matematica

1. Facultad de Ingeniería Semestre 2013-II
CURSO: CÁLCULO II
Tema :
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR PARTES:
El método de integración por partes es de mucha utilidad en la práctica, el cual nos
permite resolver un gran número de integrales no inmediatas, que se obtiene de la
fórmula para la derivada del producto de dos funciones. Si yf g son funciones
diferenciales, entonces:
 
 
( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
d
f x g x g x f x f x g x
dx
d
f x g x f x g x g x f x
dx
 
  
Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene:
 ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) (1)
d
f x g x dx f x g x dx g x f x dx
dx
f x g x dx f x g x g x f x dx
 
 
  
 
La fórmula (1) recibe el nombre de fórmula de integración por apartes. Para los
propósitos del cálculo, una forma más conveniente de esta fórmula se obtiene al
considerar ( ) y ( )u f x v g x  .
Entonces '( )du f x dx y '( )dv g x dx de modo que (1) se transforma en:
udv uv vdu  
Observación:
- El éxito en la integración por partes consiste en determinar adecuadamente la
función u . Se sugiere que la función u se tome la que más se simplifique al
derivar.
- dv debe ser integrable
Ejemplos:
1. Hallar sin( )x x dx .
Solución:
Integración Por Partes y por Fracciones Parciales

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Haciendo u x du dx   .
sin( )
sin( )
cos( )
dv x dx
dv x dx
v x


  
 
   sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( )
cos( ) sin( )
v vdvu u du
x x dx x x dx x x x dx
x x x dx
x x x C
    
  
   
  

2. Hallar ln( )x dx .
Solución:
Haciendo ln( )
dx
u x du
x
   .
dv dx
dv dx
v x


 
 
Integrando por partes, tenemos: ln( )x dx uv vdu  
Reemplazando:
 
1
ln( ) ln( )
ln( )
ln( )
x dx x x x dx
x
x x dx
x x x C
 
 
  
 

3. Hallar 2
ln( )x x dx .
Solución:
Haciendo ln( )u x y 2
dv x dx ; tenemos:
dx
du
x

2
3
3
dv x dx
x
v


 
Entonces:

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3 3
2
3 2 3 3
1
ln( ) ln( )
3 3
ln( ) ln( )
3 3 3 9
x x
x x dx x dx
x
x x x x
x dx x C
 
  
 
    
 

4. Hallar  2 2
3 1 x
x x e dx  .
Solución:
Haciendo  2
3 1 2 3u x x du x dx      y
2
2
2
x
x e
dv e dx v   .
Luego:
     
2 2
2 2 2
(1)
3 1 3 1 2 3
2 2
x x
x e e
x x e dx x x x dx       
Luego, volveremos a aplicar integración por partes en (1) para encontrar la
integral dada:
 
2
1 2 3
2
x
e
I x dx 
Haciendo 2 3 2u x du dx    y
2 2
2 4
x x
e e
dv dx v   .
Luego:
   
2 2 2 2
1 2 3 2 2 3
4 4 4 4
x x x x
e e e e
I x dx x C      
Ahora reemplazando en (1):
     
2 2 2
2 2 2
3 1 3 1 2 3
2 4 4
x x x
x e e e
x x e dx x x x C        
5. Hallar
2
3 x
x e dx .
Solución:
Haciendo 2
u x y
2
x
dv xe dx ; entonces:
2du xdx
2
2
x
x
dv xe dx
v xe dx


 

Para hallar
2
x
xe dx se tiene:
Por sustitución:
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx     .

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Luego:
2 21 1 1
2 2 2 2
x t t t xdt
xe dx e e dt e e      .
Por tanto:
2
2
x
e
v  .
Luego:
 
2 2
2
2
2
2 2
2
3 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
1
2
x x
x
x
x
x x
x
e e
x e dx x xdx
x e
xe dx
x e e
C
e
x C
 
 
  
  
 

6. Hallar 1x xdx .
Solución:
Haciendo u x y 1dv xdx  ; tenemos:
du dx
   
3 3
2 2
1
1 2 1
3 3
2
dv xdx
x x
v
 
 
 
 
Entonces:
   
 
 
 
 
