1. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
28 de junio de 2011
´Indice
21.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21.2. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21.3. Propiedades del producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
21.4. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
21.5. Distancia entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
21.6. Vectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
21.7. Conjunto ortogonal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
21.8. Ortogonalidad e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.9. Ortogonalidad y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.10.Ortogonalidad y descomposici´on de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.11.Conjunto ortonormal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
21.12.Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
21.1. Introducci´on
En esta lectura veremos conjuntos y matrices ortogonales. Primero veremos algunas definiciones alternativas
a los productos internos.
21.2. Producto interno
Un producto interno en un espacio vectorial es una funci´on • : V × V → F, donde F es el conjunto de los
escalares utilizados (F = R ´o F = C), y que tiene que cumplir los siguientes axiomas: Para todos los vectores
x, y y z de V y para todo escalar c de F
1. (x + y) • z = x • z + y • z es decir, se distribuye a la izquierda.
2. (c · x) • y = c (x y) es decir, los factores escalares a la izquierda pueden salir.
3. x • y = y • x.
4. x • x > 0 para todo x = 0.
En el axioma 3, la l´ınea horizontal encima de una expresi´on indica que se debe tomar el conjugado complejo:
El conjugado comple de un n´umero se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. As´ı
3 + 3 i = 3 − 3 i
5 = 5 + 0 i = 5 − 0 i = 5, es decir: el conjugado de un real es ´el mismo.
−3 i = 0 − 3 i = 0 + 3 i = 3 i

2. Figura 1: El producto interno est´andar de Rn en la TI.
Daremos sin comprobaci´on algunos ejemplos de productos internos en los espacios vectoriales que nos ocupan.
Ejemplo 21.1
Si V = Rn y x = (xi) y y = (yi) el producto punto est´andar • es:
x • y =
n
i=1
xi · yi
Si n = 3, x =< 1, 2, −1 > y y =< 1, −1, 3 >, entonces
x • y = (1)(1) + (2)(−1) + (−1)(3) = −4
Observe que el producto interno est´andar en Rn concide con una operaci´on entre matrices:
x • y = xT · y
Aqu´ı los vectores x y y se consideran como una matrices n × 1; as´ı xT quedar´a una matriz 1 × n y al hacer
el producto matricial con y quedar´a una matriz 1 × 1 que ser´a un escalar. Este ejemplo puede realizarse en la
calculadora TI utilizando la funci´on dotP ya programada como se ilustra en la figura 1.
Ejemplo 21.2
Mientras que si V = Cn con escalares C el producto punto est´andar • es
x • y =
n
i=1
xi · yi
Si n = 3, x =< 1, 2 + 2 i, −i > y y =< 1, −1 + i, 3 i >, entonces
x • y = (1)(1) + (2 + 2 i)(−1 + i) + (−i)(3 i)
= (1)(1) + (2 + 2 i)(−1 − i) + (−i)(−3 i)
= 1 − 2 − 2 i − 2 i − 2 i2 + 3 i2
= −1 − 4 i + i2
= −1 − 4 i + (−1)
= −2 − 4 i
Es importante comentar que este producto interno est´andar en Cn esta implementado en la calculadora TI
y coincide con el producto est´andar en Rn. Esto se ilustra en la figura 2. Note la diferencia entre el n´umero
imaginario i y el s´ımbolo i en su calculadora; en la voyage 200 i se obtiene con la combinaci´on 2ND i
mientras que en la TI 89 con la combinaci´on 2ND catalog . No notar la diferencia le puede traer verdaderos
dolores de cabeza.
2

3. Figura 2: El producto interno est´andar de Cn en la TI.
Ejemplo 21.3
Si V = C [a, b] es el conjunto de las funciones continuas de valor real el producto interno est´andar es:
f • g =
b
a
f(t) · g(t) dt
Si [a, b] = [0, 1], f(x) = x + 1 y g(x) = x2 − 1 entonces
f • g =
1
0 (x + 1) · (x2 − 1) dx
=
1
0 (x3 + x2 − x − 1) dx
= −11/12
Ejemplo 21.4
Si Si V = C [0, 2 π] es el conjunto de las funciones continuas complejas un producto interno es:
f • g =
1
2 π
2 π
0
f(t) · g(t) dt
Ejemplo 21.5
Si Mn×m es el conjunto de las matrices reales con n renglones y m columnas el producto interno est´andar es:
A • B = tr B′
· A
donde B′ representa la transpuesta de la matriz B y tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que
es la suma de los elementos de la diagonal. Por ejemplo, si
A =
1 2 3
−1 2 −3
y B =
1 −2 3
0 2 −3
Entonces
BT · A =


