R.M

2. Las proposiciones se pueden denotar con letras minúsculas,
generalmente se usa p, q, r, s, t, etc.

4. 1. Formalizar:
“Martín al igual que Carlos son ingenieros, sin embargo no tienen título universitario”
A) (p q) (r s)
B) (p q) ( r s)
C) (p q) ( r s)
D) (p q) ( r s)
E) (p q) ( r s)
2. considerando v 1, f 0.
Dado el siguiente esquema formal falso:
[(p q) ( q v r)]
Los valores de p, r y q son respectivamente:
A) 110 B) 000 C) 101 D) 001 E) 010
3. Dada la proposición: “No se da el caso que, estudiemos y no aprobemos”, es
equivalente lógicamente a la siguiente proposición:
A) Aprobamos y no estudiamos
B) Estudiamos o aprobamos
C) Aprobamos o no aprobamos
D) Aprobamos o no estudiamos
E) Estudiamos y aprobamos
4. Si la proposición formal p v q es falsa lógicamente, luego la proposición siempre
verdadera no es:
A) p v q B) p q C) p v q
D) p v h E) q p

5. 1. El conmutador
Tiene como mínimo equivalente:
A) p B) p q C) p v q D) p q E) p q

6. 1.. Se tiene que: El costo de instalación de cada llave es s/. 15. ¿En cuanto se reducirá el
costo de la instalación si se reemplaza este circuito por su equivalente más simple?
p
s
q s
p q
A) s/.45 B) s/. 50 C) s/. 75 D) s/. 30 E) s/. 25
2. Halle la proposición lógica correspondiente al siguiente circuito lógico.
q
p¬
qp
A

7. A) q)(rq)(p B) q)(rq)p( C) q)r(q)(p
D) q)(rq)p( E) q)(rq)(p
3. halla la expresión lógica correspondiente al siguiente circuito.
A) s)q(]srq)p[(r)(q B) s)(q]srq)[(pr)(q
C) s)(q]srq)[(pr)(q D) s)(q]srq)p[(r)(q
E) s)q(]srq)[(pr)q(
≠ ∅
= ∅
U
U
S
U
S
x
U
S
U
S
x
U
S

8. ELEMENTOS DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
Los elementos son 4, Observa en la proposición que tomamos de modelo.
FORMAS TÍPICAS, CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE LAS PROPOSICIONES
CATEGÓRICAS
Estas proposiciones se pueden representar con los diagramas de Venn y reciben una
formula booleana. Todo esto lo resumimos en el siguiente cuadro que nos ayudará a tener
una visión global de las proposiciones categóricas.
Forma típica de una
Proposición
categórica
Símbolo
Clasificación
Diagrama de Venn
Fórmula
BooleanaCuantitativa Cualitativa
“Todos S es P” A Universal Afirmativa
SP=∅
“Ningún S es P”
E Universal Negativa
SP=∅
“Algún S es P” I Particular Afirmativa SP ∅
“Algún S no es P” O Particular
Negativa
SP ∅
∅ ∅ ∅ ∅ ∅

9. ∅
M N
x
R
M R
x
F R
x

10. 1. Tomando en cuenta que
“Ningún crustáceo es mamífero “
Podemos concluir:
A) Todo mamífero es crustáceo B) Ningún no crustáceo es no mamífero
C) Algún no crustáceo es no mamífero D) Todo crustáceo es mamífero
E) Algún no mamífero es crustáceo.
2. Si: Algunos filósofos son materialistas entonces podemos concluir que
A) No ocurre que ningún filósofo sea materialista. B) Ningún filósofo es materialista.
C) Ningún materialista es filósofo. D) Todo filósofo es materialista
E) Algunos filósofos no son materialistas
3. Si:
Todos los insectos son invertebrados
Algunos insectos son coleópteros.
Entonces
A) Todo coleóptero es invertebrado. B) Algún coleóptero es invertebrado.
C) Ningún coleóptero es insecto. D) Todo insecto es coleóptero.
E) Algún coleóptero es vertebrado.
ORDEN DE INFORMACIÓN Ó LÓGICA RECREATIVA
Los problemas de este tipo miden habilidades de deducción lógica ya que su solución sólo
implica el mínimo de conocimiento y sí un máximo raciocinio mental con ciertas
operaciones básicas.
RD
(1)SRDy
SR
SE
(2)LESy
EL
Respuesta B)

11. Respuesta C)
Respuesta D)
Respuesta D)
Arturo
Willy
Mario
1
2
3
4 Jorge
YO Luisa
Hnos.
Hnos.
Padre
de
Mamá
de
Padre
de
Padre
de
Abuelo
de
Abuelo
materno
del
Melliso
de
luisa

12. Respuesta C)
Respuesta C)

13. Respuesta E)
1. En la casa de Roberto viven un gordo, un flaco y un enano que tienen diferentes
temperamentos. Uno está siempre alegre otro colérico y el otro triste. Se sabe que el
gordo nunca se le ve reír, el enano está siempre molesto porque siempre lo fastidian por
su tamaño. Entonces es cierto que:
A) el gordo es colérico B) El gordo para alegre C) El enano para triste
D) El flaco para alegre E) El flaco para triste.
Se sabe que el gordo nunca se le ve reír
El enano está siempre molesto porque siempre lo fastidian por su tamaño.
Respuesta D)
2. Ricardo, César, Percy y Manuel, tienen diferentes ocupaciones. Sabemos que:
Ricardo y el carpintero están enojados con Manuel.
César es amigo del electricista.
El comerciante es familiar de Manuel.
El sastre es muy amigo de Percy y del electricista.
Ricardo desde muy joven se dedica a vender abarrotes.
¿Cuál es la ocupación de Percy?
A) Carpintero B) Electricista C) Comerciante D) Sastre E) No es posible determinarlo