   
3 3
2 2
3
2 3
2
3
2 5
2
3 5
2 2
2 1 2 1
1
3 3
2 1 2
1
3 3
2 1 4
1
3 15
2 4
1 1
3 15
x x
x xdx x dx
x x
x dx
x x
x C
x x x C
 
  

  

   
    
 

7. Hallar 2
ln( 2)x dx .
Solución:
Haciendo 2
ln( 2)u x  y dv dx ; tenemos:
2
2
2
x
du dx
x


v x

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Tenemos:
 
 
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
ln( 2) ln( 2)
2
4
ln( 2) 2
2
4
ln 2 2
2
1
ln( 2) 2 4 arctan
2 2
ln 2 2 2 2 arctan
2
x
x dx x x dx
x
x x dx
x
x x dx dx
x
x
x x x
x
x x x C
   

 
    
 
 
    
 
  
     
  
 
     
 
 

 
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Usando el método de integración por partes calcule las siguientes integrales:
1. x
xe dx
2. ln( )x x dt
3. 2
sin( )x x dx
4. ln( )x dx
5. 2
ln ( )x dx
6. 2
( 1) x
x e dx

7. sin( )x
e x dx
8. (3 1)cos( )x x dx
9. 2
( 3 1)sin( )x x x dx 
10. 2
(2 5 2) x
x x e dx 
11. 2
(2 1)ln( )x x dx
2) INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se
estima que será
2
0.01
'( ) 50 3.5 x
R x xe
  dólares por unidad, donde ( )R x es el
ingreso e dólares.
a) Determine ( )R x , suponiendo que (0) 0R  .
b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
3) POBLACIÓN. Se proyecta que dentro de t años la población de cierta ciudad cambiará
a razón de:
 '( ) ln 1P t t t  miles de personas al año.
Si la población actual es de 2 millones de personas, ¿cuál será la población dentro de
5 años?

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MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR MEDIO
DE FRACCIONES PARCIALES
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es decir:
( )
( )
P x
Q x
, por
ejemplo:
3
2
( )
( 3)
f x
x


, 2
2 2
( )
4 8
x
g x
x x


 
,
5 3
3
2 1
( )
5
x x x
h x
x x
  


 Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), a la función racional se le
denomina función racional propia, en caso contrario se le llama impropia.
El método de integración de funciones racionales se trata de reducir la función racional
a una suma de fracciones simples (fracciones parciales), como:
2
5 3 2 3
2 3 1 3
x
x x x x

 
   
Obteniéndose integrales inmediatas de la forma:
2
5 3 2 3
2 3 1 3
x
dx dx dx
x x x x

 
     
 Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede
representar como una función dada como la suma de un polinomio y de una función
racional. Es decir:
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
C x
Q x Q x
 
Donde C(x) y R(x) es el cociente y el residuo respectivamente que resulta de dividir P(x)
entre Q(x).
El método de integración de funciones racionales se trata de reducir la función racional a una
suma de fracciones simples, obteniéndose integrales inmediatas de la forma:
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
dx C x dx dx
Q x Q x
   

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Caso I: Función racional propia (Grado [ P(x) ] < Grado [ Q(x) ] )
1er
CASO: Factores del denominador ( )Q x son todos de 1er
grado (lineales) y
ninguno se repite.
Si Q(x) = (x – q1) (x – q2) (x – q3)... (x – qn) entonces:
1 2
1 2
( )
......
( )
n
n
AA AP x
dx dx dx dx
Q x x q x q x q
   
     
Ejemplos:
1.- Calcular:
2 1
( 2)( 3)
x
dx
x x x

 
Solución
El número de factores que existan en el denominador indicará el número de fracciones
que deberá separarse. En este ejemplo hay 3 factores en el denominador, lo cual
indica que habrá 3 fracciones. En consecuencia:
2 1
( 2)( 3) 2 3
x A B C
x x x x x x

  
   
……... (*)
Al desarrollar se tiene:
2 1
( 2)( 3) 2 3
( 2)( 3) ( 3) ( 2)
( 2)( 3)
x A B C
x x x x x x
A x x Bx x Cx x
x x x

  
   
     

