19158329 teoria-exponentes

MATEMÁTICA SUPERIOR I

Universidad César Vallejo
L I M A N O R T E

Profesor: Mg. Roger Soto Quiroz

TEORÍA DE EXPONENTES

Potenciación:
Regla: Ejemplo:

Radicación:
m
• x am = x a m = a x
• x m n = x mx n
a b a b
m x m
• xa = a
bn x n
b
• mn p
ax =
mnp
ax

• x x
a m b n = a mx b n
• a mb nc p d q = abcd m bcd n cd p d q

1


EJERCICIOS SOBRE TEORÍA DE EXPONENTES

I. Simplifica los siguientes 2 .2 .2  2 − 5 2 + π 0
12)  
 
ejercicios: 10 factores

veces 
99
  13)
{
1) x + x +  + x 99 ÷ { x.x.x}
99 99
}
x
( )
5
    ( x 2 ) 3 4  .x 6 3
 
R= 
99 veces

x .( x )
11 2 21 10

2) x1.x 2 .x 3 .x 4  x 9 .x10
4.4.4  4 −16. .16 
   16 16
3) a 2b3a 4b5 a 6b 7 14)  factores
 
20

10 factores

 8
 veces
 2 n +4 − 2 n +3
x.x.x  x.x 15)
4) C = 2 n +2
 .x  x.x
x.x 
 
6 veces
10 n +3 − 10 n +2
16)
25.37.49 10 n
5) H =
48.23.36
2 n +7 − 2 n +6
17) 3
veces 
10
  2n
x .x . x 2 . x 2 x n +2
2 2
6) R=
 .x  x.x
x.x 
  18)
( x ) .( x )
2 4 5 6
.x 20
20 +n veces
(x ) 7 8

−1 −2 −3
1  1  1  3 m +1.9 m +2 n
7) V =   +  − 
19) R =
2 3 3
27 m −1.81n +1
−1

8) A = 3 2 + (3 2 ) − 27 2 +   x n +3 .x n +3 .x n +3  ( n + 5) veces
3 1
5 20) I =
x n +7 .x n +7 .x n +7  ( n + 1) veces

0
20 23 25 0 ( x ) .( x )
5 9 −7 3
9)
L= 3 + 5 + 5 21) C =
(x ) 2 8
;x ≠ 0

3519.( 8.5) .2713
16

10) C = 22) H = a 2 +a .a 3+a .a 4 −2 a
( 2.3.5) 30 .( 5.9) 5 .1418
2
 1  −3  2  −2  4  −1 
11) ( − 2 ) + (− 2 )
3 2 2 3
23)

A =   +   +   

 2 
 5 7  

2


−3 −1
2 8
24) D = −( − 7 ) 0 − 4 30 +   +   m −n
3 5
7) H = m +n   . 
a b
   
b  a 
x +3 x
6 .4
25) V = −3 −1
8 x .3 x +1  1 
8) A = 2 3 2
27 +  2

 125 

2 3 x + 2 + 2 3 x + 4 + 2 3 x +3
26) A =  3 
2
2 x +1.2 x .2 x +1 9) D = 2 −1  2 
 3

0 92
27) 27 n+
1

L= 3 2
10) A = n +1 8 3

2 n +1.2 n −1
3 x +1 + 3 x + 2 + 3 x +3 + 3 x + 4
28) L = x −1
3 + 3 x −2 + 3 x −3 + 3 x −4 11) R = 3 x 2 .3 x 4 .3 x 5

