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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL

       CENTRO DEL PERÚ


FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS




             a x  b1y  c1       
     y'  f  1
             a x b y c          
                                   
             2      2     2       

      Ing. Hélar Véliz Fernández
               2012
ANÁLISIS MATEMÁTICO III      Ing. Hélar Véliz Fernández              2


        ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
                          HOMOGÉNEAS

Algunas veces una ecuación, cuyas variables no son separables, puede

convertirse en una de variables separables por medio de una sustitución

apropiada. Esto es lo que sucede, por ejemplo, con las ecuaciones

diferenciales con coeficientes “constantes” homogéneas.



    SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA



Consideremos una ecuación diferencial ordinaria homogénea.

             M(x, y) dx  N(x, y) dy  0                  (1)

Se dice que es homogénea si los coeficientes M(x, y) ,       N(x, y) son

funciones homogéneas del mismo grado.

Solución de la ecuación (1)

Pasos a seguir:

   a)   Efectuar el cambio de variable

             y
        u               y u x
             x

        Luego reemplazarlo en (1)

   b)   Calculamos:

        d y  xdu  ud x ,
ANÁLISIS MATEMÁTICO III           Ing. Hélar Véliz Fernández                       3

         y reemplazamos en (1)

         Nota:

                                                          dy
         Si se desea también se puede calcular                  a partir de: y  u x
                                                          dx

         Es decir:

            dy
                y '  u  x u'
            dx

   c)    La ecuación que queda en las variables x y u es de variables

         separables, la cual se resuelve por el método anterior y al final se

         vuelve a las variables originales reemplazamos “u” por:

               y
         u
               x

Observación:

La ecuación (1) se puede poner en la forma:

                                    M(x, y)
                           y'              f(x, y) ,
                                    N(x, y)

en cuyo caso f(x, y) es de grado cero.



Ejemplos:

Resolver:

2 y 4  x 4 d x    x y 3d y  0                        (1)

Solución:
ANÁLISIS MATEMÁTICO III           Ing. Hélar Véliz Fernández      4

Vemos que los coeficientes:

           
M x ; y   2 y 4  x 4   
N x ; y    x y 3

Son funciones polinómicas del mismo grado 4. Entonces es una ecuación

homogénea.

Efectuando el cambio de variable:

Solución de la ecuación (1)

Pasos a seguir:

   a)    Efectuar el cambio de variable

               y
         u                    y u x
               x

         Luego reemplazarlo en (1)

   b)    Calculamos:

         d y  xdu  ud x ,

         y reemplazamos en (1)

         2 u 4 x 4  x 4 d x  x u 3 x 3 x d u  u d x   0
         2 u 4  1d x  u 3 x d u  u d x   0
         Simplificando;

         u 4  1d x       x u3 d u  0

         Ordenando a variables separables:
ANÁLISIS MATEMÁTICO III                                  Ing. Hélar Véliz Fernández   5

        dx    u3
                  du  0
         x   u4 1

       Integrando:



                                
           dx                         u3
                                                        d u  c2
            x                        u4 1


       ln x 
                    1
                    4
                                 
                      ln u 4  1  c 2           
                                        
                                             1
       ln x  ln u 4  1 4  ln c1

                                    
              x                     
       ln                             ln c1
                            
                                 1
           u4 1                4   
                                    


                                    
                                         1
       x  c1 u 4  1 4


       x 4  c1 u 4  1                         
       Reemplazando por:

                y
       u
                x

                     y4    
       x 4  c1 4      1
                     x4    
                           

                     y 4  x4 
       x 4  c1 4           
                         x4   
                              

       x8  c x4  y 4                                  Solución general
ANÁLISIS MATEMÁTICO III             Ing. Hélar Véliz Fernández   6


                            EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1.    ( x2  3 x y  y 2 )d x  x2d y  0

          dy
2.    x      y        y 2  x2
          dx

3.    ( x  y ln y  y ln x ) d x  x (ln y  ln x ) d y  0

                      y                  y 
4.     x  y arc tan    d x  x arc tan   d y  0
                      x                  x 

              y         y            y 
5.     y cos    x sen    d x  cos   d y  0
              x         x            x 

6.    x y 2 d x  ( x3  y 3 )d y  0

7.    ( 6 x 2  7 y 2 ) d x  14 x y d y  0

       dy      2xy
8.        
       dx   3 x2  y 2

       dy   y        y 
9.            sen  
       dx   x        x 

           dy
10.   x2       y 2  x y  x2
           dx
ANÁLISIS MATEMÁTICO III       Ing. Hélar Véliz Fernández                         7

