Ecuaciones Diferenciales ordinarias

1. PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
ECUACIONES DIFERENCIALES: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
La forma diferencial de una ecuación diferencial, de primer orden es:
Mx, ydx  Nx, ydy  0
Por ejemplo:
1) 2 0
1
xy dx  dy 
2)  4 0 2 2 x dx  y  dy 
3) 0
1
1 1 

  dy
x
e x dx
y
4) y  xdx x  ydy  0
Una ecuación diferencial en la forma estándar se puede escribir en la forma diferencial y
una ecuación en la forma diferencial se puede escribir en la forma estándar.
Por ejemplo:
1) Dada la ecuación en forma estándar ,
2
x y
x y
dx
dy


 escribirla en forma
diferencial.
Solución:
   
    0 2
2
2
    
   



x y dy x y dx
x y dy x y dx
x y
x y
dx
dy
2) Dada la ecuación diferencial  4 0, 2 2 x dx  y  dy  escribirla en forma
estándar.

2. PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Solución:
   
 4
4 0 4
2
2
2 2 2 2

  
      
y
x
dx
dy
x dx y dy y dy x dx
MÉTODO DE VARIABLE SEPARABLE
Una ecuación diferencial, de primer orden, es separable si tiene la forma
Axdx  Bydy  0, donde Ax depende solo de x
y Bydepende solo de y,
o si es posible conseguir una expresión D (que dependa de x,
de y o de ambas) tal
que al multiplicarla por la ecuación diferencial dada se obtenga una ecuación diferencial
de la forma Axdx  Bydy  0.
Ejemplos:
1) 0 2 senxdx  y dy  es separable ya que tiene la forma
Axdx  Bydy  0, con Ax senx y   . 2 B y  y
2) 0
1
dx  ydy 
x
es separable ya que tiene la forma Axdx  Bydy  0,
con  
x
A x
1
 y By y.
3)  1 1 0 2 2 y  x  dx  xdy  no tiene la forma Axdx  Bydy  0, sin
embargo si multiplicamos por  1
1
2 x y 
obtenemos la ecuación diferencial
0
1
1 1
2
2




dy
y
dx
x
x
que tiene la forma Axdx  Bydy  0, con
 
x
x
A x
1 2 

y
  .
1
1
2 

y
B y
Por tanto la ecuación diferencial
 1 1 0 2 2 y  x  dx  xdy  es separable
.
4) senxydx  1e dy  0 xy
no es separable ya que no tiene la forma
Axdx  Bydy  0, y es imposible conseguir una expresión tal que al
multiplicarla por la ecuación diferencial se convierta a dicha forma.

3. PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA IV
La solución general de la ecuación diferencial separable de primer orden
Axdx  Bydy  0 es
 Axdx  Bydy  c (I)
Donde c es una constante arbitraria.
PROBLEMAS CON VALOR INICIAL
La solución del problema de valor inicial Axdx  Bydy  0,   0 0 y x  y puede
obtenerse usando I  y después aplicar las condiciones iniciales para calcular c.
Como alternativa la solución puede obtenerse de
    0 ( )
0 0
A x dx B y dy II
y
y
x
x
   
Ejemplos:
1. Resolver 0. 2 xdx  y dy 
Solución:
0 2 xdx  y dy  es separable ya que tiene la forma Axdx  Bydy  0, con
Ax x y   . 2 B y  y
Luego la solución general de la ecuación diferencial es dada por I  :
 
y
-c
x
c
y
-
x
xdx y dy c
2 3
2 3
2 3
2 3
2


    

4. PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA IV
-k y
x
- c y
x
-c y
x
  


 


  


 


  


 


3
2
3
2
3
2
2
3
3
2
3
2
3
2. Resolver 1 . 2x y   e
Solución:
Sea 1 , 2x e
dx
dy
  luego:
1  1  0 2 2 dy  e dx e dx dy  x x
La cual es una ecuación diferencial separable ya que tiene la forma
Axdx  Bydy  0, con   x A x e2 1 y By 1. Ahora según I  :
   
y x e c
x e y c
e dx dy c
x
x
x
  
  
     
2
2
2
2
1
2
1
1 1
Prueba:
   x  x y x e c y e2 2 1
2
1
    



 

5. PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA IV
DEFINICIÓN EQUIVALENTE: Sea 
h(x)g(y)
f(y,x)
dx
dy
 es una ecuación diferencial de
variable separable si la función f x, y se puede escribir como el producto de dos
funciones hx gy, entonces: h x dx I 
g y
dy
( )
( )   
Ejercicios:
1. Probar que la ecuación diferencial
1
2
2 


y
x xy
dx
dy
tiene la solución implicita
c
x
y y
y
     
2
2 6 5ln(2 )
2
2 2
.
2. Resolver  2 0 4 2 3     xy dx y e dy x
Solución: c
y y
xe e x x     3
3 3
3
1 2
9
1
3
1
3. Resolver ; 1 2
3
4



 y
x
x
dx
dy
Solución:
3
2
1 ln

  
x
y x
MÉTODO DE LAS ECUACIONES EXACTAS
Una ecuación diferencial, de primer orden, en la forma diferencial es exacta si:
x
N
y
M





