Los números naturales - Material didáctico para matemáticas

Bienvenidos a la Unidad
II de Números Naturales
Nuestro Tema Transversal es
Educación para la gestión de
riesgos y la conciencia ambiental
Autor: Eugenio Marlon Evaristo
Borja.

DIVERSIFICACIÓN
CAPACIDADES
Razonamiento y demostración
• Compara, ordena y representa números naturales
• Estima el resultado de operaciones con números naturales.
• Interpreta criterios de divisibilidad de los números naturales y las propiedades de
los números primos y compuestos
• Realiza y verifica operaciones utilizando la calculadora, para reflexionar sobre
conceptos y para descubrir propiedades de las operaciones con los números
naturales.
Comunicación Matemática
• Identifica patrones numéricos, los generaliza y simboliza.
• Interpreta el significado de números naturales, enteros y racionales en diversas
situaciones y contextos.
• Matematiza situaciones de contexto real, utilizando los números naturales, enteros
o racionales y sus propiedades.
Resolución de problemas
• Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números
naturales, enteros o racionales y Ecuaciones lineales con una incógnita.
• Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números
naturales y sus operaciones básicas.
• Resuelve problemas que requieran de los criterios de divisibilidad de los números.
• Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones
lineales con una incógnita.
• Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas.
CONOCIMIENTOS
Sistemas numéricos
• Representación, orden y
operaciones con números
naturales.
• Divisibilidad, propiedades
de números primos y
compuestos.
Álgebra
• Patrones numéricos.
• Ecuaciones lineales con una
incógnita.
• Valor numérico de
expresiones algebraicas.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

NÚMEROS NATURALES
¿Cuántas estrellas
marinas hay?
Para conocer esta
información nacen los
números naturales.

NÚMEROS NATURALES
Los Números Naturales sirven para
contar, ordenar e informar.
El conjunto de los Números
Naturales se representan por
ℕ = {1; 2; 3; 4; 5…}
El “0” no es un número natural
pero por razones de uso lo
consideramos como tal.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …

NÚMEROS NATURALES
1. Valor de posición de
una cifra en un número.
5 6 7 8
8 unidades
70 unidades
600 unidades
5000 unidades
5000 +600+70+8=5678
En un número, cada cifra
tiene un valor diferente,
según su posición.
El valor de una cifra en un número
depende del lugar que ocupa en la
escritura de un número.

NÚMEROS NATURALES
4 cifras 3 cifras
5 6 7 8 5 6 7
Si los números tienen la misma cantidad de
cifras y queremos saber cuál es el mayor,
empezamos comparando las cifras de orden
mayor hasta encontrar la diferencia entre
<
2. Comparación y orden
de números naturales.
5 6 7 8
Si los números tienen diferentes
cantidades de cifras, es menor el
número que menos cifras tiene.
7 9 7
estos valores.
7 9 7
5 6 7 9
8 u < 9u
7 d = 7d
6 c = 6c
5 UM = 5 UM
>
=

NÚMEROS NATURALES
Para ordenar números los
colocamos de menor a mayor
(>) o de menor a mayor (<).
3. Ordenar los números
naturales.
El signo > significa “mayor que”
El signo < significa “menor que”
• Dado los siguientes números:
• 123; 345; 4562; 456
• De mayor a menor
• De menor a
mayor(Ascendente):
(Descendente):
• 123 < 345 < 456 < 4562 • 4562 > 456 > 345 >123

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
A. Adición de ℕ.
La suma de dos números naturales es otro número natural.
Si: a, b ∈ℕ⇒(a + b)∈ℕ
7 + 13 =20 ∈ℕ
Conmutativa
Asociativa
Elemento Neutro
Monotonía
La Adición cumple las siguientes
propiedades

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN
A.1. Propiedad Conmutativa
23 + 45 = 45 + 23
68 = 68
La suma no cambia si se altera el
orden de los sumandos.
En general:
a + b = b + a
Realiza algunas operaciones
puedes usar tu calculadora
para comprobar la
propiedad.