29) Si: aa=3; calcula: 12) D = 3 x 2 x 5 . 3
x9
A=
(a ) 3 a

(a ) 2 a
13) A = 5 x 4 .3 x 2 .4 x 4 .x −1

30)Si: xx=2; el equivalente de:
2 2 x +3
S = x x + x x + x , será : 14) S = 4 
4
 
( x +1) radicales

II. Reduce los siguientes radicales: 1 −1
4 32 5  1 − 3
−2 − 
15)  1  1  8
C=   + 
1) 81 + 3 27 3 +  2  3
3 4
256

−1 −1 −1
2) 4 −2 + 9 −2 + 36 −2 x +3
16) A = 2
x +5
2 x +3
54

x.3 x.4 x −29

3) R = 17) M

=3 4.4 8.5 16 .3 5 
2 
4
x.3 x. x  

4) 9 −4 − −
2 1 18) O = 5 4.a 8a + 2 .5 8.a 4 a −3

5) 3
9.3 9.3 9  3 9.3 27 19) S = n 8 n +1 (
3 n +3
2 n +7 .3 n +3 4 n −2 ) n −3

20)
3 4
x5
6) C = a) 6. 6. 6 
4 3
x
b) 6 + 6 + 6 +

3


c) 12 − 12 − 12 − d) 2.3 2. 2.3 2. 2.3 2 

PRODUCTOS NOTABLES

Productos Notables o Identidades Algebraicas son productos indicados
que tienen una forma determinada de los cuales se puede recordar
fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación, llamadas
también EQUIVALENCIAS NOTABLES. Las más importantes son:

1. BINOMIO AL CUADRADO.

* (a+b)2 = a2 + 2ab +b2
* (a - b)2 = a2 -2ab +b2

2. SUMA POR DIFERENCIA

* (a+b)(a-b) = a2 - b2

3. BINOMIO AL CUBO

* (a+b)3 = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 forma desarrollada
* (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3ab2 - b3

* (a+b)3 = a3 + b3 +3ab(a +b) forma semidesarrollada
* (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

4. BINOMIO POR TRINOMIO

* (a+b) (a2 - ab +b2 ) = a3 +b3
* (a - b) (a2 +ab +b2) = a3 - b3

5. BINOMIO CON UN TÉRMINO COMÚN

* (x+b)(x+d) = x2 + (b+d)x + bd

6. PRODUCTO DE BINOMIOS

* (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x +bd

7. TRINOMIO AL CUADRADO

* (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc forma desarrollada

4


* (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) forma semidesarrollada

8. TRINOMIO AL CUBO

* (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3a2b + 3a2c+3b2a+ 3b2c+3c2a+3c2b+6abc

* (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Escribe el resultado de:

1. ( p + 3) 2
2. ( x 2 −1) 2
3. ( ax 2 + by 3 ) 2
4. (am + bn) 2
5. (a + a −1 ) 2
( a + b) 2 + ( a − b )
2
6.
( a + b) 2 − ( a − b )
2
7.

8. ( x + y )( x − y )
9. (1 + x 2 )(1 − x 2 )
10. ( ax 2 + by 3 )(ax 2 − by 3 )
11. (am + bn)(am − bn)
12. ( x + y + z )( x − y + z )

13. ( x − 3)( x + 3)
14. ( m + 6)(m − 6)
15. (a x + 4)(a x − 4)
16. (a 2 + b 3 )(a 2 − b 3 )
17. ( x+ y )( x − y)
1 1 1 1
18. (a − 2 − a 2 )(a − 2 + a 2 )

II. Resuelve:

1. Escribe el resultado de: d) (1 + 3 x 2 ) 2
e) (1 − 2 xy )(1 + 2 xy )
a) ( x +1) 2 f) (1 − a )(1 + a )
b) (a −11)(a +10)
g) (a 7 − c 7 ) 2
c) ( a − x)( x + a )

5


h) ( y 2 − 3 y )( y 2 + 3 y )
i) (b x −2 + c y −1 ) 2 7. Si: x +2 yz + x − yz =8 yz
2

Calcula: x +2 yz − x − yz
2
j) ( a 7 − 2)(a 7 + 2)
k) (a m − b n )(a m + b n )
8. Si: (x +1)2 = ( 3 + 2)x
l) ( x m − y n ) 2 Calcula:
m) (2a − b − c)(2a + b + c )
(x 2 + 1)2
F=
x4 +1
2. Simplifica:
a) 2 b) 3 c) 4 d) – 2e) – 3
 1  1  2 1 
x + x − x + 
 x  x 


x2  9. Si: 3 a + 3 b +3c =0
Calcula:
3. Si: a+b = 3 y ab = 1, halla el a 3 + b 3 + c 3 − 27 abc
valor de a3 +b3 P=
(a + b)(a + c)(b + c)