 
Entonces:
2 1 ( 2)( 3) ( 3) ( 2)
( 2)( 3) ( 2)( 3)
x A x x Bx x Cx x
x x x x x x
      

   
Quitando los denominadores se tiene:

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2 1 ( 2)( 3) ( 3) ( 2)x A x x Bx x Cx x       
Luego tenemos:
2 2 2
2
2 1 ( 2)( 3) ( 3) ( 2)
6 3 2
( ) ( 3 2 ) 6
x A x x Bx x Cx x
Ax Ax A Bx Bx Cx Cx
A B C x A B C x A
       
      
      
Esta ecuación es una identidad, para todo x En consecuencia habrá que igualar
los coeficientes de las variables de igual potencia, así:
0
3 2 2
6 1
A B C
A B C
A
  

  
   
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:
1 3 7
, ,
6 10 15
A B C   
Al sustituir los valores en (*):
3 71
2 1 6 10 15
( 2)( 3) 2 3
x
x x x x x x


  
   
Finalmente en la integral se tiene:
2 1 1 3 7
( 2)( 3) 6 10 2 15 3
1 3 7
ln ln( 2) ln( 3)
6 10 15
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x x x C

  
   
     
   
Método práctico para hallar A, B y C
Teniendo en cuenta el ejemplo anterior tenemos:
En la ecuación 2 1 ( 2)( 3) ( 3) ( 2)x A x x Bx x Cx x        …. (**)
Se hallan los puntos críticos, igualando a cero cada factor del denominador
2 1
( 2)( 3) 2 3
x A B C
x x x x x x

  
   

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( 2)( 3) 0x x x  
Se tienen como puntos críticos a: 0, 2, 3x x x    , estos valores se sustituyen en la
ecuación (**), así tendremos:
Para 0x  , se tiene:
     
  
2 0 1 (0 2)(0 3) 0 (0 3) 0 (0 2)
1 2 3
1 6
1
6
A B C
A
A
A
       
  
  

Para 2x  , se tiene:
     
        
2 2 1 (2 2)(2 3) 2 (2 3) 2 (2 2)
4 1 0 5 2 5 2 0
3 10
3
10
A B C
A B C
B
B
       
   


Para 3x   , se tiene:
     
        
2 3 1 ( 3 2)( 3 3) 3 ( 3 3) 3 ( 3 2)
6 1 5 0 3 0 3 5
7 15
7
15
A B C
A B C
C
C
              
        
 
 
2.- Calcular: 3 2
5 3
2 3
x
dx
x x x

 
Solución
Ya que el denominador se factoriza como ( 3)( 1)x x x  , escribimos:
5 3
( 3)( 1) 3 1
x A B C
x x x x x x

  
   
Y buscamos determinar A, B y C. La eliminación de las fracciones produce:

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5 3 ( 3)( 1) ( 1) ( 3)x A x x Bx x Cx x        …….. (***)
Hallando los puntos críticos: ( 3)( 1) 0x x x  
Se tienen como puntos críticos a: 0, 3, 1x x x    , estos valores se sustituyen
en la ecuación (***), así tendremos:
Para 0x  , se tiene:
     
  
5 0 3 (0 3)(0 1) 0 (0 1) 0 (0 3)
3 3 1
3 3
1
A B C
A
A
A
       
 
 
 
Para 3x  , se tiene:
     
        
5 3 3 (3 3)(3 1) 3 (3 1) 3 (3 3)
15 3 0 4 3 4 3 0
18 12
3
2
A B C
A B C
B
B
       
   


Para 1x   , se tiene:
     
        
5 1 3 ( 1 3)( 1 1) 1 ( 1 1) 1 ( 1 3)
5 3 4 0 1 0 1 4
2 4
1
2
A B C
A B C
C
C
              
        
 
 
Luego se tiene:
3 1
5 3 1 2 2
( 3)( 1) 3 1
x
x x x x x x

 
  
   
Finalmente en la integral se tiene:

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2 1 1 3 7
( 2)( 3) 6 10 2 15 3
1 3 7
ln ln( 2) ln( 3)
6 10 15
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x x x C

  
   
     
   
