UTN FRGP Física TUMMyD Apéndice Apunte Curso Introductorio 20 v1

Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Gral. Pacheco – República Argentina
Ing. Sergio Verducci
CURSO INTRODUCTORIO
Tecnicatura Universitaria en Moldes Matrices y Dispositivos
APÉNDICE

Repaso de Álgebra y Geometría elemental
Repaso de Trigonometría
Sistemas de Coordenadas
Vectores - Operaciones
Funciones elementales – Representación gráfica
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
HERRAMIENTAS
MATEMÁTICAS
APÉNDICE
“La matemática es el alfabeto con el
cual Dios ha escrito el universo”
Galileo Galilei

Herramientas Matemáticas
Solamente será desarrollado parcial o completamente,
como complemento o repaso de lo estudiado en
Matemática dependiendo de la disponibilidad horaria y no
será evaluado de manera independiente en esta asignatura
No obstante, su contenido se debe considerar de suma
importancia en virtud de la imperiosa necesidad de
utilización durante el estudio de los distintos temas a
desarrollar durante parte de este curso de nivelación,
como de la totalidad del curso durante el cuatrimestre
Este apéndice pretende simplemente destacar los temas
de otra asignatura de este curso nivelatorio, Matemática,
cuya utilización en Física resulta estrictamente necesaria
Apéndice

¿Qué es la Matemática?
MATEMÁTICA proviene del latín “mathematĭca”, que
significa “conocimiento”
Concretamente es un conjunto de lenguajes formales
que se utilizan como herramienta para plantear y
resolver, sin ambigüedades, distintos problemas en
contextos específicos, como es el caso que nos ocupa
«La MATEMÁTICA es una ciencia formal que, a
partir de axiomas utilizando el razonamiento lógico,
estudia las propiedades y relaciones entre entidades
abstractas como símbolos, números o elementos
geométricos»

Los números pueden estar formados por una o más
cifras, es decir símbolos, signos o caracteres gráficos
tales como: 0, 1, π, e, i, , I, V, X, 2, etc.
Por ejemplo, los números ‘21’ ; ‘4’ y ‘500’ representan en el sistema
arábigo los mismos números que ‘XXI’ ; ‘IV’ y ‘D’ en el sistema romano
¿Qué es un Número?
NÚMERO es un término que proviene del latín
“numĕrus” que en matemática implica una abstracción
utilizada para designar una cantidad (en el caso de los
números cardinales) o una posición dentro de un orden de
una serie determinada (en el caso de los números ordinales)
También llamamos dígito a un número que se expresa
empleando de una sola cifra
 LOS 5 NÚMEROS FUNDAMENTALES DE LA MATEMÁTICA

Clasificación de los Números
Sin ser académicamente muy rigurosos, podríamos
clasificar a los números en los siguientes tipos:
COMPLEJOS –5+3i
IRRACIONALES ;  2; e
Q
FRACCIONARIOS ½; ¼; ¾
REALES
R
IMAGINARIOS 2i; 35i
Z
ENTEROS
NATURALES 1; 4; 6 ; 9
NEGATIVOS -4; -7; -2; -11
N
RACIONALES
CERO 0 PRIMOS 2; 5; 71
C

Expresiones Algebraicas
4 · x – 7 = 2 · y + 3
Se llama EXPRESIÓN ALGEBRAICA a una combinación
de letras y números relacionados con operadores
1º MIEMBRO 2º MIEMBRO
TÉRMINOS
OPERADORES VARIABLEVARIABLE
CONSTANTE
CONSTANTE
COEFICIENTE
COEFICIENTE

Los miembros están separados por el signo igual (=) y
los términos por los signos de suma o resta (+,–)
Un POLINOMIO es una expresión algebraica de la forma
P(x)= an·xn+an−1·xn−1+an−2·xn−2+...+a1·x1+a0
Siendo: an ; an−1 ... a1 ; ao los coeficientes (números)
n un número natural
x la variable
an es el coeficiente principal
ao es el término independiente
Polinomios

El valor numérico de un polinomio es el resultado que
obtenemos al sustituir la variable x por un número
cualquiera
P(x) = 2x³+5x−3 con: x=1
El grado de un polinomio es el mayor exponente al que
se encuentra elevada la variable x
P(x) = 2·1³+5·1−3 = 4
Se llaman, monomio, binomio, trinomio, ... a los
polinomios que tienen 1, 2, 3, … términos
Resulta interesante considerar algunas expresiones
algebraicas de uso frecuente que constituyen
igualdades notables …

(a±b)2 = a2±2·a·b+b2
Cuadrado de un binomio
(a±b)3 = a3±3·a2·b+3·a·b2±b3
Cubo de un binomio
a2–b2 = (a+b)·(a–b)
Diferencia de cuadrados
a3+b3 = (a+b)·(a2–ab+b2)
Suma de cubos
Diferencia de cubos
a3–b3 = (a–b)·(a2+ab+b2)
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2·a·b+2·a·c+2·b·c
Cuadrado de un Trinomio

a + b = c
SUMA
a – b = c
RESTA
a · b = c
MULTIPLICACIÓN
a  b = c
DIVISIÓN
POTENCIACIÓN
an = b
RADICACIÓN
SUMA DIFERENCIAMINUENDO SUSTRAENDOSUMANDOS
PRODUCTOFACTORES COCIENTEDIVIDENDO DIVISOR
RAÍZÍNDICE RADICANDOPOTENCIABASE EXPONENTE
Operaciones con Números Reales

a+b = b+aPropiedad CONMUTATIVA
SUMA o ADICIÓN
a+(b+c) = (a+b)+cPropiedad ASOCIATIVA
a+0 = aElemento NEUTRO
a+(–a) = 0Elemento OPUESTO
–5,25 + 0 = –5,25
0,18 + (–0,18) = 0

