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                                           ECUACIONES E INECUACIONES


¿Qué aprenderemos hoy?                                                    ¿Qué materiales utilizaremos?

     A resolver problemas de traducción                                  -     Libro de Matemática - 1er Grado de
      simple y compleja que involucran                                          Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
      ecuaciones lineales con una                                               2008.
      incógnita.                                                          -     Video Nº .....: Ecuaciones
     A identificar inecuaciones lineales .




                                              ORIGEN DE LAS ECUACIONES LINEALES

La primera fase que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la
invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un
Álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada Álgebra Geométrica, rica en métodos
geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva
                      etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al
                      desarrollo de dicha notación. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como
                      la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con
                      números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas,
                      progresiones y todo tipo de ecuaciones).
                      Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado
                      más de 3.000 años.
                      Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C-
                      y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La
                      mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones de la vida
                      diaria.
                                                                      Extracto de Ecuaciones Lineales
                                  http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html



Investiga con tus compañeros y responde:

a) ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una inecuación?
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

b) Explica con tus palabras la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................


                                                                                                                                                    1
                                                                                       Prof. Beatriz Toledo López
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          Ecuaciones

  Recordando:
                                                                  2do miembro

                                        2x 4 6 x
                       1er miembro

                           Ecuaciones                Ecuaciones                   Ecuaciones
        Ecuaciones         Compatibles             Indeterminadas               Incompatibles
       Equivalentes

   Cuando            dos   Contiene una única   Contiene        infinitas   La    ecuación    no
   ecuaciones contienen    solución             soluciones                  contiene solución
   las mismas soluciones
                              4x 5 2x 3          4 x 5 4( x 1) 1                4 x 5 4( x 1)
        4x 2 6                  2x  8             4x 5 4x 4 1                   4x 5 4x 4
        8x 4 12                  x 4                4x 4x 5 5                   4x 4x 4 5
                                                       0x 0                         0x  1
    x 1 para ambos                                  x tiene infinitas
                                                       soluciones




    Actividades

1. Observa con tus compañeros el video “ Ecuaciones” y responde:
   a) Explica con tus palabras ¿Qué es una ecuación?
   b) ¿Qué propiedades de los números racionales utilizamos en la
      resolución de ejercicios con ecuaciones? Explica con 1 ejemplo tu
      respuesta.

2. Enlaza cada ecuación con su equivalente:

   2x 5                                            3x 6
   4( x 1) (3x 2)                                  36 x 96
   6( x 3) 2                                       6 x 15

3. Determina que ecuaciones son compatibles, Indeterminadas e Incompatibles.

         a)   5x 6 3x 2
         b) 8x 7 4(2 x 2) 1

         c)   6(2 x 1) 2 12 x 4

         d)   x (2 x 2)    4x 1


                                                                                                2
                                                       Prof. Beatriz Toledo López
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               Resolución de ecuaciones

   Podemos resolver ecuaciones en Q, de dos formas diferentes:

                      Modelo tradicional                                 Modelo de los operadores


        Observemos el siguiente ejemplo:                    Observemos el siguiente ejemplo:

        Hallar el valor de x en: 2 x 6 5                    Hallar el valor de x en: 2 x 6              5
                                     2                                                           2

                                     2x 6
                                                                x                                                  5
          Prop. monotonía
          de la multiplicación           2          5 2
                                       2
                                                                         x2                     +6             2
          Prop. monotonía
          de la sustracción .
                                    2x 6 6 10 6

          Prop. monotonía
          de la división         
                                           2x
                                           2
                                                 4
                                                 2
                                                                x                  4                   10          5

          Realizamos
          operaciones                     x     2                            2                 –6            x2
                                                                                            x    2


    Actividades

1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes ecuaciones de la manera tradicional :

   a)        3(1 2 x) 4(1 x)             x 2(1 x)                   b)            3x 2( x 1)            2(3x 1) 4

   c)        2x     3x                                              d)            2( x 2)            3(1 x)
                           x     2(1 2 x) x                                                                   1
             3      2                                                                 3                 2
   e)        2( x 2) 3(1 x)

I. Resuelve las siguientes ecuaciones según el modelo de operadores:
         3x 4          5                             5x 3   1                               4x 1        1
   a)                                           b)                                     c)
           2          2                                8    8                                 9         27




            Inecuaciones


Recordando:
                                                 x 4 12
                    1er miembro
                                                                                  2do miembro


                                                                                                                       3
                                                                    Prof. Beatriz Toledo López
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                                   Resolución de Inecuaciones
 La técnica para resolver las inecuaciones es similar a la utilizamos para resolver una
 ecuación. Por ejemplo: 5x 6 16

       1 Se suma o resta la misma cantidad a ambos
                                                                  5x 6 6 16 6
         miembros
       2 Se multiplica o divide por un número                            5      10
                                                                           x
         positivo                                                        5       5
       3
         Operamos respectivamente                                         x     2
       4
            Hallamos el conjunto solución                     C.S.       x/ x        /x       2




      Actividades

1.    En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones

       a)        6x 24 x                               b)     3, 6 x 30 45

       c)        8   12 x 1   28                       d)         3
                                                              9     x 2 1
                12     16     20                                  9




¿Qué aprendimos hoy?

1.     Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

      a) x 8(2 x 1) 17 x 3 es indeterminado                          (                    )

      b) 2 x 8( x 2) 3x 1 es compatible                              (                    )

      c) x 2( 4 4 x) 32 3x es incompatible                           (                    )

      d) 5x 3( x 20) 15x 2(3x 6) es incompatible                     (                    )

     2. Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
                                                    3
            a) 15 6x 24                      b) 21    x 2 0                     c) 15 x 5 8
                                                    6




                                                                                                  4
                                                         Prof. Beatriz Toledo López
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3.        Resuelve los siguientes problemas:

      a) María viaja en auto de Lima a Cañete con una velocidad de 100km/h. Si la distancia es
         de 12 000 km y sólo avanzó 1034,5 km en medio día ¿Cuánto le falta recorrer para
         llegar a su destino?




      b) Rafael divide un número de cifras entre otro que tiene una cifra; el resultado de dicha
         operación es 383 873 ¿Qué valores puede tomar el número de una cifra?




                                       Reforzando lo aprendido

 Reforzando lo aprendido

 Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.*
                                                                          (*) Si no cuentas con el libro de
          Actividad 12 y 13:Ecuaciones e Inecuaciones en Q               consulta, utiliza otro material
                                                                          que refuercen los           temas
           (Pág. 92-93)                                                   tratados.




 Enlaces Web

                                          Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
     Pasos para resolver una ecuación
     http://classtools.net/widgets/priority_chart/priority_chart51612.htm/

     Conociendo más acerca de las inecuaciones
     http://www.amolasmates.es/flash/inecuacion.swf

     Conociendo más acerca de las ecuaciones
     http://www.genmagic.net/mates2/eq1_cast.swf




                                                                                                        5
                                                          Prof. Beatriz Toledo López
10



                                                          DIVISIBILIDAD


¿Qué aprenderemos hoy?                                                    ¿Qué materiales utilizaremos?

     A reconocer múltiplos y divisores.                                  -     Libro de Matemática - 1er Grado de
     A    realizar     operaciones       que                                   Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
      involucren el criterio de divisibilidad                                   2008.
      en números naturales.                                               -     Video Nº .....: Divisores y múltiplos




                                     UN POCO DE HISTORIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
                                 Los números primos son unos números “rebeldes” que no se dejan dividir por
                                 otros números; están, pues, vacíos de divisores entre la unidad y ellos mismos.
                                 Estos números llamaron la atención de los estudiosos hace más de 2.000 años. Ya
                                 Euclides (300 a.C.) demostró que el número de números primos es infinito.(..)
                                 Eratóstenes (matemático y geógrafo griego que vivió en el s. III a. C.) se inventó
                                 una criba para ir obteniéndolos. El método es muy sencillo, aunque muy lento:
                                 en la lista de todos los números positivos (exceptuando el 1, que no es primo
                                 pues sólo tiene un divisor: el propio 1), respetamos cada número que vamos
                                 encontrando sin tachar (por ejemplo, el 2 al empezar la tarea) pero vamos
                                 tachando todos los múltiplos de ese número, mayores que él. Así, iremos
                                 tachando los de 2 (4, 6, 8, etc.), luego los de 3 que no hayan sido tachados antes
                                 (9, 15, etc.); y, sucesivamente, los múltiplos de los números que van quedando
                                 sin tachar (los de 5, 7, 11, etc.). De esta forma van quedando, filtrados y
                                 ordenados, los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc.

                                                                                 Extracto de Divisibilidad
                                                             http://www.scribd.com/doc/3463233/divisibilidad



Investiga con tus compañeros y responde:

a) ¿Cuál es la diferencia entre un divisor y un múltiplo?
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

b) ¿Los múltiplos de un número son infinitos? ¿Por qué?
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................



                                                                                                                                                    1
                                                                                       Prof. Beatriz Toledo López
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            Múltiplos y divisores


                                Múltiplos                                                         Divisores

         Un número es múltiplo de otro cuando                                Un número es divisor de otro cuando
          el primero contiene al segundo una                                     el primero se puede dividir
                cantidad exacta de veces                                        exactamente con el segundo.

           Múltiplos de 12: {0, 12, 24, 36,48,…}                                  Divisores de 12:{1,2,3,4,6, 12}

               “0 es múltiplo de todo número”                                      “1 es divisor de todo número”




    Actividades

1. Observa con atención el video: “Divisores y múltiplos”. Luego dialoga
   con tus compañeros sobre:
   a) Plantea tres ejemplos con múltiplos y divisores de números naturales
   b) Investiga y explica con tus propias palabras ¿Qué es divisibilidad?

2. Halla los 8 primeros múltiplos de los siguientes números:
        23 = ........................................................................................................
        11 = ........................................................................................................
        17 = ........................................................................................................
        13 = ........................................................................................................

3. Halla los divisores de los siguientes números:
        64 = ........................................................................................................
        88 = ........................................................................................................
        111 =.......................................................................................................
        128 = ......................................................................................................

4. Completa los espacios en blanco con “divisor” o “múltiplo" según corresponda:

   4 es........................................... de 12                    20 es ........................................ de 5
   19 es .........................................de 190                    369 es .......................................de 3




                                                                                                                                  2
                                                                                   Prof. Beatriz Toledo López
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            Números primos y compuestos


                 Números Primos                       Números Compuestos

    Se denomina número primo aquel que         Los números compuestos tienen más de
    posee solo dos divisores: la unidad y él                2 divisores.
                   mismo.

                  2, 3 , 5, 7, 11,…                     4, 6 ,18, 111, 42,…




    Actividades


1. Observa con atención el video: “Números primos y compuestos”. Luego
   dialoga con tus compañeros sobre:
   a)    Menciona tres ejemplos cotidianos de la utilización de los números
         primos
   b)    Investiga sobra la criba de Erastótenes

2. Encierra en un círculo los números primos y en un cuadrado los números compuestos.


    1        2          3         4      5       6         7       8          9       10


    11       12         13        14     15      16        17      18         19      20


    21       22         23        24     25      26        27      28         29      30


    31       32         33        34     35      36        37      38         39      40


3. ¿Cuáles de los siguientes números son compuestos?
          a) 123                                  b) 317
          c) 583                                  d) 401

4. Resuelve:
   La raíz cuadrada de la suma de dos números primos menores que 20 es 6 ¿Cuáles son
   esos números?



                                                                                           3
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             Criterios de divisibilidad



       Divisibilidad por 2                          Divisibilidad por 3                              Divisibilidad 5
     Cuando la última cifra es                  Cuando la suma de sus cifras                      Cuando la última cifra
       par o termina en 0                            es múltiplo de 3                               termina en 0 o 5.

            124; 100 ; 882 ;…                            369 = 3+6+9 =                               10,10005, 40,60, …
                                                       18 es múltiplo de 3

                 Divisibilidad por 9                                                 Divisibilidad por 11
     Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de                         Cuando la diferencia entre la suma de las
                          9.                                              cifras que ocupan lugar impar y la suma
                                                                           de las cifras que ocupan lugar par ; da
                      468 = 4 + 6 + 8 =                                  como resultado igual a 0 o un múltiplo de
                   18 que es múltiplo de 9                                             11. Por ejemplo:
                       711= 7 +1+1=                                                           132
                   9 que es múltiplo de 9                                                 (1+2)- 3 = 0




      Actividades

1.     Agrupa los números del cuadro según su criterio de divisibilidad.

                    12         25         20         16         32         18         16        11         24         300
                    111        500        236        222        6          99         34        82         84         14

       a)    Divisibles por 2:.......................................................................................................
       b)    Divisibles por 3:.......................................................................................................
       c)    Divisibles por 5:.......................................................................................................
       d)    Divisibles por 9:.......................................................................................................
       e)    Divisibles por 11:.....................................................................................................




 ¿Qué aprendimos hoy?

1. Halla los divisores comunes entre los siguientes números:

               f) 12 y 36                            b)15 y 36                                  c)40 y 11



                                                                                                                                        4
                                                                                  Prof. Beatriz Toledo López
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2. Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

       a)   23 es múltiplo de 3                                          (                )
       b)   11 es divisor de 1 234 321                                   (                )
       c)   231 es divisible por 2                                       (                )
       d)   171 es un número primo                                       (                )

3. Resuelve los siguientes problemas:

   a) Queremos dividir en trozos iguales, de la mayor longitud posible, dos tablas de madera
      de 60 y 72 cm de longitud respectivamente. Calcule la longitud de cada trozo




   b) En una clase de Matemáticas hay 24 alumnos. Para realizar un trabajo grupal, se
      forman en cada clase grupos del mismo número de alumnos de manera que ha el
      menor número de grupos posibles ¿Cuántos alumnos conforman cada grupo?




