Algebra Vectorial

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán
Ingeniería en telecomunicaciones, sistemas y electrónica

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
INGENIERIA EN TELECOMUNICACIONES SISTEMAS Y ELECTRÓNICA
ALGEBRA VECTORIAL
GEOMETRÍA ANALITICA
PRIMER SEMESTRE
GRUPO 1161

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 3
0. INDICE
0. INDICE............................................................................................................................................................................. 3
1. VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.......................................................................................................... 5
1.1. SIMETRÍA DE PUNTOS EN LOS SISTEMAS COORDENADOS DE DOS Y TRES DIMENSIONES. ............................................... 5
1.2. VECTOR DIRIGIDO....................................................................................................................................... 11
1.3. COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR DIRIGIDO SOBRE LOS EJES COORDENADOS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO........ 12
1.4. EL VECTOR COMO PAREJA Y COMO TERNA ORDENADA DE NÚMEROS REALES. ......................................................... 13
1.5. DEFINICIÓN DE VECTOR DE POSICIÓN.............................................................................................................. 15
1.6. MÓDULO DE UN VECTOR COMO CONJUNTO ORDENADO DE NÚMEROS REALES. ....................................................... 16
2 OPERACIONES CON VECTORES..............................................................................................................................20
2.1. IGUALDAD DE VECTORES .............................................................................................................................. 20
2.2. ADICIÓN DE VECTORES EN DOS, TRES Y N DIMENSIONES...................................................................................... 21
2.3. SUSTRACCIÓN DE VECTORES.......................................................................................................................... 23
2.4. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR ................................................................................................................ 23
2.5. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ............................................................................................................... 26
2.6. VECTOR NULO Y VECTOR UNITARIO................................................................................................................. 26
2.7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS COMO EL MÓDULO DE LA DIFERENCIA DE DOS VECTORES........................................... 28
3. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES..........................................................................................................31
3.1. VECTORES UNITARIOS I, J, K .......................................................................................................................... 31
3.2. FORMA TRINÓMICA DE UN VECTOR ................................................................................................................ 31
3.3. DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR............................................................................................................... 32
3.4 ORTOGONAL .............................................................................................................................................. 33
3.5. ANGULO ENTRE DOS VECTORES ..................................................................................................................... 33
3.6. DEFINICIÓN DE COMPONENTE VECTORIAL Y PROYECCIÓN DE COMPONENTE ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO. ......... 34
3.7. COSENOS DIRECTORES................................................................................................................................. 37
4. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES......................................................................................................41
4.1. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y PROPIEDADES ................................................................................................ 41
4.2. DEFINICIÓN DE PARALELISMO GEOMÉTRICO Y PROPIEDADES................................................................................ 44
4.3. APLICACIÓN DEL PRODUCTO VECTORIAL AL CÁLCULO DE ÁREAS DE UN PARALELOGRAMO........................................... 45
4.4. DEFINICIÓN DE PRODUCTO MIXTO.................................................................................................................. 46
4.5. CALCULO DE VOLÚMENES MEDIANTE EL PRODUCTO MIXTO. ................................................................................ 47
5. USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO COMO INSTRUMENTO VERIFICADOR DE RESULTADOS Y
HERRAMIENTA DE VISUALIZACIÓN EN CONCEPTOS...........................................................................................51
6 BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................................................................56

ALGEBRA VECTORIAL
La representación de objetos geométricos para el espacio de tres dimensiones, se
simplifica grandemente si se utilizan las cantidades vectoriales (vectores) como apoyo para
determinar las condiciones especiales que deberán satisfacer los puntos que pertenecen a dicho
objeto.
Un vector en Geometria es un ente geométrico definido por un segmento orientado de
recta, que se utiliza para la representación de magnitudes llamadas magnitudes vectoriales.
Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una
punta de flecha. Queda determinado su módulo por la longitud del segmento; su dirección por
la recta a que pertenece; y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama
punto de aplicación.
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos
y tres dimensiones.
En el espacio de dos dimensiones, los puntos están definidos por una pareja ordenada
de números reales; tienen dos coordenadas. Pueden representarse geométricamente en el
plano determinado por dos ejes perpendiculares llamados coordenados, que se cortan en un
origen común. Por facilidad, se acostumbra dibujar los ejes con direcciones horizontales y
verticales, hacia la derecha y hacia arriba respectivamente; a dichos ejes se les denomina por lo
general como ejes X y Y.
A la distancia desde el eje Y a cualquier punto del plano. Se llama la abscisa del punto.
A la distancia desde el eje X a cualquier punto del plano se le llama la ordenada del punto y se
representa por el símbolo (x, y).
La abscisa es positiva cuando el punto está a la derecha de eje Y, y negativa cuando
está a la izquierda. La ordenada es positiva cuando el punto se localiza arriba del eje X, y

negativa cuando se localiza abajo. En esta forma en cada punto del plano, puede hacerse
corresponder una pareja ordenada de valores (x, y), y a cada pareja ordenada de valores (x, y)
puede hacerse corresponder un punto del plano.
Al sistema descrito, se le conoce como sistema cartesiano en el espacio de dos
dimensiones.
A si por ejemplo, los puntos pueden representarse
geométricamente como se muestra en la Figura 1.1.
En un plano de tres dimensiones, los puntos están
definidos por una terna ordenada de números reales; tienen
tres coordenadas. En este caso suele utilizarse como sistema
de referencia para la representación geométrica de un punto,
el definido por tres ejes perpendiculares entre sí (cada una de
ellos perpendiculares a los otros dos), que se cortan en un
origen común. A este sistema se le conoce como sistema
cartesiano en el espacio de tres dimensiones. Los ejes se
llaman coordenados y se denominan normalmente con las
letras X, Y y Z. los ejes X y Y se acostumbra dibujarlos en el
plano horizontal y el eje Z quede por tanto, vertical.
Si las direcciones positivas de los ejes coordenados corresponden a las mostradas en la
Figura 1.2 el sistema se llama derecho. Un sistema izquierdo es el de la Figura 1.3. En general es
más común utilizar sistemas de coordenados derechos.
.
Figura 1.1.
Figura 1.2 Sistema Derecho Figura 1.3 Sistema Izquierdo