RESTA o SUSTRACCIÓN
La RESTA de dos números reales se define como la
suma del minuendo más el opuesto del sustraendo
a–b = a+(–b)
a–b  b–aNO CONMUTATIVA
Se puede decir que ‘RESTAR un número positivo’ es igual
a ‘SUMAR un número negativo’
Siempre se debe evitar confundir el signo de un número, con
el signo que representa una operación en la que intervenga
La resta está muy emparentada con la suma, pero es

a·b = b·a
a·(b·c) = (a·b)·c
0,1·[5·(-2,5)] = (0,1·5) · (–2,5)
PRODUCTO o MULTIPLICACIÓN
Propiedad CONMUTATIVA
Propiedad ASOCIATIVA
Elemento NEUTRO
Elemento INVERSO
a · 1 = a
·1 = 
El producto de dos números de igual signo es POSITIVO
El producto de dos números de distinto signo es NEGATIVO

PRODUCTO o MULTIPLICACIÓN
Propiedad DISTRIBUTIVA respecto de la suma y la resta
Factor COMÚN
a·(b+c–d) = a·b+a·c–a·d
1,3·(5-2,4+0,6) = 1,3·5–1,3·2,4+1,3·6
a·b+c·a–a·d = a·(b+c–d)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva

DIVISIÓN o COCIENTE
Es la operación inversa de la multiplicación, a condición
que el divisor NO puede ser CERO
CERO DIVIDIDO POR CUALQUIER NÚMERO ES CERO
0  5 = 0
Con excepción de → 00  0
porque está indefinido0  a = 0
El cociente de dos números de igual signo es POSITIVO
El cociente de dos números de distinto signo es NEGATIVO
La regla de los signos es igual al caso del producto
NO ES POSIBLE DIVIDIR POR CERO
Porque no existe ningún cociente que multiplicado por 0
sea igual al dividendo

DIVISIÓN o COCIENTE
La división está muy emparentada con la multiplicación, pero no
tienen todas las mismas propiedades
a  b  b  aNO CONMUTATIVA
6  2  2  6
(a  b)  c  a  (b  c)NO ASOCIATIVA
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 1
8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

POTENCIACIÓN
a0 = 1POTENCIAS DE EXPONENTE CERO
60 = 1
771 = 77
a1 = aPOTENCIAS DE EXPONENTE UNO
SIGNOS
Las potencias de exponente PAR son siempre POSITIVAS
Las potencias de exponente IMPAR tienen el mismo signo
de la base
(–3)4 = 8134 = 81
(–7)3 = –34373 = 343

POTENCIACIÓN
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL
POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL NEGATIVO

POTENCIACIÓN
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
POTENCIA DE POTENCIA
am · an = am+n 75·72 = 75+2 = 77

POTENCIACIÓN
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
an · bn = (a · b)n 23 · 43 = (2 · 4)3 = 83
RADICACIÓN
y aplicar las propiedades de la potenciación
Simplemente debe considerarse que

Se define como PUNTO a una figura geométrica sin
dimensión, que indica una posición en el espacio,
determinada respecto de un sistema de coordenadas
Llamamos RECTA a una sucesión de
infinitos puntos alineados en UNA
misma dirección que tiene una
dimensión, la longitud
Geometría
Denominamos SEMIRRECTA a cada una de las dos
partes en que queda dividida una recta al ser cortada
en cualquiera de sus puntos
 SEMIRRECTA
 SEMIRRECTA
RECTA 

Un fragmento de recta comprendido entre dos de sus
puntos, por ejemplo P y O,
se denomina SEGMENTO
Si los puntos extremos de un segmento están dados
en un cierto orden, por ejemplo OP, entonces
tenemos un SEGMENTO ORIENTADO
O
P
En este caso el punto O es el origen y el punto P es el
extremo
Geometría

Decimos que un PLANO es un objeto ideal que posee
DOS dimensiones
Es, junto al punto y la recta,
uno de los conceptos
fundamentales de la
geometría
Por tratarse de un objeto
bidimensional NO posee volumen
Tanto la recta, como la semirecta y el plano, suelen
representarse gráficamente, como elementos
delimitados, pero debe considerarse que en rigor sus
dimensiones, longitud o superficie, son infinitas
Geometría

Algunos postulados de la geometría a tener en cuenta:
⬧ Por un punto pasan infinitas rectas y planos
⬧ Dos puntos determinan una recta y sólo una
⬧ Una recta contiene infinitos puntos
⬧ Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas
⬧ El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos
⬧ Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno
⬧ Dos planos que se cortan determinan una recta y sólo una
⬧ Dos rectas que se cortan determinan un plano y sólo uno
⬧ Por un punto y una recta determinan un plano y sólo uno
⬧ Dos rectas paralelas determinan un plano y sólo uno
Geometría

El RADIO es el segmento que une
el centro de la circunferencia
con cualquier punto de ella
Se llama CIRCUNFERENCIA al conjunto de todos los
puntos del plano que equidistan de un mismo punto
llamado centro (que no pertenece a la misma) y CÍRCULO
a la figura plana formada por una circunferencia más
toda su área interior
La CUERDA es otro segmento
que une dos puntos de la
circunferencia (y por lo tanto
pueden existir muchas)
R
C
Geometría

TANGENTE es la recta que intersecta en un solo punto
a la circunferencia
Se llama DIÁMETRO a la cuerda que pasa por el centro
de la circunferencia (por lo cual es la de mayor tamaño)
SECANTE es una recta que
intersecta en dos puntos a la
circunferencia
ARCO es una parte de la
circunferencia comprendida
entre dos puntos de ella
R
C
T
S
D
A
Geometría

Un ÁNGULO es la parte del plano comprendida entre
dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen
RADIANES
GRADOS
de 0 a 2
Los ángulos se miden en:
(Sexagesimales)
de 0° a 360º
La BISECTRIZ es la recta
que pasa por el vértice y lo divide en dos partes iguales
También (de poco uso)
existen los GRADOS
CENTESIMALES de 0° a 400°
Geometría

Un ángulo de UN Radián es el que corresponde a un
arco de longitud (medida sobre la curva) igual al radio
La equivalencia es:
Así, 1 radián ≅ 57,2958 °
360° = 2  radianes
r
r
1 rad
Geometría