 Reforzando lo aprendido                 Reforzando lo aprendido
 Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.*
                                                                              (*) Si no cuentas con el libro de
       Actividad 13 y 14: Criterios de Divisibilidad                         consulta, utiliza otro material
                                                                              que refuercen los           temas
        (Pág. 27-29)                                                          tratados.




 Enlaces Web

 Criterios de Divisibilidad
                                                                             Si tienes Internet, ingresa
 http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/glosario/divisibilidad.swf                   a las siguientes páginas
                                                                                                   web:
 Juego de Divisores
 http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/jgc.htm

 Algo más de Divisores
 http://www.aprendermatematicas.com/sama/divisibilidad.swf


                                                                                                            5
                                                               Prof. Beatriz Toledo López
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                                          FUNCIONES

                                               Sumilla
A través del análisis de situaciones cotidianas y el conocimiento de las funciones podrás realizar
resolver ejercicios y situaciones propuestas.


           ¿Qué aprenderé hoy?                                 ¿Qué materiales utilizaré?
 Identificar la gráfica de una función.                   Libro de Matemática - 1er Grado de
 Representar una función mediante tablas,                  Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú
  gráficas y ecuaciones.                                    2008.
 Analizar las características de las gráficas de
  las diversas funciones.




                                         ¿Cómo empezamos?

1. Lee el texto y completa el cuadro :
    Cierta mañana Luana desea comer manzanas para lo cual la vendedora le dice que el
       kilogramo de manzanas cuesta S/. 2. ¿Cuánto le costará 2, 5, 7 y 10 kg?
      Completa el cuadro:

                       kg        1         2        5          7         10
                      S/.




                                                                                      http://www.gifanimados


2. A partir del análisis responde a las siguientes preguntas:

     ¿Cuánto le costó si compró 3 kilos?
     ¿Cuánto le costó si compró 5 y 10 kilos respectivamente?
     Si el kilogramo de pera cuesta el doble que el de la manzana. ¿Podrá comprar con S/.10, 2 kg
        de pera y 1 kg de manzana?


    ESCRIBE EN TU CUADERNO TUS RESULTADOS.




                                                                                                         1
                                                                   Prof: Juana Tueros Huamaní
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                                             FUNCIONES

En nuestro quehacer diario siempre estamos relacionando el producto con su precio o con su peso,
etc. En realidad estamos aplicando el concepto de función. Habrás escuchado por ejemplo: El gasto
total de panes depende del número de panes; o el gasto total se expresa en función del número de
panes. Frases como “….depende del….”, “…..en función….” expresan una correspondencia o relación
entre dos sucesos o entre los elementos de dos conjuntos. ¿Pero qué es una función?

    Una función f de A en B, es un conjunto de pares ordenados (x, y) en el cual dos pares
    distintos no tienen la misma primera componente. Su denotación es: f(y) = axf: A → B,
    y se lee; f es una función de A en B.

En toda función se distingue lo siguiente:




           Conjunto de partida
           Conjunto de llegada
           Regla de correspondencia



   FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN


Existen diversos lenguajes para expresar una función, para ello vamos partir de un caso:
Juan tiene que en ómnibus y le dice que hay que pagar S/ 10 por kilómetro. ¿Cuál es la función
que expresa el valor de cada pasaje según el número de kilómetros?

                                              Es un texto o una frase que relaciona las 2 magnitudes.
           LENGUAJE VERBAL                    Un ómnibus a S/. 10 el km. Depende o es función del
                                              número de kilómetros recorridos.


                                              Es una tabla que relaciona las dos magnitudes.
          LENGUAJE NUMÉRICO                    km     1      2       …      70
                                               S/.    10     20      …      700


                                              Es una expresión que relaciona las 2 magnitudes. Si x
                                              indica el número de kilómetros e y el valor de cada
        LENGUAJE ALGEBRAICO
                                              pasaje, la relación entre las dos variables(x e y) nos da la
                                              siguiente expresión:
                                                                   y = 10x

                                              Se ubica los pares ordenados en el plano cartesiano, es
          LENGUAJE GRÁFICO
                                              decir se relacionan las 2 magnitudes.




                                                                                                             2
                                                                 Prof: Juana Tueros Huamaní
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                ¿Cómo identificar cuando una gráfica representa una función?

Al trazar rectas paralelas al eje y, si pasa sólo por un punto de la gráfica entonces podemos afirmar
que representa una función, caso contrario no es una gráfica de una función, observa la siguiente
gráfica:




                                           DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente(x). Los valores en el dominio
usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x).

Se representa por: D(f)
                                           RANGO DE UNA FUNCIÓN

Al conjunto de todos los valores de la variable dependiente (y). Los valores en el rango usualmente
están asociados con el eje vertical. (El eje y)

Se representa por: R(f)
Ahora tú identifica el dominio y rango de la siguiente función.
Dados:
A= 3;4;5 y B= 2;4;5;6;7 , determina el dominio y rango de f: A =            B / f ( x)   x 1

Elaboramos una tabla de f(x)

                                       x               3       4    5
                                       f(x)            4       5    6

D(f) = ………………………… R(f) = ………………………………. R(f) = …………………………

Puedes también realizar diagramas sagitales.


http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html




                                                                                                   3
                                                                    Prof: Juana Tueros Huamaní
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            Tipos de Funciones



                                                     Notación
    Tipos                  ¿Qué es?                                               Gráfica
                                                     simbólica
                Es una función de la forma
                f(x)=mx+b, el dominio y el                                                      6
                                                                                                4


                rango de una función lineal es el                           -6    -4       -2
                                                                                                2
                                                                                                 0
                                                                                                -2 0       2

                conjunto de los números reales.                                                 -4
                                                                                                -6


                Nota: Una función de la forma
                                                                    En la función f(x) = 2x + 4, la
Lineal          f(x)=mx también es una función      f(x) = mx + b   pendiente es 2, por tanto la
                lineal pero su intercepto en y es
                                                                    gráfica es creciente en los
                cero. Su gráfica es una recta que
                                                                    números reales. El dominio
                siempre pasa por el origen.
                                                                    y el recorrido es el conjunto
                                                                    de los números reales. El
                                                                    intercepto en y es (0,4).
                Una función cuadrática es una
                función de la forma f(x)=ax2+ bx                                 20

                +c, con a diferente de cero,                                     15


                donde a, b y c son números            f(x) = x 2                 10
                                                                                  5

                reales. La gráfica de una función                      -5
                                                                                  0
                                                                                       0                       5
                cuadrática es una parábola. Si
                a>0 entonces la parábola abre                       La función f(x)=x2 es una
Cuadrática      hacia arriba y si a<0 entonces la                   función           cuadrática
o de segundo    parábola abre hacia abajo. El                       decreciente en el intervalo
grado           dominio de una función                              de menos infinito a cero y
                cuadrática es el conjunto de los                    creciente en el intervalo de
                números reales. El vértice de la                    cero a infinito.
                parábola se determina por la         f(x) = -x 2                   0

                fórmula:                                              -5          -5 0                         5
                                                                                 -10
                                                                                 -15
                                                                                 -20



                Es una función de la forma
                f(x)=mx+b, el dominio y el                                             2
                                                                                  1.5
                rango de una función lineal es el                                      1
                                                                                  0.5
                conjunto de los números reales.
Función
                                                                                       0
                                                                      -4    -2             0           2           4
                Nota: Una función de la forma         f(x) = b
constante                                                           El dominio es el conjunto de
                f(x)=mx también es una función
                lineal pero su intercepto en y es                   los números reales y el
                cero. Su gráfica es una recta que                   recorrido es {2}.
                siempre pasa por el origen.




                                                                                                                       4
                                                              Prof: Juana Tueros Huamaní
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                                                       Notación
     Tipos                 ¿Qué es?                                                      Gráfica
                                                       simbólica
                La función identidad es la
                función de la forma f(x) = x. El                                              2

    Función                                                                                   1


                dominio y el recorrido es el               f(x) = x                -4    -2
                                                                                               0
                                                                                              -1 0   2

   Identidad                                                                                  -2

                conjunto de los números                                                       -3



                reales.
                La función valor absoluto de x.
                El dominio es el conjunto de los
    Valor
                números reales y el rango es el           f(x) = |x|
   Absoluto
                cero y los números reales
                positivos.


                        Llegó el momento de poner en práctica lo aprendido sobre
                        funciones.

      Ejercicios

1. Identifica:
De los siguientes pares de magnitudes, indica la magnitud independiente y la dependiente.
    a) La longitud del lado y el área de un terreno cuadrado.
    b) El volumen de una caja de leche y la longitud de su arista.
    c) La distancia recorrida por un auto y el tiempo que tarda en recorrerla.
2. Calcula:
                f(x)=-3x2 Luego dibuja la gráfica.
3. Interpreta:
    a) Sea la función que asocia “a cada número su mitad más dos unidades”.
     Escribe la expresión algebraica.
     Construye una tabla de valores y grafica la función.
     ¿Qué tipo de gráfica dibujaste? y ¿porqué?
    b) Para realizar un paseo, tu sección acordó dar una cuota de S/.15 por cada alumno.
4. Completa la tabla y representa gráficamente.
                          Alumnos(x)      1        5    10        15         20
                          Cuota (y)
5. Identifica qué función es a partir de la tabulación:
   a) f(x) = 3x+1
   b) f(x) = x2
   c) f(x) = x
   d) f(x) =|x|
6. Sean los conjuntos A = {2; 3; 5} y B = {1; 4; 6; 8}.
   DETERMINA:
                       R1 = {(x, y) A x B / y es múltiplo de x}
                       R2 = {(x, y) A x B / 3 x = y}



                                                                                                         5
                                                                      Prof: Juana Tueros Huamaní
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                                         ¿Qué aprendimos hoy?
1.   Elabora un listado de términos matemáticos que estén relacionados con el tema de funciones y
     elabora un pupiletras, luego busca su significado.
2.   Busca en periódicos y/o revistas tipos de gráficos y elabora un mini-álbum con su leyenda
     respectiva.
3.   Busca en tu entorno objetos y/o situaciones que representen los diversos tipos de funciones.



                             ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje?
Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:

1. Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
a) El dominio de una función son las segundas componentes                          (   )
b) Toda función es una relación.                                                   (   )
c) Una gráfica lineal es decreciente cuando m es positivo.                         (   )
d) La función afín tiene como gráfica una curva.                                   (   )

2. Tabula y grafica las siguientes funciones: x          2;3
     a)   f(x) = 3x+1
     b)   f(x) = x2
     c)   f(x) = x
     d)   f(x) =|x|

3. Elabora la tabla de valores y grafica las funciones. x            2;2
a)    y      3x 1                      b)    y     2x 3                                c)   y     2x

e)    y      x 3                       f)    y    x2     2                             g)   y     2x 1

i)    y      2x 3 ; x     2;4          j)    y     2x2       3;       1;3              k)   y     2x     1;3




Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas              Proyecto:
web:
                                                                  “Elaboramos nuestro juego matemático”
Todo sobre funciones:
                                                                  Responsables: tutor y estudiantes
http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/fun
                                                                  Objetivo: Realizar un juego de dominó referido
cion.html
                                                                  al tema de “función”.




                                                                                                                   6
                                                                            Prof: Juana Tueros Huamaní

                                                                    LENGUAJE GRÁFICO
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                      LA GEOMETRIA DE NUESTRO ENTORNO

                                               Sumilla
A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con la geometría en
situaciones diversas.


           ¿Qué aprenderé hoy?                                 ¿Qué materiales utilizaré?
 Conocer los elementos básicos de la                    Libro de Matemática - 1er Grado de
  geometría.                                              Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú
 Graficar los elementos geométricos.                     2008.
 Resolver problemas simples que involucran
  conocimientos geométricos.




                                       ¿Cómo empezamos?
1. OBSERVA CADA FIGURA Y RESPONDE:




                     (FIG 1)                         (FIG 2)                (FIG 3)
    a)   En la figura 1. ¿Cuántos planos observas?
    b)   En la figura 2. ¿Que tipos de líneas observas? Graficar
    c)   En la figura 3. ¿Grafica todos los ángulos que observas?
    d)   ¿Crees que los objetos de tu entorno contiene elementos geométricos?

Si tienes dificultad después de haberlo intentado, te sugiero leer la siguiente información.

                          ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA

Es importante la observación de todo lo que nos rodea para poder comprender la importancia de la
geometría. La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y
que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos.




                                                                                                 1     1
                                                                    Prof: Juana Tueros Huamaní
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                                      ¿Qué debo saber?

                                                                                       EJEMPLO EN EL
 ELEMENTO                 IDEA DE            DENOTACIÓN            COMO SE LEE
                                                                                          ENTORNO

              Se representa con una          A                    Punto A             La marca de un
              pequeña cruz y se le designa                                            lápiz.
 PUNTO
              con una letra de imprenta
              mayúscula.
              Se representa con una                               Recta   AB          El borde de tu
              porción de la misma y se le                                             cuaderno.
 RECTA
              designa con una letra                               Recta b
              minúscula y/o mayúscula.           b
              Está compuesto por infinitos                        Plano P             Una tabla        de
              puntos.                                                                 picar.
 PLANO



En la recta podemos identificar: La semirrecta y el segmento.

                    SEMIRRECTA                                        SEGMENTO:
   Es cuando un punto separa a la recta en 2         Es la intersección de la semirrecta de origen A
   porciones. Aquel punto se llama origen.           que contiene al punto B y la semirrecta de
                                                     origen B que contiene al punto.




