada por
d(a, b) = |b − a|.
Observe que d(a, b) = d(b, a).
JGP Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS BÁSICAS