14. Respuesta A)

15. abcd
dca
b
aaa
(a≠ b≠ c≠ d)
abcd
dca
b
aaa
598
7
888
abcd
Respuesta D)

16. aaa = bbb aaa + bbb = 1 665
a b-a b
8bdondede
888bbb
7761bbb2
6651bbb111bbb
7a:dondeDe
777aaa
111888aaa
a b-a b = 718
Respuesta C)
mnpq77777777777
sumandos36
2121186xababa abaab
3
1A
A2
73)2(AE
000100TRESSIETE SEIS
888CUPPUC
2010
N)M(A MN19A3A2A1A
t1 t2
, t3
, t4
, ,... tn
,
+r +r +r

17. r
tt
n on
Calcule el trigésimo término en: 3; 13; 29; 51;…
A) 2 629 B) 2 429 C) 2 829 D) 2 729 E) 3 729
Respuesta D)
¿Qué número continua en la sucesión?
1; 3; 4; 7; 11; 18; …
A) 29 B) 19 C) 28 D) 92 E) 21

18. Resolución
Respuesta A)
Respuesta D)
2
(26)x7
S
262626262626262S:Sumando
471013161922S:Entonces
221916131074S:Como
términos7
Respuesta B)
3 5 7 9 11
+2 +2 +2 +2
nx
2
tt
S
91x7
2
)224(
2
(26)x7
S
n1

19. Respuesta E)
9
4
3
4
412S
9
4
3
4
412s
3
1
x
3
1
x
3
1
x
3
1
9
4
3
4
412s
27
4
9
4
3
4
4
3
1
s
12
3
1
ss
18
3
1
1
12
s
q1
t
S 1
39420S
99x
2
40210
nx
2
tt
S n1

20. 2
1
x 32
2
1
1
16
q1
t
S 1
Respuesta B)
1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente sucesión?
-10; -6; -2; 2; 6; …; 402
A) 101 B) 102 C) 103 D) 104 E) 105
2. Calcule el trigésimo término en:
3; 13; 29; 51;…
A) 2 629 B) 2 429 C) 2 829
D) 2 729 E) 3 729
3. Halle el número de términos en:
2; 5; 10; 17; 26; . . . ; 122
A) 81 B) 9 C) 10 D) 11 E) 21
PLANTEO DE ECUACIONES
Concepto: Plantear una ecuación significa traducir adecuadamente el enunciado de un
problema a una expresión matemática mediante una o más ecuaciones.
En todo enunciado de un problema siempre se nos pide hallar “algo” que es cuantificable.
A este valor, por el momento desconocido, se le denomina INCOGNITA y se le
representa por una letra arbitraria: “x”, “y”, ó “z”.
Toda frase es susceptible de ser traducido a un lenguaje matemático. Veamos algunas
traducciones.
El doble de un número más 1 2x+1
El cuadrado de un número disminuido en 2 x2
-2
El exceso de un número sobre 5 n-5
L a mitad de un número aumentado en 4
2
+ 4
El duplo de una cantidad aumentado en su mitad 2 +
2
Ejemplos
1. Luis recibió s/. 30 soles, tuvo entonces el doble de lo hubiera tenido si hubiera perdido
s/. 5. ¿Cuánto tenía al principio?
Resolución

21. Nuestra incógnita será: x = lo que tenía al principio
Si recibió s/. 30, ahora tiene: x+30
Si hubiera perdido s/. Tendría: x-5
Por condición del problema:
x+30=2(x-5)
x+30=2x-10
x = 40 soles
2. La suma de tres números consecutivos es 30. Hallar el producto de ellos
Resolución
Sean los tres números consecutivos: x; x+1; x+2.
La suma de ellos es 30:
x + (x + 1) + (x + 2) = 30
3x + 3 = 30
x = 9.
Luego los números consecutivos son: 9; 10; 11.
Producto: 9 x 10 x 11 = 990.
3. Varios amigos alquilaron una “combi” por s/. 300 para una excursión, a pagar en partes
iguales; pero faltaron 3 de ellos y cada uno de los que asistieron tuvieron que pagar s/. 5
más.
A) 15 B) 12 C) 13 D) 18 E) 20
Resolución
Sea x= números de amigos. Entonces cada uno debe pagar:
300
x
=Cuota original
Pero faltaron 3, es decir asisten: x – 3 personas que ahora deben pagar por cada uno:
300
x - 3
=Nueva cuota
Por dato:
Nueva cuota = Cuota original +5
300
− 3
=
300
+ 5
300
− 3
−
300
= 5
300 − 300 + 900
( − 3)
= 5