1 0
−2 2
3 −3

 1 2 3
−1 2 −3
=


1 2 3
−4 0 −12
6 0 18


y por tanto
A • B = tr




1 2 3
−4 0 −12
6 0 18



 = 1 + 0 + 18 = 19
Para realizar esto en la calculadora TI debemos programar la funci´on traza puesto que en la configuraci´on
inicial no viene tal funci´on. Una implementaci´on posible para esta funci´on viene ilustrada en la figura 3. Una
vez programada la funci´on traza, la figura 4 ilustra el c´alculo del producto interno de dos matrices.
3

4. Figura 3: Programando la funci´on traza en la TI.
Figura 4: Producto interno est´andar de Mn×m(R) en la TI.
Ejemplo 21.6
Si Mn×m es el conjunto de las matrices complejas con n renglones y m columnas el producto interno est´andar
es:
A • B = tr (B∗
· A)
donde B∗ representa la adjunta de la matriz B es decir la transpuesta conjugada o tambi´en conocida como
transpuesta hermitiana, a veces tambi´en se utiliza la notaci´on BH para la matriz conjugada compleja de B.
Aqu´ı tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal.
Por ejemplo, si
A =
1 + i 2 − 3 i i
−1 2 − i −3 i
y B =
1 + 2 i −2 3
0 2 i −3 + i
y as´ı
A∗
=


1 − i −1
2 + 3 i 2 + i
−i 3 i


y por tanto
A∗
· B =


3 + i −2 6 − 4 i
−4 + 7 i −6 − 2 i −1 + 8 i
2 − i −6 + 2 i −3 − 12 i


de donde
B • A = (3 + i) + (−6 − 2 i) + (−3 − 12 i) = −6 − 13 i
Es importante comentar que la transpuesta conjugada de una matriz en Maple se obtiene como el comando
htranspose, por el nombre alternativo de transpuesta hermitiana. Por otro lado, en la calculadora TI la
transpuesta siempre representa la transpuesta hermitiana de una matriz. Esto se puede ejemplificar repitiendo
los c´alculos del ejemplo como se ilustra en la figura 5.
4

5. Figura 5: Producto interno est´andar de Mn×m(C) en la TI.
21.3. Propiedades del producto interno
Propiedades que satisfacen todos los productos internos:
Teorema
Sea V es espacio vectorial con producto interno •, x, y y z vectores de V y c un escalar:
1. x • (y + z) = x • y + x • x
2. x • (c · y) = c · (x • y)
3. x • x = 0 si y s´olo si x = 0.
4. x • y = 0 si y s´olo si y • x = 0.
5. Si ∀ x ∈ V se cumple x • y = x • x, entonces y = z.
21.4. Norma de un vector
Teniendo definido un producto interno, el siguiente paso es definir una norma o longitud de vectores.
Definici´on 21.1
Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para todo vector x de definimos la norma o longitud de x
como
x =
√
x • x
Propiedades que se deducen de la norma:
Teorema
1. c x = |c| · x
2. x = 0 si y s´olo si x = 0. En cualquier caso, x ≥ 0.
3. Desigaldad de Cauchy-Schwarz: |x • y| ≤ x · y .
4. Desigualdad del tri´angulo: x + y ≤ x + y .
21.5. Distancia entre dos vectores
Ahora, habiendo definido la magnitud de un vector es posible definir una distancia en un espacio vectorial.
Definici´on 21.2
Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para cualesquier dos vectores x y y definimos la distancia
de x a y como
d(x, y) = x − y
Propiedades que se deducen de la funci´on distancia:
Teorema
5

6. 1. d(x, y) = d(y, x) es decir, la distancia medida desde x a y es la misma que la distancia
medida desde y a x.
2. d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y es decir, si la distancia entre dos puntos es cero entonces los
puntos son iguales.
3. Desigualdad del tri´angulo: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
21.6. Vectores ortogonales
Definici´on 21.3
Dos vectores x y y en Rn se dicen ortogonales si x • y = 0. Si esto pasa se expresar´a como x ⊥ y.
Ejemplo 21.7
Indique si los vectores x =< 1, 0, 2 > y y =< −2, 2, 1 > son ortogonales. Directamente de la definici´on:
requerimos hacer
x • y = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = −2 + 0 + 2 = 0
Por tanto, x ⊥ y.
Ejemplo 21.8
Determine el valor del par´ametro a para que x =< 1, 1, 2 > y y =< −3, a, 1 > sean ortogonales. Directamente
de la definici´on: requerimos hacer
x • y = (1)(−3) + (1)(a) + (2)(1) = −3 + a + 2 = a − 1
Por tanto, x ⊥ y si y s´olo si x • y = 0 si y s´olo si a = 1.
21.7. Conjunto ortogonal de vectores
Definici´on 21.4
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vm} se dice conjunto ortogonal o simplemente ortogonal si se cumple
vi • vj = 0 para i = j y i, j = 1, . . . , m (1)
Ejemplo 21.9
Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal
v1 =