Se dice que dos ángulos son
COMPLEMENTARIOS,
cuando la suma de los
mismos es igual a un ángulo
RECTO
 + β = 90º
Se dice que dos ángulos son
SUPLEMENTARIOS, cuando
la suma de los mismos es
igual a un ángulo LLANO
 + φ = 180º

β
φ
Geometría

Cuando dos rectas intersecan, forman ángulos opuestos
(por el vértice) iguales
  
β
β
 = 
β = β
Cuando una recta interseca a dos rectas paralelas, los
ángulos internos alternos son iguales


φ
φ = ’
φ = φ
Geometría

A
B
C D
E
F
G
H
El segmento EF es paralelo al segmento GH
EF ║ GH
AB ⊥ CD
El segmento AB es perpendicular al segmento CD
Nomenclatura utilizada en geometría:
Geometría

Para todo triángulo, la suma de
sus ángulos interiores es 180º
Para todo triángulo rectángulo,
la suma de los dos ángulos
menores al recto es 90º
 + β +  = 180° β

 + β = 90°

β
Geometría
 + β +  = 180°
 + β = 90°

Determinar los ángulos desconocidos f y q
1. Dibujar rectas auxiliares
b
2. Notar que q+50°=90°
A BC
D
q = 40°
=b =20°3. Ángulos internos alternos son iguales:
4. ACD es ángulo recto: b + f + q = 90°
20° + f + 40° = 90° f = 30°
Problema de aplicación:
EJEMPLOGeometría
q
=20°
f
=50°

Trigonometría
Dado un triángulo rectángulo y siendo  uno de sus
ángulos no rectos
Se define como Hipotenusa (R)
al lado opuesto al ángulo recto
R
x
y
Se define como Cateto Opuesto (y)
al opuesto al ángulo 
Se define como Cateto Adyacente (x)
al adyacente al ángulo 


Trigonometría
«Se define como SENO del ángulo  al cociente
entre el cateto opuesto y la hipotenusa»

R
x
y
Y su inversa:

«Se define como COSENO del ángulo  al cociente
entre el cateto adyacente y la hipotenusa»

R
x
y
Y su inversa:
Trigonometría

«Se define como TANGENTE del ángulo  al cociente
entre el cateto opuesto y el cateto adyacente»

R
x
y
Y su inversa:
Trigonometría

Para representar a las
funciones definidas como
segmentos, sobre una
circunferencia de radio
unitario se dibuja un
triángulo rectángulo con la
hipotenusa coincidiendo
con el radio
Circunferencia Trigonométrica

R
x
y
Hipotenusa = R = 1
1=
Trigonometría

Ahora:
Sen  = y/1= AB
Cos  = x/1= OB
y podría demostrarse
mediante la construcción de
triángulos semejantes que:
Tg  = y/x = CD
A
BO
C
D
Trigonometría

Trigonometría
NO APRECIABLE EN LAS
VERSIONES IMPRESA o “.pdf”

SENO = OPUESTO / RADIO
COSENO = ADYACENTE / RADIO
TANGENTE = OPUESTO / ADYACENTE
SOR CAR TOA

RADIO
AD Y A C E N T E
OP U E S T O
Trigonometría
RECORDAR ESTA SIGLA
COMO REGLA MEMOTÉCNICA

Teorema de Pitágoras
«En un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos»
R2 = x2 + y2
R =  x2 + y2
Siendo R → Hipotenusa, con x; y → Catetos
x
R
y
El filósofo y matemático griego Pitágoras
de Samos (569 AC ~ 475 AC) considerado
el primer matemático puro, enunció:

20
2
= X
2
+ 12
2
x = 16 m
q = 53.1°12 m
Cos q =
20 m
Problema de aplicación:
R = 20 m es la hipotenusa y
por el teorema de Pitágoras:
X =  400 – 144 =  256
¿Cuál es la distancia x a través del lago y cuál el ángulo q ?
Trigonometría + Teorema de Pitágoras
EJEMPLO

Ecuaciones
Una ECUACIÓN es una igualdad matemática entre dos
expresiones que cuentan con elementos conocidos y
desconocidos (incógnitas), relacionados mediante
operaciones matemáticas
Polinómicas Enteras: Lineales (o de 1º grado), Cuadráticas
(o de 2º grado), Cúbicas (o de 3º grado) y en general de grado ’n’
No Polinómicas: Exponenciales, Logarítmicas, Trigonométricas
Se pueden clasificar en:
Polinómicas Irracionales: con al menos un polinomio
bajo un signo radical
Polinómicas Racionales: con presencia de fracciones
polinómicas

Ecuaciones de 1º grado
En general para resolver una ecuación de primer grado
se emplean una serie de pasos, a saber:
24+24x+24+6·(x–3) = 8x–(5x–3)+36x
En este caso multiplicando todos términos por 12 y operando, nos queda:
1º Eliminar corchete
Dada la ecuación:
2º Eliminar paréntesis
3º Eliminar denominadores
EJEMPLO

24+24x+24+ 6·(x–3) = 8x–(5x–3)+36x
24+24x+24+6x–18 = 8x–5x+3+36x
24x+6x–8x+5x–36x = 3–24–24+18
x (24+6–8+5–36) = 3–24–24+18
x = –27/–9 x=3
–9x = –27
5º Agrupar los términos con y sin incógnitas en distintos miembros
4º Eliminar paréntesis
6º Sacar como factor común a la incógnita
7º Operar
8º Despejar y calcular la incógnita
Ecuaciones de 1º grado EJEMPLO

Ecuaciones de 2º grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la
forma:
a x² + b x + c = 0
que se resuelve con la expresión:
x²–5x+6= 0
(con a ≠ 0)
Ejemplo 1:
Siendo: a=1; b=–5; c=6 →
x1=3 x2=2
EJEMPLO

2x²–7x+3=0Ejemplo 2: Siendo: a=2; b=–7; c=3
x1=3
x2=½
En los casos que a<0, se multiplican ambos miembros por (–1)
–x²+7x–10=0Ejemplo 3: Siendo: a=–1; b=7; c=–10
(–1)·(–x²+7x–10)= (–1)·0
Y ahora con: a=1; b=–7; c=10 se resuelve de la misma forma
para, operando, obtener como resultado: x1=5 ; x2=2
→ x²–7x+10= 0
Ecuaciones de 2º grado EJEMPLO