Podemos encontrar rectas paralelas y perpendiculares.


              LÍNEAS PARALELAS                           LÍNEAS PERPENDICULARES




    Nunca se cruzan                          Se cortan en un punto
    Su simbología es //                      Su simbología es




                                                                                                            2    2
                                                                    Prof: Juana Tueros Huamaní
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Recordemos:
                Ángulos-construcción



                                            Se llama ángulo a la parte del plano
                                            delimitada por dos semirrectas que
                                            parten de un mismo punto llamado
                                            vértice. A cada semirrecta se le llama
                                            lado del ángulo.




Los instrumentos que se utilizan para la construcción y medición de ángulos son compás y
transportador respectivamente. Con el compás:




Marca un punto. Coloca el compás con una abertura determinada, la que tú quieras, ni muy
pequeña ni muy grande.

Realiza un arco grande, que sobrepase los sesenta grados de sobra, al ojo lo puedes hacer de
noventa grados, media vuelta o el círculo completo. NO IMPORTA.

A continuación marca un punto en el arco o círculo que has hecho. Si es un arco, hazlo cerca de
un extremo.

Ahora, sin cambiar la abertura del compás, dejándolo exactamente igual que lo tenías, colócalo
en el punto que has marcado y haz una marca que señale sobre el propio arco.

Ahora ya está hecho, deberías tener tres puntos: Uno en el centro y dos en el arco (o círculo). Si
los unes con la regla, obtendrás un ángulo de   grados en el centro.




                                                                                                     3    3
                                                                  Prof: Juana Tueros Huamaní
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     Ejercicios



1. MARCA LA RESPUESTA CORRECTA:

       a) ¿Cuántas rectas se pueden trazar por un punto?
                     (I) uno (II) finito (III) infinito
       b) ¿Cuántos planos se pueden trazar por un punto?
                     (I) ninguno (II) finito (III) infinito
       c) ¿Se pueden trazar más de una recta por dos puntos distintos?
                     (I) Si (II) No
       d) ¿Se pueden tener más de una recta que interseque a un plano en un punto?
                     (I) Si (II) No

2. CONSTRUYE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS Y DENÓTALOS CORRECTAMENTE:

   a) 300             b) 600          c) 900          d) 1500       e) 1800

3. GRAFICAR:
   En una recta ubica cuatro puntos y escribe todos los segmentos que puedes obtener.



4. INVESTIGAR:
   Con ayuda de un texto busca la definición de los ángulos del recuadro, dibújalos y denótalos
   correctamente, luego grafica objetos de tu entorno que se relacione con dichos ángulos.


                           AGUDO                       LLANO


                            RECTO              OPUESTOS POR EL VÉRTICE


                           OBTUSO                 SUPLEMENTARIOS




                                                                                                  4    4
                                                                 Prof: Juana Tueros Huamaní
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                                      ¿Qué aprendimos hoy?
1.    Una forma de recordar lo aprendido es ponerlo en práctica en nuestro entorno. Elige a un
      compañero y con una cámara fotográfica iniciarás una aventura de tomar fotos donde captures
      en objetos o situaciones la idea de elementos geométricos estudiados.
2.    Luego elaborarán un álbum identificando y denotando correctamente las dificultades que
      encontraron.
3.    Compartan sus impresiones con los demás grupos.




                           ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje?
Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:

     1. Coloca V O F según convenga.

     a) Un ángulo llano mide 90º.                       (    )
     b) La regla nos permite medir ángulos.             (    )
     c) Dos rectas paralelas nunca se cortan.           (    )
     d) La simbología de paralelas es //.               (    )
     e) Un segmento no está contenido en una recta.     (    )

     2. Dibuja el croquis para llegar de tu casa al colegio con las respectivas calles y/o avenidas.
        Identifica en ello que calles son paralelas y perpendiculares.




 Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:



 Todo sobre lo referente a ángulos y sus medidas:
 http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/usr/eltanque/angulos/principal_p.html
 Todo referente a ejercicios:
 http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_08_01_01-
 Exponen_Ecuaciones/0_Exponen_Ecuaciones.html




                                                                                                  5     5
                                                                  Prof: Juana Tueros Huamaní
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                         LOS ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN


                                              Sumilla
A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los ángulos
encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.



           ¿Qué aprenderé hoy?                                ¿Qué materiales utilizaré?
  Medir correctamente los ángulos.                      Libro de Matemática - 1er Grado de
  Graficar los tipos de ángulos.                         Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
  Graficar bisectrices y mediatrices.                    2008.



                                         ¿Cómo empezamos?
 1. Observa las siguientes imágenes y completa:




                                                      a) La flecha roja indica un ángulo de…….
                                                         y se llama………………….
                                                      b) La flecha amarilla indica un ángulo
                                                         de…. y se llama……………….
                                                      c) Estima la suma de los 2 ángulos.



 2. Investiga y responde:
    Menciona otros ejemplos de tu vida diaria en el que se apliques la idea de ángulos.

                                             LOS ÁNGULOS

 En geometría, se define como el conjunto de puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el
 mismo punto de partida. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos con un
 punto extremo común.

                                   A
                                               AB es una semirrecta
                                               BC es una semirrecta
                                              B es el punto de partida
                    B                    C



                                                                                                 1
                                                               Prof:Juana Tueros Huamaní
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                                     DENOTACIÓN DE ÁNGULOS

Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados del ángulo en las cercanías del vértice;
por ejemplo,  a o < 1.


                                 a                                              1
                                            http://portales.educared.net/wikiEducared/images/d/df/DibujoTecnico_I-1_19.gif




                Clasificación de los Ángulos



    SEGÚN SU MAGNITUD            SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS                     SEGÚN SU POSICIÓN
   Agudo: Menor de 90º.         Complementarios: Cuando 2 ángulos          Ángulos Consecutivos: El
                                miden 90°.                                 mismo vértice y un lado
   Recto:    Son     aquellos                                              común.
   iguales a 90°. Sus lados     Suplementarios: Cuándo 2 ángulos
   son dos rayos llamados       miden 80°.                                 Ángulos adyacentes: Son dos
   rayos perpendiculares.                                                  ángulos consecutivos cuyos
                                                                           lados no comunes son rayos
   Obtuso: Son aquellos                                                    opuestos.
   mayores de 90°.
                                                                           Opuestos por el Vértice: Son
   Ángulos    Llanos:  Son                                                 aquellos cuyos lados de uno
   aquellos iguales a 180°.                                                son las prolongaciones en
   Sus lados son dos rayos                                                 sentido contrario de los lados
   opuestos.                                                               del otro.


Relaciona la definición con la gráfica correspondiente:




                                                                                                                     2
                                                                      Prof:Juana Tueros Huamaní
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                                            Actividades

En este espacio de la ficha desarrollarás las siguientes actividades:
    Revisando esta ficha y la anterior podrás resaltar los contenidos a tratar.
    Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen
       indicado.
    Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados.
Revisa la página 104 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño y desarrolla la
actividad 1. Te permitirá aplicar lo estudiado y retomar para el siguiente tema.




             Bisectriz y mediatriz de un ángulo




                    BISECTRIZ                                       MEDIATRIZ
   Bisectriz: Es la recta que divide un ángulo en    Dado un segmento AB, se denomina
   dos partes iguales. La propiedad de cada uno      mediatriz del segmento a la recta
   de los puntos de una bisectriz es que equidista   perpendicular a él, que pasa por el punto
   de los lados del ángulo. Para trazar una          medio.
   bisectriz se dibuja un arco de radio arbitrario
   con centro en el vértice. Este arco corta a los
   lados en los puntos M y N. La bisectriz b es la
   mediatriz de la cuerda MN.




                                                                                                 3
                                                             Prof:Juana Tueros Huamaní
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        Ejercicios

1. Resuelve los siguientes problemas verbales, construyendo la figura cuando sea necesario.

 a)                                     b)                                            c)


 Determina el                           ¿Cuántos grados resultan si al                Determina el ángulo que es la
 complemento de 72°.                    complemento de 37° se le suma                 cuarta parte de su suplemento.
                                        el suplemento de 93°.

 d)                                     e)                                            f)


 Determina el                           Determina el ángulo que es el                 Determina el complemento de
 complemento del                        triple de su complemento.                     42° 18'.
 suplemento de 143°.




            Operaciones de ángulos con grados, minutos y segundos.

               Adición y sustracción                                      Multiplicación y división
  Se debe sumar y/o restar por un lado los                    La multiplicación respecto de un ángulo, al igual
  grados, los minutos y los segundos                          que la división puede realizarse respecto de un
  respectivamente; y luego tener en cuenta que                número natural; pero es una operación que tiene
  como cada 60 segundos forman un minuto, y                   sentido lógico en cuanto el resultado no sea
  cada 60 minutos forman un grado, debe                       superior a la medida máxima posible para un
  hacerse el correspondiente ajuste del                       ángulo, que son 360°.
  resultado:
                                                              Ejemplo:
  Ejemplo:
                                                                              ABC = 12° 45’ 13” × 5
        ABC = 30° 45’ 13” + DEF = 42° 45’ 53”                     Multiplicación: 12° × 5 = 60°
      Suma:        30° + 42° = 72°                                                 45’ × 5 = 225’
                   45’ + 45’ = 90’                                                 13” – 5 = 65”
                   13” + 53” = 66”                                Reducción:       225’ = 3°, 45”
      Reducción: 66” = 1’, 6”                                                      65” = 1’, 5”
                   90+1’ = 1°, 31’                                Resultado:       60°+3° = 63°, 45’ + 1°= 46’
      Total:       ABF = 72 + 1 = 73°, 31’, 6”                    Total:           63°, 46’, 5”

                                                              Ejemplo:

                                                                              ABC = 125° 46’ 0” ÷ 5
                                                                   Conversión previa:     46’, 0” = 45’, 60”
                                                                                          60” ÷ 5 = 12”
                                                                   División:              45’ ÷ 5 = 9’
                                                                                          125° ÷ 5 = 25°
                                                                   Reducción:             No se requiere
                                                                   Resultado:             25°, 9’, 12”




                                                                                                                       4
                                                                              Prof:Juana Tueros Huamaní

  http://www.escueladigital.com.uy/geometria/2_angulos.htm#operaciones
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                     Ejercicios


       1.- Realiza las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de ángulos.
       a) 112° 24’ 55’’+ 59° 45’’       b) 35° 24’ 55’’ - 14° 14’ 48’’           c) 36° 17’ 57’’ x 3
       d) 24° 35’ 13’’: 3               e) 109° 63’’- 36 20’ 2’’                 f) 19° 35’ 16’’ x 4

       http://www.vitutor.net/1/67.html


       2.- Con ayuda de tu transportador grafica el complemento y el suplemento de los siguientes
       ángulos.

                             SU COMPLEMENTO               SU SUPLEMENTO
                                 a)   27°                 a)   20°
                                 b)   36°                 b)   75°
                                 c)   79°                 c)   60°
                                 d)   57°                 d)   57°
                                 e)   60°                 e)   35°


       En forma gráfica halla la bisectriz de los siguientes ángulos:

           a) 46°
           b) 80°
           c) 100°
           d) 46°




                                            ¿Qué aprendimos hoy?

1.   En esta oportunidad como verás has desarrollado actividades referente a la medición y cálculo
     con ángulos. Observa a tu alrededor y elige 3 objetos que sean posibles de medir ángulos e
     inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten al menos dos operaciones con ángulos.




                                                                                                       5
                                                                     Prof:Juana Tueros Huamaní
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                          ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje?
1) Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:
       Coloca V o F según convenga.

        a) Un ángulo llano mide 180°.                           (   )
        b) La mediatriz no es perpendicular.                    (   )
        c) El transportador permite medir los ángulos.          (   )
        d) Su complemento de 60° es 40°.                        (   )


2) Con ayuda de tu transportador mide todos los siguientes ángulos posibles en:




3) ¿Cuánto mide cada ángulo? Luego traza la bisectriz respectiva.




   Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

   Todo sobre ángulos: Teoría y ejercicios.

   http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/0inicio/bisectriz.htm

   http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/rectasnotables/rnotables1.htm




                                                                                           6
                                                               Prof:Juana Tueros Huamaní
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                            CONOZCAMOS A LOS POLÍGONOS

                                                   Sumilla
Mediante la explicación de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los polígonos
verás su aplicación en situaciones diversas.


           ¿Qué aprenderé hoy?                                        ¿Qué materiales utilizaré?
 Conocer los elementos de los polígonos.                       Libro de Matemática - 1er Grado de
 Resolver problemas simples que involucran                      Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
  áreas.                                                         2008.

                                         ¿Cómo empezamos?
1. Jacinto tiene su terreno donde cría burros y chanchos.
       ¿Qué forma tienen sus terrenos?

              9m                    9m                            8m




             8m                          8m
                                                         15 m

                        10 m
       a) ¿Los lados de los terrenos son iguales?
       b) ¿Puedes calcular el área del primer y segundo terreno?. De ser así ¿a cuanto asciende cada
          uno?

                                                POLÍGONOS
Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas y su forma es "cerrada" (todas las
líneas están conectadas) y sus elementos son:
                                                                          Vértice
                  Vértice                                                                   Diagonal
                  Lado
                  Diagonal
                  Angulo interno                                                 Ángulo
                  Angulo externo                                   Ángulo        interior
                                                                   exterior



                        Convexo                                               Cóncavo
     No tiene ángulos que apunten hacia Sus ángulos internos son mayores a 180°
     dentro. En concreto, los ángulos internos (Para acordarte: cóncavo es como tener una
     no son mayores que 180°.                  "cueva").