1
0
2

 , v2 =


−2
2
1

 , v3 =


−2
−5/2
1


Soluci´on
Calculando todos los productos punto entre vectores diferentes tenemos
v1 • v2 = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = 0
v1 • v3 = (1)(−2) + (0)(−5/2) + (2)(1) = 0
v2 • v3 = (−2)(−2) + (2)(−5/2) + (1)(1) = 0
as´ı concluimos que es conjunto es ortogonal.
6

7. 21.8. Ortogonalidad e independencia lineal
Teorema
Cualquier conjunto ortogonal S = {v1, ...., vk} de vectores distintos de cero es linealmente inde-
pendiente.
Demostraci´on: Si suponemos que
c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0
Entonces, haciendo producto punto por vi obtenemos que:
c1 v1 • vi + c2 v2 • vi + · · · + ck vk • vi = 0 • vi
Observe que siendo el conjunto ortogonal todos los productos punto en el lado izquierdo se hacen cero, excepto
uno: el correponiente a vi •vi. Mientras que en el segundo miembro el producto punto al ser uno de los vetores
cero queda cero. As´ı lo anterior se resume a:
civi • vi = 0
como vi • vi = 0 al ser todos los vectores vi diferentes del vector cero, concluimos que ci = 0.
21.9. Ortogonalidad y bases
Teorema
Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v1, ...., vk} de vectores distintos de cero es base
para Gen(S).
Demostraci´on: Por definici´on de Gen(S), S genera a Gen(S); y por el teorema anterior S es linealmente
independiente. Por tanto, S es base para Gen(S).
21.10. Ortogonalidad y descomposici´on de un vector
Teorema
Sea S = {v1, ..., vk} un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero. Si u est´a en Gen(S) y
u = c1 v1 + · · · + ck vk
entonces
ci =
u • vi
vi • vi
para i = 1, . . . , k
A las expresiones u • vi/vi • vi se les llama los coeficientes de Fourier de u respecto a S.
Demostraci´on: Si
u = c1 v1 + · · · + ck vk
haciendo el producto punto con vi y considerando la ortogonalidad obtenemos:
u • vi = ci vi • vi
Al ser los vectores vi = 0, se tiene que vi • vi = 0 y por tanto se tiene:
ci =
u • vi
vi • vi
7

8. Nota:
Lo importante del teorema anterior es indica que para bases ortonormales no es necesario resolver sistemas
de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes de cada vector es suficientes calcular los coeficientes de
Fourier.
Ejemplo 21.10
Utilizando el conjunto ortogonal S del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3)′, determine los
coeficientes de Fourier u respecto a S y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema
de ecuaciones lineales correspondientes.
Soluci´on: Calculemos
u • v1 = (1)(1) + (2)(0) + (3)(2) = 7
u • v2 = (1)(−2) + (2)(2) + (3)(1) = 5
u • v3 = (1)(−2) + (2)(−5/2) + (3)(1) = −4
v1 • v1 = (1)(1) + (0)(0) + (2)(2) = 5
v2 • v2 = (−2)(−2) + (2)(2) + (1)(1) = 9
v3 • v3 = (−2)(−2) + (−5/2)(−5/2) + (1)(1) = 45/4
y al aplicar las f´ormulas obtenermos:
c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 = −16/45
Si por otro lado armamos la matriz aumentada [v1, v2, v3|u] y la reducimos:


1 −2 −2 1
0 2 −5/2 2
2 1 1 3

 →


1 0 0 7/5
0 1 0 5/9
0 0 1 −16/45


de donde observamos que los valores de las constantes ci coinciden con los valores dados por los coeficientes
de Fourier.
21.11. Conjunto ortonormal de vectores
Definici´on 21.5
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vm} se dice conjunto ortonormal o simplemente ortonormal si se cumple
vi • vj = 0 para i = j y vi • vi = 1 para i, j = 1, . . . , m (2)
Note que en caso de una base ortonormal S para un espacio las f´ormulas de Fourier para un u simplifican
a ci = u • vi, por ello es que es deseable tener una base ortonormal a un espacio. Si ya se posee una base
ortogonal dividiendo cada vector entre su norma se obtiene una ortonormal:
{v1, . . . , vm} ortogonal →
1
||v1||
v1, . . . ,
1
||vm||
vm ortonormal (3)
Ejemplo 21.11
Ortonormalize el conjunto ortogonal ejemplo de esta lectura:
v1 =


1
0
2

 , v2 =


−2
2
1

 , v3 =


−2
−5/2
1


8

9. Soluci´on: Tenemos ya realizados los siguientes c´alculos
v1 • v1 = 5 → ||v1|| =
√
5
v2 • v2 = 9 → ||v1|| = 3
v3 • v3 = 45/4 → ||v1|| =
√
45/2
Por tanto, el conjunto ortonormalizado queda
1
√
5