Resolver
ECUACIONES
1) 2x + 2 – 3x + 5 = 3 + 2
2) 2x + 1 – 7x + 1 = −2x + 1 – 7x
7) 7x + 2 + 4x = 5x + 32
8) 5 / (x – 3) = 4 / (x – 1)
3) 2 (2x − 3) = 6 + x
4) 3x + 2 − (4x − 1 – 9x) = 6x – 1
5) 4(x – 10) = –6(2 – x) – 6x
6) 6 + (3x – 5 + 7x) = –(2x – 1)
Rta.: x=2
Rta.: x=1/4
Rta.: x=5
Rta.: x=–7
Rta.: x=4
Rta.: x=–2
Rta.: x=7
Rta.: x=0
EJERCITACIÓN

9) 3x2 = −x2
10) 9x2 = −15x
15) 2x3 + 162x = 0
16) 2x3 − 162x = 0
11) 2x2 − x − 3 = 0
12) 4x2 + 4x + 1 = 0 4x2 + 4x + 1 = 0
13) −x2 + 16x − 64 = 0
14) 3x2 − x + 12 = 0
Rta.: x=0
Rta.: x1=0; x2=–5/3
Rta.: x=0
Rta.: x1=0, x2=9 ; x3=−9
Rta.: x1=3/2 ; x2=−1
Rta.: x=−½
Rta.: x=8
Rta.: sin solución en R
Resolver
ECUACIONES EJERCITACIÓN

Sistemas de Ecuaciones
Se trata de un conjunto de dos o más ecuaciones con
varias incógnitas que conforman un problema que
consiste en encontrar los valores de las incógnitas
Existen tres tipos:
COMPATIBLE DETERMINADO
Es el que tiene una sola solución (ej.: dos rectas que se cortan)
COMPATIBLE INDETERMINADO
Es el que tiene infinitas soluciones (ej.: dos rectas coincidentes)
INCOMPATIBLE
No tiene solución (ej.: dos rectas paralelas)

Para resolver sistemas de ecuaciones (encontrar el valor
de las incógnitas) se pueden utilizar varios métodos de
manera indistinta, de acuerdo a preferencias personales
y/o conveniencias de la situación planteada
Para que los sistemas tengan solución, es necesario
contar con igual o mayor cantidad de ecuaciones
independientes, que de incógnitas
En los casos de tres o más incógnitas los métodos se
pueden combinar para facilitar el proceso
A continuación se aplicarán tres métodos distintos para
resolver el siguiente sistema
3x – 4y = –6
2x + 4y = 16

Método de IGUALACIÓN
1º) DESPEJAMOS una de las incógnitas en ambas ecuaciones
3x–4y=–6 → 3x=–6+4y
2º) IGUALAMOS y y calculamos (en este caso y)
y=3
2x+4y=16 → 2x=16–4y → x=8–2y 
→ –6+4y=3·(8–2y)
→ 10y=30
→ –6+4y=24–6y
3º) SUSTITUIMOS en  (o indistintamente en ) y calculamos
(en este caso x)
x=8–2(3)=8–6 x=2
3x – 4y = –6
2x + 4y = 16
Sistemas de Ecuaciones EJEMPLO

Método de SUSTITUCIÓN
1º) DESPEJAMOS una de las incógnitas en una de las dos
ecuaciones, eligiendo la incógnita de coeficiente más bajo
2x+4y=16 → 2x=16–4y → x=8–2y 
2º) SUSTITUIMOS en la otra ecuación la variable x, por el
valor obtenido y calculamos y
3(8–2y)–4y=–6 → 24–6y–4y=–6 → –10y=–6–24
→ y=–30/–10 y=3
3º) SUSTITUIMOS el valor obtenido en la variable despejada
en  y calculamos x
x=8–2(3)=8–6 x=2
3x – 4y = –6
2x + 4y = 16

Método de REDUCCIÓN o ELIMINACIÓN
2º) Luego por sustitución podemos calcular la otra variable
3x – 4y = –6
1º) Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los
números que convenga
5x + 0y = 10 → 5x = 10 → x = 10/5
2x + 4y = 16
x=2
3(2)–4y=–6 → 6–4y=–6 → –4y=–6–6 → y=–12/–4 y=3
O de igual manera
2(2)+4y=16 → 4+4y=16 → 4y=16–4 → y=12/4 → y=3
(en nuestro caso sumando las ecuaciones
directamente queda eliminada la variable y, para calcular x)

3x – 4y = –6
Por el camino más difícil (de presentación más frecuente) en la
primera ecuación multiplicamos por 2 y en la segunda por (-3)
2x + 4y = 16
→ 2·3x–2·4y=2·(–6)
→ (–3)·2x+ (–3)· 4y= (–3)· 16
→ 6x – 8y = –12
→ –6x – 12y = –48
→ 0x – 20y = –60 → y = –60/–20 y=3
3x–4(3)=–6 → 3x–12=–6 → x=(–6+12)/3 x=2
O de igual manera
2x+4(3)=16 → 2x+12=16 → x=(16–12)/2=4/2 → x=2
Luego por sustitución podemos calcular x
Método de REDUCCIÓN o ELIMINACIÓN
EJEMPLOSistemas de Ecuaciones

(NO LINEALES)
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método
de sustitución, aplicando los siguientes pasos
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, (de ser
posible en la de primer grado) luego se sustituye el valor de la
incógnita despejada en la otra ecuación y se resuelve
x² + y² = 25
x + y = 7 → y=7–x
→ x² + (7–x)² = 25
→ x² + [49 –14x + x²] = 25 → 2x²–14x+49–25=0
→ 2x²–14x+24=0 → x²–7x+12=0
Reemplazando en la otra ecuación
Y ahora operando
Ejemplo:
EJEMPLO