Figura 1.4 Ejes y Planos Coordenados
Los tres ejes definen tres planos llamados Planos
Coordenados, que dividen al espacio tridimensional en
ocho partes llamadas octantes. El plano XY contiene a los
ejes X y Y, el plano XZ contiene a los ejes X y Z y el plano
YZ contiene a los ejes Y y Z, Figura 1.4.
Un punto cualquiera del espacio tridimensional queda
definido si se conocen sus tres distancias dirigidas a los
tres planos coordenados. La distancia del punto a plano YZ se llama abscisa o coordenada X; su
distancia de XZ se le llama ordenada o coordenada Y; por último, su distancia al plano XY se
llama cota o coordenada Z. En esta situación a cada punto del espacio puede hacerse
corresponder una terna ordenada de valores (X, Y, Z), y a cada terna ordenada de valores (X, Y,
Z) puede hacerse corresponder un punto del espacio. Así por ejemplo, la representación
geométrica del punto P de coordenadas (2, 3, 3) puede hacerse como se muestra en la Figura
1.5.
Para espacios de mas de tres dimenciones, los puntos no se pueden representar
gometricamente.
Para establecer la simetria de puntos en el espacio de tres dimenciones, es necesario
revisar algunos conceptos geometricos.
P
X
Y
Z
2
3
3
Figura 1.5. Representación de puntos en el espacio

DEFINICION 1. Dados puntos y son simetricos con respecto a un tercero 0,
si este es un punto medio del segmento .
DEFINICION 2. Dados puntos son simetricos con respecto a una recta L,
si esta es mediatriz del segmento .
DEFINICION 3. Dos puntos son simetricos con relacion a un plano , si
éste es normal bisector del segmento .
Con base a la definicion una, a todo punto P(X, Y, Z) del espacio de tres dimenciones le
corresponde un simetrico (-X, -Y, -Z) con respecto al origen (Figura 1.9).
P 0 𝑃
Figura 1.6. Simetría con respecto a un punto
90°
M
P
𝑃
𝑃𝑀 = 𝑀𝑃L
Figura 1.7. Simetría con respecto a una recta
90°
M
𝑃𝑀 = 𝑀𝑃
𝜋
𝑃
P
Figura 1.8. Simetría con respecto a un plano

Como consecuencia inmediata de la definicion dos, a todo punto del espacio
de tres dimensiones le corresponde un simetrico con respecto al eje X (Figura
1.10)
Los puntos y son simetricos con respecto al eje X, pues este
eje es mediatriz del segmento . Tambien el punto punto tiene sus simetricos
respecto a los ejes Y y Z que son y .
A si mismo, como consecuencia de la definicion tres a todo punto del espacio de
tres dimenciones le corresponde un simetrico con respecto al plano ordenado
XY (Figura 1.11).
Y
X
Z
𝑃 𝑥 𝑦 𝑧
P(x, y, z)
Figura 1.9. Simetría con respecto al origen.
Y
Z
𝑃 𝑥 𝑦 𝑧
P (x, y, z)
X
90°
Figura 1.10. Simetría con respecto al eje X

Los puntos y son simetricos con respecto al plano XY, pues
este plano es normal bisector del segmento . Ademas el puntos tiene sus
simetricos respecto a los planos YZ y XZ que son y
respectivamente.
Ejemplo 1.1
Dado el punto Q (-1, -4, 2) encontrar sus simétricos respecto al origen, ejes y planos del
sistema de referencia.
Solución:
Respecto al origen, (1, 4, -2)
Respecto al eje X, (-1, 4, -2)
Respecto al eje Y, (1,-4, -2)
Respecto al eje Z, (1, 4, 2)
Respecto al plano XY, (-1, -4, -2)
Respecto al plano YZ, (1, -4, 2)
Respecto al plano XZ, (-1, 4, 2)
90°
𝑃 𝑥 𝑦 𝑧
P (x, y, z)
X
Y
Z
Figura 1.11. Simetría con respecto al plano XY.

1.2. Vector dirigido
En ingenieria es frecuente encontrarsecon cantidades que poseen magnitud y direccion;
entre éstas se tienen la fuerza, la velocidad, la aceleracion, el desplazamiento, etc. A este tipo
de cantidades se le denomina cantidades vectoriales o vectores.
Cabe aclarar que existen muchos entes matematicos que tambien se definen como
vectores, pero en este curso el concepto de vector lo restringiremos exclusivamente a las
cantidades que poseen magnitud y direccion.
Para representar geometricamente a un vector se utiliza el segmento dirigido, el cual es
un segmento de recta entre dos puntos al que se le asigna un sentido de recorrido. Por
ejemplo, en la Figura 1.12 se muestra un segmento dirigido entre los puntos P y Q; a este
segmento dirigido se le designa como ̅̅̅̅, en donde la primera letra indica el punto inicial
llamado origen y la segunda el punto final llamado extremo.
Es facil ver que los segmentos dirigidos
presentan las caracteristicas de un vector a saber:
direccion, dada por la direccion de la recta y por el
sentido de recorrido (la flecha) y magnitud , dada
por la longitud del segmento.
A fin de describirlos vectores desde un punto de
vista analítico, es conveniente considerar que dos
vectores son iguales si tienen la misma magnitud y
la misma direccion, es decir se establece que un
vector no se latera si se mueve paralelamente a si
mismo, Figura 1.13.
Bajo la consideracion anterior, el origen de
cualquier vector ̅ se puede hacer coincidir con el
correspondiente de un sistema coordenado
rectangular, con lo que es factible establecer una
descripcion de un vector en forma exclusivamente
numerica.
Q (extremo)
̅̅̅̅
P (origen)
Figura 1.12 Vector dirigido
𝑎̅ 𝑏̅
Figura 1.13. 𝒂̅ = 𝒃̅

1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los
ejes coordenados en el plano y en el espacio.
Considerese un vector ̅ representado graficamente por un segmento dirigido cuyo
punto inicial es el origen del sistema y con punto final , véase figura 1.14.
A los tres numeros reales se les denomina las componentes escalares del
segmento dirigido ̅̅̅̅ sobre los ejes coordenados; y dado que ̅̅̅̅ representa graficamente al
vector ̅, se dice que estos numeros son las componentes de dicho vector y en esta forma el
vector ̅ se expresa como : ̅ = , donde es la componente X, es la
componente Y y es la componente Z. si se considera ahora a un vector ̅ representado
geometricamente por el segmento dirigido ̅̅̅̅, las coordenadas de R y S son respectivamente
( , entonces se dice que dicho vector tiene componente a, ̅ =
. Como se puede observar e la Figura 1.8, los vectores ̅ ̅ tienen la misma
magnitud y direccion por lo que son iguales, y por otra parte de la misma figura se tienen que:
= = =
De esta forma sepuede establecer que si dos vectores cualesquiera son iguales, tienen
las mismas componentes; e inversamente, dos vectores con las mismas componentes son
necesariamente iguales en magnitud y direccion. Asimismo se concluye que un vector queda
Figura 1.14. Componentes de un segmento dirigido.