                                                Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos.html

                                                                                                                 1
                                                                   Prof: Juana Tueros Huamaní
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              Clasificación de los polígonos

Recordemos:
Cuando son regulares (sus lados iguales) podemos clasificarlos:

    Nombre del Polígono         Número de lados                   Imagen                 Angulo interno

  Triángulo                              3
                                                                                                  60°

  Cuadrilátero                           4
                                                                                                  90°

  Pentágono                              5
                                                                                               …………

  Hexágono                               6
                                                                                               …………

  Heptágono                              7
                                                                                               …………

  Octágono                               8
                                                                                               …………

  Nonágono                               9
                                                                                               …………

  Decágono                              10
                                                                                               …………


  Undecágono                            11
                                                                                               …………


  Dodecágono                            12
                                                                                               ………..


A partir de 13 lados los polígonos no llevan un nombre especial a excepción de 15 lados
(Pentadecágono) 20 lados (Icosígono) se dice: “polígono de 13 lados” “polígono de 14 lados”.
                                      Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/cuadrilateros.html




                                                                                                              2
                                                                Prof: Juana Tueros Huamaní
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                  ANGULOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES



                                                                             NUMERO DE
             ANGULO INTERNO                 ANGULO EXTERNO
                                                                             DIAGONALES


                 ( n 2) x180º                           360º
                                                e                                 n(n 3)
         i            n                                  n               D
                                                                                     2
         la suma es: (n-2) x 180°          La suma es:      e   .n


                                                               http://www.geoka.net/geometria/area.html


 Los polígonos regulares tienen 2 elementos notables:

                 Centro                                         Apotema
  Es el punto en el interior del polígono Es el segmento que une el centro con el punto
  equidistante (está a igual distancia) de medio de uno cualquiera de los lados. La
  todos los vértices.                      apotema es perpendicular al lado del polígono.



                                ÁREA DE UN POLÍGONO

Recordemos que: El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un
polígono.

                                             l = Longitud del lado
                                             n = Números de lados
                                             P = Perímetro
                                             A = Área

                                                P        nx1
                                                         PerímetroxApotema
                                                A
                                                                 2




                                                                                                          3
                                                         Prof: Juana Tueros Huamaní
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       Ejercicios


1.- Dibuja un cuadrilátero convexo y dos cóncavos.

2.- Indica cuantos triángulos se obtienen al trazar desde uno de los vértices las diagonales en cada
uno de los siguientes polígonos convexos.

a) Hexágono            b) Cuadrilátero         c) Pentágono

3.- Dibuja en un papel cuadriculado los siguientes polígonos e indica sus elementos:

a) Heptágono cóncavo     b) Hexágono convexo c) Un decágono convexo.

4.- Resuelve las siguientes situaciones:
a) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un dodecágono regular?
b) La suma de los ángulos interiores de un polígono es 900°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
c) ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo, un hexágono y un octágono? Calcula y traza las
    diagonales respectivas.




                                      ¿Qué aprendimos hoy?

    1. Elige un compañero de aula y dibujen un polígono cóncavo y convexo relacionado con un
        objeto de tu aula y/o casa.
    2. Colecciona etiquetas de productos que tengan forma poligonal e indica sus elementos.
    3. Desarrolla los ejercicios de la página 109, cualquier duda consulta con tu tutor.
    4. Elabora un pupiletras con todos los términos utilizados en este tema e intercambia con tu
        compañero(a) y resuelve.
    5. ¿Cuántos triángulos puedes obtener en los siguientes gráficos trazando sus diagonales?




    6. Construye polígonos regulares a partir de un círculo.




                                                                                                    4
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                           ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje?
1. Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:

Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
   a) Un polígono regular tiene sus ángulos de igual medida.          (   )
   b) Un polígono irregular tiene sus lados iguales.                  (   )
   c) El triángulo no tiene diagonales.                               (   )
   d) Todo polígono puede ser dividido en triángulos.                 (   )

2. Resuelve los siguientes problemas:

a) Si el área de un pentágono regular es 175 m2 y su apotema mide 7 cm. Calcula la medida de su
   lado. Grafica




b) Si el área de un octógono regular es de 30 m2 y su apotema mide 3 cm. Calcula la medida de su
   lado. Grafica




       Si tienes internet, ingresa a las páginas web:

       Todo sobre polígonos:
       http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/poligon.htm

       Todo sobre polígonos: Ejercicios.
       http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/aula.htm




                                                                                               5
                                                               Prof: Juana Tueros Huamaní
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                       LAS ÁREAS DE LAS REGIONES POLIGONALES

                                                 Sumilla
A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios sobre áreas poligonales podrás
comprender su aplicación en situaciones cotidianas diversas.


            ¿Qué aprenderé hoy?                                     ¿Qué materiales utilizaré?
                                                                Libro de Matemática - 1er Grado de
  Calcular las áreas de las regiones
                                                                 Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
   poligonales .
                                                                 2008.
  A    resolver problemas simples que
   involucran áreas.




                                            ¿Cómo empezamos?

 Observa las siguientes polígonos y realiza lo que se te solicita:




         (fig. 1)                (fig. 2)             (fig. 3)                 (fig. 4)                (fig. 5)

     a) Divide cada uno de ellos en triángulos (fig.1), rectángulos (fig.2), trapecios y triángulos (fig.3)
        y trapecios (fig.4)
     b) ¿Qué características en común tienen las figuras del 1 al 4?
     c) ¿En qué se diferencia la figura 5 de las demás?
     d) ¿Qué objetos de tu entorno tienen estas formas de las figuras?
     e) Lee el siguiente fragmento y extrae los términos nuevos para ti y busca su significado.

 Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las
 propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas
 métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de
 cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva,
 topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no
 euclídea.

                                                  Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.htm

 Hoy estudiaremos todo lo referente a las áreas de regiones poligonales, presta mucha atención a
 todo lo que leerás y harás.




                                                                                                                   1
                                                                  Prof:Juana Tueros Huamaní
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                                               Actividades
En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades:
    Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.
    Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen
      indicado.
Revisa las páginas 114 a la 123 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En
caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o
textos que traten los siguientes temas:
    Áreas de regiones poligonales.
    Propiedades de cuadriláteros.
    Cálculo con áreas.


                            ESQUEMA GENERAL DE LOS CUADRILÁTEROS




         ¿Cómo calcular las áreas de los cuadriláteros?

Recordemos:
  Cuadrado           Rectángulo                 Romboide                     Rombo                   Trapecio

                                                                                  Dxd                  ( B b) a
  A a2              A b h                     A b h                         A                    A
                                                                                   2                      2




                        h=a
                                                   h=a
                               Fuente: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/area2.htm


                                                                                                                   2
                                                                 Prof:Juana Tueros Huamaní
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                                       TRIÁNGULOS
Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos
a dos, por sus extremos.

                          Consideraciones:

                                  La suma de los ángulos internos es de 180°.
h                                 La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
                                          bxh
                                   A
                                           2

               b




           CARACTERÍSTICA Y PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS




    CUADRADO               Es rectángulo y rombo a la vez.
                           Tiene lados iguales y 4 ángulos rectos.
                           Tiene diagonales iguales y perpendiculares.
    RECTÁNGULO             Tiene ángulos rectos.
                           Las diagonales son iguales.
    ROMBO                  Los lados son iguales.
                           Las diagonales son perpendiculares.
    TRAPECIO               Tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos.
                           Los lados paralelos se llama BASE MAYOR y base menor.
                           La distancia entre los lados paralelos en forma perpendicular
                           se llama altura (h).
                           En el trapecio isósceles los lados no paralelos son iguales.
                           En el trapecio rectángulo tiene sólo un ángulo de 90°.
    TRAPEZOIDE             No tiene lados paralelos.
                           Es un cuadrilátero sin propiedades.




                                                                                                    3
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                  CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA



                   CÍRCULO                                     CIRCUNFERENCIA

Es una superficie plana limitada por una Es la línea curva cerrada y plana, cuyos
circunferencia.                          puntos están a la misma distancia (radio)
                                         de un punto (centro).




                   A=       r2                                           Lo = 2 r




                        r
                                                                           r




Ejemplo:                                           Ejemplo:

El radio de un platillo (círculo) es de es 4 cm.   El radio de un platillo(círculo) es de es 4 cm.

Hallar su área.                                    Hallar la longitud de su contorno.



       r2                                          Lo=2 r
A=
                                                   L o = 2(3, 14)(4cm)
A = (3, 14).(4cm) 2
                                                   L o = 6, 28(4cm)
A = (3, 14)16cm2
                                                   L o = 25, 12cm
A = 50, 24 cm2




                                                                                                     4
                                                           Prof:Juana Tueros Huamaní
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         Ejercicios



1. Calcula el área y el perímetro de los siguientes gráficos (usa la regla para medir).




2. Calcula el área de la región sombreada considerando que todos son cuadrados cuyo lado mide
    6 cm.




3. Resuelve las siguientes situaciones aplicando tus conocimientos de área.
a) Si el área de una región rectangular mide 56 cm2 y su largo mide 8 cm. ¿Cuánto mide el ancho?
b) El piso de un dormitorio es de 4 m de largo y 3 m de ancho. ¿Cuántas cajas de losetas se necesita
    para cubrir el piso, si cada caja cubre 2 m2?
c) Hay que ponerle baldosas a un patio de forma triangular cuya base mide 8 m y su altura es de 3
    m. ¿Cuántas cajas de baldosas se necesita si cada caja alcanza para cubrir 3 m2?
d) Hallar la cantidad de galones de pintura que se necesita para pintar el frente de un edificio cuyas
    medidas son de 20 m de largo y 10 m de ancho. Cada galón de pintura cubre 10 m2.
e) “Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el
    terreno tiene forma rectangular y mide 50 cm de largo y 20 cm de ancho”. ¿Cuántos metros de
    alambre necesita?
4. Calcular el área del circulo y la longitud de la circunferencia:
            a) d = 6 cm
            b) r = 5 cm
5. Calcula el área del rombo sabiendo que:
            a) D = 8 cm          d = 4 cm
            b) D = 100 cm        d = La cuarta parte de la D




                                                                                                    5
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                                       ¿Qué aprendimos hoy?
Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. Refuerza tus
conocimientos realizando lo siguiente:
1.     Elige un ambiente de tu casa y observa todos los objetos que tengan forma de triángulos
       cuadriláteros y circulo además realiza un afiche matemático.
2.     Compartan en grupo los resultados del desarrollo de los ejercicios y la resolución de problemas
       de tu libro, página 123.




                              ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje?
Marca la respuesta correcta.
1. La suma de los ángulos de un cuadrilátero vale:
A) Depende de que cuadrilátero sea. B) 180° C) 90°          D) 360°
2. ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero?
A) 1      B) 4 C) 8    D) 2
3. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son:
A) Iguales B) 4 Complementarios C) Semejantes          D) Suplementarios


Resuelve las siguientes situaciones:
1. Observa la siguiente región rectangular:
     ¿Cuánto mide X?     A) 300 cm    B) 80 cm       C) 65 cm    D) 12 cm

     Área = 60 cm2

                              5 cm

                                              X cm




     Si tienes internet ingresa a la página web:



     Todo referente a cuadriláteros:
     http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/unidad11.
     pdf




                                                                                                  6
                                                                Prof:Juana Tueros Huamaní
1                                                                                                              16


                                    BUSCANDO A LOS POLIEDROS



                                                   Sumilla
    A través del reforzamiento de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los poliedros
    en hechos cotidianos.


                ¿Qué aprenderé hoy?                                ¿Qué materiales utilizaré?
                                                              Libro de Matemática - 1er Grado de
      Identificar los principales elementos y
                                                               Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
       características de los poliedros.
                                                               2008.
      Diferencia y determina la relación entre
       prisma y pirámide.
      Calcular las áreas del prisma, de la
       pirámide, del cilindro, del cono y la esfera.

                                             ¿Cómo empezamos?

      Relaciona las fotos (derecha) con las imágenes del centro identificando las figuras que dan origen a
      los poliedros (izquierda):




      Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren formas
      geométricas. Un libro, una caja de fósforos o un edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo;
      una lata de conservas y una tiza sugieren un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un cucurucho
      de helado a un cono.

          a)   Elabora un cuadro con: Nombre del sólido - figura que lo genera a partir de las imágenes.
          b)   ¿Cuántas bases tienen cada poliedro?
          c)   ¿Qué entiendes por poliedros?. Da tu idea.
          d)   Lee la página 124 de tu libro.




                                                                                                           1
                                                                Prof: Juana Tueros Huamaní
          Fuente: http://jesmanzan.wordpress.com/2008/03/17/u11-longitud-capacidad-masa-y-
                                              superficie/
1                                                                                                                      16


    Fuente: http://www.korthalsaltes.com/es/index.html


                                                 CUERPO SÓLIDO
                                        Es todo lo que ocupa un lugar en el
                                                     espacio.

                                      Pueden ser:



              Poliedros:                                                  Cuerpos de revolución:
              Sólidos limitados por caras en                              Sólidos limitados con una o
              forma de polígono.                                          todas sus caras curvas (cuerpos
                  Tetraedro                                               redondos).
                  Icosaedro                                                   Cilindro
                  Prismas                                                     Cono
                  Pirámides                                                   Esfera

    Todos los poliedros tienen vértice, caras y aristas además se cumple que:

                        C = Cara
                        V = Vértice
                        A = Arista  C+V             = Nº A + 2
                            C+V=NroA+ 2



               Ejercicios


    1.    Aplica la fórmula de Euler:
    •     En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla.

         Poliedro Nº de caras      Nº de vértices        Nº de aristas
                      (C)               (V)                  (A)
           (1)
           (2)
           (3)
           (4)




    2.    Dibuja 3 objetos reales que sean poliedros.




    Bien, estando ya familiarizado que son poliedros y conocer su suplementos pasaremos al estudio de los
    poliedros más conocidos, para ello te invito a leer la página 125 de tu libro.