22. x (x-3) = 15(12) = 15(15 - 3), entonces x=15. Fuero a la excursión: 15-3=12 personas.
(Clave B)
Problemas propuestos
1. Lo que cobra y gasta un profesor cesante suman s/. 600.
Lo que gasta y lo que cobra están en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el
gasto para que dicha relación sea de 3 a 5?
A) 30 B) 20 C) 24 D) 36 E) 40
2. Determinar el producto de tres números enteros consecutivos, si el cociente del mayor
por el menor equivale a los
10
3
del intermedio.
A) 60 B) 210 C) 120 D) 504 E) 1320
3. Se tiene 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si
se retiran 4 niños, los restantes reciben 5 caramelos más. ¿Cuántos niños había
inicialmente?
A) 20 B) 16 C) 14 D) 18 E) 15
PROBLEMAS SOBRE EDADES
Problemas sobre edades es un caso particular de planteo de ecuaciones, en donde
intervienen 3 datos, a saber:
Personas: Aquí lo esencial es reconocer el número de personas que
intervienen.
Tiempo: Está referido al pasado, presente o futuro.
Ciertas frases típicas nos señala el tiempo en que se está refiriendo:
Pasado: “Hace 5 años”, “tenía”, “tuve”. Etc.
Presente: “Actualmente”, “tienes”, “tengo”, etc.
Futuro: “Dentro de 10 años”, “tendrás”, etc.
Relaciones: Este es el dato fundamental, ya que trata de relacionar las
edades de las personas en tiempos diferentes.
Método de Resolución
Una forma más ordenada y práctica de resolver problemas sobre edades, es hacer un
esquema y colocar los datos e incógnitas en los casilleros que le corresponden.
Un esquema clásico es tal como se muestra a continuación:

23. Pasado Presente futuro
A
B
Propiedades:
Hace “b”
años
Hoy
Dentro de
“a” años
Pedro x-b x x+a
Ejemplos
1. Juan tiene el triple de la edad de Pedro. Cuando Pedro tenga la edad de Juan, éste
tendrá 60 años. ¿Cuál es la edad de Juan?
A) 12 B) 36 C) 24 D) 60 E) 40
Resolución
Colocando los datos en un esquema, obtenemos:
Presente Futuro
Juan 3x 60
Pedro x 3x
Se sabe que la diferencia de edades es el mismo, en cualquier tiempo.
3x-x = 60 – 3x
5x = 60
X = 12
Edad de Juan: 3x = 3(12) = 36 años. Rpta. B
2. La edad de Luis es el triple de la edad de Carmela, hace 3 años la edad de Carmela
era “a+3b” años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Luis será el doble de la edad de
Carmela?
A) a + b + 3 B) 3a + b + 3 C) a +3b + 3 D) a - b + 3 E) a - 3b + 3
Resolución
Sean x= edad de Carmela; 3x= edad de Luis
Sea “t” el tiempo transcurrido para que la edad de Luis sea el doble de Carmela.

24. Con los datos del problema, elaboramos el cuadro que se muestra a continuación.
Hace “3”
años
presente
Dentro de
“t” años
Luis 3x 3x+t
Carmela a+3b x x+t
Si a la edad de Carmela de hace 3 años, le agregamos 3 obtenemos su edad actual.
(a+3b)+3=x
x=a+3b+3……..(1)
Ahora planteamos la relación: Edad de Luis =2 edad de Carmela (dentro de “t” años)
3x + t = 2(x + t)
t=x
De (1) t= a+3b+3 ……….Rpta. C
Problemas propuestos
1. Si sumo de dos en dos las edades de mis tres hijas obtengo 13, 17 y 24 años. ¿Qué
edad tiene María, siendo ella la mayor?
A) 10 años B) 8 años C) 14 años D) 12 años E) 16 años.
2. Las edades de tres hermanos hace dos años estaban en la misma relación que: 3; 4 y
5. Y dentro de 2 años serán como 5; 6 y 7, ¿Qué edad tiene el mayor?
A) 8 años B) 12 años C) 14 años D) 6 años E) 18 años
3. “A” le dice a “B” yo tengo 5 años más de la edad que tú tenías, cuando yo tenía 3 años
menos de la edad que tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras
edades sumarán 49 años. ¿Qué edad tiene “A”?
A) 11 años B) 12 años C) 13 años D) 15 años E) 16 años
CONTEO DE FIGURAS
Consiste en hallar la máxima cantidad de figuras de una determinada especie presentes
en la figura dada.

25. Métodos de conteo
A) Conteo Directo: Consiste en calcular la cantidad de figuras del tipo deseado
procediendo a la numeración de todas las figuras simples mediantes dígitos y/o
letras, posteriormente al conteo ordenado de las figuras de 1 número; al unir 2
números al unir 3 números y así sucesivamente.
Ejemplo: Hallar el número de triángulos en la figura adjunta.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Resolución:
De 1 dígito: 7 Triáng.
De 2 dígitos: 12; 13; 45; 67; 46; 57.
De 3 dígitos: 145; 453.
Total = 15 Triángulos…………………Rpta. D
B) Mediante Formulas (Método Inductivo).
Contar ángulos agudos Contar triángulos Contar segmentos
No
de Ang=
( + 1)
2
n= N
o
de ángulo
No
de Triang=
( + 1)
2
n= N
o
de Triángulos
No
de Seg=
( + 1)
2
n= N
o
de segmento
Contar Cuadriláteros Contar Cuadrados
No
de Cuadriláteros
m(m+1)
2
x
n(n+1)
2
No
de Cuadrados
n(n+1)(2n+1)
6
1
76
54
3
2
1
2
6