A.2 Propiedad Asociativa
(34 + 65) + 70 = 34 + (65 + 70)
99 + 70 = 34 + 135
169 = 169
La suma de dos o más números
agrupados de dos en dos no cambia si
las tomamos de 2 en 2.
para comprobar la
propiedad.
En general:
(a + b) + c = a + (b + c)

A.3. Propiedad del Elemento Neutro
(88 + 0) = 88
0 + 15 = 15
La suma de cualquier ℕ con cero
es igual al mismo ℕ.
para comprobar la
propiedad.
En general:
a + 0 = a

A.4. Propiedad de Monotonía
88 = (60+28)
88 +12 = (60+28)+12
100 = 100
Si a ambos miembros de una igualdad
se le suma una misma cantidad, la
igualdad continua.
para comprobar la
propiedad.
En general:
Si a=b
a + c = b + c

B. Sustracción de ℕ.
La sustracción de dos números naturales es otro número natural si el
minuendo es mayor que el sustraendo.
Si: a, b ∈ℕ ∧ a>b ⇒(a - b)∈ℕ
17 + 13 =4 ∈ℕ
Del Minuendo y sustraendo
Elemento Neutro
Monotonía
La Sustracción de ℕ cumple
las siguientes propiedades

PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN
B.1. Propiedad del Minuendo y Sustraendo
(88 - 40) = 48
(88 - 40) = 48
Si al minuendo de una sustracción se
le resta una cantidad se le resta
también al resultado.
para comprobar la
propiedad.
(88-30)-40=48-30
(88+30)-40=48+30
En general:
(a –b) = c ⇒ (a-d)-b=c+d
(a –b) = c ⇒ a-(b+d)=c-d
(90 - 50) = 40
(90 - 50) = 40
90-(50-10)=40+10
90-(50+10)=40-10

B.2. Propiedad del Elemento Neutro
(88 - 0) = 88
La resta de cualquier ℕ con cero
es igual al mismo número.
para comprobar la
propiedad.
En general:
a - 0 = a

B.3. Propiedad de Monotonía
88 = (60+28)
88 -12 = (60+28)-12
76 = 76
Si a ambos miembros de una igualdad
se le resta una misma cantidad, la
igualdad continua.
para comprobar la
propiedad.
En general:
Si a=b
a - c = b - c

C. Multiplicación de ℕ.
El producto de dos ℕs es la suma tantas veces
indique el número que lo acompaña
∀ a, b ∈ℕ, a x b = a + a + a...+ a} b veces a.
Clausura
Conmutativa
Asociativa
Elemento Neutro
Elemento Nulo
La Multiplicación de ℕ cumple las
siguientes propiedades

PROPIEDADES DE LA
MULTIPLICACIÓN
C.1. Propiedad de Clausura
15 x 5 = 75
∈ x ∈ = ∈
La multiplicación de dos ℕs es
otro ℕ
En general:
∀ a , b ∈ℕ, a . b ∈ℕ
para comprobar la
propiedad.

PROPIEDADES DE LA
MULTIPLICACIÓN
C.2. Propiedad Conmutativa
3 x 7 = 7 x 3
21 = 21
El orden de los factores no altera
el producto.
En general:
a x b = b x a
para comprobar la
propiedad.

PROPIEDADES DE LA
MULTIPLICACIÓN
C.3. Propiedad Asociativa
(3 x 5) x 10 = 3 x (5 x 10)
15 x 10 = 3 x 50
150 = 150
El producto de dos o más números
agrupados de dos en dos no cambia si
las tomamos de 2 en 2.
para comprobar la
propiedad.
En general:
(a x b) x c = a x (b x c)

PROPIEDADES DE LA
MULTIPLICACIÓN
C.4. Propiedad del Elemento Neutro
(88 x 1) = 88
1 x 15 = 15
La multiplicación de cualquier ℕ
con 1 es igual al mismo ℕ.
para comprobar la
propiedad.
En general:
a x 1 = a

PROPIEDADES DE LA
MULTIPLICACIÓN
C.5. Propiedad del Elemento Nulo
(88 x 0) = 0
0 x 15 = 0
La multiplicación de cualquier ℕ
con 0 es igual a 0.
para comprobar la
propiedad.
En general:
a x 0 = 0

OPERACIONES CON NÚMEROS
NATURALES
El producto de factores iguales se
llama potencia
∀ a,b ∈ℕ, ab =a x a ...x a}b veces a.
Exponente cero
Exponente uno
Potencia de un Producto
Producto de potencias de igual base
Potencia de un Cociente
Cociente de potencias de igual base
Potencia de Potencia
D. Potenciación de ℕ.
Base
Exponente
43 = 64
La Potenciación de ℕ
cumple las siguientes
propiedades
Potencia

