1. Matemáticas III
4.4 Aplicaciones integrales dobles

2. 4.4 Aplicaciones integrales dobles
• Centro de masa de una superficie plana. El
plana
primer momento de área de una placa
representada por una región D, es el punto
D
donde se generan los momentos de una masa
infinitesimal,
infinitesimal se tiene una distancia y con
respecto al eje de las abscisas y una
coordenada x con referencia al eje de las
ordenadas. Estas coordenadas se pueden
calcular mediante

3. Centro de masa

4. Ejemplo
• Marsden [5] página 384 Hallar el centro de
384.
masa de una región entre y = x2, y = x, si la
densidad es x + y.
1.2
1
0.8
0.6
y = x2 0.4
04 Región D
0.2
-1 -0.5 00 0.5 1
x
y=x
-0.2
-0.4

5. Solución
• Identificando la región D a la cual se va a
D,
estimar el centro de masa.
• Sobre el eje x se tiene una variación desde 0 a
1.
• S b el eje y, l lí i d l región son l
Sobre l j los límites de la ió las
funciones y = x2, y = x

6. Solución
Límite izquierdo y = x
1.2
12
1
0.8
08
Intervalo de y
0.6 Límite
0.4 de ec o
derecho
0.2
y = x2
-1 -0.5 00 0.5 1
x
-0.2
-0.4
Intervalo de x

7. Solución
• La función de densidad δ (x y) = x + y, sean
(x,
los límites para x las funciones x = √y y
x = y. La coordenada sobre el eje x del
centro de masa se calcula de

8. Solución
• La coordenada del eje y se estima de

9. Solución
• La coordenada en x resulta
• La coordenada en y resulta

10. Solución en mathematica

11. Solución en mathematica

12. Solución en mathematica

13. Solución en mathematica

14. Solución mathematica

15. Ejercicio
• Encuentre la masa y el centro de masa de una
lámina triangular con vértices (0,0), (1,0) y
(0,2).
(0 2) Si la función de densidad es
δ(x,y)=1+3x+y. Los puntos (0,2) y (1,0)
son unidos por la recta y=2-2x.
y 2 2x.
• Graficar también la región D.
• R (3/8 11/16)
R=(3/8,11/16)