                                                                                                                   2
                                                                         Prof: Juana Tueros Huamaní
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                                                    PRISMAS
           CONCEPTO                   GRÁFICO                          TIPOS                         FÓRMULA

     Es un poliedro limitado                                 Según su base puede ser:           AL     PB .h
     por dos caras iguales y                                     Prisma triangular
     paralelas (bases) y                                         Prisma cuadrangular
     tantos paralelogramos                                       Prisma pentagonal                        PB .ap
     (caras laterales) como
                                                                                                AB
                                                                                                            2
     lados tienen las bases.                                 Un caso particular son los
                                                             paralelepípedos cuyas caras
                                                                                                AT        AL    2 AB
                                                             son todas rectangulares.

                                                                                                V     AB .h


    Ejemplo:
    El área lateral de un prisma de base cuadrada es 120 cm2 y su altura mide 6 cm.
    Calcula el volumen del prisma.

    SOLUCIÓN:

                  Hallamos el lado de la base: AL    PB .h      120 = PB.6     PB = 20         l=5
                  Calculamos el volumen del prisma: V        AB .h    V = 52 .6 = 150
                  El volumen es 150m3 .



            Ejercicios


    1. Calcula el volumen de un prisma de 25 cm2 de base y 8cm de altura.
    2. Las aristas de una caja de zapatos miden 12 cm y 35 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la
       caja.

                                                    PIRÁMIDE
             CONCEPTO                 GRÁFICO                        TIPOS                      FÓRMULA

        Es un poliedro que                               Según su base puede ser:                    PB . Ap
        tiene por base un                                    Pirámide triangular           AL
        polígono cualquiera,                                 Pirámide cuadrangular
                                                                                                        2
        y sus caras laterales                                Pirámide Pentagonal
        son triángulos que                                                                 AT        AL        AB
        concurren en un
        vértice común.
                                                                                                    AB .h
                                                                                           V
                                                                                                     3




                                                                                                                    3
                                                                Prof: Juana Tueros Huamaní
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    Ejemplo:
    Calcula el área lateral, total y volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista y 12 cm de altura.

                                                    Ap 2       122    52
                                                    AP          122   52    13cm
                                                    PB        4.10    40cm
                                                              40.30
                                                    AL              260cm 2
                                                                2
                                                    AT        260 102 360cm 2
                                                           100.2
                                                    V                 400cm3
                                                             3
                                                2                                2
    1. El volumen de una pirámide es 48 cm y el área de su base es 16 cm . Calcula la altura de la pirámide.
    2 . Halla la apotema y el área total de una pirámide triangular regular de 10 cm de arista.



               Ejercicios

    CUERPOS DE REVOLUCIÓN:

                   CILINDRO                               CONO                                  ESFERA
        Se obtiene al girar un rectángulo   Se obtiene al girar un triángulo         Se obtiene al girar un
        alrededor de uno de sus lados.      rectángulo alrededor de uno de           semicírculo alrededor de su
                                            sus catetos.                             diámetro.




        AL    2 rg                          AL       rg                               A 4 r2

        AT    AL     2 AB                   AT      AL     AB

        AT     2 rg       2 r2              AT      AL     AB

        VC      .r 2 .h                     AT       rg         r2

                                                    .r 2 .h
                                            V
                                                     3




                                                                                                                   4
                                                                           Prof: Juana Tueros Huamaní
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    Ejemplo:
    Calcular el volumen de un cilindro si su radio mide 5 cm y su altura 12 cm.

    SOLUCIÓN:

    VC     .r 2 .h   3, 14.52.12 = 942 cm


               Ejercicios

    1. Calcula el volumen de un tanque de un camión cisterna sabiendo que su diámetro, mide 2, 70 m
       y su altura 5, 5 m.

    2. Un cilindro contiene petróleo hasta la tercera parte. ¿Qué volumen falta llenar si la altura es el
       triple del radio de la base que mide 21 cm?

    DESARROLLO DE LAS PLANTILLAS

                               Un desarrollo de cada sólido
                                        platónico
                         Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.




                                         ¿Qué aprendimos hoy?
    1.   En parejas inventa 2 problemas cotidianos con poliedros que hay en tu zona.
    2.   Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que
         encontraron.
    3.   Para profundizar el tema lee las páginas 126 y 129 de tu libro y resuelve los casos propuestos.
    4.   Reproduce las plantillas de los poliedros, ármalos e identifica sus elementos.




                                                                                                        5
                                                                Prof: Juana Tueros Huamaní
1                                                                                                          16



                              ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje?

    1. Explica razonadamente cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas.
       a) El cilindro es un poliedro.
       b) Hay poliedros con 3 caras.
       c) El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es como mínimo 4.

    2. Calcula el volumen de una esfera de 6 cm de radio. Grafica.

    3. Se tiene un gorro de fiesta infantil en forma de cono cuyas dimensiones son: 12 cm de altura y
       16 cm de diámetro. Calcula la cantidad de papel que se usó para forrarlo.

    4. Calcula el área total del envase de la figura.

                                       8 cm




                                                          10cm




    5. Calcula la generatriz de un cilindro cuya área total es 408, 2 cm2, si el radio de la base mide 5
       cm.

    6. Calcula la superficie esférica de una pelota que tiene 30 cm de diámetro.

    7. Investiga de que poliedros están hechas las pelotas de fútbol.

    8. Haz un listado de los minerales que tienen forma de poliedro y dibújalos.




      Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:



      Todo sobre poliedros:
      http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/esfera.html

      http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/
      poliedros/poliedros.htm