PROPIEDADES DE LA
POTENCIACIÓN
D.1. Exponente cero D.2 Exponente uno
Todo ℕ elevado a la
0 es 1.
a0=1
40 = 1
15o0 = 1
Todo ℕ elevado a la 1
es el mismo ℕ.
a1=a
41 = 4
1501 = 150

PROPIEDADES DE LA
POTENCIACIÓN
D.3 Potencia de un producto
D.4. Producto de Potencias de
igual base
La potencia de un producto es
igual al producto de sus
potencias
(a x b)n=an x bn
(4 x5)2 =42 x52
(10x6)3 =103 x63
El producto de dos potencias
con bases iguales es igual a la
misma base elevada a la suma
de sus exponentes.
am x an=am+n
4 2x43 =42+3
103x105 =103+5

PROPIEDADES DE LA
POTENCIACIÓN
D.5. Potencia de un cociente
D.6. Cociente de Potencias de
igual base
La potencia de un cociente es
igual al cociente de sus
potencias
(a ÷ b)n=an ÷ bn
(4 ÷ 5)2 =42 ÷ 52
(10 ÷ 6)3 =103 ÷ 63
El cociente de dos potencias
con bases iguales es igual a la
misma base elevada a la resta
de sus exponentes.
am ÷ an=am-n
4 2 ÷ 43 =42-3
105 ÷ 104 =105-4

PROPIEDADES DE LA
POTENCIACIÓN
D.7. Potencia de Potencia
La potencia de una potencia
es igual a la misma base y a la
multiplicación de los
exponentes
(am )n=am.n
(42)3 =42.3 = 46
(104)2 =104.2 = 108
Puedes probar estas
propiedades haciendo
uso de tu calculadora.

NATURALES
La división en ℕ no siempre es
posible.
Por ejemplo 9 ÷ 2 no es un ℕ.
E. División de ℕ.
Por eso existen dos tipos de
división dentro de los ℕ.
División Exacta
División Inexacta

DIVISIÓN DE ℕ
E.1. División Exacta
18 ÷ 2 = 9
= 9
18 2
0 9
En la división exacta el
residuo es igual a 0.
para comprobar la
propiedad.
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo

DIVISIÓN DE ℕ
PROPIEDADES
El residuo siempre es
menor que el divisor.
para comprobar la
propiedad.
25 3
1 8
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo
62 9
8 6
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo
El mayor residuo que se puede
obtener es una unidad menor que el
divisor
E.2. DIVISIÓN
INEXACTA

F. Divisibilidad
Dados dos números para saber si
uno es múltiplo o divisor del otro,
dividimos el mayor entre el menor.
Si la división es exacta:
• El menor es divisor del mayor.
• El mayor es múltiplo del menor.
F.1. Múltiplos y divisores
5 45
es divisor de
es múltiplo de
Se lee
5|45
45 es divisible
entre 5

F. La divisibilidad
F.2. Calculo de los divisores
Para calcular todos los divisores de un
número:
• Se divide el número entre todos los
números menores que él,
empezando por el 1.
• Anota los divisores que encuentras.
• El proceso termina o deja de hacer
divisiones cuando el cociente
resulta igual o menor que el divisor.
Divisiones Divisores de 24
24 ÷ 1 = 24 1 y 24
24 ÷ 2 = 12 2 y 12
24 ÷ 3 = 8 3 y 8
24 ÷ 4 = 6 4 y 6
24 ÷ 5 = 4
Residuo 4
D (24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

F.3. Los números primos
Un número es primo cuando
únicamente tiene dos divisores:
el número 1 y el mismo.
2 3 5 7
11 13 17 19
Aquí tenemos una lista
de los números primos
menores que 20.
13 ÷ 1 = 13 1 y 13
13 ÷ 2 = 6
Residuo 1
13 ÷ 3 = 4
Residuo 1
13 ÷ 4 = 3
Residuo 1
El número 1 no es ni
primo ni compuesto,
ya que solo tiene un
divisor.