Llegamos a una ecuación de 2º grado
que debe resolverse para obtener los
posibles valores de x que resuelven al
sistema
x² + y² = 25
x + y = 7
Teniendo → x²–7x+12=0
→ x+y=7 → 4+y=7→ y=7–4 →
→ x+y=7 → 3+y=7 → y=7–3 →
y1=3
y2=4
x1=4
x2=3
Ahora sólo resta encontrar el
valor de y, correspondiente a
cada valor de x obtenido
Para
Para
EJEMPLOSistemas de Ecuaciones
(NO LINEALES)

En matemática, se dice que una cantidad es función de
otra si el valor de la primera depende del valor de la
segunda
Funciones
Ejemplo: el área de un círculo S es función de su radio r, ya que
el valor del área es proporcional al cuadrado del radio,
S = ϖ·r²
«Se define como Función (f) a una relación entre un
conjunto dado de elementos X, llamado dominio, y otro
conjunto de elementos Y, llamado imagen, de forma
que a cada elemento x del dominio le corresponde un
único elemento y=f(x) de la imagen»

Funciones Elementales
Algebraicas
Trascendentes
Las funciones elementales se clasifican como:
Polinómicas
Radicales
A trozos
Exponenciales
Logarítmicas
Trigonométricas
En estas funciones sólo se realizan operaciones de suma,
resta, multiplicación, división, potenciación y radicación

Estas funciones están definidas por un polinomio y, en
general, en su forma explícita, se expresan como:
Funciones Polinómicas
y = f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ +···+ an xn
Siendo a0, a1, a2, a3, an coeficientes numéricos constantes
Su dominio es R, así, cualquier número real tiene
imagen
El grado de la función ‘n’, está dado por el mayor
exponente de la variable x que presente la función y
permite clasificar a las funciones polinómicas

La gráfica es una recta horizontal paralela al eje de
abscisas que corta al eje de ordenadas en el valor a0=k
y = f(x) = a0
CONSTANTE (GRADO CERO)
y = k

Entre las funciones de primer grado existen dos casos
particulares, denominados función IDENTIDAD (y=x) y
función LINEAL (y = m x) que se analizarán a continuación
DE PRIMER GRADO
y = f(x) = a0 + a1x
y = m x + b
m es la pendiente de la recta que define su inclinación
si m>0 la función es creciente y si m<0 decreciente
b es la ordenada al origen

m= tg  =y/x

La gráfica es una línea recta que pasa por el origen de
coordenadas
y = f(x) = a1x
LINEAL (PRIMER GRADO)
y = m x
Es la función que presenta una relación directamente
proporcional entre las variables x e y
y = m x
y = – m x
con a0 = 0 y a1 = m

La gráfica es una línea recta bisectriz del primer y
tercer cuadrante
y = f(x) = x
IDENTIDAD (PRIMER GRADO)
y = x
Por tanto la recta forma con el eje positivo de abscisas
un ángulo de 45º y tiene de pendiente m=1
con a0 =0 y a1 =1

DE SEGUNDO GRADO
y = f(x) = a0+a1x+a2x2
y = ax2+bx+c
El punto en el cual la curva corta al eje
vertical es y=c, obviamente con x=0
c
VÉRTICE
EJE DE
SIMETRÍA
RAMA
x1 x2
Los puntos en que la curva corta
al eje horizontal (en caso de existir)
son las raíces x1 y x2
xe
que vienen
dados por la ecuación:

c
VÉRTICE
EJE DE
SIMETRÍA
RAMA
x1 x2
El EJE DE SIMETRÍA es una recta que
divide a la parábola simétricamente en
dos RAMAS y corta
al eje horizontal en:
El VÉRTICE de la parábola, es el punto donde el eje de
simetría corta a la curva que define el máximo o el
mínimo valor de la función
xe
DE SEGUNDO GRADO
y = f(x) = a0+a1x+a2x2
y = ax2+bx+c

a>0 a<0La orientación de las ramas está dada por
Llamamos DISCRIMINANTE, a la expresión b2−4ac que
nos permite averiguar en cada ecuación el número de
soluciones b2−4ac >0 → DOS soluciones
b2−4ac =0 → UNA solución
b2−4ac <0 → SIN solución
Cuanto mayor sea el |a| más estilizada resulta la parábola
DE SEGUNDO GRADO
y = f(x) = a0+a1x+a2x2
y = ax2+bx+c

HIPÉRBOLA
y = f(x) = k/x
y = 1/x
Estas funciones se dan por un cociente de polinomios
Dentro de este tipo tenemos las funciones de
proporcionalidad inversa, como por ejemplo
La más conocida es:
En este caso las asíntotas son los ejes
RACIONALES

Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómica
Funciones Radicales
Algunos ejemplos sencillos resultan
RAÍZ CUADRADA RAÍZ CÚBICA

Son funciones definidas por una función distinta en
cada intervalo (o trozo) que se considere, entre otras,
tenemos:
Funciones A Trozos
y = E (x)y = |x|
VALOR ABSOLUTO PARTE ENTERA

Siendo a un número real positivo, la función que a cada
número real x le hace corresponder la potencia ax se
llama función exponencial de base a y exponente x
Función Exponencial
y = f(x) = ax
Si a>1 son crecientes
Si a>1 son decrecientes

La función logarítmica en base a es la función inversa
de la exponencial en base a
Función Logarítmica
y = f(x) = loga x
Si a>0 y que a≠1
Su dominio es (0, +) y su
imagen todo R, tiene una
asíntota en x=0, es continua y
pasa por los puntos (1,0) y (a,1)

Funciones Trigonométricas
y = f(x) = sen x
El dominio es un R, que expresa
un ángulo en radianes y la imagen
es un R que varía entre –1 y 1
y = f(x) = con x
El dominio es un R, que expresa
un ángulo en radianes y la imagen
es un R que varía entre –1 y 1
SENO
COSENO

y = f(x) = tg x
El dominio es un R, que expresa un ángulo en radianes y la
imagen varía entre – y 
TANGENTE
y = f(x) = cosec x
COSECANTE

y = f(x) = cotg x
COTANGENTE
y = f(x) = sec x
SECANTE
El dominio es un R, que expresa un ángulo en radianes y la
imagen varía entre – y –1 o entre  y 1

