mate 1

2. INTEGRAL INDEFINIDA
Módulo 10
Cálculo 1
2023-1
Equipo docente

3. Temario
Reglas de integración.
Definición de la integral indefinida de una función real
de variable real.
Método de sustitución algebraica.
Bibliografía.
Conclusiones.
Aplicaciones.

4. Motivación
Velocidad y Posición del tren magnético
La velocidad del tren de levitación
magnética (en metros/segundo)
es: ;
si t = 0 indica que el tren está en la
estación.
Determine la función que nos
reporta la posición del tren en el
instante t, suponiendo que el
movimiento ocurre a lo largo de un
tramo recto de vía.
( ) 0.2 3
v t t
  (0 120)
t
 

5. Logro de Aprendizaje
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el
estudiante resuelve problemas y ejercicios
vinculados a la gestión e Ingeniería,
utilizando la integral indefinida y el método
de sustitución algebraica de una función
real de variable real, siguiendo un proceso
lógico fundamentado en la obtención de la
solución mostrando los cálculos con orden y
pertinencia.

6. Saberes previos
Relaciona la columna derecha con la izquierda, de tal forma que la derivada
de la función se conecte con su función original.
 
' 2 cos( )
f x x x
 
 
1
' 3 x
f x e
x

  
  3
' 6 x
f x e

 
' 4cos(2 )
f x x

  2
( )
f x x sen x
 
   
2 2
f x sen x

  3
2 1
x
f x e
 
  3 ( )
x
f x e Ln x

 

7. ANTIDERIVADA
DE UNA FUNCIÓN
1. Definición de la integral indefinida
Una función 𝐺 se denomina la
antiderivada de la función 𝑓 sobre
un intervalo 𝐼 , si 𝐺′
𝑥 = 𝑓 𝑥
para todo valor de 𝑥 en 𝐼.
Ejemplo 1: Dada la función
𝐺 es la antiderivada de la función:
Ya que
  3 2
3
G x x x
 
  2
9 2
f x x x
 
  2
' 9 2
G x x x f
  

8. ANTIDERIVADA GENERAL E INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplo 2: Dada la función
𝐹 es la antiderivada de la función:
Ya que
Obs: Las funciones:
también son antiderivadas de 𝑓.
  3
3
F x x x
 
  2
3 3
f x x
 
  2
' 3 3
F x x
 
   
   
3 2
3 2
3 5 ' 3 3
3 3 ' 3 3
G x x x G x x f
H x x x H x x f
      
      
ANTIDERIVADA GENERAL
Sea 𝐺 una antiderivada de la
función 𝑓 sobre un intervalo 𝐼,
entonces al conjunto de
antiderivadas:
se le denomina la
ANTIDERIVADA GENERAL.
 
G x C


9. INTEGRAL INDEFINIDA
Al conjunto de todas las
antiderivadas, se le denomina
integral indefinida:
Ejemplo 3:
Las gráficas de
algunas de las
antiderivadas
de la función:
  4
f x x

   
f x dx F x C
 

SÍMBOLO
DE LA
INTEGRAL
DIFERENCIAL
INTEGRANDO
VARIABLE DE
INTEGRACIÓN
CONSTANTE DE
INTEGRACIÓN
ANTIDERIVADA
2
4 2
x dx x C
 

ANTIDERIVADA GENERAL E INTEGRAL INDEFINIDA

10. Propiedades de la integral
  ( ) , :
Sean f x y g x dos funciones diferenciables entonces
1) 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥; 𝑘 ∈ ℝ
2) (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

11. 2.- Fórmulas Básicas o Integrales Inmediatas
dx x c
 
 1
1
n
n x
x dx c
n

 


1
ln | |
dx x c
x
 

x x
e dx e c
 

ln
x
x a
a dx c
a
 

cos
senxdx x c
  

cos xdx senx c
 

2
sec tan
xdx x c
 

2
sc cot
c xdx gx c
  

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
sec tan sec
x xdx x c
 

csc t csc
xco xdx x c
  

tan ln | cos | ln | sec |
xdx x c x c
    

t ln | se |
co xdx nx c
 

sec ln | sec tan |
xdx x x c
  

c ln | c t |
cs xdx cs x co x c
  

2 2
1 x
dx arcsen c
a
a x
 
 
 
 


A continuación tenemos las fórmulas que son utilizadas para desarrollar integrales de funciones elementales
2 2
arctan ; , 0,
k k x
dx C a k C R
x a a a
 
   
 
  