Ejemplos:
1. La ecuación diferencial 3   0 2 3 x ydx  y  x dy  con Mx y x y 2 ,  3 y
  3 N x, y  y  x cumple que:
     2 2 2 3 y 3x 1 3x
y
x
y
M
 





     2 3 2 x 0 3x 3x
x
y
x x
N
  









6. PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Así tenemos que
x
N
x
y
M


 

 2 3
Por tanto la ecuación diferencial es exacta.
2. La ecuación diferencial 5 0 2 xydx  x ydy  con Mx, y  5xy y
Nx y x y 2 ,  cumple que:
 y x  x
y
x
y
M
5  5 1  5





 x  y x xy
x
y
x
N
2 2 2  





Así tenemos que
x
N
x xy
y
M


  


5 2
Por tanto la ecuación diferencial no es exacta.
Una ecuación diferencial Mx, ydx  Nx, ydy  0 es exacta si existe una función
gx, y tal que:
 
 
 
 
 ,  ( )
( )
,
,
( )
,
,
g x y c III
II
y
g x y
N x y
I
x
g x y
M x y







Donde c es una constante arbitraria.
El método para resolver las ecuaciones diferenciales exactas consiste en conseguir la
función gx, y que satisfaga las condiciones I ,II  y III .

7. PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Para conseguir la función gx, y integramos I  respecto a x, manteniendo a y
como constante o integramos II  respecto a y, manteniendo a x como constante.
Veamos el siguiente ejemplo: Resolver 4 2 5 6 4 3  0 2 y  x  dx  y  x  y dy 
Solución:
Sean Mx, y 4y  2x 5 y   2 N x, y  6y  4x 3y .
Luego, como:
 4  2  5 4  0  4











y
x
y
y
y y
M
 6  4  3  0 4 0 4 2    











y
x
x
x
y
x x
N
Es decir:
x
N
y
M


 


4
Entonces la ecuación diferencial es exacta.
Hagamos:
 
 
 ,  ( )
( )
,
6 4 3
( )
,
4 2 5
2
g x y c III
II
y
g x y
y x y
I
x
g x y
y x



  


  
Donde c es una constante arbitraria.
Ahora, integrando I  con respecto a x (manteniendo a y como constante) se tiene
que:

8. PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA IV
   
 
 
   
gx,y xy x x hy IV 
x h y
x
g x,y xy
g x,y y dx xdx dx
g x,y ydx xdx dx
g x,y y x dx
4 5
5
2
4 2
4 2 5
4 2 5
4 2 5
2
2
   
   
  
  
  
  
  

Donde hy corresponde a la constante de integración, que en este caso puede
depender de la variable y, que se mantuvo constante.
Derivando IV  con respecto a y, se tiene que:
 
  
 
        
 
    
 
hy V 
dy
d
x
y
g x,y
h y
dy
d
y
y
x
y
g x,y
h y
y
x
y
x
y
xy
y y
g x,y
xy x x h y
y y
g x,y
4
4 0 0
4 5
4 5
2
2
 


  







 











  





Sustituyendo II  en V tenemos que:

9. PROFESOR: JULIO BARRETO 9 MATERIA: MATEMÁTICA IV
   2 4 h y 6y 4x 3y
dy
d
x    
Con lo cual
  
  
   
   
 
 
hy y y c VI 
c
y y
h y
h y ydy y dy
dh y y y dy
dh y y y dy
h y y y
dy
d
h y y x y x
dy
d
3
3
3
2
6
6 3
6 3
6 3
6 3
6 4 3 4
1
2 3
1
2 3
2
2
2
2
2
  
  
 
 
 
 
   
 
 
Sustituyendo III  y VI  en IV  se tiene que:
4 5 3 1
2 2 3 c  xy  x  x  y  y  c
De aquí que:
4 5 3 2 2 3 k  xy  x  x  y  y
Es solución de la ecuación diferencial dada.
Ejercicio: Probarlo

10. PROFESOR: JULIO BARRETO 10 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejercicios:
1. Resolver  cos  2 cos  2  0 2 2 e  y xy dx  xe  x xy  y dy  y y
Solución: e senxy y k y    2 2
2. Resolver cos  1  0; 0 2 2 2 xsenx  xy dx  y  x dy  y 
Solución: 1  4 2 2 2 y   x y  sen x 
MÉTODO PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Una ecuación diferencial, de primer orden, en la forma estándar es homogénea si:
f tx,ty f x, y tR
Ejemplos:
1. Sea
x
y x
y

  luego tomamos la función  
x
y x
f x y

, 
Ahora bien, como
 
 
 
 
f tx ty f x y
x
y x
f tx ty
tx
t y x
f tx ty
tx
ty tx
f tx ty
, ,
,
,
,







Tenemos que la ecuación diferencial es homogénea.