26. Ejemplos
1. Cuantos ángulos agudos existen en la figura.
A) 21 B) 18 C) 24 D) 20 E) 16
Resolución
n=6, entonces
6(6+1)
2
=21, Rpta. A)
2. Hallar el total de cuadrados en la figura:
A) 48 B) 50 C) 55 D) 42 E) 52
Resolución
n=5, entonces
5(5+1)(10+1)
6
=55, Rpta. C)
3. Hallar el total de triángulos en la figura
A) 98 B) 96 C) 102 D) 108 E) 112
Resolución
n=8, h=3 (h= numero de horizontales) entonces
8(8+1)
2
x 3=108, Rpta. D)
4. Cuántos semicírculos existen en la figura:
A) 20 B) 24 C) 27 D) 21 E) 26
No
Circunferencias = 3
No
Diámetros = 4
No
Semicirculos = 2(3)(4) = 24
Problemas propuestos
1.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
5
4
1 2 3
1
2
4
5
3
1 2 86543 7
No
de Semicir = 2(No
Circunfer)(No
Diámetros)

27. A) 56
B) 26
C) 61
D) 52
E) 36
2. Halle el número total de triángulos
A) 16
B) 26
C) 32
D) 8
E) 40
3. Halle el número total de triángulos
A) 44
B) 36
C) 38
D) 40
E) 42
4. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en los cuadriláteros existentes de la siguiente
figura?
A) 32
B) 64
C) 128
D) 180
E) 168
OPERADORES MATEMATICOS
Procedimientos que valiéndose de reglas o leyes previamente establecidas, transforma
cantidades o funciones en otra.
Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representan una determinada operación
matemática.
Ejemplo:
Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o
leyes de operar.
Suma (+)
Resta (-)
Multiplicación (x)
División ( )
Radicación (√ )

28. Ejemplo de operadores:
Si queremos calcular 5*2, tendríamos: 5*2= 52
- 2(2) = 25 – 4 = 21
Ejemplos:
1. Si x ∆ y=3√x-2 y ; calcular 25 9
A) 8 B) 11 C) 9 D) 15 E) 20
Resolución
x ∆ y=3√x - 2 y
25 ∆ 9 = 3√25 - 2√9
25 ∆ 9 = 3(5) - 2(3)
25 ∆ 9 =15 – 6
25 ∆ 9 = 9
Rpta. C)
2.
A) 10
B) 13
C) 15
D) 36
E) 14
Resolución
Se pide el valor de la expresión
Haciendo un cambio de variable (y= x+1 x= y-1), hallamos la regla de , a
partir de = x-1, reemplazando se obtiene: = y – 2 …….. (I)
Aplicando (I) en = x+1
Obteniendo: - 2 = x + 1; y haciendo cambio de Variable y= x-1 x= y + 1.
4 + 1

29. Tenemos = y+4. Ahora = 8. Finalmente: = = 13
Problemas propuestos
1. Si:
Calcule:
A) 70 B) 48 C) 65 D) 50 E) 60
2. Si 0b*aa;*bb*a
2
Halle E= 3*5
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4
3. Si
Halle el valor de:
A) 90 B) 74 C) 60 D) 56 E) 78
REGLA DE TRES
Es un procedimiento aritmético que permite hallar una cierta cantidad en la comparación
de dos o más cantidades; y pueden ser de dos tipos.
a) Regla de tres simple: Es cuando se comparan solo 2 magnitudes.
b) regla de tres compuesta: Es cuando se comparan más de 2 magnitudes.
y 4

30. Regla de tres simple.
Puede ser a su vez de dos tipos:
a) Directa: Cuando las magnitudes A y B son directamente proporcionales (ambas
magnitudes aumentan a la vez ó ambas disminuyen a la vez)
A B
a1
a2
b1
x
Se cumple que: a1 x = a2 b1 ; x=
a2b1
a1
La flecha hacia arriba significa que la magnitud aumenta.
b) Inversa: Cuando las magnitudes A y B son directamente proporcionales.
Se cumple que: a2 x = a1 b1 ; x=
a1b1
a2
La flecha hacia arriba significa que la magnitud aumenta y la hacia abajo significa que
disminuye
Ejemplo
1. Un jardinero siembra un terreno cuadrado, de 7 metros de lado, en 8 días. ¿Cuántos
días le tomará en sembrar otro terreno cuadrado, de 14 metros de lado?
A) 16 B) 24 C) 32 D) 64 E) 12
Resolución
A mayor cantidad de área se demorará más días. es R. de T. S. Directa
=
14 . 8
7
x = 32
2. Ocho hombres pueden hacer un obra en tres días. ¿Cuántos hombres más harían falta
para hacer la obra en 2 días?

31. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
Resolución
8 (3) = (8+x)2 x = 4
(A mayor número de hombres, se demorarán menos días)
Regla de tres compuesta
Todas las magnitudes que intervienen se clasifican en tres partes y son:
a) Causa: Es todo lo que hace posible la obra (hombres, máquinas, animales
etc.
b) Circunstancia: Es todo lo concerniente al tiempo (días, horas diarias, raciones
diarias Etc.)
c) Efecto: Es todo lo que hace o realiza (obra, largo, ancho, área, volumen,
metros etc.)
Observación:
1. La eficiencia, habilidad, o rendimiento del obrero va junto o multiplicada a él.
2. La oposición o dificultad de la obra va junto o multiplicada a ella misma.
Problema general.
Se cumple que: a2b2xd2e1f1 = a1b1c1d1e2f2
Con lo cual:
11222
221111
fedba
fedcba
x
Ejemplo:
1. Doce obreros en 8 días hacen 60 m2
de una obra, ¿En cuántos días, 8 obreros harán
30 m2
de dicha obra?