12. Desarrolle las siguientes Integrales:
EJERCICIOS
5
3
2
5
2 2
1. 7
1 1
2. (4 2)
3. (cos tan( ))
6
4. 4
5. (2cos 5 8 )
2 3 5
6. sec csc
3 4 4
x
x dx
x x dx
x x
x senx x dx
e dx
x
x senx x dx
x x e dx
   
 
 

 
 
 
 
  
 
 







13. Desarrolle las siguientes Integrales:
EJERCICIOS
5
3
2
5
2 2
1. 7
1 1
2. (4 2)
3. (cos tan( ))
6
4. 4
5. (2cos 5 8 )
2 3 5
6. sec csc
3 4 4
x
x dx
x x dx
x x
x senx x dx
e dx
x
x senx x dx
x x e dx
   
 
 

 
 
 
 
  
 
 







14. 3. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
TEOREMA: Si 𝑢 = 𝑔 𝑥 es una función derivable cuyo rango es un
intervalo 𝐼. Sea 𝑓una función definida en 𝐼 y 𝐹 es una antiderivada de 𝑓
en 𝐼, entonces:
Si 𝐹 es una antiderivada de 𝑓, entonces:
 
   
   
 
     
 
 
     
 
' '
' '
' '
d
F g x F g x g x
dx
d
F g x g x dx F g x dx
dx
F g x g x dx F g x C
  
 
 
  
 
 

 
       
' '
f g x g x dx f u du F u C
  
 

15. 2
2
1
2
x
x
e
dx
e x



1. Calcular la siguiente integral:
Solución:
Ejercicios:

16. 3
4
2 3
6
x
dx
x x



2. Calcular la siguiente integral:
Solución:

17.   2
cos 2 ( )
x x x sen x dx
 

3. Calcular la siguiente integral:
Solución:
Ejercicios:

18. 2 3
sec ( ) tan( ) 3
x x dx


4. Calcular la siguiente integral:
Solución:

19. 4. APLICACIONES
Impresiones HD
El administrador de servicios de la empresa «impresiones HD» conoce que el ingreso marginal
mensual es de 𝑅′(𝑥) = – 0.4𝑥 + 30. Sin embargo, él está interesado en conocer el ingreso total
mensual. ¿Podrías ayudarlo?
Solución
R(x) es la antiderivada de 𝑅’(𝑥), entonces lo podemos calcular usando la integral
indefinida. Es decir:

 dx
x
R
x
R )
(
'
)
(
2
( ) ( 0.4 30) 0.2 30
R x x dx x x c
      

2
( ) 0.2 30
R x x x
   
Se sabe que cuando se produce cero unidades el ingreso también es cero. Entonces
la constante de integración es: c=0

20. Crecimiento poblacional
4. APLICACIONES
Se estima que dentro de x meses la población de cierta ciudad cambiará a una
razón de personas por mes. si la población actual es de 5 000 personas,
¿Cuál será población dentro de 9 meses?
2 6 x

Solución:

22. Solución de la Motivación
Posición del tren magnético
La velocidad del tren de levitación
magnética (en metros/segundo)
es: ;
si t = 0 indica que el tren está en la
estación.
Determine la función que nos
reporta la posición del tren en el
instante t, suponiendo que el
movimiento ocurre a lo largo de un
tramo recto de vía.
( ) 0.2 3
v t t
  (0 120)
t
 

24. 5. Conclusiones
1. Al conjunto de todas las antiderivadas, se le denomina integral indefinida
   
f x dx F x C
 

2. Si 𝑢 = 𝑔 𝑥 es una función derivable cuyo rango es un intervalo 𝐼. Sea
𝑓una función definida en 𝐼 y 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en 𝐼, entonces:
 
       
' '
f g x g x dx f u du F u C
  
 
3. Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas y
ejercicios vinculados a la gestión e Ingeniería, utilizando la integral
indefinida y el método de sustitución algebraica de una función real de
variable real, siguiendo un proceso lógico fundamentado en la obtención de
la solución mostrando los cálculos con orden y pertinencia.

25. 6. Bibliografía
1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University Press.
2. Purcell, V. R. (2007). Cálculo. México: Prentice Hall INC.
3. Ron Larson, B. E. (2010). Cálculo 1 de una variable. México:
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
4. Stwart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas
(Vol. Séptima Edición). Mexico DF: Cengage Learning Editores, S.A.
de C.V.

26. 7. Consultas
Realice consultas a través de
mensajería o preguntas al docente
También podrás enviar sus consultas a
través de Preguntas al profesor y te
responderé en menos de 24 horas.

27. GRACIA
S