1
0
2

 ,
1
3


−2
2
1

 ,
2
√
45


−2
−5/2
1


21.12. Matriz ortogonal
Definici´on 21.6
Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de
A forman un conjunto ortonormal.
Teorema
A n × n: A es ortogonal ssi AT · A = I.
Observe que el teorema anterior se deduce de que para dos vectores x y y en Rn, x • y = x′ · y:





x1
x2
...
xn





•





y1
y2
...
yn





= x1 · y1 + · · · + xn · yn = x1 x2 · · · xn ·





y1
y2
...
yn





Con lo anterior se deduce que cuando se hace AT·v se calcula un vector donde cada componente es el producto
punto de la columna correspondiente de A con el vector v. Con lo anterior se deduce que cuando se calcula
AT · A la matriz resultante tiene en la posici´on (i, j) justo ai • aj es decir, el producto punto de la columna
i de A con la columna j de A. De esta forma: AT · A = I si y s´olo si se tiene que las columnas de A son
ortogonales y que tienen norma 1.
Con la observaci´on anterior presente podemos hacer el ejemplo 1 m´as f´acilmente.
Ejemplo 21.12
Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal
v1 =


1
0
2

 , v2 =


−2
2
1

 , v3 =


−2
−5/2
1


Soluci´on
Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:
A = [v1 v2 v3] =


1 −2 −2
0 2 −5/2
2 1 1


Y calculamos AT · A:
AT · A =


5 0 0
0 9 0
0 0 45/4


9

10. que sean cero los elementos que est´an fuera de la diagonal principal indica que el conjunto es ortogonal.
Ejemplo 21.13
Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores



v1 =


4
6
z

 , v2 =


x
6
4

 , v3 =


2
y
3





sea ortogonal.
Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:
A = [v1 v2 v3] =


4 x 2
6 6 y
z 4 3


Y calculamos AT
· A:
AT
· A =


52 + z2 4 x + 36 + 4 z 8 + 6 y + 3 z
4 x + 36 + 4 z x2 + 52 2 x + 6 y + 12
8 + 6 y + 3 z 2 x + 6 y + 12 13 + y2


Por tanto, para que el conjunto se ortogonal debe cumplirse que:
4 x + 36 + 4 z = 0
8 + 6 y + 3 z = 0
2 x + 6 y + 12 = 0
de donde, los ´unicos valores que hacen ortogonal al conjunto son x = −31/5, y = 1/15 y z = −14/5
Ejemplo 21.14
Determine el vector de coordenadas de v =< 2, 2, −4 > respecto a la base ortonormal
B =



u1 =


1/3
2/3
2/3

 , u2 =


2/3
−2/3
1/3

 , u3 =


2/3
1/3
−2/3





Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinaci´on
lineal de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinaci´on lineal
son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de la
base. Verifiquemos primero que el conjunto es ortonormal. Para ello, formamos la matriz A cuyas columnas
son los vectores de B:
A = [u1 u2 u3] =


1/3 2/3 2/3
2/3 −2/3 1/3
2/3 1/3 −2/3


y calculamos AT · A:
AT · A =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Por tanto, dando la matriz diagonal el conjunto es ortogonal; dando la identidad el conjunto es ortonormal.
Para calcular los productos punto de los elemento de B con v recurrimos al producto:
ATv =


1/3 2/3 2/3
2/3 −2/3 1/3
2/3 1/3 −2/3

 ·


2
2
−4

 =


−2/3
−4/3
14/3


10

11. Por tanto, c1 = v • u1 = −2/3, c2 = v • u2 = −4/3, y c3 = v • u3 = 14/3 y el vector de coordenadas de v
respecto a la base B es < −2/3, −4/3, 14/3 >.
Teorema
Sea A una matriz n × n, y u y v dos vectores en Rn. Entonces
(Au) • v = u • AT
v
Demostraci´on
(Au) • v = (Au)T
v
= uT AT v
= uT AT v
= u • AT v
Teorema
Sea A una matriz n × n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) A es ortogonal.
(2) A preserva los productos punto:
(Au) • (Au) = u • v ∀u, v
(3) A preserva norma:
||Av|| = ||v|| ∀v
Demostraci´on
(1) implica (2)
Si A es ortogonal, AT A = I. As´ı
(A u) • (A v) = (A u)T · A v = uTAT · A v = uT · (AT · A)v = uT · I · v = uT · v = u • v
(2) implica (3)
Se tiene
||A v||2
= (A v) • (A v)
= v • v = ||v||2
tomando ra´ız cuadrada se tiene la igualdad de (3).
(3) implica (1)
11