   
5 3 3 1
( 3)( 1) 2 3 2 1
3 1
ln ln 3 ln 1
2 2
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x x x C

   
   
      
   
2do
CASO: Factores lineales repetidos
Si Q(x) = (x – q1)m
(x – q2)n
... entonces:
     
     
1 2
2
1 1 1
1 2
2
2 2 2
( )
......
( )
...... ....
m
m
n
n
AA AP x
dx dx dx dx
Q x x q x q x q
BB B
dx dx dx
x q x q x q
    
  
   
  
   
  
Ejemplo:
1.- Calcular: 2
( 3)
x
dx
x 
Solución
Ahora la descomposición toma la forma:
 
22
( 3) 3 3
x A B
x x x
 
  
Como A y B por determinar. Despues de quitar fracciones, obtenemos:
 3x A x B  
Si ahora sustituimos el valor de 3x  , se obtiene B = 3
Y para cualquier otro valor, tal como 0x  , y conociendo el valor de B = 3

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 0 0 3 3A   se tiene A = 1. Asi
   
 
2 2
1 1
3
33 3
3
ln 3
3
x
dx dx dx
xx x
x C
x
 
 
   

  
3er
CASO: Factores lineales, algunos distintos y algunos repetidos
Ejemplo:
1.- Calcular:
 
2
2
3 8 13
( 3) 1
x x
I dx
x x
 

 

Solución
Descomponemos el integrando de la manera siguiente:
   
2
22
3 8 13
3 ( 1) 3 1 1
x x A B C
x x x x x
 
  
    
Quitando las fracciones esto cambia a
      
22
3 8 13 1 3 1 3x x A x B x x C x         …. (1)
Los puntos criticos son: 1, 3x x  
Al reemplazar estos valores se obtiene:
Cuando 1x  , se obtiene C = 2
Cuando 3x   , se obtiene A =4
Luego reemplazando los valores de A = 4, C = 2 y 0x  en (1) se obtiene B = – 1
Entonces:

13. Facultad de Ingeniería Semestre 2013-II
   
   
2
22
3 8 13
4 2
3 ( 1) 3 1 1
2
4ln 3 ln 1
1
x x dx dx dx
dx
x x x x x
x x C
x
 
  
    
     

   
4to
CASO: Factores cuadráticos irreductibles distintos.
Un polinomio es irreductible si no podemos escribirlo como producto de dos factores
lineales son coeficiente reales.
Si Q(x) = (x – q1) (x – q2) (x – q3) ... (x – qn) (x2
+a1x+b1) (x2
+a2x+b2)… (x2
+amx+bm) entonces:
1 1 1 1 2 2
2 2 2
1 1 1 1 2 2
( )
... ...
( )
m m
m m
A x BQ Q A x B A x BP x
dx dx
Q x x q x q x a x b x a x b x a x b
  
       
        
 
Ejemplo:
1.- Calcular:
  2
5
1 ( 1)
x
dx
x x x

  
Solución
   
    
  
2 2
2
2
5
1( 1) 1 1
1 1
=
1 1
x A Bx C
xx x x x x
A x x Bx C x
x x x
 
 
    
    
  
Quitar denominador
   
   
2
2
5 1 1
5
x A x x Bx C x
x A B x A B C x C
      
      
Por identidad de polinomios, obtenemos el siguiente sistema:
0
1
5
A B
A B C
A C
 

  
  

14. Facultad de Ingeniería Semestre 2013-II
Resolviendo se obtine: A = 2, B = –2, C = –3
Sustituyendo los valores de A, B y C, se obtiene:
   2 2
5 2 2 3
1( 1) 1 1
x x
xx x x x x
  
 
    
Luego en la integral:
   
 
   
   
   
2 2
2 2
2
2
2
2
5 2 3
2
1( 1) 1 1
2 1 1
2ln 1 2
1 1
1
2ln 1 ln 1 2
1 3
2 4
1
1 22ln 1 ln 1 2 arctan
3 3
4 4
2 1
4 22ln 1 ln 1 arctan
3 3
4
2l
x dx x
dx dx
xx x x x x
x
x dx dx
x x x x
x x x dx
x
x
x x x C
x
x x x C
  