                  REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS

Las funciones de la forma:

                         a x  b1y  c1   
                 y'  f  1
                         a x b y c      
                                                           (1)
                         2      2     2   

Se reduce a homogénea siguiendo el siguiente procedimiento:

        a)   Si a1b2  a2 b1 , entonces las rectas         a1 x  b1y  c1  0       y

             a2 x  b2 y  c2  0   son no paralelas. En este caso el

             procedimiento es como sigue:

             i. Trasladar el origen de coordenadas al punto ( h, k ) de

                intersección de las rectas:

                  a1 x  b1 y  c1  0
                                                ()
                  a2 x  b2 y  c2  0

                Nota: El punto ( h, k ) está dado por la solución del sistema

                ().

             ii. Hacer el cambio de variables:

                x  u  h,  dx  du
                                                 (2)
                y  v  k ,  dy  dv

             iii. Reemplazar (2) en (1), con lo cual nos quedará una

                ecuación diferencial homogénea en las variables u y v.
ANÁLISIS MATEMÁTICO III         Ing. Hélar Véliz Fernández                    8

       b)     Si a1 b2  a2 b1 , entonces las rectas         a1 x  b1y  c1  0 y

              a2 x  b2 y  c2  0 son paralelos.

              El procedimiento será:

              i. Hacer el cambio:

                                                             u' a1
                 u  a1 x  b1 y  u'  a1  b1 y'  y'              (3)
                                                               b1

                 o también:

                                                               u' a2
                 u  a2 x  b2 y )  u'  a2  b2 y'  y'            (3)
                                                                 b2

              ii. Reemplazar (3) en (1), con lo cual nos queda una ecuación

                 diferencial reducible a variables separables (Método

                 anterior), en las variables u y x.

       Ejemplos:

       Resolver:

               4 x  3 y  15
       y' 
                2 x  y 7

       Solución:

       a)     Si 4 1  2 3  , entonces las rectas:

              4 x  3 y  15  0 y 2 x  y  7  0 son no paralelas.

              i. Trasladar el origen de coordenadas al punto ( h, k ) de

                 intersección de las rectas:
ANÁLISIS MATEMÁTICO III        Ing. Hélar Véliz Fernández                   9

               4 x  3 y  15  0
                                                    ()
               2 x  y 7  0

              La solución es: ( h, k )  ( 3 ,  1 )

          ii. Hacer el cambio de variables:

              x  u  3 ,  dx  du
                                                     (2)
              y  v  1,  dy  dv

          iii. Reemplazar (2) en (1):

              dv   4 u  3   3 v  1  15
                 
              du    2 u  3   v  1  7

              dv   4 u  12  3 v  3  15
                 
              du     2 u  6  v 1  7

              dv   4u  3v
                                                            (3)
              du    2u v

             La cual es homogénea

             Para resolver (3), seguimos el procedimiento dado para

             ecuaciones homogéneas. Sí hacemos el cambio:

                   v                                 dv
              z              v uz        v'        z  u  z ' (4)
                   u                                 du

             (4) en (3):

                             4u  3v
              z  u  z' 
                              2u v

                         4u  3v
              u  z'            z
                          2u v
ANÁLISIS MATEMÁTICO III         Ing. Hélar Véliz Fernández                      10

                         4u 3uz
              u  z'             z
                          2u uz

                         43z
              u  z'         z
                         2z


                         4  z  z2
              u  z' 
                           2z


                   dz   4  z  z2
              u      
                   du     2z

                   z2                du
                             dz
              4  z  z2              u

                     z2               du
                               dz 
                   z2  z  4          u

                         4z8               du
                                     dz
                   4 z 2  4 z  16         u

                         4z8               du
                                     dz
                   2 z  12  17          u

             Integrando:

              1
              2
                     
                ln z 2  z  4   5    2 z  17  1
                                     ln
                                 2 17  2 z  17  1
                                                             