32. Se cumple que: (8)(x) (60) = (12)(8)(30) x = 6.
Problemas propuestos
1. “A” es el doble de rápido que “B”; pero la tercera parte de “C”. Si “A” hace la obra en 45
días ¿En cuántos días harán la obra los tres juntos?
A) 12 B) 15 C) 10 D) 20 E) 25
2. Para pintar una pared se necesita 4 galones de pintura. ¿Cuántos galones se
necesitarán para pintar otra pared, cuyas dimensiones son la mitad de la anterior?
A) 1 B) 1.5 C) 2 D) 1/2 E) 1.75
3. secretarias en 21 días tipean 350 problemas. ¿Cuántas secretarias serán necesarias
para tipear 600 problemas en 12 días?
A) 10 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36
4. Un grupo de “3x+8” hombres demoran “n+1” días para hacer 1/n de la obra. Si para
hacer el resto de la obra, “n2
- 1” hombres demoran “5x” días. Hallar “x”.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
FRACCIONES
Número Racional: 0byZb;a/
b
a
Q
Ejemplos: Q
3
2
; Q2
4-
8
; Q
3
2
; Q6
Fracción: Es aquel número racional no entero. (División indicada de dos enteros no nulos
a y b en la que a no es múltiplo de b)
o
badon de
b
a
f

33. Ejemplos fracciónes
4
9
; fracciónesno
3
6
Interpretación
Parte sombreada:
3
1
Parte sombreada:
4
3
Parte sombreada:
8
5
1. ¿Cuánto le falta a los
3
2
de los
5
3
para ser igual a
4
3
de los
7
4
?
A)
15
1
B)
35
1
C)
20
1
D)
25
1
E)
30
1
Resolución
Falta “x”:
7
4
4
3
x
5
3
15
1
35
1
5
2
7
3
x
2. Juan va al mercado y gasta
5
2
de lo que no gasta; luego pierde
4
1
de lo que no pierde.
Si al final le quedó s/. 32 . ¿Cuánto tenía inicialmente?
A) s/. 42 B) s/. 50 C) s/. 64 D) s/. 72 E) s/. 56
Resolución
Lo que quedó al final es lo que no pierde: 4x = 32 x = 8.
Problemas propuestos
1. Si a los dos términos de una fracción ordinaria irreductible, se le suma el cuádruple del
denominador, a cuyo resultado se le resta la fracción original, entonces se obtiene la
misma fracción. Halle la fracción.

34. A)
13
9
B)
4
3
C)
3
2
D)
3
1
E)
9
4
2. Los
3
2
más de la edad de Alfredo es igual a los
5
3
menos de la edad de Sonia. ¿Qué
fracción representa la edad de Sonia respecto a la edad de Alfredo?
A)
9
10
B)
6
25
C)
5
3
D)
10
9
E)
3
25
3. Mientras que un estanque está vacío, se abren dos llaves y un desagüe que lo llenan y
vacían en 3, 6 y 4 horas, respectivamente. ¿En qué tiempo se llenará el estanque?
A) 7 h B) 2 h C) 4 h D) 5 h E) 6 h
4. Un tanque puede ser llenado por una bomba en 5 horas y por una segunda bomba en 4
horas. Si una llave en el fondo lo puede vaciar en 10 horas, ¿En cuánto tiempo se llenaría
el tanque con las 3 bombas funcionando a la vez?
A) 7 horas B) 5 horas C)
7
6
2 horas D) 1 hora E) 3 horas
PORCENTAJE
Es el número de centésimas partes de una cantidad. Por Ejemplo: “De 100 personas que
viajan en ómnibus 30 son blancas” . Luego:
En general:
Donde:
a% : tanto por ciento
N: Cantidad
P: porcentaje
Ejemplos: 28% de 50 = 1450x
100
28
30 por cada 100 personas son blancas.
30 por cada ciento de personas son blancas.
30 por ciento de personas son blancas 30 % del de personas son blancas
( de personas) son blancas
a% de N

35. 15% de 60 = 960x
100
15
Gráficamente:
100
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
1
%3
100
3
En general
100
a
a%
Ejemplos
1. Si el precio de un artículo subió de s/. a s/. 28. ¿En qué porcentaje subió?
A) 80 % B) 60 % C) 70 % D) 75 % E) 90 %
Resolución
Aumentó = s/. 28 – s/. 16 = s/.12
Luego x% (16) = 12
75%x
12(16)
100
x
………………………………Rpta. D)
2. Se vende dos sortijas iguales en 96 soles cada uno. En uno se ganó el 20 % y en la
otra se perdió el 20 %. ¿Se ganó o se perdió? ¿Cuánto?
A) ganó s/. 8 B) No ganó ni perdió C) Perdió s/. 8
D) Perdió s/. 6D) Ganó s/. 6
Resolución
Cuando se gana: Pv = Pc + Ganancia
96 = 100% Pc + 20% Pc
96 = cP
100
120
80 = Pc
Cuando se pierde: Pv = Pc – Perdida
96 = 100% Pc - 20% Pc