      http://www.vitutor.net/2/2/3.html




                                                                                                      6
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Matematica1 b

  • 1. 09 ECUACIONES E INECUACIONES ¿Qué aprenderemos hoy? ¿Qué materiales utilizaremos?  A resolver problemas de traducción - Libro de Matemática - 1er Grado de simple y compleja que involucran Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú ecuaciones lineales con una 2008. incógnita. - Video Nº .....: Ecuaciones  A identificar inecuaciones lineales . ORIGEN DE LAS ECUACIONES LINEALES La primera fase que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un Álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada Álgebra Geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones de la vida diaria. Extracto de Ecuaciones Lineales http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una inecuación? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. b) Explica con tus palabras la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. 1 Prof. Beatriz Toledo López
  • 2. 09 Ecuaciones Recordando: 2do miembro 2x 4 6 x 1er miembro Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones Compatibles Indeterminadas Incompatibles Equivalentes Cuando dos Contiene una única Contiene infinitas La ecuación no ecuaciones contienen solución soluciones contiene solución las mismas soluciones 4x 5 2x 3 4 x 5 4( x 1) 1 4 x 5 4( x 1) 4x 2 6 2x 8 4x 5 4x 4 1 4x 5 4x 4 8x 4 12 x 4 4x 4x 5 5 4x 4x 4 5 0x 0 0x 1 x 1 para ambos x tiene infinitas soluciones Actividades 1. Observa con tus compañeros el video “ Ecuaciones” y responde: a) Explica con tus palabras ¿Qué es una ecuación? b) ¿Qué propiedades de los números racionales utilizamos en la resolución de ejercicios con ecuaciones? Explica con 1 ejemplo tu respuesta. 2. Enlaza cada ecuación con su equivalente: 2x 5   3x 6 4( x 1) (3x 2)   36 x 96 6( x 3) 2   6 x 15 3. Determina que ecuaciones son compatibles, Indeterminadas e Incompatibles. a) 5x 6 3x 2 b) 8x 7 4(2 x 2) 1 c) 6(2 x 1) 2 12 x 4 d) x (2 x 2) 4x 1 2 Prof. Beatriz Toledo López
  • 3. 09 Resolución de ecuaciones Podemos resolver ecuaciones en Q, de dos formas diferentes: Modelo tradicional Modelo de los operadores Observemos el siguiente ejemplo: Observemos el siguiente ejemplo: Hallar el valor de x en: 2 x 6 5 Hallar el valor de x en: 2 x 6 5 2 2 2x 6 x 5 Prop. monotonía de la multiplicación  2 5 2 2 x2 +6 2 Prop. monotonía de la sustracción .  2x 6 6 10 6 Prop. monotonía de la división  2x 2 4 2 x 4 10 5 Realizamos operaciones  x 2 2 –6 x2 x 2 Actividades 1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes ecuaciones de la manera tradicional : a) 3(1 2 x) 4(1 x) x 2(1 x) b) 3x 2( x 1) 2(3x 1) 4 c) 2x 3x d) 2( x 2) 3(1 x) x 2(1 2 x) x 1 3 2 3 2 e) 2( x 2) 3(1 x) I. Resuelve las siguientes ecuaciones según el modelo de operadores: 3x 4 5 5x 3 1 4x 1 1 a) b) c) 2 2 8 8 9 27 Inecuaciones Recordando: x 4 12 1er miembro 2do miembro 3 Prof. Beatriz Toledo López
  • 4. 09 Resolución de Inecuaciones La técnica para resolver las inecuaciones es similar a la utilizamos para resolver una ecuación. Por ejemplo: 5x 6 16 1 Se suma o resta la misma cantidad a ambos 5x 6 6 16 6 miembros 2 Se multiplica o divide por un número 5 10 x positivo 5 5 3 Operamos respectivamente x 2 4 Hallamos el conjunto solución C.S. x/ x /x 2 Actividades 1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones a) 6x 24 x b) 3, 6 x 30 45 c) 8 12 x 1 28 d) 3 9 x 2 1 12 16 20 9 ¿Qué aprendimos hoy? 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) x 8(2 x 1) 17 x 3 es indeterminado ( ) b) 2 x 8( x 2) 3x 1 es compatible ( ) c) x 2( 4 4 x) 32 3x es incompatible ( ) d) 5x 3( x 20) 15x 2(3x 6) es incompatible ( ) 2. Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 3 a) 15 6x 24 b) 21 x 2 0 c) 15 x 5 8 6 4 Prof. Beatriz Toledo López
  • 5. 09 3. Resuelve los siguientes problemas: a) María viaja en auto de Lima a Cañete con una velocidad de 100km/h. Si la distancia es de 12 000 km y sólo avanzó 1034,5 km en medio día ¿Cuánto le falta recorrer para llegar a su destino? b) Rafael divide un número de cifras entre otro que tiene una cifra; el resultado de dicha operación es 383 873 ¿Qué valores puede tomar el número de una cifra? Reforzando lo aprendido Reforzando lo aprendido Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.* (*) Si no cuentas con el libro de  Actividad 12 y 13:Ecuaciones e Inecuaciones en Q consulta, utiliza otro material que refuercen los temas (Pág. 92-93) tratados. Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Pasos para resolver una ecuación http://classtools.net/widgets/priority_chart/priority_chart51612.htm/ Conociendo más acerca de las inecuaciones http://www.amolasmates.es/flash/inecuacion.swf Conociendo más acerca de las ecuaciones http://www.genmagic.net/mates2/eq1_cast.swf 5 Prof. Beatriz Toledo López
  • 6. 10 DIVISIBILIDAD ¿Qué aprenderemos hoy? ¿Qué materiales utilizaremos?  A reconocer múltiplos y divisores. - Libro de Matemática - 1er Grado de  A realizar operaciones que Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú involucren el criterio de divisibilidad 2008. en números naturales. - Video Nº .....: Divisores y múltiplos UN POCO DE HISTORIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS Los números primos son unos números “rebeldes” que no se dejan dividir por otros números; están, pues, vacíos de divisores entre la unidad y ellos mismos. Estos números llamaron la atención de los estudiosos hace más de 2.000 años. Ya Euclides (300 a.C.) demostró que el número de números primos es infinito.(..) Eratóstenes (matemático y geógrafo griego que vivió en el s. III a. C.) se inventó una criba para ir obteniéndolos. El método es muy sencillo, aunque muy lento: en la lista de todos los números positivos (exceptuando el 1, que no es primo pues sólo tiene un divisor: el propio 1), respetamos cada número que vamos encontrando sin tachar (por ejemplo, el 2 al empezar la tarea) pero vamos tachando todos los múltiplos de ese número, mayores que él. Así, iremos tachando los de 2 (4, 6, 8, etc.), luego los de 3 que no hayan sido tachados antes (9, 15, etc.); y, sucesivamente, los múltiplos de los números que van quedando sin tachar (los de 5, 7, 11, etc.). De esta forma van quedando, filtrados y ordenados, los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. Extracto de Divisibilidad http://www.scribd.com/doc/3463233/divisibilidad Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Cuál es la diferencia entre un divisor y un múltiplo? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. b) ¿Los múltiplos de un número son infinitos? ¿Por qué? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. 1 Prof. Beatriz Toledo López
  • 7. 10 Múltiplos y divisores Múltiplos Divisores Un número es múltiplo de otro cuando Un número es divisor de otro cuando el primero contiene al segundo una el primero se puede dividir cantidad exacta de veces exactamente con el segundo. Múltiplos de 12: {0, 12, 24, 36,48,…} Divisores de 12:{1,2,3,4,6, 12} “0 es múltiplo de todo número” “1 es divisor de todo número” Actividades 1. Observa con atención el video: “Divisores y múltiplos”. Luego dialoga con tus compañeros sobre: a) Plantea tres ejemplos con múltiplos y divisores de números naturales b) Investiga y explica con tus propias palabras ¿Qué es divisibilidad? 2. Halla los 8 primeros múltiplos de los siguientes números: 23 = ........................................................................................................ 11 = ........................................................................................................ 17 = ........................................................................................................ 13 = ........................................................................................................ 3. Halla los divisores de los siguientes números: 64 = ........................................................................................................ 88 = ........................................................................................................ 111 =....................................................................................................... 128 = ...................................................................................................... 4. Completa los espacios en blanco con “divisor” o “múltiplo" según corresponda: 4 es........................................... de 12 20 es ........................................ de 5 19 es .........................................de 190 369 es .......................................de 3 2 Prof. Beatriz Toledo López
  • 8. 10 Números primos y compuestos Números Primos Números Compuestos Se denomina número primo aquel que Los números compuestos tienen más de posee solo dos divisores: la unidad y él 2 divisores. mismo. 2, 3 , 5, 7, 11,… 4, 6 ,18, 111, 42,… Actividades 1. Observa con atención el video: “Números primos y compuestos”. Luego dialoga con tus compañeros sobre: a) Menciona tres ejemplos cotidianos de la utilización de los números primos b) Investiga sobra la criba de Erastótenes 2. Encierra en un círculo los números primos y en un cuadrado los números compuestos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 3. ¿Cuáles de los siguientes números son compuestos? a) 123 b) 317 c) 583 d) 401 4. Resuelve: La raíz cuadrada de la suma de dos números primos menores que 20 es 6 ¿Cuáles son esos números? 3 Prof. Beatriz Toledo López
  • 9. 10 Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 2 Divisibilidad por 3 Divisibilidad 5 Cuando la última cifra es Cuando la suma de sus cifras Cuando la última cifra par o termina en 0 es múltiplo de 3 termina en 0 o 5. 124; 100 ; 882 ;… 369 = 3+6+9 = 10,10005, 40,60, … 18 es múltiplo de 3 Divisibilidad por 9 Divisibilidad por 11 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de Cuando la diferencia entre la suma de las 9. cifras que ocupan lugar impar y la suma de las cifras que ocupan lugar par ; da 468 = 4 + 6 + 8 = como resultado igual a 0 o un múltiplo de 18 que es múltiplo de 9 11. Por ejemplo: 711= 7 +1+1= 132 9 que es múltiplo de 9 (1+2)- 3 = 0 Actividades 1. Agrupa los números del cuadro según su criterio de divisibilidad. 12 25 20 16 32 18 16 11 24 300 111 500 236 222 6 99 34 82 84 14 a) Divisibles por 2:....................................................................................................... b) Divisibles por 3:....................................................................................................... c) Divisibles por 5:....................................................................................................... d) Divisibles por 9:....................................................................................................... e) Divisibles por 11:..................................................................................................... ¿Qué aprendimos hoy? 1. Halla los divisores comunes entre los siguientes números: f) 12 y 36 b)15 y 36 c)40 y 11 4 Prof. Beatriz Toledo López
  • 10. 10 2. Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) 23 es múltiplo de 3 ( ) b) 11 es divisor de 1 234 321 ( ) c) 231 es divisible por 2 ( ) d) 171 es un número primo ( ) 3. Resuelve los siguientes problemas: a) Queremos dividir en trozos iguales, de la mayor longitud posible, dos tablas de madera de 60 y 72 cm de longitud respectivamente. Calcule la longitud de cada trozo b) En una clase de Matemáticas hay 24 alumnos. Para realizar un trabajo grupal, se forman en cada clase grupos del mismo número de alumnos de manera que ha el menor número de grupos posibles ¿Cuántos alumnos conforman cada grupo? Reforzando lo aprendido Reforzando lo aprendido Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.* (*) Si no cuentas con el libro de  Actividad 13 y 14: Criterios de Divisibilidad consulta, utiliza otro material que refuercen los temas (Pág. 27-29) tratados. Enlaces Web Criterios de Divisibilidad Si tienes Internet, ingresa http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/glosario/divisibilidad.swf a las siguientes páginas web: Juego de Divisores http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/jgc.htm Algo más de Divisores http://www.aprendermatematicas.com/sama/divisibilidad.swf 5 Prof. Beatriz Toledo López
  • 11. 11 FUNCIONES Sumilla A través del análisis de situaciones cotidianas y el conocimiento de las funciones podrás realizar resolver ejercicios y situaciones propuestas. ¿Qué aprenderé hoy? ¿Qué materiales utilizaré?  Identificar la gráfica de una función.  Libro de Matemática - 1er Grado de  Representar una función mediante tablas, Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú gráficas y ecuaciones. 2008.  Analizar las características de las gráficas de las diversas funciones. ¿Cómo empezamos? 1. Lee el texto y completa el cuadro :  Cierta mañana Luana desea comer manzanas para lo cual la vendedora le dice que el kilogramo de manzanas cuesta S/. 2. ¿Cuánto le costará 2, 5, 7 y 10 kg? Completa el cuadro: kg 1 2 5 7 10 S/. http://www.gifanimados 2. A partir del análisis responde a las siguientes preguntas:  ¿Cuánto le costó si compró 3 kilos?  ¿Cuánto le costó si compró 5 y 10 kilos respectivamente?  Si el kilogramo de pera cuesta el doble que el de la manzana. ¿Podrá comprar con S/.10, 2 kg de pera y 1 kg de manzana? ESCRIBE EN TU CUADERNO TUS RESULTADOS. 1 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 12. 11 FUNCIONES En nuestro quehacer diario siempre estamos relacionando el producto con su precio o con su peso, etc. En realidad estamos aplicando el concepto de función. Habrás escuchado por ejemplo: El gasto total de panes depende del número de panes; o el gasto total se expresa en función del número de panes. Frases como “….depende del….”, “…..en función….” expresan una correspondencia o relación entre dos sucesos o entre los elementos de dos conjuntos. ¿Pero qué es una función? Una función f de A en B, es un conjunto de pares ordenados (x, y) en el cual dos pares distintos no tienen la misma primera componente. Su denotación es: f(y) = axf: A → B, y se lee; f es una función de A en B. En toda función se distingue lo siguiente: Conjunto de partida Conjunto de llegada Regla de correspondencia FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN Existen diversos lenguajes para expresar una función, para ello vamos partir de un caso: Juan tiene que en ómnibus y le dice que hay que pagar S/ 10 por kilómetro. ¿Cuál es la función que expresa el valor de cada pasaje según el número de kilómetros? Es un texto o una frase que relaciona las 2 magnitudes. LENGUAJE VERBAL Un ómnibus a S/. 10 el km. Depende o es función del número de kilómetros recorridos. Es una tabla que relaciona las dos magnitudes. LENGUAJE NUMÉRICO km 1 2 … 70 S/. 10 20 … 700 Es una expresión que relaciona las 2 magnitudes. Si x indica el número de kilómetros e y el valor de cada LENGUAJE ALGEBRAICO pasaje, la relación entre las dos variables(x e y) nos da la siguiente expresión: y = 10x Se ubica los pares ordenados en el plano cartesiano, es LENGUAJE GRÁFICO decir se relacionan las 2 magnitudes. 2 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 13. 11 ¿Cómo identificar cuando una gráfica representa una función? Al trazar rectas paralelas al eje y, si pasa sólo por un punto de la gráfica entonces podemos afirmar que representa una función, caso contrario no es una gráfica de una función, observa la siguiente gráfica: DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente(x). Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x). Se representa por: D(f) RANGO DE UNA FUNCIÓN Al conjunto de todos los valores de la variable dependiente (y). Los valores en el rango usualmente están asociados con el eje vertical. (El eje y) Se representa por: R(f) Ahora tú identifica el dominio y rango de la siguiente función. Dados: A= 3;4;5 y B= 2;4;5;6;7 , determina el dominio y rango de f: A = B / f ( x) x 1 Elaboramos una tabla de f(x) x 3 4 5 f(x) 4 5 6 D(f) = ………………………… R(f) = ………………………………. R(f) = ………………………… Puedes también realizar diagramas sagitales. http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html 3 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 14. 