                                                               ln u  ln c1
                                                             
                                                            
ANÁLISIS MATEMÁTICO III          Ing. Hélar Véliz Fernández      11

                      EJERCICIOS PROPUESTOS


1.   ( x  4 y  9)d x  (4 x  y  2 )d y  0


      dy   x 3y 5
2.       
      dx    x  y 1



3.   4 x y 2 d x  ( 3 x 2 y  1) d y  0



4.   ( y 4  3 x2 )d y   x y d y


5.   y cos x d x  ( 2 y  sen x ) d y  0



6.   (2 x2  3 y 2  7 ) x d x  (3 x2  2 y 2  8 ) y d y  0


      dy   x  y 1
7.       
      dx   x  y 1


8.   (6 x  4 y  8 ) d x  ( x  y  1) d y  0


      dy    4 x  3 y  15
9.       
      dx     2 x  y 7



10. ( x  2 x 2 y ) d y  ( 2 y  3 x y 2 ) d x  0
ANÁLISIS MATEMÁTICO III         Ing. Hélar Véliz Fernández   12

      dy   6 x  y  12
11.      
      dx   6 x  y  12


      dy   2 x  3 y 1
12.      
      dx   3x 2y 5


                  y              y
13. ( x  y cos     ) d x  x cos d y  0
                  x              x


      dy    4 x  3 y  15
14.      
      dx     2 x  y 7


      dy    3 x  4 y 1
15.      
      dx   3x 4y 2


16. ( x  2 y  3 ) d x  ( 2 x  4 y  5 ) d y  0



17. x ( 2 x 2  y 2 )  y ( x 2  2 y 2 ) y'  0



              x2  y 2            ( x2  y 2 )
18. ( 2 x               )d x                     dy
                x2 y                  x y2