11. PROFESOR: JULIO BARRETO 11 MATERIA: MATEMÁTICA IV
2. Sea ,
2
2 2
 


 



 
y
x
x y sen
xye
y
y
x
tomando la función  
 


 




y
x
x y sen
xye
f x y
y
x
2 2
2
,
Ahora bien, como
 
  
   
 
 
 
f tx ty f x y
y
x
x y sen
xye
f tx ty
y
x
t x y sen
t xye
f tx ty
y
x
t x t y sen
t xye
f tx ty
ty
tx
tx ty sen
tx ty e
f tx ty
y
x
y
x
y
x
ty
tx
, ,
2
,
2
,
2
,
2
,
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2

 


 








  

 




 


 




 


 




Tenemos que la ecuación diferencial es homogénea.
3. Sea 2
2
x
x y
y

  luego tomamos la función   2
2
,
x
x y
f x y


Ahora bien, como

12. PROFESOR: JULIO BARRETO 12 MATERIA: MATEMÁTICA IV
 
 
 
 
   
 
f tx ty f x y
tx
tx y
f tx ty
t x
t tx y
f tx ty
t x
t x ty
f tx ty
tx
tx ty
f tx ty
, ,
,
,
,
,
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2









Tenemos que la ecuación diferencial no es homogénea.
Observación: únicamente en el contexto de las ecuaciones diferenciales de primer
orden la palabra homogénea tiene el significado definido anteriormente, ya que este
término tiene un significado completamente distinto en la estructura general de las
ecuaciones diferenciales.
Para resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas se sustituye
y  xv y su correspondiente derivada:
dx
dv
v x
dx
dy
 
Cuando al aplicar este método las integrales resultantes son muy complejas se aplica el
método alterno.
MÉTODO ALTERNO DE SOLUCIÓN
En este caso se transforma la ecuación diferencial en
dy f x y
dx
,
1

Y se sustituye x  yu y su correspondiente derivada:
dy
du
u y
dy
dx
 

13. PROFESOR: JULIO BARRETO 13 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejemplo: Resolver
x
y x
y

 
Solución:
Como ya probamos que la ecuación diferencial es homogénea sustituimos y  xv y su
correspondiente derivada:
dx
dv
v x
dx
dy
y   
Y tenemos que:
 
0
1
1
1
1
1
 


  

 

 
dx dv
x
dx
x
dv
dx
dv
x
v
dx
dv
v x
x
x v
dx
dv
v x
x
xv x
dx
dv
v x
Ahora, aplicando la solución a esta ecuación diferencial separable tenemos:

14. PROFESOR: JULIO BARRETO 14 MATERIA: MATEMÁTICA IV
v kx
v x k k -c
x v c
dx dv c
x
ln
ln ln donde ln
ln
1

  
 
   
Y como y  xv entonces
x
y
v  y así:
y x kx
kx
x
y
ln
ln


Ejercicio: Comprobar
Ejercicios:
1. Resolver     0 2 2 2 x  y dx  x  xy dy 
Solución: e x x y k
y
2  
2. Resolver
 


 


 


 


 


 


 
 
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2
y
x
y
x
y
x
y y e x e
xye
y
Solución: y e c y
x
 



 



 
 


 


2
2
1

15. PROFESOR: JULIO BARRETO 15 MATERIA: MATEMÁTICA IV
MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE
Se tiene una EDO que no es exacta, pero al multiplicarla por una función determinada
se convierte en exacta.
Ejemplo:
Sea la ecuación diferencial ordinaria  3   cos  0 3 4 x  x seny dx  x y dy 
 x y
y
M
3 cos 3 


 x y
x
N
4 cos 3 


No es exacta pues ,
x
N
y
M





pero al multiplicarla por la función
x
1
resulta:
   cos  0
1
3
1 3 4   x y dy 
x
x x seny dx
x
1 3   cos  0 2 3  x seny dx  x y dy 
Y tenemos que:

x y
y
M
3 cos 2 


 x y
x
N
3 cos 2 


Que ya se convierte en exacta y se resuelve por el método estudiado anteriormente.
El problema consiste en encontrar la función que al multiplicar la EDO no exacta por
ella se transforma en una exacta.
Denotemos la función buscada por  y multipliquemos la EDO por ella:
M(x, y)dx N(x, y)dy  0
Para que sea exacta debe cumplir:

16. PROFESOR: JULIO BARRETO 16 MATERIA: MATEMÁTICA IV
dx
N
y
M 



x
N
N
y x
M
M
y 

 





  






Supongamos primero que (x) sólo depende de x.
x
N
N
y x
M


  





 


Factorizando (x)
N
x
N
y
M
x
x
N
y
M
x
N





























Resulta una EDO de variables separables porque
N
x
N
y
M









sólo depende de x,
dx
N
x
N
y
M
x e
dx
N
x
N
y
M
x
N
x
N
y
M
d

























































 
( )
ln





17. PROFESOR: JULIO BARRETO 17 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Suponemos ahora que  sólo depende de y, entonces la ecuación
y y x x  M M   N N
Se transforma en:
dy
M
N M
dy
d
M M N
dy
d
x y
y x
 


 

 

 


 

Que es una EDO de variables separables porque
M
N Mx y 
sólo depende de y,
dy
M
d Nx My    


 

 






dy
M
Nx My
 e
Resumen: Método del Factor Integrante:
   
My Nx
M x y dx N x y dy

,  ,  0
1. 1 Si
N
M Ny x 
depende sólo de x entonces es factor integrante
1.2 Si
M
N Mx y 
depende sólo de y entonces es factor integrante
2.1



dx
N
My Nx
(x) e 2.2



dx
M
Nx My
(y) e
3. Multiplicar la EDO por 
4. Resolver la EDO exacta

18. PROFESOR: JULIO BARRETO 18 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejemplo: Resuelve 2    0 2 2 x  y dx  x y  x dy 
Como:
1 y M N  2xy 1 x
Entonces tenemos que:
 
 
2
2ln ln
2
2 2
1
2
1
1 2 1 2 2 2 1
2
x
e e e
x xy x
xy
x y x
xy
x y x
xy
N
M N
x x
dx
x
y x
  


 


 




 


 


Luego:
   
0
2
0
1
2
1
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
   

 


   


 



   
dy
x
x
x
x y
dx
x
y
x
x
x y x dy
x
x y dx
x
Y tenemos que:
2
1
x
My  2
1
x
Nx 
Ejercicio: Resolver esta ecuación diferencial.
Ejercicios:
1. Identifique si es separable, lineal, exacta o factor integrante
a) 2 2  3 2  0 3 2 2 y  y dx  y x  xy dy 
b)   0 1 2    



 dx xy dy
x
y
x

19. PROFESOR: JULIO BARRETO 19 MATERIA: MATEMÁTICA IV
c)  2    0 2 2 y  xy dx   x dy 
d) 2x  ydx  x  2ydy  0
e) 2  0 2 xy  y dx  xdy 
f)  4  0 2 x senx  y dx  xdy 
2. Resolver:
a) 3    0 2 2 x  y dx  x y  x dy 
b) 2   3  0 2 2 xy dx  y  x dy 
c) 2 2 4  2  0 2 2 y  y  x dx  xy  x dy 
d)   0 4 x  x  y dx  xdy 
e)  2  0 2 2 y  xy dx  x dy 
f)   0
1
2 1 3 3 2 2   


 


   dy
y
xy dx x y
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Se llama ecuación de Bernoulli a una ecuación de primer orden que se puede expresar
en la forma:
    n P x y Q x y
dx
dy
 
Donde Px y Qx son continuas en un intervalo (a, b), y n es un número real.
Dividiendo la ecuación diferencial por
n y nos queda que:
y y Pxy Qx n n     1
Tomando el cambio de variable
n v y   1
y derivando v´ (1 n)y y´ n   , se tiene:
´
1
´
y y
n
v n 

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

20. PROFESOR: JULIO BARRETO 20 MATERIA: MATEMÁTICA IV
     

P x v Q x
n
v
1
´
v  1 nPxv  1 nQx
Que es una ecuación lineal.
Ejemplo: Resuelve
3
2
5
y  5y   xy y como n = 3 el cambio de variable sería:
13 2 v  y  y
y entonces la ecuación se transforma en:
    )
2
5
v   2 (5)v   2 ( x
v 10v  5x
dx x
x e e10 10
( )   
 e xdx c
e
v x x
x   5 
1
( ) 10
10




 e  e  c
x
e
v x x x
x )
100
1
10
5(
1
( ) 10 10
10




   x e
x c
v x 10 50
1
2
( )
Regresando a la variable original:




   
x e
x c
y 10
2
50
1
2
Ejercicios:
1.
2 3 y e y
dx
dy x  
2.   1/ 2 5 2
2
x y
x
y
dx
dy
 


3. 0 3   
x
y
y x
dx
dy
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
 Porteles, A. (2000). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. UPEL-IPB.