11 Tipos de Funciones Notación Tipos ¿Qué es? Gráfica simbólica Es una función de la forma f(x)=mx+b, el dominio y el 6 4 rango de una función lineal es el -6 -4 -2 2 0 -2 0 2 conjunto de los números reales. -4 -6 Nota: Una función de la forma En la función f(x) = 2x + 4, la Lineal f(x)=mx también es una función f(x) = mx + b pendiente es 2, por tanto la lineal pero su intercepto en y es gráfica es creciente en los cero. Su gráfica es una recta que números reales. El dominio siempre pasa por el origen. y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4). Una función cuadrática es una función de la forma f(x)=ax2+ bx 20 +c, con a diferente de cero, 15 donde a, b y c son números f(x) = x 2 10 5 reales. La gráfica de una función -5 0 0 5 cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre La función f(x)=x2 es una Cuadrática hacia arriba y si a<0 entonces la función cuadrática o de segundo parábola abre hacia abajo. El decreciente en el intervalo grado dominio de una función de menos infinito a cero y cuadrática es el conjunto de los creciente en el intervalo de números reales. El vértice de la cero a infinito. parábola se determina por la f(x) = -x 2 0 fórmula: -5 -5 0 5 -10 -15 -20 Es una función de la forma f(x)=mx+b, el dominio y el 2 1.5 rango de una función lineal es el 1 0.5 conjunto de los números reales. Función 0 -4 -2 0 2 4 Nota: Una función de la forma f(x) = b constante El dominio es el conjunto de f(x)=mx también es una función lineal pero su intercepto en y es los números reales y el cero. Su gráfica es una recta que recorrido es {2}. siempre pasa por el origen. 4 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 15. 11 Notación Tipos ¿Qué es? Gráfica simbólica La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El 2 Función 1 dominio y el recorrido es el f(x) = x -4 -2 0 -1 0 2 Identidad -2 conjunto de los números -3 reales. La función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los Valor números reales y el rango es el f(x) = |x| Absoluto cero y los números reales positivos. Llegó el momento de poner en práctica lo aprendido sobre funciones. Ejercicios 1. Identifica: De los siguientes pares de magnitudes, indica la magnitud independiente y la dependiente. a) La longitud del lado y el área de un terreno cuadrado. b) El volumen de una caja de leche y la longitud de su arista. c) La distancia recorrida por un auto y el tiempo que tarda en recorrerla. 2. Calcula: f(x)=-3x2 Luego dibuja la gráfica. 3. Interpreta: a) Sea la función que asocia “a cada número su mitad más dos unidades”.  Escribe la expresión algebraica.  Construye una tabla de valores y grafica la función.  ¿Qué tipo de gráfica dibujaste? y ¿porqué? b) Para realizar un paseo, tu sección acordó dar una cuota de S/.15 por cada alumno. 4. Completa la tabla y representa gráficamente. Alumnos(x) 1 5 10 15 20 Cuota (y) 5. Identifica qué función es a partir de la tabulación: a) f(x) = 3x+1 b) f(x) = x2 c) f(x) = x d) f(x) =|x| 6. Sean los conjuntos A = {2; 3; 5} y B = {1; 4; 6; 8}. DETERMINA: R1 = {(x, y) A x B / y es múltiplo de x} R2 = {(x, y) A x B / 3 x = y} 5 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 16. 11 ¿Qué aprendimos hoy? 1. Elabora un listado de términos matemáticos que estén relacionados con el tema de funciones y elabora un pupiletras, luego busca su significado. 2. Busca en periódicos y/o revistas tipos de gráficos y elabora un mini-álbum con su leyenda respectiva. 3. Busca en tu entorno objetos y/o situaciones que representen los diversos tipos de funciones. ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) El dominio de una función son las segundas componentes ( ) b) Toda función es una relación. ( ) c) Una gráfica lineal es decreciente cuando m es positivo. ( ) d) La función afín tiene como gráfica una curva. ( ) 2. Tabula y grafica las siguientes funciones: x 2;3 a) f(x) = 3x+1 b) f(x) = x2 c) f(x) = x d) f(x) =|x| 3. Elabora la tabla de valores y grafica las funciones. x 2;2 a) y 3x 1 b) y 2x 3 c) y 2x e) y x 3 f) y x2 2 g) y 2x 1 i) y 2x 3 ; x 2;4 j) y 2x2 3; 1;3 k) y 2x 1;3 Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas Proyecto: web: “Elaboramos nuestro juego matemático” Todo sobre funciones: Responsables: tutor y estudiantes http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/fun Objetivo: Realizar un juego de dominó referido cion.html al tema de “función”. 6 Prof: Juana Tueros Huamaní LENGUAJE GRÁFICO
  • 17. 12 LA GEOMETRIA DE NUESTRO ENTORNO Sumilla A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con la geometría en situaciones diversas. ¿Qué aprenderé hoy? ¿Qué materiales utilizaré?  Conocer los elementos básicos de la  Libro de Matemática - 1er Grado de geometría. Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú  Graficar los elementos geométricos. 2008.  Resolver problemas simples que involucran conocimientos geométricos. ¿Cómo empezamos? 1. OBSERVA CADA FIGURA Y RESPONDE: (FIG 1) (FIG 2) (FIG 3) a) En la figura 1. ¿Cuántos planos observas? b) En la figura 2. ¿Que tipos de líneas observas? Graficar c) En la figura 3. ¿Grafica todos los ángulos que observas? d) ¿Crees que los objetos de tu entorno contiene elementos geométricos? Si tienes dificultad después de haberlo intentado, te sugiero leer la siguiente información. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA Es importante la observación de todo lo que nos rodea para poder comprender la importancia de la geometría. La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos. 1 1 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 18. 12 ¿Qué debo saber? EJEMPLO EN EL ELEMENTO IDEA DE DENOTACIÓN COMO SE LEE ENTORNO Se representa con una A Punto A La marca de un pequeña cruz y se le designa lápiz. PUNTO con una letra de imprenta mayúscula. Se representa con una Recta AB El borde de tu porción de la misma y se le cuaderno. RECTA designa con una letra Recta b minúscula y/o mayúscula. b Está compuesto por infinitos Plano P Una tabla de puntos. picar. PLANO En la recta podemos identificar: La semirrecta y el segmento. SEMIRRECTA SEGMENTO: Es cuando un punto separa a la recta en 2 Es la intersección de la semirrecta de origen A porciones. Aquel punto se llama origen. que contiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto. Podemos encontrar rectas paralelas y perpendiculares. LÍNEAS PARALELAS LÍNEAS PERPENDICULARES Nunca se cruzan Se cortan en un punto Su simbología es // Su simbología es 2 2 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 19. 12 Recordemos: Ángulos-construcción Se llama ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado del ángulo. Los instrumentos que se utilizan para la construcción y medición de ángulos son compás y transportador respectivamente. Con el compás: Marca un punto. Coloca el compás con una abertura determinada, la que tú quieras, ni muy pequeña ni muy grande. Realiza un arco grande, que sobrepase los sesenta grados de sobra, al ojo lo puedes hacer de noventa grados, media vuelta o el círculo completo. NO IMPORTA. A continuación marca un punto en el arco o círculo que has hecho. Si es un arco, hazlo cerca de un extremo. Ahora, sin cambiar la abertura del compás, dejándolo exactamente igual que lo tenías, colócalo en el punto que has marcado y haz una marca que señale sobre el propio arco. Ahora ya está hecho, deberías tener tres puntos: Uno en el centro y dos en el arco (o círculo). Si los unes con la regla, obtendrás un ángulo de grados en el centro. 3 3 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 20. 12 Ejercicios 1. MARCA LA RESPUESTA CORRECTA: a) ¿Cuántas rectas se pueden trazar por un punto? (I) uno (II) finito (III) infinito b) ¿Cuántos planos se pueden trazar por un punto? (I) ninguno (II) finito (III) infinito c) ¿Se pueden trazar más de una recta por dos puntos distintos? (I) Si (II) No d) ¿Se pueden tener más de una recta que interseque a un plano en un punto? (I) Si (II) No 2. CONSTRUYE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS Y DENÓTALOS CORRECTAMENTE: a) 300 b) 600 c) 900 d) 1500 e) 1800 3. GRAFICAR: En una recta ubica cuatro puntos y escribe todos los segmentos que puedes obtener. 4. INVESTIGAR: Con ayuda de un texto busca la definición de los ángulos del recuadro, dibújalos y denótalos correctamente, luego grafica objetos de tu entorno que se relacione con dichos ángulos. AGUDO LLANO RECTO OPUESTOS POR EL VÉRTICE OBTUSO SUPLEMENTARIOS 4 4 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 21. 12 ¿Qué aprendimos hoy? 1. Una forma de recordar lo aprendido es ponerlo en práctica en nuestro entorno. Elige a un compañero y con una cámara fotográfica iniciarás una aventura de tomar fotos donde captures en objetos o situaciones la idea de elementos geométricos estudiados. 2. Luego elaborarán un álbum identificando y denotando correctamente las dificultades que encontraron. 3. Compartan sus impresiones con los demás grupos. ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. Coloca V O F según convenga. a) Un ángulo llano mide 90º. ( ) b) La regla nos permite medir ángulos. ( ) c) Dos rectas paralelas nunca se cortan. ( ) d) La simbología de paralelas es //. ( ) e) Un segmento no está contenido en una recta. ( ) 2. Dibuja el croquis para llegar de tu casa al colegio con las respectivas calles y/o avenidas. Identifica en ello que calles son paralelas y perpendiculares. Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre lo referente a ángulos y sus medidas: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/usr/eltanque/angulos/principal_p.html Todo referente a ejercicios: http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_08_01_01- Exponen_Ecuaciones/0_Exponen_Ecuaciones.html 5 5 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 22. 13 LOS ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los ángulos encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas. ¿Qué aprenderé hoy? ¿Qué materiales utilizaré?  Medir correctamente los ángulos.  Libro de Matemática - 1er Grado de  Graficar los tipos de ángulos. Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú  Graficar bisectrices y mediatrices. 2008. ¿Cómo empezamos? 1. Observa las siguientes imágenes y completa: a) La flecha roja indica un ángulo de……. y se llama…………………. b) La flecha amarilla indica un ángulo de…. y se llama………………. c) Estima la suma de los 2 ángulos. 2. Investiga y responde: Menciona otros ejemplos de tu vida diaria en el que se apliques la idea de ángulos. LOS ÁNGULOS En geometría, se define como el conjunto de puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el mismo punto de partida. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos con un punto extremo común. A AB es una semirrecta BC es una semirrecta  B es el punto de partida B C 1 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 23. 13 DENOTACIÓN DE ÁNGULOS Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados del ángulo en las cercanías del vértice; por ejemplo,  a o < 1. a 1 http://portales.educared.net/wikiEducared/images/d/df/DibujoTecnico_I-1_19.gif Clasificación de los Ángulos SEGÚN SU MAGNITUD SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS SEGÚN SU POSICIÓN Agudo: Menor de 90º. Complementarios: Cuando 2 ángulos Ángulos Consecutivos: El miden 90°. mismo vértice y un lado Recto: Son aquellos común. iguales a 90°. Sus lados Suplementarios: Cuándo 2 ángulos son dos rayos llamados miden 80°. Ángulos adyacentes: Son dos rayos perpendiculares. ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son rayos Obtuso: Son aquellos opuestos. mayores de 90°. Opuestos por el Vértice: Son Ángulos Llanos: Son aquellos cuyos lados de uno aquellos iguales a 180°. son las prolongaciones en Sus lados son dos rayos sentido contrario de los lados opuestos. del otro. Relaciona la definición con la gráfica correspondiente: 2 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 24. 13 Actividades En este espacio de la ficha desarrollarás las siguientes actividades:  Revisando esta ficha y la anterior podrás resaltar los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. Revisa la página 104 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño y desarrolla la actividad 1. Te permitirá aplicar lo estudiado y retomar para el siguiente tema. Bisectriz y mediatriz de un ángulo BISECTRIZ MEDIATRIZ Bisectriz: Es la recta que divide un ángulo en Dado un segmento AB, se denomina dos partes iguales. La propiedad de cada uno mediatriz del segmento a la recta de los puntos de una bisectriz es que equidista perpendicular a él, que pasa por el punto de los lados del ángulo. Para trazar una medio. bisectriz se dibuja un arco de radio arbitrario con centro en el vértice. Este arco corta a los lados en los puntos M y N. La bisectriz b es la mediatriz de la cuerda MN. 3 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 25. 13 Ejercicios 1. Resuelve los siguientes problemas verbales, construyendo la figura cuando sea necesario. a) b) c) Determina el ¿Cuántos grados resultan si al Determina el ángulo que es la complemento de 72°. complemento de 37° se le suma cuarta parte de su suplemento. el suplemento de 93°. d) e) f) Determina el Determina el ángulo que es el Determina el complemento de complemento del triple de su complemento. 42° 18'. suplemento de 143°. Operaciones de ángulos con grados, minutos y segundos. Adición y sustracción Multiplicación y división Se debe sumar y/o restar por un lado los La multiplicación respecto de un ángulo, al igual grados, los minutos y los segundos que la división puede realizarse respecto de un respectivamente; y luego tener en cuenta que número natural; pero es una operación que tiene como cada 60 segundos forman un minuto, y sentido lógico en cuanto el resultado no sea cada 60 minutos forman un grado, debe superior a la medida máxima posible para un hacerse el correspondiente ajuste del ángulo, que son 360°. resultado: Ejemplo: Ejemplo: ABC = 12° 45’ 13” × 5 ABC = 30° 45’ 13” + DEF = 42° 45’ 53” Multiplicación: 12° × 5 = 60° Suma: 30° + 42° = 72° 45’ × 5 = 225’ 45’ + 45’ = 90’ 13” – 5 = 65” 13” + 53” = 66” Reducción: 225’ = 3°, 45” Reducción: 66” = 1’, 6” 65” = 1’, 5” 90+1’ = 1°, 31’ Resultado: 60°+3° = 63°, 45’ + 1°= 46’ Total: ABF = 72 + 1 = 73°, 31’, 6” Total: 63°, 46’, 5” Ejemplo: ABC = 125° 46’ 0” ÷ 5 Conversión previa: 46’, 0” = 45’, 60” 60” ÷ 5 = 12” División: 45’ ÷ 5 = 9’ 125° ÷ 5 = 25° Reducción: No se requiere Resultado: 25°, 9’, 12” 4 Prof:Juana Tueros Huamaní http://www.escueladigital.com.uy/geometria/2_angulos.htm#operaciones