completamente determinado especificando, en forma ordenada, los tres numeros reales que
constituyen sus componentes.
Una ecuación vectorial ̅ = ̅, donde ̅ = y ̅ = , es una forma
breve de representar las siguientes tres igualdades entre números reales:
= = =
Para el caso de vectores definidos en el
plano, estos tienen dos componentes. Así por
ejemplo en el vector ̅ = es la primera
componente o componente X y es la segunda o
componente Y, Figura 1.15.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de
números reales.
Un número real puede ser representado como un punto de una línea recta, una pareja
de números reales puede ser representada por un punto en el plano y una terna de números
reales puede ser representada por un punto en el espacio. Aunque no se pueda dar una
representación geométrica de las n-tuplas ordenadas existen interpretaciones útiles para ellas.
Por ejemplo como solución de un sistema de ecuaciones lineales de n incógnitas, al igual que
en el espacio de dos dimensiones nos referimos a los pares ordenados como puntos del
espacio de dos dimensiones nos referimos a las n-tuplas ordenadas como puntos en el espacio
de n dimensiones.
X
Y
𝑐
𝑐
𝑐̅
Figura 1.15. Vectores en el plano
Figura 1.16a.
Figura 1.16b.

Definición Una n-tupla de números reales se denota por donde cada es un
número real. Las n-tuplas de números reales y son iguales sí.
El conjunto formado por todas las n-tuplas de números reales
ordenadas se denota por, es decir
= { }
Definición Si y son n-tuplas de números reales, se define la suma como la n-tupla
se dice que la suma se define con base a sus componentes. Como vimos
anteriormente a cada punto del plano coordenado se le puede asociar
un vector fijo. Si es una pareja ordenada de números reales (un vector
de) le podemos asociar el vector libre OX que tiene por punto inicial el
origen de coordenadas O y por punto terminal X.
Figura 1.16c.
Figura 1.17.

1.5. Definición de vector de posición
Definición. Sea el punto A en el espacio de tres dimensiones, cuyas
coordenadas son ; se llama vector de posición de
este punto al representado por el segmento dirigido que va del
origen del sistema a dicho punto.
Designado por ̅ al vector de posición de punto A, sus componentes son:̅ =
̅̅̅̅ = = entonces como se ve, los componentes
del vector de posición son siempre iguales a las coordenadas del punto, como se ilustra
en la Figura 1.18.
Entonces puede establecerse una relación de correspondencia uno a uno entre
el conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones, y el conjunto de vectores de
posición en el mismo espacio. Es decir a cada punto del espacio de tres dimensiones le
corresponde uno y solo un vector de posición, y viceversa. Esta misma situación se
presenta para los conjuntos de puntos y vectores de posición en el plano. En general
esta correspondencia existe, cualquiera que sea la dimensión del espacio en que se
trabaje.
Es importante mencionar que en el espacio de tres dimensiones, tanto los puntos como
los vectores están dados por una terna ordenada de números reales. Sin embargo la
terna de números reales que representa a un punto determina la posición del punto en
el sistema de referencia. Por otra parte, la terna ordenada de números reales que
𝑎̅ = 𝐴̅̅̅̅ = 𝑎 𝑎 𝑎
A 𝑎 𝑎 𝑎
0
X
Y
Z
Figura 1.18. Vectores de posición del
punto A

representa a un vector son sus componentes, es decir, las proyecciones dirigidas del
vector sobre los ejes coordenados del sistema de referencia.
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de
números reales.
El módulo de un vector, es la magnitud del mismo. El símbolo | |̅̅̅̅ se utilizara
para denotar el modulo del vector ̅.
Una forma simple de deducir la expresión para calcular el modula de un vector a
partir de sus componentes, es como se muestra a continuación.
Para cada caso de un vector definido en el espacio de tres dimensiones, véase la
siguiente Figura:
Se tiene:
Del triángulo rectángulo 0MN, aplicando el teorema de Pitágoras:
= √ = √
Y del triángulo rectángulo 0AN, por el teorema de Pitágoras:
Z
Y
X
N𝑎
𝑎
𝑎𝑎̅
A
M
0
1
Figura 1.19. Módulo de un vector

|𝑐|̅̅̅̅ = √𝑐 𝑐
𝑐̅
𝑐
Y
X
𝑐
𝑐
𝑐|𝑐̅|
Figura 1.20. Módulo de un vector en el plano
| |̅̅̅̅ = = √ = √
Por lo tanto, el modulo del vector ̅, es:
Para el caso de vectores definidos en el plano, como se observa de la Figura 1.20, aplicando el
teorema de Pitágoras, el modulo vector ̅ es:
Ejemplo 1.2
Determinar el módulo de los siguientes vectores:
̅ = ̅ = ̅ =
Solución:
|̅| = √ = √
|̅| = √ = √
| ̅| = √ =
| |̅̅̅̅ = √

Figura 1.21.
Ejemplo 1.3
Demostrar que los puntos A (7, 5), B (2, 3), C (6, -7) son los vértices de un triángulo rectángulo,
Figura 1.21.
Solución:
Definiendo los siguientes vectores sobre los lados del
triángulo:
̅ = ̅̅̅̅ = = =
̅ = ̅̅̅̅ = = =
̅ = ̅̅̅̅ = = =
Los módulos de estos vectores, o longitudes de los lados
del triángulo, son:
|̅| = √ = √
|̅| = √ = √
| ̅| = √ = √
Como se cumple que:
| | = | | | |
145 = 29 + 116
El concepto de un vector, puede extenderse a espacios con más de tres dimensiones,
no así su representación geométrica. En el espacio de n dimensiones, un vector se define como
sigue:
DEFINICION: Un vector en el espacio de n dimensiones se define como una n-ada de
números reales, es decir, un arreglo ordenado de n números reales
. Al i-ésimo numero de este arreglo, se le llama i-ésima
componente del vector.
Al conjunto de todos los vectores de n dimensiones se le llama espacio de n
dimensiones o simplemente, espacio n. Obsérvese que la definición dada es consistente con la
Entonces de acuerdo con el teorema de Pitágoras, es un triángulo rectángulo.