36. 96 = cP
100
80
120 = Pc
Finalmente:
Venta total = 96 + 96 =s/.192
Costo Total = 80 +120 = 200
Perdió s/.8
Problemas propuestos
1. En una reunión por cada 6 varones hay cinco mujeres; si se retiran la mitad de los
varones y llegan tantas mujeres como habían, ¿Qué tanto por ciento de los que quedan
serán varones?
A) %
13
1
23 B) %
13
2
31 C) %
13
3
24 D) %25 E) %24
2. Si gastara el 30 % del dinero que tengo y ganara el 28 % de lo que me queda, perdería
156 soles. ¿Cuánto soles tengo?
A) 2 500 B) 1 500 C) 1 300 D) 3 000 E) 2 400
3. ¿Qué tanto por ciento representa el área de la región sombreada respecto del área de
la región no sombreada? Considere a toda la región una región rectangular
A) 40 % B) 50% C) 35% D) 60% E) 65%
4. En un Colegio, el 40% de los alumnos son mujeres. El número de mujeres aumentó en
30% y el de los hombres disminuyó en 10%. ¿En qué tanto por ciento ha variado el
número total de alumnos?
A) Aumenta 2% B) Disminuye 5% C) disminuye 6%
D) Aumenta 5% E) aumenta 6%
RAZONES Y PROPORCIONES
Razón: Es la comparación de dos cantidades.
Tipos:
I. Razón Aritmética:
Ejemplo: 45 – 15 = 30. 45 excede a 15 en 30 unidades.
a – b = r
=

37. II. Razón Geométrica:
Ejemplo: = 3. 45 es el triple de 15. 45 es 2 veces más que 15.
Observación: “Cuando se menciona simplemente la razón de dos cantidades
consideramos la razón geométrica.”
a antecedente.
b consecuente
r valor de la razón aritmética
k valor de la razón geométrica
Proporción: es la Igualdad de dos razones
Clases:
Proporción
Aritmética
Proporción
Geométrica
a – b = c - d
d
c
b
a
Proporción Aritmética Discreta:
d: cuarta diferencial de a, b y c
Proporción Aritmética Continua:
b: media aritmética de a y c
c: tercia o tercera diferencial de a y b
Proporción Aritmética Discreta:
d: cuarta proporcional de a, b y c
Proporción Aritmética Continua:
b: media geométrica de a y c (media proporcional)
c: tercia o tercera proporcional de a y b
Serie de razones Geométricas Equivalentes
Es La igualdad de dos o más razones geométricas:
a – b = c - d
a – b = b - c
d
c
b
a
c
b
b
a

38. Sea: k
1
1
b
a
k
2
2
b
a
k
n
n
b
a
k
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1
Ejemplos
1. Si m + n = 300 y
3
7
n
m
Hallar m - n
A) 100 B) 130 C) 120 D) 110 E) 140
Resolución
Por la propiedad de proporciones: m = 7k y n= 3k. Reemplazamos en m + n =300
7k +3k = 300 10 k = 300 k= 30. Luego m= 7(30)= 210 y n= 3 (30) = 90. Entonces m
– n = 210 – 90= 120. B Rpta. C)
2. Si:
10
ca
12
bc
30
ab
; donde a+ b+ c = 52. Calcular a – c
Resolución
De
12
bc
30
ab
12
30
c
a
; De
10
ca
12
bc
12
10
b
a
;
2
5
c
a
;
6
5
b
a
2
c
6
b
5
a
. Nos dan que a + b + c= 52.
Por propiedad: 4
13
52
265
cba
2
c
6
b
5
a
a=20 ; b= 24; c= 8
Nos piden a – c = 20 - 8 = 12.
Problemas propuestos
1. Hallar el valor de: C+E+P+U. Siendo:
C: Es la media diferencial de 24 y 34 ; E: Es la media proporcional de 88 y 22
P: Es la tercera proporcional de 8 y 24; U: Es la cuarta proporcional de 80; 15 y 16
A) 148 B) 191 C) 253 D) 220 E) 176
2. Se tiene un cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se cumple que por
cada 4 blancas hay 5 rojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidad de azules
excede a los rojos en 140. ¿En cuánto excede las bolas azules respecto a las bolas
blancas?
A) 49 B) 196 C) 198 D) 189 E) 169
3. Sabiendo que la razón de los sueldos de 2 trabajadores del CEPU es 7/3 y su
diferencia es 244. Calcular el sueldo de cada trabajador.
A) 183; 244 B) 183; 224 C) 180; 244 D) 180; 224 E) 183; 427
4. En un bar la razón de mujeres que toman un pisco sour o una algarrobina es de 3:4. Si
en el bar hay 35 clientes mujeres, ¿Cuántas de ellas toman un pisco sour?. Si cada pisco

39. sour cuesta S/. 12.00, ¿Cuánto fueron los ingresos del día por la venta de pisco sour a las
clientes mujeres?
A) 15; 180 B) 20;240 C) 16;192 D) 21; 252 E) 25; 300
PROMEDIOS
ma
cantidadesn""
n321 a,,a,a,a
n
aaa
ma n21
4
10864
)10,8,6,4(ma 7ma
mg
cantidadesn""
n321 a,,a,a,a n
n21 axxaxamg
4
2418x12x4x24)18,12,4,(mg 12mg
mh
cantidadesn""
n321 a,,a,a,a
n321 a
1
a
1
a
1
a
1
n
mh
28
1
14
1
7
1
4
1
2
1
1
1
6
)2814,4,7,2,,1(ma 3
2
6
ma
Aula A Aula B Aula Única
40
15
30
18
40+30
E
No. De
alumnos
Edad
promedio
16,28E
3040
30x1840x15
E

40. mamgmh mamgmh
amamgmhb
2
mgmhxma
2
)ma)(mhma(
2
ba
ma
abmg
ba
2ab
mh
11
2
mh
ba
3
cba
ma
3
abcmg
bcacab
3abc
mh
111
3
mh
cba
ma mg
1
11818
1)18(
2
x)(18
x2
1mgmax2
2
2
x
xx
x