F.4. Los números compuestos
Un número es compuesto
cuando tiene más de dos
divisores.
4 6 8 9
10 12 14 15
Aquí tenemos una lista de
los números compuestos
menores o iguales que 15.
24 ÷ 1 = 24 1 y 24
24 ÷ 2 = 12 2 y 12
24 ÷ 3 = 8 3 y 8
24 ÷ 4 = 6 4 y 6
24 ÷ 5 = 4
Residuo 4
Para calcular si un número
es primo o compuesto se
tiene que dividir entre los
número primos menores
que el.

F.4. Los números compuestos
Método de descomposición
por divisiones sucesivas
entre números primos.
Método de Diagrama del
árbol
60 2
30 2
15 3
5 5
1
1
Todo número tiene una
y solo una
descomposición prima.
Descomposición prima de un número
compuesto
60= 2 x 2 x 3 x 5
60= 22 x 3 x 5
60 30
2
15
2
5
3
5
60= 2 x 2 x 3 x 5
60= 22 x 3 x 5

G. Máximo común divisor
Para determinar el m.c.d. de dos
números se obtienen:
• Los divisores de cada número.
• Los divisores comunes de los dos
números.
• El mayor de los divisores
comunes es el m.c.d.
30 45 3
10 15 5
2 3
Hallar el m.c.d. De 30 y 45.
Con ambos métodos.
D(30) ={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
D(45) ={1, 3, 5, 9, 15, 45}
Los divisores comunes de 30 y 45 son:
D(30 y 45) ={1, 3, 5, 15}
m.c.d.(30 y45) = 15
En la forma abreviada se
halla de la siguiente manera.
m.c.d.(30 y 45) = 3 x 5
m.c.d.(30 y 45) = 15

H. Mínimo Común Múltiplo.
Para determinar el m.c.m. de dos
números se obtienen:
• Los múltiplos de cada número.
• Los múltiplos comunes de los
dos números.
• El menor de los múltiplos
comunes distinto de 0 es el
m.c.m.
3 5 3
1 5 5
1
Hallar el m.c.m. De 3 y 5.
Con ambos métodos.
M(3) ={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 …}
M(5) ={ 5, 10, 15, 20, 25, 30, …}
Los múltiplos comunes de 3 y 5 son:
M(3 y 5) ={15, 30, …}
m.c.m.(3 y 5) = 15
En la forma abreviada se
halla de la siguiente manera.
m.c.m.(3 y 5) = 3 x 5
m.c.m.(3 y 5) = 15

Calcular la raíz enésima de un número
es encontrar otro número que elevado
a un exponente n sea igual al primero.
I. Radicación de ℕ.
Producto de raíces de igual índice
Cociente de raíces de igual índice
Raíz de una potencia
Raíz de raíz
Índice de la raíz
Signo radical
Radicación
Cantidad subradical
La Radicación de ℕ
cumple las siguientes
propiedades

PROPIEDADES DE LA
RADICACIÓN
I.1 Producto de raíces de igual
índice.
I.2 Cociente de raíces de igual
índice
El producto de raíces de
igual índice es igual a la
raíz de un producto.
El cociente de dos raíces
de igual índice es igual a
la raíz del cociente.

PROPIEDADES DE LA
RADICACIÓN
I. 3. Raíz de una potencia I.4. Raíz de raíz
La raíz de una potencia
es igual a la división del
exponente con el índice
La raíz de raíz es igual al
producto de sus índices.

Una ecuación es una
igualdad que contiene una o
más incógnitas, en este caso
solo trabajaremos con
ecuaciones de una incógnita.
En una ecuación
encontraremos como solución
un único valor.
J. Ecuaciones
• Si tenemos x + 5 = 8 + 7
• Procedemos realizar las
operaciones:
• x + 5 = 15
Se ejecuta una operación opuesta al
que afecta a la incógnita
• x+5 -5=15-5
• Operamos
• x=10

Una inecuación es una
desigualdad que contiene una
o más incógnitas, en este
caso solo trabajaremos con
inecuaciones de una
incógnita.
En una inecuación
encontraremos como solución
más de un valor.
K. Inecuaciones
NATURALES
• Si tenemos x + 10 > 12 + 15
• Procedemos realizar las
operaciones:
• x + 10 > 27
Se ejecuta una operación opuesta al
que afecta a la incógnita
• x+10 -10 > 27-10
• Operamos
• x >17
• x={18, 19, 20, …}

Fin de los Números naturales
Recuerda
practicar lo
aprendido.

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