descripción geométrica, mencionada previamente, para los vectores en los espacios de dos y
tres dimensiones.
Asimismo el concepto de módulo de un vector que es la longitud o magnitud del
mismo, se puede hacer extensivo para vectores definidos en espacios mayores de tres
dimensiones. En general el módulo de un vector en el espacio de n dimensiones, |̅| , se
obtiene como:
|̅| = √
Por ejemplo supóngase que tenemos un vector ̅ en el espacio de seis dimensiones.
̅ =
El modulo del vector ̅ esta dado por la expresión:
|̅| = √
= √
|̅| = √
En espacios mayores de tres dimensiones, los vectores y sus características no tienen
interpretación geométrica.
Ejercicios
1) Halla el módulo del vector u= (-3,4).
Solución:
|⃗ | = | | = √
|⃗ | = √ = √ =
2) Hallar el módulo de los siguientes vectores:
⃗ (
√ √
)
Solución:
|⃗ | = = √

|⃗ | = √ = √
| | = = √
| | = √ = √ = √
| | = (
√ √
) = √(
√
) (
√
)
| | = √
√ √
= √ = √ = √ =
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
Dos vectores se llaman iguales, si tienen la misma magnitud y la misma dirección.
Para decir que dos vectores son iguales sus componentes correspondientes deben ser idénticas.
Por ejemplo:
a= {1; 2; 4}
b= {1; 2; 2}
c= {1; 2; 4}
a=c así que sus coordenadas son iguales;
a≠b así que sus coordenadas no son iguales.
Este es un ejemplo de igualdad de
vectores todos tienen la misma
magnitud y misma dirección,
solamente están ubicados en
diferentes lugares y tienen
diferente grosor (son
bidimensionales).

Ejemplo 2:
Verificar que los vectores a y b son iguales, donde a parte del punto A y llega a B y b parte de
C y llega a D;
A (-1, 3,4) B (4, 2,6) C (1,-2,-6) D (6,-3,-4)
a= AB= (4, 2,6) - (-1, 3,4)= (5,-1,2)
b= CD= (6,-3,-4) - (1,-2,-6)= (5,-1,2)
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
Métodos algebraicos
Para obtener la suma de los vectores de n dimensiones, solamente se suman sus componentes
correspondientes.
Ejemplo en dos dimensiones
U= (5,4) V= (10,4)
U+V= (5+10,4+4)
U+V= (15,8)
Ejemplo en tres dimensiones
Encontrar el vector c dado los vectores A y B.
A= (3, 2, 3) B= (2, 2, 0)
A+B= (3+2 ,2+2, 3+0)
A+B = (5, 4, 3)
Representación gráfica por método de paralelogramo.
Ejemplo en n dimensiones
En n dimensiones: u= (u1,u2,..,un) v = (v1, v2,.., vn) u + v= (u1 + v1, u2 + v2,..,un+ vn)

Dados los vectores u= (2,4, 6,8) y v = (1,3, 6,8)
u + v = (2+1, 4+3, 6+6, 8+8)
u + v= (3, 7, 12, 16)
Métodos gráficos
Solamente se pueden utilizar en las sumas de dos y tres dimensiones.
Ejemplo del método del paralelogramo en tercera dimensión.
Se trazan paralelas a los vectores originales
para construir un paralelogramo y después
sacar la diagonal de este y esa es la suma de
los vectores.
Solamente se trazan los vectores uno sobre
otro, es decir el punto final de uno con el
punto inicial del otro y posteriormente se une
el origen del inicial con el final del segundo la
resultante será la suma de los vectores.
a
b

2.3. Sustracción de vectores
Método algebraico
La sustracción de vectores u-v, se puede definir a partir de la adición como:
u – v= u + (-v)= (u1, u2,… un)+ (-v1,-v2,…-vn)
u – v= (u1-v1, u2-v2,… un-vn)
Al vector resultante de la sustracción de dos vectores se le conoce como la diferencia de los
vectores u y v.
Ejemplo:
Hallar u-v
u= (-2,6) v= (2,5)
u-v= (-2-2, 6-5)= (-4, 1)
Método grafico
Restar dos vectores es sumar al primero el opuesto del segundo.
2.4. Multiplicación por un escalar
Para obtener la resta de
vectores por este método se
traza el opuesto del segundo
vector, posteriormente se suma
el primer vector con el opuesto
del segundo, donde la diagonal
resultante será el vector u-v.

El resultado de multiplicar un real k por un vector v, expresado analíticamente por kv es otro
vector.
Si el escalar a es mayor que uno el resultado de la multiplicación será un vector con la misma
dirección de u, pero con módulo mayor que a. au; a>1
Si el escalar es mayor que cero pero menor que uno el resultado será un vector con la misma
dirección de a, pero con módulo menor. au; 0<a<1
Cuando el escalar es mayor que menos 1 pero menor que cero se obtendrá un vector paralelo
al vector a, pero con dirección opuesta y módulo menor.
au; -1<a<0
Finalmente si el escalar es menor que menos uno el resultado será un vector paralelo al vector
a, pero con dirección opuesta y modulo mayor. au; a<-1
Algebraicamente tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del
vector.
Aquí se muestran ejemplos
de un vector multiplicado por
escalares tanto negativos
como positivos y se observa
que la magnitud y dirección
ahora depende del escalar
que está multiplicando a
nuestro vector.

Ejemplo 1:
Dados el vector u = (1, 2, 4) y escalar 7 encontrar el producto 7u
7*u= (7*1, 7*2, 7*4)
7*u= (7, 14, 28)
Ejemplo 2:
Dados los puntos A (2,-1,3) y B (0,-5,-4) y los vectores p= (2, 2,-1) y q= (-2, 0,3), encontrar el
vector: 3p-2q+5BA+3b-2a, siendo a y b los vectores de posición de los puntos A y B
respectivamente.
3p= 3(2, 2, -1) = (6, 6, -3)
2q= 2(-2, 0, 3) = (-4, 0, 6)
BA= (2,-1,3) – (0,-5,-4)= (2, 4, 7)
5BA= 5 (2, 4, 7)= (10, 20, 35)
3b= 3(0,-5,-4) = (0, -15, -12)
2a= 2(2, -1, 3) = (4, -2, 6)
3p-2q+5BA+3b-2a = (6, 6, -3)-(-4, 0, 6) + (10, 20, 35) + (0,-15,-12) - (4,-2,6)
= (6+4+10-4, 6+20-15+2, -3-6+35-12-6)= (16, 13, 8)
Ejemplo 3:
Dados tres puntos colineales en el espacio de tres dimensiones, p1 (-2, 1, -3), p2 (1, 4, 0) y p3
(2, 5, 1). Determinar el escalar k que cumpla con la siguiente condición.
k* p1p2 = p1 p3
p1p2 = (1, 4, 0) - (-2, 1, -3) = (3, 3, 3)
p1 p3 = (2, 5, 1) - (-2, 1, -3) = (4, 4, 4)
k* (3, 3, 3) = (4, 4, 4)
(3*k, 3*k, 3*k)= (4, 4, 4)
3*k=4
K = 4/3