 
    

  
   
    
 
  
 
 
 
      
 
 
 
 
 
      
 
 
 
  
 

   2 4 2 1
n 1 ln 1 arctan
3 3
x
x x x C
 
      
 

15. Facultad de Ingeniería Semestre 2013-II
Caso II:Función racional impropia (Grado [ P(x) ] ≥ Grado [ Q(x) ] )
En este caso de divide los polinomios obteniendo:
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
dx C x dx dx
Q x Q x
   
La segunda integral del lado derecho de la igualdad se calcula de acuerdo a los metodos
ya estudiados anteriormente.
Ejemplo:
1.- Calcular:
3 2
2
2 4 3
2 3
x x x
dx
x x
  
 
Solución
Dividiendo el numerador entre el denominador para obtener un polinomio mas una
fracción propia.
3 2
2 2
2 4 3 5 3
2
2 3 2 3
x x x x
x
x x x x
   
 
   
Luego 2
5 3
2 3
x
x x

 
se descompone en fracciones parciales como en los ejemplos
anteriores
  2
5 3 5 3 2 3
2 3 1 3 1 3
x x
x x x x x x
 
  
     
   
3 2
2 2
2
2 4 3 5 3
2
2 3 2 3
2 3
= 2
1 3
= 2 2 3
1 3
2ln 1 3ln 3
x x x x
dx x dx
x x x x
x dx
x x
dx dx
xdx
x x
x x x C
    
  
    
 
  
  
 
 
     
 

  

16. Facultad de Ingeniería Semestre 2013-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Resolver:
1.- 2
1
dx
x
2.- 2
4
5 6
x
dx
x x

 
3.- 3
3
2 8
x
dx
x x


4.- 4 2
3 2
x
dx
x x 
5.- 2
4
5 6
x
dx
x x

 
6.- 3 2
4
3 10
x
dx
x x x

 
7.- 2
2 1
7 12
x
dx
x x

 
8.- 2
2 3
y
dy
y y 
9.- 3 2
4 2
2
x
dx
x x x

 
10.-
2
3
5 3x
dx
x x


11.-
2
3
4 6
3
x
dx
x x


12.-
 
2
32
3
1
x
dx
x x



13.-
3 2
2
2 3 6 12
4
x x x
dx
x
  

14.-
   
3 2
2 2
2 3 4
1 2 2
x x x
dx
x x x
  
  

II. Resuelve los siguientes problemas aplicando la técnica de integración adecuada:
1.- Una función de costo marginal de un fabricante es 2
500
50 600
dc q
dq q q

 
.Si c
esta en dólares, determine el costo implicado en incrementar la producción de
100 a 300 unidades.
2.- El valor de reventa de cierta maquina industrial decrece durante un periodo de
10 años a una razón que depende de la edad de la máquina. Cuando la maquina
tiene x años, la razón a la cual cambia su valor es  200 10x  dólares al año.
Exprese el valor de la maquina como función de la edad y el valor inicial. Si la
maquina costaba originalmente 412 000 ¿Cuánto costara cuando tenga 10 años?
3.- Se estima que dentro de x años, el valor de un acre de tierra cultivable aumentar
a razón de   2
2 1
3 27
x
V x
x



dólares por año. En l actualidad el acre de tierra
cuesta $ 500. ¿Cuánto costara el acre de tierra en 10 años?
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

17. Facultad de Ingeniería Semestre 2013-II
Las identidades que se utilizan en la resolución de las integrales trigonométricas son las
siguientes:
1. 2 2
sin ( ) cos ( ) 1x x 
2. 2 2
1 tan ( ) sec ( )x x 
3. 2 2
1 cot ( ) csc ( )x x 
4. sin(2 ) 2sin( )cos( )x x x
5. 2 2
cos(2 ) cos ( ) sin ( )x x x 
6. 2 1 cos(2 )
sin ( )
2
x
x


7. 2 1 cos( )
cos ( )
2
x
x


8.  
1
sin( )cos( ) sin sin( )
2
x y x y x y     
9.    
1
sin( )sin( ) cos cos
2
x y x y x y     
10.  
1
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
2
x y x y x y   