SISTEMAS DE ECUACIONES
Resolver gráfica y analíticamente
Rta.: x=4; y=–3
Rta.: x=2; y=0
Rta.: x=4; y=2
Rta.: x=4; y=2
Rta.: x=1; y=2
Rta.: x=66/7; y=–18/7
Rta.: x=–13/7; y=11/7
EJERCITACIÓN

9) Al doble de un número se le resta su mitad y queda 54 ¿Cuál es?
8) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la
edad del padre tres veces la edad del hijo?
11) En una reunión hay doble cantidad de mujeres que de hombres y
triple número de chicos que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos
hombres, mujeres y chicos hay si en la reunión hay 96 personas?
12) Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el
bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. ¿Cuál es la capacidad del
bidón?
10) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus
lados si el perímetro mide 30 cm?
13) Una granja tiene chanchos y gallinas, en total hay 35 cabezas y
116 patas. ¿Cuántos chanchos y gallinas hay?
Rta.: 10
Rta.: 36
Rta.: 5 y 10 cm
Rta.: 8; 16; 72
Rta.: 80 l
Rta.: 23; 12
SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCITACIÓN

15) Pío hizo un viaje en el auto, en el cual consumió 20 l de nafta. Lo
hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la nafta que tenía el
tanque y en la segunda, la mitad que le quedaba ¿Cuántos litros de
nafta tenía en el tanque? ¿Cuántos litros consumió en cada etapa?
16) En un kiosco alguien compra un chocolate con la tercera parte de
su dinero y un chupetín con las dos terceras partes de lo que le
quedaba. Al salir del kiosco tenía $12. ¿Cuánto dinero tenía?
17) LaS dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de
las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis
veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?
18) Las tres cuartas partes de la edad del padre de Agapito excede en
15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era
doble de la edad del hijo. Cuáles son las actuales edades de ambos
14) Hallar el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que β
mide 40° más que φ y que δ mide 40° más que β
Rta.: 20; 60; 100
Rta.: 24; 16; 4
Rta.: $54
Rta.: 54
Rta.: 36; 68

21) Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm y el perímetro llega a
52 cm. ¿Cuál era inicialmente el lado del cuadrado?
20) El perímetro de un terreno rectangular es de 350 m. Sabiendo que
el largo del terreno es el triple de su ancho, ¿cuáles son las dimensiones
de la parcela? ¿Cuál es el área del terreno?
22) En una joyería tienen dos lingotes de plata, uno con un 91% de
pureza y otro con un 75%. ¿Qué cantidad de cada uno se deberá
fundir si se pretende conseguir un lingote de 4 Kg con un 85% de
pureza?
23) Se tienen dos lingotes de oro, uno tiene un 60% de pureza y el
otro un 97%. Queremos mezclar 4 kg del primer tipo y 1.5 kg del
segundo, ¿de qué pureza será la mezcla obtenida?
19) Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 hs
¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble
de rápido que el otro? Rta.: 21; 42
Rta.: 43,75 m; 131,25 m; 5742,19 m²
Rta.: 9 cm
Rta.: 2500 g (91%) 1500 g (75%)
Rta.: 70%

1) Considerando la figura, cuánto vale β si
=30º ?
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
4) Calcular la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del
terreno se observa su extremo superior con un ángulo de 30° y si nos
acercamos 10 m, con un ángulo de 60°
5) Tres pueblos A, B y C están unidos por caminos rectos. La distancia
de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que ambos caminos es
120° ¿Qué distancia en línea recta hay entre A y B?
Los triángulos de la figura son rectángulos y los
lados DF y BC son paralelos
2) Considerando la figura, cuánto vale AB si
β=45º y BC=10m?
3) Considerando la figura, cuánto vale AB si β=40º y BC=10m?
Rta.: 30º
Rta.: 10 m
Rta.: 11,92 m
Rta.: 8,67 m
Rta.: 13,08 km
EJERCITACIÓN

En geometría se llama VECTOR al segmento orientado,
en el que se distinguen tres características principales:
Vectores
Dirección: la orientación de la recta
que contiene al segmento
Módulo: la longitud del segmento
Sentido: la indicación que
define el origen y el extremo
del segmento
Además puede contar con : Punto de Aplicación y Nombre
V

Analíticamente una manera práctica de representar un
vector, es expresarlo como el producto de su módulo o
intensidad por un “versor”
Vectores
Módulo
V = V i
Un versor es un vector unitario que se utiliza para
representar la dirección y el sentido
Dirección y Sentido
Así el versor, al valer 1 (uno), no modifica el valor del módulo

Las magnitudes físicas caracterizadas por un VECTOR
pueden representarse gráficamente con la utilización
de sistemas de coordenadas
 TRES para el Espacio
 DOS para un Plano o
 UNA sobre una Recta
Para el caso de representaciones
espaciales vamos a utilizar ternas
cartesianas
Según el caso, la representación puede demandar de
distintas dimensiones:
Vectores

En un espacio tridimensional representado por los
tres ejes ortogonales X, Y, Z con origen en O
y versores i, j, k respectivamente
El segmento OP, caracteriza al
vector , cuyas componentes
son x, y, z
Coordenadas Cartesianas Espaciales
x
y
z
O
P
i
j
k
y
z
x
Vectores
= x i + y j + z k

Trabajando en un plano (espacio bidimensional) se pueden
utilizar:
Coordenadas Polares
Coordenadas Cartesianas Rectangulares
Son simplemente una versión reducida a dos dimensiones
de caso general del espacio
= x i + y j
= ( R ; θ )
En este sistema un vector se define con su módulo y un
ángulo
Vectores

Teniendo un vector R
x
y R
q
x = R cos q y = R sen q
de componentes x e y que forma
un ángulo q con el eje de ordenadas (horizontal)
Con ayuda de la trigonometría, podemos expresarlo en
otro sistema de coordenadas sabiendo que
R = x i + y j = (R ; q)
Cambio de Coordenadas
COORDENADAS
POLARES
COORDENADAS
CARTESIANAS
Vectores