  • 26. 13 Ejercicios 1.- Realiza las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de ángulos. a) 112° 24’ 55’’+ 59° 45’’ b) 35° 24’ 55’’ - 14° 14’ 48’’ c) 36° 17’ 57’’ x 3 d) 24° 35’ 13’’: 3 e) 109° 63’’- 36 20’ 2’’ f) 19° 35’ 16’’ x 4 http://www.vitutor.net/1/67.html 2.- Con ayuda de tu transportador grafica el complemento y el suplemento de los siguientes ángulos. SU COMPLEMENTO SU SUPLEMENTO a) 27° a) 20° b) 36° b) 75° c) 79° c) 60° d) 57° d) 57° e) 60° e) 35° En forma gráfica halla la bisectriz de los siguientes ángulos: a) 46° b) 80° c) 100° d) 46° ¿Qué aprendimos hoy? 1. En esta oportunidad como verás has desarrollado actividades referente a la medición y cálculo con ángulos. Observa a tu alrededor y elige 3 objetos que sean posibles de medir ángulos e inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten al menos dos operaciones con ángulos. 5 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 27. 13 ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1) Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: Coloca V o F según convenga. a) Un ángulo llano mide 180°. ( ) b) La mediatriz no es perpendicular. ( ) c) El transportador permite medir los ángulos. ( ) d) Su complemento de 60° es 40°. ( ) 2) Con ayuda de tu transportador mide todos los siguientes ángulos posibles en: 3) ¿Cuánto mide cada ángulo? Luego traza la bisectriz respectiva. Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre ángulos: Teoría y ejercicios. http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/0inicio/bisectriz.htm http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/rectasnotables/rnotables1.htm 6 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 28. 14 CONOZCAMOS A LOS POLÍGONOS Sumilla Mediante la explicación de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los polígonos verás su aplicación en situaciones diversas. ¿Qué aprenderé hoy? ¿Qué materiales utilizaré?  Conocer los elementos de los polígonos.  Libro de Matemática - 1er Grado de  Resolver problemas simples que involucran Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú áreas. 2008. ¿Cómo empezamos? 1. Jacinto tiene su terreno donde cría burros y chanchos.  ¿Qué forma tienen sus terrenos? 9m 9m 8m 8m 8m 15 m 10 m a) ¿Los lados de los terrenos son iguales? b) ¿Puedes calcular el área del primer y segundo terreno?. De ser así ¿a cuanto asciende cada uno? POLÍGONOS Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas) y sus elementos son: Vértice Vértice Diagonal Lado Diagonal Angulo interno Ángulo Angulo externo Ángulo interior exterior Convexo Cóncavo No tiene ángulos que apunten hacia Sus ángulos internos son mayores a 180° dentro. En concreto, los ángulos internos (Para acordarte: cóncavo es como tener una no son mayores que 180°. "cueva"). Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos.html 1 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 29. 14 Clasificación de los polígonos Recordemos: Cuando son regulares (sus lados iguales) podemos clasificarlos: Nombre del Polígono Número de lados Imagen Angulo interno Triángulo 3 60° Cuadrilátero 4 90° Pentágono 5 ………… Hexágono 6 ………… Heptágono 7 ………… Octágono 8 ………… Nonágono 9 ………… Decágono 10 ………… Undecágono 11 ………… Dodecágono 12 ……….. A partir de 13 lados los polígonos no llevan un nombre especial a excepción de 15 lados (Pentadecágono) 20 lados (Icosígono) se dice: “polígono de 13 lados” “polígono de 14 lados”. Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/cuadrilateros.html 2 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 30. 14 ANGULOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES NUMERO DE ANGULO INTERNO ANGULO EXTERNO DIAGONALES ( n 2) x180º 360º e n(n 3) i n n D 2 la suma es: (n-2) x 180° La suma es: e .n http://www.geoka.net/geometria/area.html Los polígonos regulares tienen 2 elementos notables: Centro Apotema Es el punto en el interior del polígono Es el segmento que une el centro con el punto equidistante (está a igual distancia) de medio de uno cualquiera de los lados. La todos los vértices. apotema es perpendicular al lado del polígono. ÁREA DE UN POLÍGONO Recordemos que: El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono. l = Longitud del lado n = Números de lados P = Perímetro A = Área P nx1 PerímetroxApotema A 2 3 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 31. 14 Ejercicios 1.- Dibuja un cuadrilátero convexo y dos cóncavos. 2.- Indica cuantos triángulos se obtienen al trazar desde uno de los vértices las diagonales en cada uno de los siguientes polígonos convexos. a) Hexágono b) Cuadrilátero c) Pentágono 3.- Dibuja en un papel cuadriculado los siguientes polígonos e indica sus elementos: a) Heptágono cóncavo b) Hexágono convexo c) Un decágono convexo. 4.- Resuelve las siguientes situaciones: a) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un dodecágono regular? b) La suma de los ángulos interiores de un polígono es 900°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? c) ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo, un hexágono y un octágono? Calcula y traza las diagonales respectivas. ¿Qué aprendimos hoy? 1. Elige un compañero de aula y dibujen un polígono cóncavo y convexo relacionado con un objeto de tu aula y/o casa. 2. Colecciona etiquetas de productos que tengan forma poligonal e indica sus elementos. 3. Desarrolla los ejercicios de la página 109, cualquier duda consulta con tu tutor. 4. Elabora un pupiletras con todos los términos utilizados en este tema e intercambia con tu compañero(a) y resuelve. 5. ¿Cuántos triángulos puedes obtener en los siguientes gráficos trazando sus diagonales? 6. Construye polígonos regulares a partir de un círculo. 4 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 32. 14 ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) Un polígono regular tiene sus ángulos de igual medida. ( ) b) Un polígono irregular tiene sus lados iguales. ( ) c) El triángulo no tiene diagonales. ( ) d) Todo polígono puede ser dividido en triángulos. ( ) 2. Resuelve los siguientes problemas: a) Si el área de un pentágono regular es 175 m2 y su apotema mide 7 cm. Calcula la medida de su lado. Grafica b) Si el área de un octógono regular es de 30 m2 y su apotema mide 3 cm. Calcula la medida de su lado. Grafica Si tienes internet, ingresa a las páginas web: Todo sobre polígonos: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/poligon.htm Todo sobre polígonos: Ejercicios. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/aula.htm 5 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 33. 15 LAS ÁREAS DE LAS REGIONES POLIGONALES Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios sobre áreas poligonales podrás comprender su aplicación en situaciones cotidianas diversas. ¿Qué aprenderé hoy? ¿Qué materiales utilizaré?  Libro de Matemática - 1er Grado de  Calcular las áreas de las regiones Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú poligonales . 2008.  A resolver problemas simples que involucran áreas. ¿Cómo empezamos? Observa las siguientes polígonos y realiza lo que se te solicita: (fig. 1) (fig. 2) (fig. 3) (fig. 4) (fig. 5) a) Divide cada uno de ellos en triángulos (fig.1), rectángulos (fig.2), trapecios y triángulos (fig.3) y trapecios (fig.4) b) ¿Qué características en común tienen las figuras del 1 al 4? c) ¿En qué se diferencia la figura 5 de las demás? d) ¿Qué objetos de tu entorno tienen estas formas de las figuras? e) Lee el siguiente fragmento y extrae los términos nuevos para ti y busca su significado. Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.htm Hoy estudiaremos todo lo referente a las áreas de regiones poligonales, presta mucha atención a todo lo que leerás y harás. 1 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 34. 15 Actividades En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Revisa las páginas 114 a la 123 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Áreas de regiones poligonales.  Propiedades de cuadriláteros.  Cálculo con áreas. ESQUEMA GENERAL DE LOS CUADRILÁTEROS ¿Cómo calcular las áreas de los cuadriláteros? Recordemos: Cuadrado Rectángulo Romboide Rombo Trapecio Dxd ( B b) a A a2 A b h A b h A A 2 2 h=a h=a Fuente: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/area2.htm 2 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 35. 15 TRIÁNGULOS Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Consideraciones: La suma de los ángulos internos es de 180°. h La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos. bxh A 2 b CARACTERÍSTICA Y PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS CUADRADO Es rectángulo y rombo a la vez. Tiene lados iguales y 4 ángulos rectos. Tiene diagonales iguales y perpendiculares. RECTÁNGULO Tiene ángulos rectos. Las diagonales son iguales. ROMBO Los lados son iguales. Las diagonales son perpendiculares. TRAPECIO Tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llama BASE MAYOR y base menor. La distancia entre los lados paralelos en forma perpendicular se llama altura (h). En el trapecio isósceles los lados no paralelos son iguales. En el trapecio rectángulo tiene sólo un ángulo de 90°. TRAPEZOIDE No tiene lados paralelos. Es un cuadrilátero sin propiedades. 3 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 36. 15 CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA CÍRCULO CIRCUNFERENCIA Es una superficie plana limitada por una Es la línea curva cerrada y plana, cuyos circunferencia. puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). A= r2 Lo = 2 r r r Ejemplo: Ejemplo: El radio de un platillo (círculo) es de es 4 cm. El radio de un platillo(círculo) es de es 4 cm. Hallar su área. Hallar la longitud de su contorno. r2 Lo=2 r A= L o = 2(3, 14)(4cm) A = (3, 14).(4cm) 2 L o = 6, 28(4cm) A = (3, 14)16cm2 L o = 25, 12cm A = 50, 24 cm2 4 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 37. 15 Ejercicios 1. Calcula el área y el perímetro de los siguientes gráficos (usa la regla para medir). 2. Calcula el área de la región sombreada considerando que todos son cuadrados cuyo lado mide 6 cm. 3. Resuelve las siguientes situaciones aplicando tus conocimientos de área. a) Si el área de una región rectangular mide 56 cm2 y su largo mide 8 cm. ¿Cuánto mide el ancho? b) El piso de un dormitorio es de 4 m de largo y 3 m de ancho. ¿Cuántas cajas de losetas se necesita para cubrir el piso, si cada caja cubre 2 m2? c) Hay que ponerle baldosas a un patio de forma triangular cuya base mide 8 m y su altura es de 3 m. ¿Cuántas cajas de baldosas se necesita si cada caja alcanza para cubrir 3 m2? d) Hallar la cantidad de galones de pintura que se necesita para pintar el frente de un edificio cuyas medidas son de 20 m de largo y 10 m de ancho. Cada galón de pintura cubre 10 m2. e) “Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide 50 cm de largo y 20 cm de ancho”. ¿Cuántos metros de alambre necesita? 4. Calcular el área del circulo y la longitud de la circunferencia: a) d = 6 cm b) r = 5 cm 5. Calcula el área del rombo sabiendo que: a) D = 8 cm d = 4 cm b) D = 100 cm d = La cuarta parte de la D 5 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 38. 15 ¿Qué aprendimos hoy? Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. Refuerza tus conocimientos realizando lo siguiente: 1. Elige un ambiente de tu casa y observa todos los objetos que tengan forma de triángulos cuadriláteros y circulo además realiza un afiche matemático. 2. Compartan en grupo los resultados del desarrollo de los ejercicios y la resolución de problemas de tu libro, página 123. ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Marca la respuesta correcta. 1. La suma de los ángulos de un cuadrilátero vale: A) Depende de que cuadrilátero sea. B) 180° C) 90° D) 360° 2. ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero? A) 1 B) 4 C) 8 D) 2 3. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son: A) Iguales B) 4 Complementarios C) Semejantes D) Suplementarios Resuelve las siguientes situaciones: 1. Observa la siguiente región rectangular: ¿Cuánto mide X? A) 300 cm B) 80 cm C) 65 cm D) 12 cm Área = 60 cm2 5 cm X cm Si tienes internet ingresa a la página web: Todo referente a cuadriláteros: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/unidad11. pdf 6 Prof:Juana Tueros Huamaní
  • 39. 1 16 BUSCANDO A LOS POLIEDROS Sumilla A través del reforzamiento de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los poliedros en hechos cotidianos. ¿Qué aprenderé hoy? ¿Qué materiales utilizaré?  Libro de Matemática - 1er Grado de  Identificar los principales elementos y Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú características de los poliedros. 2008.  Diferencia y determina la relación entre prisma y pirámide.  Calcular las áreas del prisma, de la pirámide, del cilindro, del cono y la esfera. ¿Cómo empezamos? Relaciona las fotos (derecha) con las imágenes del centro identificando las figuras que dan origen a los poliedros (izquierda): Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren formas geométricas. Un libro, una caja de fósforos o un edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo; una lata de conservas y una tiza sugieren un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un cucurucho de helado a un cono. a) Elabora un cuadro con: Nombre del sólido - figura que lo genera a partir de las imágenes. b) ¿Cuántas bases tienen cada poliedro? c) ¿Qué entiendes por poliedros?. Da tu idea. d) Lee la página 124 de tu libro. 1 Prof: Juana Tueros Huamaní Fuente: http://jesmanzan.wordpress.com/2008/03/17/u11-longitud-capacidad-masa-y- superficie/
  • 40. 1 16 Fuente: http://www.korthalsaltes.com/es/index.html CUERPO SÓLIDO Es todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Pueden ser: Poliedros: Cuerpos de revolución: Sólidos limitados por caras en Sólidos limitados con una o forma de polígono. todas sus caras curvas (cuerpos Tetraedro redondos). Icosaedro Cilindro Prismas Cono Pirámides Esfera Todos los poliedros tienen vértice, caras y aristas además se cumple que: C = Cara V = Vértice A = Arista C+V = Nº A + 2 C+V=NroA+ 2 Ejercicios 1. Aplica la fórmula de Euler: • En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla. Poliedro Nº de caras Nº de vértices Nº de aristas (C) (V) (A) (1) (2) (3) (4) 2. Dibuja 3 objetos reales que sean poliedros. Bien, estando ya familiarizado que son poliedros y conocer su suplementos pasaremos al estudio de los poliedros más conocidos, para ello te invito a leer la página 125 de tu libro. 2 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 41. 1 16 PRISMAS CONCEPTO GRÁFICO TIPOS FÓRMULA Es un poliedro limitado Según su base puede ser: AL PB .h por dos caras iguales y Prisma triangular paralelas (bases) y Prisma cuadrangular tantos paralelogramos Prisma pentagonal PB .ap (caras laterales) como AB 2 lados tienen las bases. Un caso particular son los paralelepípedos cuyas caras AT AL 2 AB son todas rectangulares. V AB .h Ejemplo: El área lateral de un prisma de base cuadrada es 120 cm2 y su altura mide 6 cm. Calcula el volumen del prisma. SOLUCIÓN: Hallamos el lado de la base: AL PB .h 120 = PB.6 PB = 20 l=5 Calculamos el volumen del prisma: V AB .h V = 52 .6 = 150 El volumen es 150m3 . Ejercicios 1. Calcula el volumen de un prisma de 25 cm2 de base y 8cm de altura. 2. Las aristas de una caja de zapatos miden 12 cm y 35 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la caja. PIRÁMIDE CONCEPTO GRÁFICO TIPOS FÓRMULA Es un poliedro que Según su base puede ser: PB . Ap tiene por base un Pirámide triangular AL polígono cualquiera, Pirámide cuadrangular 2 y sus caras laterales Pirámide Pentagonal son triángulos que AT AL AB concurren en un vértice común. AB .h V 3 3 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 42. 1 16 Ejemplo: Calcula el área lateral, total y volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista y 12 cm de altura. Ap 2 122 52 AP 122 52 13cm PB 4.10 40cm 40.30 AL 260cm 2 2 AT 260 102 360cm 2 100.2 V 400cm3 3 2 2 1. El volumen de una pirámide es 48 cm y el área de su base es 16 cm . Calcula la altura de la pirámide. 2 . Halla la apotema y el área total de una pirámide triangular regular de 10 cm de arista. Ejercicios CUERPOS DE REVOLUCIÓN: CILINDRO CONO ESFERA Se obtiene al girar un rectángulo Se obtiene al girar un triángulo Se obtiene al girar un alrededor de uno de sus lados. rectángulo alrededor de uno de semicírculo alrededor de su sus catetos. diámetro. AL 2 rg AL rg A 4 r2 AT AL 2 AB AT AL AB AT 2 rg 2 r2 AT AL AB VC .r 2 .h AT rg r2 .r 2 .h V 3 4 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 43. 1 16 Ejemplo: Calcular el volumen de un cilindro si su radio mide 5 cm y su altura 12 cm. SOLUCIÓN: VC .r 2 .h 3, 14.52.12 = 942 cm Ejercicios 1. Calcula el volumen de un tanque de un camión cisterna sabiendo que su diámetro, mide 2, 70 m y su altura 5, 5 m. 2. Un cilindro contiene petróleo hasta la tercera parte. ¿Qué volumen falta llenar si la altura es el triple del radio de la base que mide 21 cm? DESARROLLO DE LAS PLANTILLAS Un desarrollo de cada sólido platónico Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos. ¿Qué aprendimos hoy? 1. En parejas inventa 2 problemas cotidianos con poliedros que hay en tu zona. 2. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. 3. Para profundizar el tema lee las páginas 126 y 129 de tu libro y resuelve los casos propuestos. 4. Reproduce las plantillas de los poliedros, ármalos e identifica sus elementos. 5 Prof: Juana Tueros Huamaní
  • 44. 1 16 ¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Explica razonadamente cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas. a) El cilindro es un poliedro. b) Hay poliedros con 3 caras. c) El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es como mínimo 4. 2. Calcula el volumen de una esfera de 6 cm de radio. Grafica. 3. Se tiene un gorro de fiesta infantil en forma de cono cuyas dimensiones son: 12 cm de altura y 16 cm de diámetro. Calcula la cantidad de papel que se usó para forrarlo. 4. Calcula el área total del envase de la figura. 8 cm 10cm 5. Calcula la generatriz de un cilindro cuya área total es 408, 2 cm2, si el radio de la base mide 5 cm. 6. Calcula la superficie esférica de una pelota que tiene 30 cm de diámetro. 7. Investiga de que poliedros están hechas las pelotas de fútbol. 8. Haz un listado de los minerales que tienen forma de poliedro y dibújalos. Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre poliedros: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/esfera.html http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/ poliedros/poliedros.htm http://www.vitutor.net/2/2/3.html 6 Prof: Juana Tueros Huamaní