2.5. Propiedades de las operaciones
Propiedades de la suma
 Cerradura: Si ay b son vectores en el espacio de n dimensiones entonces a+b también
es un vector del espacio de n dimensiones.
 Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Se tiene que cumplir porque la suma de los correspondientes de los vectores tiene que
ser igual no importando posición.
 Identidad aditiva: Existencia de elemento o vector neutro por lo cual todas sus
componentes son 0, vector nulo (0, 0,0).
a+0= 0+a= a para todo vector a.
 Inverso aditivo: para cada vector a existe un elemento opuesto,–a
Entonces –a= (-a1,-a2, -an)
Y siempre se cumple que: a+ (-a)=0 (-a)+a=0
 propiedad conmutativa:a + b = b + a
Propiedades de la multiplicación por un escalar.
 Cerradura: Al multiplicar un vector por un escalar, da como resultado un vector del
mismo espacio.
 Conmutativa:k*v = v*k
 Distributiva:
Un escalar por dos vectores: k (u + v) = k*u + k*v
Dos escalares por un vector: (k1+ k2) v = k1*v+ k2*v
 Elemento neutro (1): 1* v = v
 Elemento simétrico(-1): -1 * v = -v
 Elemento nulo (0): 0 * v = 0
2.6. Vector nulo y vector unitario
Vector nulo
Es el vector cuyo modulo es 0. No tiene dirección ni sentido por lo cual todas sus coordenadas
son 0. Por ejemplo en el plano sus coordenadas serian (0,0), en el espacio serian (0, 0, 0) hasta
n dimensiones. Este vector ya había sido mencionado con anterioridad en las propiedades de la
suma.
Se puede observar que todo vector diferente del vector nulo tiene un módulo positivo, esto es,
a> 0 si a≠ 0

Vector unitario
Se dice que es unitario cuando su módulo es igual a la unidad. Para cualquier vector a ≠ 0,
siempre es posible determinar el vector unitario en su misma dirección.
U=(| |
) U=(| |
) U=(| | | | | |
)
Para encontrar las magnitudes de un vector
Ejemplo 1:
Encontrar el vector unitario en la misma dirección del vector.
a= (2, -3, 7)
│a│= √ = √ =√
Por lo tanto el vector unitario es:
U=(
√ √ √
)
Ejemplo 2:
Determina un vector q, con la misma magnitud del vector
P= 3a - 2b + c
Y en dirección opuesta a la resultante de los vectores d y e.
a= (2, 1, -3), b= (-1,-1,-1), c= (3,-2,4), d= (1,-2,8) y e= (2,-1,3)
El vector p es:
P=3a - 2b + c= 3(2, 1, -3) – 2(-1,-1,-1) + (3,-2,4)
(6, 3, -9) – (-2, -2, -2)+ (3, -2, 4)
P= (6+2+3, 3+2-2, -9+2+4) = (11, 3, -3)

La magnitud da p es:
│p│= √ = √ =√
Resultante de:
d + e= (1,-2,8) + (2,-1,3) = (3, -3, 11)
Vector unitario de la dirección
│d + e│=√ = √ =√
(d+e) u = (
√ √ √
)
Po lo tanto el vector unitario en la dirección opuesta es:
- (d+e) u = -(
√ √ √
)
Y finalmente q = -│p│ (d+e) u = √ (
√ √ √
)
q= (-3, 3 -11)
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la
diferencia de dos vectores.
Módulo de un vector
El modulo v es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las coordenadas del
vector.
Ejemplo:
Sea el vector v= (5,4)
│v│= √
│v│=√
│v│=√
Método grafico
c= √ c= √ c=√ c=√
Observando que el modulo es la longitud de
la hipotenusa de un triángulo rectángulo
cuyos catetos son las coordenadas del
vector aplicamos el teorema de Pitágoras.

Distancia entre puntos
La distancia entre dos puntos A y B, d(A, B), es el modulo del vector AB.
La distancia entre los puntos del plano A (-2,1) y B (3,5) es:
d(A, B)=√
d(A, B)=√
d(A, B)=√
d(A, B)=√
El modulo es de √
Ejercicios
1) Considere el vector ̅ = 〈 〉encuentre la magnitud o norma del vector.
| | = √ = √ = √
2) Encontrar el vector unitario en la dirección del vector ̅ =
│ ̅│= √ = √ =√
U=(
√ √ √
)

3) Encontrar un vector con magnitud 10 con dirección contraria al vector
̅ =
-10* ̅ = = (10,-20, -40)
4) Dados los vectores ̅ = 〈 〉 y ̅ = . Hallar
 ̅ ̅
 3̅ ̅
 ̅ ̅ ̅ ̅
Soluciones
 ̅ ̅ = = =
 ̅ ̅ =
= ( )
= ( )
= ( )
= ( ) = ( )
 ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅ ̅
= =
= =

3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
En ocasiones es conveniente expresar un vector en
términos de los vectores unitarios i, j, k que se muestran
en la siguiente figura.
En términos de sus componentes, los vectores unitarios
quedas expresados como:
= 〈 〉
= 〈 〉
= 〈 〉
3.2. Forma trinómica de un vector
El vector ̅ = 〈 〉 puede expresarse como:
̅ = 〈 〉 = 〈 〉 〈 〉 〈 〉
̅ = 〈 〉 〈 〉 〈 〉
̅ =
Esta expresión define al vector ̅ en la llamada forma trinómica.
*Ejemplos
Poner en forma trinómica los siguientes vectores
̅ = 〈 〉 =
̅ = 〈 〉 =
̅ = 〈 〉 =

