1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CENTRO DEL PERÚ
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
 a x  b1y  c1 
y'  f  1
 a x b y c 

 2 2 2 
Ing. Hélar Véliz Fernández
2012

2. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 2
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
HOMOGÉNEAS
Algunas veces una ecuación, cuyas variables no son separables, puede
convertirse en una de variables separables por medio de una sustitución
apropiada. Esto es lo que sucede, por ejemplo, con las ecuaciones
diferenciales con coeficientes “constantes” homogéneas.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Consideremos una ecuación diferencial ordinaria homogénea.
M(x, y) dx  N(x, y) dy  0 (1)
Se dice que es homogénea si los coeficientes M(x, y) , N(x, y) son
funciones homogéneas del mismo grado.
Solución de la ecuación (1)
Pasos a seguir:
a) Efectuar el cambio de variable
y
u  y u x
x
Luego reemplazarlo en (1)
b) Calculamos:
d y  xdu  ud x ,

3. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 3
y reemplazamos en (1)
Nota:
dy
Si se desea también se puede calcular a partir de: y  u x
dx
Es decir:
dy
 y '  u  x u'
dx
c) La ecuación que queda en las variables x y u es de variables
separables, la cual se resuelve por el método anterior y al final se
vuelve a las variables originales reemplazamos “u” por:
y
u
x
Observación:
La ecuación (1) se puede poner en la forma:
M(x, y)
y'    f(x, y) ,
N(x, y)
en cuyo caso f(x, y) es de grado cero.
Ejemplos:
Resolver:
2 y 4  x 4 d x  x y 3d y  0 (1)
Solución:

4. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 4
Vemos que los coeficientes:

M x ; y   2 y 4  x 4 
N x ; y    x y 3
Son funciones polinómicas del mismo grado 4. Entonces es una ecuación
homogénea.
Efectuando el cambio de variable:
Solución de la ecuación (1)
Pasos a seguir:
a) Efectuar el cambio de variable
y
u  y u x
x
Luego reemplazarlo en (1)
b) Calculamos:
d y  xdu  ud x ,
y reemplazamos en (1)
2 u 4 x 4  x 4 d x  x u 3 x 3 x d u  u d x   0
2 u 4  1d x  u 3 x d u  u d x   0
Simplificando;
u 4  1d x  x u3 d u  0
Ordenando a variables separables:

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 5
dx u3
 du  0
x u4 1
Integrando:
 
dx u3
 d u  c2
x u4 1
ln x 
1
4

ln u 4  1  c 2 
 
1
ln x  ln u 4  1 4  ln c1
 
 x 
ln    ln c1
 
1
 u4 1 4 
 
 
1
x  c1 u 4  1 4
x 4  c1 u 4  1  
Reemplazando por:
y
u
x
 y4 
x 4  c1 4   1
 x4 
 
 y 4  x4 
x 4  c1 4  
 x4 
 
x8  c x4  y 4   Solución general

6. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 6
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1. ( x2  3 x y  y 2 )d x  x2d y  0
dy
2. x y y 2  x2
dx
3. ( x  y ln y  y ln x ) d x  x (ln y  ln x ) d y  0
  y   y 
4.  x  y arc tan    d x  x arc tan   d y  0
  x   x 
  y   y   y 
5.  y cos    x sen    d x  cos   d y  0
  x   x   x 
6. x y 2 d x  ( x3  y 3 )d y  0
7. ( 6 x 2  7 y 2 ) d x  14 x y d y  0
dy 2xy
8. 
dx 3 x2  y 2
dy y  y 
9.   sen  
dx x  x 
dy
10. x2  y 2  x y  x2
dx

7. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 7
REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS
Las funciones de la forma:
 a x  b1y  c1 
y'  f  1
 a x b y c 
 (1)
 2 2 2 
Se reduce a homogénea siguiendo el siguiente procedimiento:
a) Si a1b2  a2 b1 , entonces las rectas a1 x  b1y  c1  0 y
a2 x  b2 y  c2  0 son no paralelas. En este caso el
procedimiento es como sigue:
i. Trasladar el origen de coordenadas al punto ( h, k ) de
intersección de las rectas:
 a1 x  b1 y  c1  0
 ()
 a2 x  b2 y  c2  0
Nota: El punto ( h, k ) está dado por la solución del sistema
().
ii. Hacer el cambio de variables:
x  u  h,  dx  du
(2)
y  v  k ,  dy  dv
iii. Reemplazar (2) en (1), con lo cual nos quedará una
ecuación diferencial homogénea en las variables u y v.

8. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 8
b) Si a1 b2  a2 b1 , entonces las rectas a1 x  b1y  c1  0 y
a2 x  b2 y  c2  0 son paralelos.
El procedimiento será:
i. Hacer el cambio:
u' a1
u  a1 x  b1 y  u'  a1  b1 y'  y'  (3)
b1
o también:
u' a2
u  a2 x  b2 y )  u'  a2  b2 y'  y'  (3)
b2
ii. Reemplazar (3) en (1), con lo cual nos queda una ecuación
diferencial reducible a variables separables (Método
anterior), en las variables u y x.
Ejemplos:
Resolver:
4 x  3 y  15
y' 
2 x  y 7
Solución:
a) Si 4 1  2 3  , entonces las rectas:
4 x  3 y  15  0 y 2 x  y  7  0 son no paralelas.
i. Trasladar el origen de coordenadas al punto ( h, k ) de
intersección de las rectas:

9. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 9
 4 x  3 y  15  0
 ()
 2 x  y 7  0
La solución es: ( h, k )  ( 3 ,  1 )
ii. Hacer el cambio de variables:
x  u  3 ,  dx  du
(2)
y  v  1,  dy  dv
iii. Reemplazar (2) en (1):
dv 4 u  3   3 v  1  15

du 2 u  3   v  1  7
dv 4 u  12  3 v  3  15

du 2 u  6  v 1  7
dv 4u  3v
 (3)
du 2u v
La cual es homogénea
Para resolver (3), seguimos el procedimiento dado para
ecuaciones homogéneas. Sí hacemos el cambio:
v dv
z  v uz  v'   z  u  z ' (4)
u du
(4) en (3):
4u  3v
z  u  z' 
2u v
4u  3v
u  z'  z
2u v

10. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 10
4u 3uz
u  z'  z
2u uz
43z
u  z'  z
2z
4  z  z2
u  z' 
2z
dz 4  z  z2
u 
du 2z
z2 du
dz
4  z  z2 u
z2 du
 dz 
z2  z  4 u
4z8 du
 dz
4 z 2  4 z  16 u
4z8 du
 dz
2 z  12  17 u
Integrando:
1
2

ln z 2  z  4   5  2 z  17  1
ln
2 17  2 z  17  1

  ln u  ln c1

 

11. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 11
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. ( x  4 y  9)d x  (4 x  y  2 )d y  0
dy x 3y 5
2. 
dx x  y 1
3. 4 x y 2 d x  ( 3 x 2 y  1) d y  0
4. ( y 4  3 x2 )d y   x y d y
5. y cos x d x  ( 2 y  sen x ) d y  0
6. (2 x2  3 y 2  7 ) x d x  (3 x2  2 y 2  8 ) y d y  0
dy x  y 1
7. 
dx x  y 1
8. (6 x  4 y  8 ) d x  ( x  y  1) d y  0
dy 4 x  3 y  15
9. 
dx 2 x  y 7
10. ( x  2 x 2 y ) d y  ( 2 y  3 x y 2 ) d x  0

12. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 12
dy 6 x  y  12
11. 
dx 6 x  y  12
dy 2 x  3 y 1
12. 
dx 3x 2y 5
y y
13. ( x  y cos ) d x  x cos d y  0
x x
dy 4 x  3 y  15
14. 
dx 2 x  y 7
dy 3 x  4 y 1
15. 
dx 3x 4y 2
16. ( x  2 y  3 ) d x  ( 2 x  4 y  5 ) d y  0
17. x ( 2 x 2  y 2 )  y ( x 2  2 y 2 ) y'  0
x2  y 2 ( x2  y 2 )
18. ( 2 x  )d x  dy
x2 y x y2
dy y2 y
19.   1
dx x 2 x
dy 3x  y 1
20. 
dx x  2y 1