41. 28
3
2
_
30
25
=
x
-----
30-x
h
h
2
2
2
)1(hh
2
22
h
2
)1(hh
4
22
h
18x
30
x
5
3
x30x
x
23
3
8B
28035B
555)5(15)(35)20(10
185
3
15C3510A
18515C)(10A;35B;ma
5C10
2
15C
10(C;15)ma
20A15
2
10A
15(A;10)ma
B
B

42. CORTES; ESTACAS Y PASTILLAS
1. Número de cortes para una línea no cerrada
Problema 1: ¿Cuántos cortes deben darse a una soga de 48 metros de largo para tener
pedazos de 6 m de largo?
Para una soga de 6 m.
Para una soga de 12 m.
Para una soga de 18 m.
UnitariaLongitud
TotalLongitud
igualespartesdeNo.
8
m6
m48
igualespartesdeNo.
1-igualespartesdeNo.necesarioscortesdeNo.
71-8necesarioscortesdeNo.
Finalmente obtenemos la formula: 1
UnitariaLongitud
TotalLongitud
necesarioscortesdeNo.
2. Número de cortes para una línea cerrada
Problema 2: ¿Cuántos cortes deben darse a un aro de 30 metros de longitud para tener
pedazos de 5metros de longitud?
Formula:
UnitariaLongitud
TotalLongitud
necesarioscortesdeNo.

43. cortes6
m5
m30
necesarioscortesdeNo.
3. Número de estacas - pastillas
Formula:
1
estacaaestacadeseparaqueLongitud
TerrenodelLongitud
estacasdeNo.
1011
m15
m1500
1
árbolaárboldeseparaqueLongitud
TerrenodelLongitud
árbolesdeNo.
571
h3
h24x7
1
horas3
semana1
1
pastillaapastilladeseparaqueTiempo
TotalTiempo
pastillasdeNo.

44. 2
m300010
3,2s/.
10
s/.32

45. 2
1
C
C
esIngredient
1.
2.
TotalGanancia
2m2
TotalPerdida
m11 PPCPPC
m1
2m
2
1
PP
PP
C
C
litros160Cylitros100C
5
13
C
260
valoresdoreemplazan260;CC:pero
;
5
58
C
CC
5
8
12-17
17-25
C
C
12
2
21
2
21
2
1

46. TotalVolumen
AlcoholdelVolumen
g
o
60ó60%0,60
40
24
TotalVolumen
AlcoholdelVolumen
g
n321
nn332211
m
VVVV
gVgVgVgV
g
e.ingredientcadadetotalesCantidades:V;;V;V;V
eingredientcadadepurezadeGrado:g;;g;g;g
mediogradog
n321
n321
m

47. 0
0000
m 45
90
4050
603515
40x6035x3040x15
g
ab
b
a2
a
b
b
a
b
a
2
CRONOMETRÍA
Campanadas
1.1 Número de campanadas e intervalos

48. Como tocó 8 campanadas, indicó que son las 4:00 a.m.

49. 30
o

50. 0
2
x 0
6x
2
xo
)I.(....................
2
x
α

51. 8x20
2
x
x2 o
m
2
11
-30Hα
30H-m
2
11
α
0
89α30(4)-(38)
2
11
α30H-m
2
11
α
ANÁLISIS COMBINATORIO
1. Principio de multiplicación:
Si el suceso A se puede realizar de “m” maneras y el suceso B se puede realizar de “n”
maneras, entonces los sucesos A y B se pueden realizar de forma conjunta de: mxn
maneras siempre que se efectúe uno después del otro.
Número de maneras para ir de A hacia C es: n x m.
A) 24 B) 120 C) 556 D) 576 E) 756

52. Solución:
Para la ida: De A a B hay 6 maneras y De B a C hay 4 maneras. Luego el número. De
maneras de A a C pasando por B son: 6 x 4 = 24.
Para el regreso: De C a B hay 4 maneras y De B a A hay 6 maneras. Luego el número
De maneras de C a A pasando por B son: 4 x 6 = 24.
2. Permutaciones:
Es cada una de las ordenaciones que pueden formarse con varios elementos, tomados de
uno en uno, de dos en dos, de tres en tres (también si hay n elementos puede tomarse de
n en n), de modo que dos ordenamiento cualquiera del mismo número de elementos se
diferencian por lo menos, en un elemento o por el orden en que están colocados. “Importa
el orden”
2.1. 0nmsiendo;
!nm
m!
Pm
n
2.2. 0nmsiendo;nPn
Ejemplo 2: ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras pueden formarse con los nueve
dígitos: 1, 2, 3, 4, …, 9 ?
m = 9; n = 6.
2.3 Permutaciones con repeticiones
!mxx!mx!mx!m
m!
P
k321
m,,m,m,m
m
k321
Donde:
60480987654
!3
!9
!69
9!
P;
!nm
m!
P 9
6
m
n xxxxx

53. m: # total de elementos
m1: Grupo de elementos iguales entre si
m2: Grupo de elementos iguales entre si
m3: Grupo de elementos iguales entre si
.
.
mk: Grupo de elementos iguales entre si
Ejemplo 3: ¿Cuántos permutaciones pueden formarse con las siguientes figuras
geométricas?
60
2
6x5x4
2!x3!
6!
P
!mx!m
m!
P 23,
6
21
m,m
m
21
Permutaciones circulares
1)!(mP 1)(n
Ejemplo 4:¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas alrededor de una mesa
redonda?
Solución: 120!5P1)!(6P1)!(mP 1)(61)(61)(n
Combinaciones:
Se le llama combinaciones a las permutaciones que puedan formarse con varios
elementos de modo que dos cualquiera de ellos difieren por lo menos en un elemento “No
importa el orden”
0nmdonde;
n!!nm
m!
Cm
n