Expresar en coordenadas polares al vector V = 3 i – 4 j
x
CAMBIO DE COORDENADAS  CARTESIANAS ➔ POLARES
Tenemos Vx=3 ; Vy=–4 entonces
y
V
Vx
Vy
V=  Vx
2 + Vy
2
V=  16+9 → V= 5
tg q= Vy / Vx
q= arctg 4/3 =arctg 1,33 → q=53,1º
→ V=  (-4)2 + 32
→ q =arctg Vy / Vx
V =(5 ; –53,1º)
q
V =(5 ; 306,9º)
Vectores EJEMPLO

Expresar en en coordenadas cartesianas al vector
V = (2 ; 120º)
x
y
Vx = R cos q = 2 cos 120º = 2 . (–0,5)
Tenemos R=2 ; q =120º entonces
Vy = R sen q = 2 sen 120º = 2 . 0,867
→ Vx = –1
→ Vy = 1,73
Vx
VyV = Vx i + Vy j
V = –1 i + 1,73 j
V
q = 120º
CAMBIO DE COORDENADAS  POLARES ➔ CARTESIANAS
Vectores EJEMPLO

Teniendo en el espacio tridimensional:
Operaciones con Vectores
SUMA
A = a1 i + a2 j + a3 k
B = b1 i + b2 j + b3 k
C = A+B = (a1+b1) i + (a2+b2) j + (a3+b3 ) k
C=A+B
C = A+B = (a1 i + a2 j + a3 k)+(b1 i + b2 j + b3 k)
Se suman término a término las
componentes de ambos vectores en
cada dirección
A B
A
B

Calcular V = R + S
R = –2 i + 5 j + 1 k
S = 3 i – 1 j – 1 k
V R S = (–2+3) i + (5–1) j + (1–1) k
V R S = 1 i + 4 j + 0 k
Sumando término a término
las componentes de ambos
vectores en cada dirección
V R S = 1 i + 4 j + 0 k
V = i + 4 j
→ V = i + 4 j
De igual forma
+
SUMA
EJEMPLO

A
-B
D A B
BTeniendo
A = a1 i + a2 j + a3 k
B = b1 i + b2 j + b3 k
La resta A – B = A + (–B)
D A B =(a1 b1) i + (a2 b2) j + (a3 b3 ) k
D A (–B) =(a1 i + a2 j + a3 k)+(– b1 i – b2 j – b3 k)
(se suma A al opuesto de B)
Siendo –B = – b1 i – b2 j – b3 k
RESTA

Calcular V = R – S
R = –2 i + 5 j + 1 k
– S = –3 i + 4 j + 1 k
V R S = (–2–3) i + (5+4) j + (1+1) k
V R S = –5 i + 9 j + 2 k
V = – 5 i + 9 j + 2 k
De igual forma:
+
R = – 2i + 5j + 1k
S = 3i – 4j – 1k
Como R–S=R+(–S)
y el opuesto de S es
– S = –3i + 4j + 1k
tenemos:
RESTA
EJEMPLO

Existen TRES operaciones posibles
El producto de un VECTOR por un NÚMERO
El producto ESCALAR de un VECTOR por otro VECTOR
El producto VECTORIAL de un VECTOR por otro VECTOR
PRODUCTO

Su Módulo es el producto del módulo del vector por el número
El producto de un VECTOR
Su Dirección es igual a la del vector
Su Sentido es igual al del vector si el número es positivo, u
opuesto si el número es negativo
A = a1 i + a2 j + a3 k
por un NÚMERO
Da como resultado un VECTOR H tal que:
H = A = a1 i + a2 j + a3 k
Donde:
PRODUCTO – De un NÚMERO por un VECTOR

Calcular V = 5 T
V = 5 T = 5 (3i + 2j – 1k)
V = 15 i + 10 j – 5 k
T = 3i + 2j – 1k
= 5.3i + 5.2j – 5.1k
Calcular V = –4 U
V = –4 U = –4 (3i + 2j – 1k)
V = –12 i – 8 j + 4 k
siendo U = 3i + 2j – 1k
V = –4 U = (–4).3i + (–4).2j – (–4).1k
Operaciones con Vectores EJEMPLO
PRODUCTO – De un NÚMERO por un VECTOR

El producto ESCALAR de DOS VECTORES
A = a1 i + a2 j + a3 k
B = b1 i + b2 j + b3 k
Da como resultado un ESCALAR (es decir simplemente un
número) que resulta de:
N = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
O bien:
N = A B cos 
A
B
N = A B = ( a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k )
PRODUCTO ESCALAR

Calcular n = U x W
W = 3 i – 1 j – 1 k
U = –2 i + 5 j + 1 k
n = U x W = [(–2) x 3] + [5 x (–1)] + [1 x (–1)]
n = –12n = U x W = (–6) + (–5) + (– 1)
Multiplicamos entre sí a las componentes de cada dirección
de los vectores
Y luego sumamos algebraicamente
ESCALARPRODUCTO
EJEMPLO

Calcular n = U x W
W = (4 ; 10º)U = (5 ; 40º)
n = 17,32
n = |U| |W| cos 
Calculamos el ángulo entre ambos vectores
Y luego operamos

 = 40º – 10º →  = 30º
n = |5| |4| cos 30º
n = 20 . 0,867
10º
40º
ESCALARPRODUCTO
EJEMPLO

El producto VECTORIAL de DOS VECTORES
A = a1 i + a2 j + a3 k B = b1 i + b2 j + b3 k
Da como resultado otro VECTOR V = A B
con las siguientes características:
V = A B sen  A
B

Su Dirección es perpendicular al plano definido por los
vectores A y B, y su Sentido -que es convencional- se
obtiene de aplicar la regla del tirabuzón
Su Módulo surge de hacer
VECTORIALPRODUCTO

REGLA de TIRABUZÓN: Colocamos un
tirabuzón en dirección perpendicular al
plano definido por y
A
BEs importante observar que el resultado
de V = A  B tendrá igual módulo y
dirección pero sentido opuesto
a V = B  A , el orden NO es igual
V
El sentido del avance o retroceso del
tirabuzón será el sentido del vector
resultante (en el ej. retrocede hacia arriba)
y lo hacemos
girar en el sentido del producto (en el
ejemplo desde A hacia B)
VECTORIALPRODUCTO