3.3. Definición de producto escalar
El producto escalar de dos vectores en el espacio de dimensiones ̅ = y
̅ = denotado por denotado por ̅ ̅, que se lee ̅ punto ̅ se define como:
̅ ̅ = ∑ =
*Por ejemplo
*El producto escalar de ̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉 es:
̅ ̅ =
*El producto escalar de ̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉 es:
̅ ̅ =
*〈 〉 〈 〉 = = =
*〈 〉 〈 〉 = = =
*〈 〉 〈 〉 = = =
Propiedades del producto punto
1. ̅ ̅ = ‖̅‖
2.̅ ̅ = ̅ ̅
3. ̅ =
4. (̅ ̅) = ̅ ̅ = ̅ =
5. =
*Ejemplos
Dados ̅ = 〈 〉 ̅〈 〉 y ̅ = 〈 〉
a)̅ ̅
b)(̅ ̅) ̅
c)
d)‖ ̅‖
a)̅ ̅ = 〈 〉 〈 〉 = = =
b)(̅ ̅) ̅ = 〈 〉 = 〈 〉
c)̅ ( ̅) = (̅ ̅) = =
d)‖ ̅‖ = 〈 〉 〈 〉 = = =

3.4 Ortogonal
Dos vectores ̅ y ̅ son ortogonales si y solo si ̅ ̅ =
Ejemplos:
Cuál de los siguientes vectores son ortogonales:
1)̅ = 〈 〉 = 〈 〉
2)̅ = 〈 〉 = 〈 〉
1)̅ ̅ = 〈 〉 〈 〉 = = No existe ortogonalidad
2)̅ ̅ = 〈 〉 〈 〉 = = ̅ ̅
Determine el número α tal que ā= (1,-2,3) es ortogonal a ƃ= (1, α, 4)
1-2α+7=0 -2α=-8 α=4
Determine todos los números α y β tales que los vectores ā= (4, α, 2) y ƃ= (1, 1, -2β)
4+α+-4β=0 α=+4β-4
3.5. Angulo entre dos vectores
| | = | | | | | || |
| || | =
| | = | | = | | = | | | | | | = | | | |
= { [ ]} =.
{ [ ]}=.
{ }.= { }=
=
̅ ̅ = |̅||̅|
El ángulo ʘ es el ángulo que forman los vectores al considerar la siguiente figura
Si se despeja de la expresión anterior a cos ʘ se tiene

=
̅ ̅
|̅||̅|
Es decir:
= (
̅ ̅
|̅||̅|
)
Esta expresión calcula el ángulo que forman 2 vectores al considerar un origen común.
A continuación se muestran las orientaciones posibles de dos vectores
Ejemplo:
Calcular el ángulo que forman los vectores ̅ = y ̅ =
= (
√ √
) = (
√ √
) =
√ √
=
√
= (
√
) =
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de
componente escalar de un vector sobre otro.
Sean dos vectores cualesquiera ̅ y ̅ en un espacio de tres dimensiones. A partir de estos se
puede definir:
Un vector unitario ̅ , en la dirección ̅
Un escalar tal que el vector ̅ ̅ es ortogonal a ̅
La relación geométrica entre los elementos mencionados se representa en la siguiente figura:

La componente vectorial de un vector ̅ sobre otro vector ̅, la cual se simboliza ̅ ̅
es un vector ̅ en el cual ̅ es un vector en la direccion de̅, y es un escalar tal que
̅ ̅ es ortogonal a̅.
Al escalar se le llama componente escalar de ̅ sobre ̅, la que se simboliza ̅ ̅.
La componente vectorial de ̅ sobre otro vector ̅ esta dada por la expresión:
̅ ̅ =
̅ ̅
|̅|
̅
|̅|
= (
̅ ̅
|̅|
) ̅.
La componente escalar de ̅ sobre ̅ esta dada por la expresión:
̅ ̅ =
̅ ̅
|̅|
.
Regresando a la figura anterior en el triángulo rectángulo se tiene que:
=
| |̅̅̅̅
| |
.
Sustituyendo el valor de se tiene:
=
̅ ̅
|̅|
|̅|
| |
=
̅ ̅
| ̅||̅|
.
Dónde:
̅ ̅ = |̅||̅|
Esto significa que el producto escalar de dos vectores diferentes del vector nulo, es igual al
producto del módulo ̅, por el módulo de ̅, por el coseno del ángulo entre ̅ y ̅ son no
negativos pero cosʘ puede ser positivo, negativo o cero. Por tanto el producto escalar ̅ ̅ es
negativo únicamente cuando cosʘ es negativo es decir, únicamente cuando .
Proyección de a ortogonal sobre b
Los vectores a y proyba son la hipotenusa y un lado del triángulo rectángulo, respectivamente.
El segundo lado del triángulo es entonces
a- proyba
Éste es un vector que es ortogonal a b y se le denomina proyección de a ortogonal a b.
Ejemplo
*En cada uno de los casos siguientes calcular ̅ ̅, ̅ ̅ y proyección
ortogonal de a sobre b.
a) ̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉
b)̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉
a1) ̅ ̅ =
̅ ̅
|̅|
=
√
=
√
=
√
√
√
= √ = √
a2) ̅ ̅ =
̅ ̅
|̅|
̅
|̅|
=
√ √
= = =

a3) =
b1) ̅ ̅ =
̅ ̅
|̅|
=
√
=
√
=
√
b2) ̅ ̅ =
̅ ̅
|̅|
̅
|̅|
=
√ √
= = ( ) = ( )
c2) ( ) = ( ).
*Sean los puntos A (5,2,6); B(1,2,3) y C(9,4,9). Determina la componente vectorial de ̅̅̅̅ en la
dirección de ̅̅̅̅ y representar gráficamente en la figura
Solución:
̅̅̅̅ = = =
̅̅̅̅ = = = )
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ =
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
|̅̅̅̅|
̅̅̅̅
|̅̅̅̅|
=
√ √
= .
= ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = O ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ =
*Sea los vectores
̅ = ̅ = ̅ =
Determinar los valores de b y c tales que la componente escalar de ̅ en la dirección ̅ sea igual
a √ y la de ̅ en la dirección ̅ sea igual a √ .
̅ ̅ = √ .
̅ ̅
|̅|
= √ .
√
= √ = .
̅ = √ .
̅ ̅
|̅|
= √
√
= √ = =
Resolviendo sistema de ecuaciones entre:
b-5c=27
b-4c=18
Se obtiene c=-9 y b=-18
*El ángulo entre los vectores ̅y ̅ es ʘ=30°. Si ̅=2 y ̅ =7 calcular:
a) ̅ ̅ b) ̅ ̅ c)̅ ̅