54. 120
6
10x9x8
3!x7!
10!
3!!310
10!
C
n!!nm
m!
C 10
3
m
n
18
4a!
3)(a!a!
92)c3)b(ba(a
7b)ba(2a

55. PROBABILIDADES
1. Espacio Muestral ( )
Es el conjunto cuyos elementos son todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio.
Ejemplos:
1.1 Al arrojar un dado los resultados posibles son: 1; 2; 3; 4; 5 ó 6. Luego el espacio
muestral es el conjunto: = {1; 2; 3; 4; 5 ; 6}
1.2 Al arrojar una moneda puede salir cara o sello. = {c, s}
1.3 En el experimento de lanzar dos monedas sobre una mesa, existen 4 posibles
resultados: = {(c, s), (c, s), (s, c), (s, s)}
1.4 En el experimento de lanzar tres monedas sobre una mesa, existen 8 posibles
resultados: = {(c, c, c), (c, c, s), (c, s, c), (s, c, c), (c, s, s),(s, c, s),(s, s, c),(s, s,
s)}
2. Suceso o Evento
Llamaremos suceso ó evento a cualquier subconjunto del espacio muestral.
Probabilidad de un suceso ó evento.
Todo suceso está asociado a un número que va desde 0 hasta 1 al cual se le llama
Probabilidad del Suceso. Si todos los sucesos elementales del espacio muestral ( ) son
igualmente probables, la probabilidad de que ocurra un suceso A se calcula así:
Ωn
n(A)
P(A)
posiblescasosdeNo.
AeventodelfaborablescasosdeNo.
P(A)
Cual es la probabilidad de obtener un número mayor que 2 al tirar un dado, cuyas
caras están numeradas del 1 al 6.
Solución:
Tenemos 6 caras posibles : = {1; 2; 3; 4; 5 ; 6}

56. De estas 4 son posibles: A={3; 4; 5; 6}
Luego:
3
2
6
4
posiblescasosdeNo.
AeventodelfaborablescasosdeNo.
P(A)
1P(A)0
En una rifa hay 40 boletos, de las cuales 16 tienen premio y las restantes no. Al
comprar un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? Y ¿Cuál es la probabilidad
de perder?
Solución
5
3
40
24
P(perder)
5
2
40
16
P(ganar)
1
5
3
5
2
3. Probabilidad Total
Dados dos eventos A y B, subconjunto del espacio muestral de cierto experimento
aleatorio, La probabilidad de que ocurra A ó B (o ambas) está expresada en la siguiente
ley:
B)P(AP(B)P(A)B)P(A
Caso particular: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, es decir :
BA , P(B)P(A)B)P(A
Problemas propuestos:
5
1
3
1
15
3
7
1
13
4

57. 4
3
4
1
2
1
3
2
3
4
7
2
5
2
3
2
5
3
7
5
12
11
15
10
12
13
12
1
15
13
NbxNlogR/x1;bRbN, x
b
4x162definiciónporluegox;16log x
2
1;-x16log 3
2
3
11
x833x
3
4
2
1x
22
162
3
4
2
1-x
3
1-x

58. abcalog c
b
1aloga
01logb
Na Nloga
ClogBlogAlogA.B.Clog bbbb
6. BlogAlog
B
A
log bbb
7. alog
m
n
alog b
n
bm
8. alog
n
1
log bb
n
a
9.
n
alogalogalog nn
b
n
bb
xlog
alog
alog
b
b
x
11. 1blog.alog ab
12. clogclog.alog bab
13. alog
blog
alog
b
14.
alogclog bb
ca
15. alog n
a
100010log100
4
5
x
2
5
2x
1010100010100x100010log 2
3
1
2xx
100
18log12log5log 1372
1372P
1. El valor de: 2loglogE 28
2
3
3
2
zyx y"log"
z)log-x(log
2
1
z)logx(log
2
1
kalog 3 5 5 3
alog

59. k
9
25
k9
25
25
k9
k
5
3
k
3
5
6alog 3
aalog
6
2
3
3
1
3
22)(xlogLog 32
0
60 0
60
3
32
h
A

60. 3a
2a
a
0
60
0
30
2
πrA
5 k
4k
0
53
0
37
3 k
360
.πr
A
2
2a
0
45
a
a
0
45
2
A l
l
l
7k
0
74
0
16
2 4 k
25k 4
A
S T
h
b
2
b.a
A h
bB
.
2
A
h
b
B
0
60
0
60 0
60
4
32
l
A
dbca
b
a
d
c
m48
m20 m52

61. 2
2
m2)(πS
2
2.2
4
π.2
S
1. Hallar el área de la figura sombreada:
n
A) 6 ( -2) B) 3 ( -2) C) 12 ( -2) D) 3 ( +2) E) 6 ( +2)
Hallar el área de la región sombreada, si AB=BO= 2(3)1/2
m.
A) 36 B) 36 C) 33 D) 33 E) 26
3. De la figura calcular el área sombreada ABC si : mBC 5 , B y C puntos medios.

62. A) 24 m2
B) 18 m2
C) 12 m2
D) 30 m2
E) 34 m2