CONVENCIÓN de SIGNOS:
Utilizando una “Terna Derecha”
aplicando la regla del tirabuzón se obtiene:
= =
VECTORIALPRODUCTO

CONVENCIÓN de SIGNOS:
Siempre utilizando una “Terna Derecha”,
considerando todas las posibilidades, resulta:
k
i
j -k
-i
-j
VECTORIALPRODUCTO

V = a b
En la imagen animada¹ se puede
observar como al cambiar de
dirección y sentido uno de los
vectores, varía el vector ‘V’
resultante del
producto vectorial
(1) NO APRECIABLE EN LAS
VERSIONES IMPRESA o “.pdf”
VECTORIALPRODUCTO

Calcular V = L M
M = 2j
V = 6 k
L = 3i
|V| = |L|.|M| sen  = |3|.|2| sen 90º
i j = k
k
i
j -k
-i
-j
VECTORIALPRODUCTO
EJEMPLO

Calcular V = P Q
Q = 3j
V = 15 i
P = –5k
|V| = |P|.|Q| sen  = |–5|.|3| sen 90º
–k j = i
k
i
j -k
-i
-j
Para el alcance de nuestro curso,
la aplicación del producto
vectorial, se reduce solo a
vectores ortogonales, por lo
tanto se puede prescindir de dar
ejemplos de otras condiciones
VECTORIALPRODUCTO
EJEMPLO

1) Un avión recorre 130 km en una trayectoria recta que forma un
ángulo de 22,5° al este de la dirección norte. Calcular la distancia que
el avión se aleja desde el punto de partida hacia en norte y hacia el
este desde el punto de partida
VECTORES
4) Un golfista en el "green" necesitó de tres golpes para embocar su
pelotita en el hoyo. Con el primero movió la pelota 3,66 m al norte, con
el segundo 1,83 m al sudeste y con el tercero 0,91 m al sudoeste,
calcular la distancia a que se encontraba del hoyo al realizar el primer
golpe
2) Un auto, para viajar de una ciudad a otra recorre 30 km por una
ruta hacia el norte, gira 90° a la derecha y recorre otros 40 km,
calcular la distancia real entre ambas ciudades
3) Dados los vectores A= 4 i + 3 j + 2 k y B= 6 i + 8 j + 3 k
Calcular A+B ; B–A ; A–B
Rta.: 120,1 km ; 49,7 km
Rta.: 50 km
Rta.: 10ǐ + 11j + 5k ; 2ǐ + 5j + k ; –2ǐ – 5j – k
Rta.: 1,84 m
EJERCITACIÓN

5) Las dimensiones de una habitación son largo 5m, ancho 6m y altura
3,5 m, una cucaracha vuela desde un vértice del piso hasta otro
vértice, el diagonalmente opuesto del techo y luego vuelve caminando
por el camino más corto, calcular la magnitud del camino de ida
(volando) y la magnitud del camino de vuelta (caminando)
8) Siendo los vectores A= 4i + 0j y B= 6i + 8j demostrar que la
magnitud del producto vectorial‚ da numéricamente el área del
paralelogramo formado por los dos vectores componentes como lados
6) Siendo los vectores A= 4i + 3j y B= 6i + 8j demostrar el
cumplimiento de la propiedad conmutativa del producto escalar
7) Para los vectores del ejercicio anterior, demostrar el incumplimiento
de la propiedad conmutativa del producto vectorial
Rta.: 8,55 m; 11,31 m
EJERCITACIÓNVECTORES

9) Hallar las componentes cartesianas de los siguientes vectores
expresados en coordenadas polares:
A= (10;300º) B= (2;135º) C=(0,5;–30º) D= (40;220º)
E= (3;–240º) F= (8;180º) G= (1;0º) H= (0;–125º)
10) Hallar el módulo y el argumento de los siguientes vectores
expresados en coordenadas cartesianas:
A= (4;5) B= (–2;8) C= (–10;–1) D= (0;4)
E= (1;–2) F= ( 3;0) G= (–3;–4) H= ( 2;–2
Rta.: A= 5ǐ–8,6j ; B= –ǐ+j ; C= 0,43ǐ–0,25j ; D =–30,6ǐ–25,7j ;
E= –0,86ǐ+1,49j ; F= –8j ; G= ǐ ; H= No hay módulo
Rta.: A= (6;51,34º) ; B= (8,24;104º) ; C= (10,04;185,7º) : D=(4;90º)
E = (√5;296º36’) ; F= (√3; 0º) ; G=(√3; 235º) ; H= (2; 315º)

11) Dados los siguientes vectores A= (3;4) B= (–2;–1) C= (5;0)
resolver las siguientes operaciones:
D= A+B ; E= A–B+C ; F= 2.B+3.C ; G= –4.A+C/2
12) Dados los vectores:
A= (6;0º) B= (3;0º) C= (8;60º) D= (10;90º)
E= (2;135º) F= (5;180º) G= (4;210º) H= (5;300º)
representar los siguientes pares de vectores y hallar el producto escalar
entre ellos:
J= A.B ; K=A.D ; L=B.C ; M=A.F ;
N=B.G ; O=E.G ; P=C.G ; Q=C.H
Rta.: D= ǐ+3j E= 10ǐ+5j F= 11ǐ–2J G= 19/2ǐ–16j
Rta.:
J=18; N=–10,32; K=0; O=2,07; L=12; P=–27,7; M=–30; Q=–20

UTN FRGP Física TUMMyD Apéndice Apunte Curso Introductorio 20 v1

UTN FRGP Física TUMMyD Apéndice Apunte Curso Introductorio 20 v1

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (18)

Similar a UTN FRGP Física TUMMyD Apéndice Apunte Curso Introductorio 20 v1

Similar a UTN FRGP Física TUMMyD Apéndice Apunte Curso Introductorio 20 v1 (20)

Último

Último (20)

UTN FRGP Física TUMMyD Apéndice Apunte Curso Introductorio 20 v1