a) ̅ ̅ = | || | = | || | = = (
√
) =
√
b) ̅ ̅ = | || | = | || | = = =
c)̅ ̅ = | || | = | || | = = =
*Una lancha de 400 kg se encuentra sobre una rampa inclinada 30°,
como se muestra en figura ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la
lancha resbale cuesta abajo por la rampa?
Solución:
F=(400kg)(-9.8m/s2
)=-3920N
= =
√
= = (| |
) = = ( ) = (
√
).
La magnitud de la furza que requiere para sostenerse es de 3920N
Trabajo
Supongase que la fuerza constante de un vector es = ⃗⃗⃗⃗⃗ que apunta a alguna dirección. Si
la fuerza mueve al objeto P a O, entoces el vector de desplazamiento de = ⃗⃗⃗⃗⃗ . El trabajo
hecho por esta fuerza se define como el producto de la componente de la fuerza a lo largo de
D y la distancia recorrida
= | | | |
En forma escalar:
= | | | | =
Ejemplo
*Un carrito es jalado una distancia de 150m a lo largo de una trayectora horizontal de una
trayectora horizontal por una fuerza de 90N. La manija del carro se matiene en un angulo de
30° sobre la horizontal.
= = | || |
=(90N)(150)cos30°=11691.34
*Una fuerza esta dada por un vector F=3i+4j+5k y mueve una particula del punto P(2,1,0) al
punto Q(4, 6, 2). Encuentre el trabajo hecho.
= 〈 〉 〈 〉=6+20+10=36 W=36 Joules
3.7. Cosenos directores
Para describir la dirección de un vector ̅ = usualmente se hace considerando tres
ángulos y conforme a lo siguiente:

Los ángulos directores de un vector ̅ son los ángulos y que respectivamente forma el
vector con los vectores unitarios i, j y k
La expresión para calcular ángulos directores es la
siguiente:
=
|̅|
=
̅
|̅|| |
=
|̅|
=
|̅|
=
̅
|̅|| |
=
|̅|
=
|̅|
=
̅
|̅|| |
=
|̅|
Los cosenos directores de un vector no pueden ser arbitrarios y su relación se puede establecer
como:
=
|̅| |̅| |̅|
=
|̅|
=
|̅|
|̅|
=
Que es otra expresión que se relaciona a los cosenos directores del vector ̅
Ejemplos
*Encontrar los ángulos directores de los siguientes vectores
a)̅ =
| | = √ = √ = √ =
Por tanto los cosenos directores son:
= , = , = , = = =
*Sea el vector ā, dos de cuyos cosenos directores son:
= = .
Obtener un vector ƃ cuyo módulo sea igual a 18 unidades y que tenga la misma dirección del
vector ā. Solución:
= = . = .
= .. =
√
..
̅ = (
√
).
= √

EJERCICIOS PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
1) Convertir a forma trinomica los siguientes vectores
a)̅ = 〈 〉
b)̅ = 〈 〉
c)̅ = 〈 〉
2) De los siguientes ejercicios hallar: a) ̅ ̅ , b)‖̅‖ c)
a) ̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉
b) ̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉
c) ̅ = ̅ =
d) ̅ = ̅ =
3) ¿Cuál de los siguientes vectores son ortogonales?
a)̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉
b) ̅ = ̅ =
c) ̅ = ̅ =
d) ̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉
4) Determine el número α tal que ā= (4,-2,-1) es ortogonal a ƃ= (1, 5, α)
5) Determine todos los números α y β tales que los vectores ā= (1,- 3α, 12) y ƃ= (4β, 5, -7)
6)En cada uno de los casos siguientes calcular ̅ ̅, ̅ ̅ y y proyección
ortogonal de a sobre b.
a) ̅ = 〈 〉 ̅ = 〈 〉
b)̅ = ̅ =
7) Sea los vectores ̅ = ̅ = ̅ = . Determinar los valores
de b y c tales que la componente escalar de ̅ en la dirección ̅ sea igual a √ y la de ̅ en la
dirección ̅ sea igual a √ .
8) Un camión de 5000 kg está estacionado sobre una pendiente de 10° .Si se supone que la
única fuerza a vencer es la de la gravedad, hallar a)Diagrama b) la fuerza requerida para evitar
que el camión ruede cuesta abajo y c) Fuerza perpendicular a la pendiente.
9) Un carro se remolca usando una fuerza de 1 600 newtons. La cadena que se usa para jalar el
carro forma un ángulo de 25° con la horizontal. Encontrar el trabajo que se realiza al remolcar
el carro 2km.

10) Una fuerza esta dada por un vector F=7i+j-2k y mueve una particula del punto P(3,1,2) al
punto Q(3, 2, 2). Encuentre el trabajo hecho.
11)El ángulo entre los vectores ̅y ̅ es ʘ=120°. Si ̅=4 y ̅ =8 calcular:
a) ̅ ̅ b) ̅ ̅ c ) ̅ ̅
12)Calcula a) ̅ ̅ b) ̅ ̅ c) ̅ ̅, si ̅=8 y ̅ =5 y ʘ=
13) Demuestre que para cualesquiera números reales α y β, los vectores u =αi+βj y v=βi-αj son
ortogonales.
14) Hallar el ángulo ʘ entre los siguientes vectores
a)̅ = ̅ =
b) ̅ = ̅ =
c) ̅ = ̅ =
d) ̅ = ( ) ( ) ̅ = ( ) ( )
e) ̅ = ( ) ( ) ̅ = ( ) ( )
15) Encontrar cosenos directores de los siguientes vectores
a) ̅ =
b) ̅ =
c) ̅ =
d) ̅ =
16) Hallar las componentes de un vector ̅ con módulo igual a 3 y cuyos ángulos directores son
iguales.
17) Si un vector tiene ángulos directores α= π/4 y β= π/3 encuentre el tercer director γ
18) Sea el vector ā, dos de cuyos cosenos directores son:
= = .
Obtener un vector ƃ cuyo módulo sea igual a 18 unidades y que tenga la misma dirección del
vector ā.