      dy   y2    y
19.              1
      dx   x 2   x


      dy   3x  y 1
20.      
      dx   x  2y 1

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS  a x  b1y  c1  y'  f  1  a x b y c    2 2 2  Ing. Hélar Véliz Fernández 2012
  • 2. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Algunas veces una ecuación, cuyas variables no son separables, puede convertirse en una de variables separables por medio de una sustitución apropiada. Esto es lo que sucede, por ejemplo, con las ecuaciones diferenciales con coeficientes “constantes” homogéneas. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Consideremos una ecuación diferencial ordinaria homogénea. M(x, y) dx  N(x, y) dy  0 (1) Se dice que es homogénea si los coeficientes M(x, y) , N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado. Solución de la ecuación (1) Pasos a seguir: a) Efectuar el cambio de variable y u  y u x x Luego reemplazarlo en (1) b) Calculamos: d y  xdu  ud x ,
  • 3. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 3 y reemplazamos en (1) Nota: dy Si se desea también se puede calcular a partir de: y  u x dx Es decir: dy  y '  u  x u' dx c) La ecuación que queda en las variables x y u es de variables separables, la cual se resuelve por el método anterior y al final se vuelve a las variables originales reemplazamos “u” por: y u x Observación: La ecuación (1) se puede poner en la forma: M(x, y) y'    f(x, y) , N(x, y) en cuyo caso f(x, y) es de grado cero. Ejemplos: Resolver: 2 y 4  x 4 d x  x y 3d y  0 (1) Solución:
  • 4. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 4 Vemos que los coeficientes:  M x ; y   2 y 4  x 4  N x ; y    x y 3 Son funciones polinómicas del mismo grado 4. Entonces es una ecuación homogénea. Efectuando el cambio de variable: Solución de la ecuación (1) Pasos a seguir: a) Efectuar el cambio de variable y u  y u x x Luego reemplazarlo en (1) b) Calculamos: d y  xdu  ud x , y reemplazamos en (1) 2 u 4 x 4  x 4 d x  x u 3 x 3 x d u  u d x   0 2 u 4  1d x  u 3 x d u  u d x   0 Simplificando; u 4  1d x  x u3 d u  0 Ordenando a variables separables:
  • 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 5 dx u3  du  0 x u4 1 Integrando:   dx u3  d u  c2 x u4 1 ln x  1 4  ln u 4  1  c 2    1 ln x  ln u 4  1 4  ln c1    x  ln    ln c1   1  u4 1 4      1 x  c1 u 4  1 4 x 4  c1 u 4  1   Reemplazando por: y u x  y4  x 4  c1 4   1  x4     y 4  x4  x 4  c1 4    x4    x8  c x4  y 4   Solución general
  • 6. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 6 EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1. ( x2  3 x y  y 2 )d x  x2d y  0 dy 2. x y y 2  x2 dx 3. ( x  y ln y  y ln x ) d x  x (ln y  ln x ) d y  0   y   y  4.  x  y arc tan    d x  x arc tan   d y  0   x   x    y   y   y  5.  y cos    x sen    d x  cos   d y  0   x   x   x  6. x y 2 d x  ( x3  y 3 )d y  0 7. ( 6 x 2  7 y 2 ) d x  14 x y d y  0 dy 2xy 8.  dx 3 x2  y 2 dy y  y  9.   sen   dx x  x  dy 10. x2  y 2  x y  x2 dx
  • 7. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 7 REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS Las funciones de la forma:  a x  b1y  c1  y'  f  1  a x b y c   (1)  2 2 2  Se reduce a homogénea siguiendo el siguiente procedimiento: a) Si a1b2  a2 b1 , entonces las rectas a1 x  b1y  c1  0 y a2 x  b2 y  c2  0 son no paralelas. En este caso el procedimiento es como sigue: i. Trasladar el origen de coordenadas al punto ( h, k ) de intersección de las rectas:  a1 x  b1 y  c1  0  ()  a2 x  b2 y  c2  0 Nota: El punto ( h, k ) está dado por la solución del sistema (). ii. Hacer el cambio de variables: x  u  h,  dx  du (2) y  v  k ,  dy  dv iii. Reemplazar (2) en (1), con lo cual nos quedará una ecuación diferencial homogénea en las variables u y v.
  • 8. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 8 b) Si a1 b2  a2 b1 , entonces las rectas a1 x  b1y  c1  0 y a2 x  b2 y  c2  0 son paralelos. El procedimiento será: i. Hacer el cambio: u' a1 u  a1 x  b1 y  u'  a1  b1 y'  y'  (3) b1 o también: u' a2 u  a2 x  b2 y )  u'  a2  b2 y'  y'  (3) b2 ii. Reemplazar (3) en (1), con lo cual nos queda una ecuación diferencial reducible a variables separables (Método anterior), en las variables u y x. Ejemplos: Resolver: 4 x  3 y  15 y'  2 x  y 7 Solución: a) Si 4 1  2 3  , entonces las rectas: 4 x  3 y  15  0 y 2 x  y  7  0 son no paralelas. i. Trasladar el origen de coordenadas al punto ( h, k ) de intersección de las rectas:
  • 9. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 9  4 x  3 y  15  0  ()  2 x  y 7  0 La solución es: ( h, k )  ( 3 ,  1 ) ii. Hacer el cambio de variables: x  u  3 ,  dx  du (2) y  v  1,  dy  dv iii. Reemplazar (2) en (1): dv 4 u  3   3 v  1  15  du 2 u  3   v  1  7 dv 4 u  12  3 v  3  15  du 2 u  6  v 1  7 dv 4u  3v  (3) du 2u v La cual es homogénea Para resolver (3), seguimos el procedimiento dado para ecuaciones homogéneas. Sí hacemos el cambio: v dv z  v uz  v'   z  u  z ' (4) u du (4) en (3): 4u  3v z  u  z'  2u v 4u  3v u  z'  z 2u v
  • 10. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 10 4u 3uz u  z'  z 2u uz 43z u  z'  z 2z 4  z  z2 u  z'  2z dz 4  z  z2 u  du 2z z2 du dz 4  z  z2 u z2 du  dz  z2  z  4 u 4z8 du  dz 4 z 2  4 z  16 u 4z8 du  dz 2 z  12  17 u Integrando: 1 2  ln z 2  z  4   5  2 z  17  1 ln 2 17  2 z  17  1    ln u  ln c1   
  • 11. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 11 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ( x  4 y  9)d x  (4 x  y  2 )d y  0 dy x 3y 5 2.  dx x  y 1 3. 4 x y 2 d x  ( 3 x 2 y  1) d y  0 4. ( y 4  3 x2 )d y   x y d y 5. y cos x d x  ( 2 y  sen x ) d y  0 6. (2 x2  3 y 2  7 ) x d x  (3 x2  2 y 2  8 ) y d y  0 dy x  y 1 7.  dx x  y 1 8. (6 x  4 y  8 ) d x  ( x  y  1) d y  0 dy 4 x  3 y  15 9.  dx 2 x  y 7 10. ( x  2 x 2 y ) d y  ( 2 y  3 x y 2 ) d x  0
  • 12. ANÁLISIS MATEMÁTICO III Ing. Hélar Véliz Fernández 12 dy 6 x  y  12 11.  dx 6 x  y  12 dy 2 x  3 y 1 12.  dx 3x 2y 5 y y 13. ( x  y cos ) d x  x cos d y  0 x x dy 4 x  3 y  15 14.  dx 2 x  y 7 dy 3 x  4 y 1 15.  dx 3x 4y 2 16. ( x  2 y  3 ) d x  ( 2 x  4 y  5 ) d y  0 17. x ( 2 x 2  y 2 )  y ( x 2  2 y 2 ) y'  0 x2  y 2 ( x2  y 2 ) 18. ( 2 x  )d x  dy x2 y x y2 dy y2 y 19.   1 dx x 2 x dy 3x  y 1 20.  dx x  2y 1