4. Producto Vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
El producto vectorial de dos vectores es otro vector que se designa por o
y que se obtiene del siguiente modo:
1º Si y son dos vectores no nulos y no proporcionales es un vector de:
• Módulo es igual a:
• Dirección es perpendicular a los dos vectores
• Sentido igual al avance de un sacacorchos al girar de a .
2º Si ó ó y son proporcionales se tiene que
Interpretación geométrica del producto vectorial
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del
paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
El área del paralelogramo es el producto de la base
por la altura

Propiedades del producto vectorial
1. Anti conmutativa
2. Homogénea
3. Distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo.
=
5. El producto vectorial es perpendicular a y a .
Propiedades Geométricas Del Producto Vectorial
Sean y vectores distintos de cero en el espacio, y sea el ángulo entre y
1. u x v es ortogonal tanto a u como a v
2. ll u x v ll = ll u ll ll v ll sen α
3. u x v = 0 si y sólo si u y v son múltiplos escalares uno de otro.
4. ll u x v ll = área del paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentes.
Expresión analítica del Producto Vectorial
Sea una base ortonormal de V3.
Aplicando la definición de producto vectorial
Siendo nulos todos los productos de un vector consigo
mismo

Sean dos vectores cualesquiera
Y
Su producto vectorial será:
Y sustituyendo los productos entre los vectores de la base se llega a:
Esta expresión se puede escribir como el siguiente determinante de orden 3
`
Ejercicio
Dados hallar cada uno de
los siguientes productos
vectoriales:
`

Ejercicio
Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud unida
a un eje en el punto P, como se muestra en la figura. Calcular el momento de esta fuerza
respecto al punto P cuando α = 60˚.
Si se representa la fuerza de 50 libras como F = -50k y la
palanca como
El momento de F respecto a P está dado por
La magnitud de este momento es 25 libras-pie.
Ejercicio
Calcular u x v, v x u y v x v
U= -2i + 4j
V= 3i + 2j +5j
a= (7, 3, 2)
b= (1, -1, 5)
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
Dos rectas son paralelas o perpendiculares si lo son sus vectores directores
Paralelismo: el vector v, de
componentes (v1,v2), es
paralelo al vector u, de
componentes (u1,u2) si
tienen la misma dirección,
es decir si v = t·u:

Es decir, son paralelos cuando sus componentes respectivas son proporcionales.
Perpendicularidad: el vector v,
de componentes (v1,v2), es
perpendicular al vector u, de
componentes (u1,u2) si su
producto escalar es cero:
v·u = 0; (v1,v2)·(u1,u2) = v1·u1 +
v2·u2 = 0
Por lo tanto para estudiar el
paralelismo o la
perpendicularidad de dos rectas
sólo hay que obtener sus respectivos vectores directores y hacer el anterior estudio.
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de
un paralelogramo
Área de un paralelogramo
Área de un triángulo

Ejemplo
4.4. Definición de producto mixto
Hablamos de producto mixto porque intervienen el producto escalar y el producto vectorial y
esto ya nos orienta a que deben intervenir 3 vectores.
Se trata del producto escalar de uno de ellos por el producto vectorial de los otros dos,
obteniendo un resultado numérico como el procedente del cálculo del volumen de un
paralelepípedo (poliedro cuyas caras son paralelogramos).
Sean los vectores. El producto es el producto mixto de tres
vectores.
El resultado no varía en el caso de que permutemos los factores en el mismo sentido de giro:

En realidad, estamos multiplicando escalarmente, un vector por el producto vectorial de dos
vectores, que sería como decir: multiplicamos el área de la base por la altura que equivale al
volumen de un paralelepípedo.
Sirviéndonos de lo ya estudiado tendríamos, suponiendo las coordenadas de los vectores:
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
El volumen de un ortoedro, como la de cualquier otro paralelepípedo se obtiene multiplicando
el área de la base por la altura. Sabiendo que los vectores que forman la base corresponden
a: y las componentes de la altura son:
¿Cuál es el valor de este ortoedro?
Respuesta:
Solución
Dibujamos la figura y colocamos los datos que conocemos:

Lo resolvemos:
21.69 Tenemos tres vectores cuyas componentes son:
Responde, tras comprobar, si el valor escalar de es igual a
Respuesta: Sí, son iguales a
Solución
La permutación exige que el factor que tomamos lo coloquemos por detrás “empujando” hacia
la izquierda a los otros dos.
Si no se respeta el sentido del giro produciremos un error.

Ejercicio
Calcular el volumen del paralelepípedo mostrado en la figura, que tiene u= 3i – 5j + k,
v= 2j - 2k y w= 3i + j + k como aristas adyacentes.
Ejercicios
Calcular el producto vectorial de los vectores unitarios y dibujar su resultado
1. j x i
2. i x j
3. j x k
Calcular el área del paralelogramo formado por los vectores adyacentes:
1. u= j
v= j + k
2. u= (3, 2, -1)
v= (1, 2, 3)
Verificar que los puntos son los vértices de un paralelogramo y calcular su área
1. A (0, 3, 2), B(1, 0, 3), C(-3, 2, 0)
2. A (2, -3, 1), B(6, 5, -1), C(7, 2, 2), D(3, -6, 4)
Calcular el área del triángulo con los vértices dados
3. A (0,0,0), B(1, 0 ,3), C(-3, 2, 0)
4. A (2,-3,4), B(0, 1, 2), C(-1, 2, 0)
5. A (2, -7,3), B(-1, 5, 8), C(4, 6, -1)
6. A (1, 2, 0), B(-2, 1, 0), C(0, 0, 0)
Calcular u ∙ (v x w)
3. u= i + j + k
v= j + k
4. u= (2, -1, 0)
v= (-1, 2, 0)
4. k x j
5. i x k
6. k x i

Usar el triple producto escalar para encontrar el volumen de los siguientes paralelepípedos:

5. Uso de software matemático como
instrumento verificador de resultados y
herramienta de visualización en
conceptos.
El software que se usara como verificador de resultados herramienta visualizador en conceptos
será maple.
MAPLE
Visualizador de vectores:

Poner mas de un vector:

Suma de vectores
Producto punto de vectores

Proyección de vectores
Producto Cruz de dos vectores

6 Bibliografía
Larson Ron Edwards Bruce H., Hostetler Robert P, Cálculo II 9na ed. México, editorial McGraw
Hill.
Grossman Stanley, Algebra Lineal, 6ta ed. México, editorial McGrawHill
James Stewart Calculo de varias variables 6ta ed. México editorial Cengage Learning.
Solís, R. Nolasco, J y Victoria A., Geometría analítica, México, Limusa- Facultad de
Ingeniería, UNAM, 2003.

UNAM FES Cuautitlán. Ingeniería en Telecomunicaciones, sistemas y electrónica.

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