4. Si: x2 +2y2 = m+n y 10. Efectúa:
2xy = m-n, halla x4 +4y4 (x −1)(x + 4 )(x + 2)(x − 3) + (x − 2)(x + 5 )(x + 3)(x − 4 )
− 2(x 2 + x −10 )2 + 56
5. Halla el valor de:
(a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 − (a + b + c)2
11. Efectúa:
Si: a 2 + b2 + c2 = 7

(a + b)(a 2 + b 2 )(a 3 − b 3 )(a 2 − ab + b 2 )(a 4 − a 2 b 2 + b 4 ) + b 12

6. Efectúa:

3 3
m m − m 3 −n 6 . m m + m 3 −n 6

6

Matemática Superior I

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorizar un polinomio es el primer método para obtener las raíces o ceros
de la expresión. Para factorizar se comienza con una regla que te permite
desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad
.

1. FACTOR COMÚN
a ( x + y ) = ax + ay

2. FACTOR POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)

3. DIFERENCIA DE CUADRADOS.
( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b2
4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2
5. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
(
a 3 + b3 = ( a + b ) a 2 − ab + b 2 )
a 3 − b3 = ( a − b) ( a 2
+ ab + b 2 )
6. Generalizando
(
a n − b n = ( a − b ) a n −1 + a n − 2b + a n− 3b 2 + × × ab n − 2 + b n −1
× ×+ )
an + bn = ( a + b) ( a n −1
− a n − 2b + a n −3b 2 − × × ab n − 2 + b n −1
× ×+ )
7. TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c .

x 2 + bx + c = (x + α 1 )(x + α 2 )

8. FACTORIZACIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS.
b b2
ax 2 + bx + c = ( β x + φ ) + λ ;
2
con β = a , φ = , λ = c−
2 a 4a
9. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de
Ruffini.
Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros
que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado ax + bx + cx + dx + e tiene cuatro raíces
4 3 2

x
enteras, x1 , x 2 , 3 y x 4 se factoriza así:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = a( x − x1 )( x − x 2 )( x − x3 )( x − x 4 )

7

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Factoriza:

1) a2 + a
2) xy − yz
3) 3m 5 − m 3
4) 7 a 2 x 3 − 35ax 2
5) m 6 + m 3 − 3m 9

6) 9 − 6m + m 2
7) 4(1 + n) 2 − 4(1 + n)(m −1) + (m −1) 2
r2
8) + 2rs + 9 s 2
9
9) x 2 + 2 x( x + y ) + ( x + y ) 2

10) 4u 2 − 9v 2
11) 1 − 9u 2 v 6 w 4
´1
12) −9a 4
4
x 6 4a 10
13) −
49 121
14) a 4 n − 225b 2 m

1
15) a + a +
4 2

4
16) u 8 + 6u 4 v 2 + 9v 4
17) m 2 + 3m − 10
18) c 2 + 7c + 6
19) y 8 + y 4 − 30

20) a 4 + 4b 4
21) a8 − b8
22) 3u 5 − 48u

II. Factoriza las siguientes expresiones:

1) x 5 − ax 4 + bx 4 − abx 3

2) p 3q 5r 2 − p 2q 3r 3 + p 5q 2r 2
3) m 2 − 25
4) 25 x 4 + 70 x 2 y 2 + 49 y 4
5) x 4 + 1 + 2x 2
6) 9u 3 + 12u 2 v 2 − 15uv
7) a 2 b 4 c 6 − 256
8) 9u 2 + 25v 4 − 30uv 2
9) a 20 − a 16 + a12 − a 8 + a 4 − a 2

8

10) a − 3a + 7 a − 11a
7 5 3 4

11) u 2 − 41u + 400
12) a 7 − 3a 5 + 7 a 3 − 11a 4
a2
13) − ab + b 2
4
14) 3a 2 b + 6ab − 5a 3 b 2 + 8a 2 bx + 4ab 2 m

15) 2a 3 b 4 c 5 + a 2 b 5 c 5 + a 4 b 3 c 5 + a 3 b 3 c 5 + a 2 b 4 c 5
16) x 4 + x 3 − x 2 + 5 x − 30
17) 2x 2 − x −3
18) a 2 (b − c ) + b 2 (c − a ) + c 2 ( a − b)
19) ( x − y )( x 2 − z 2 ) −( x − z )( x 2 − y 2 )
20) (x3 + x 2 )2 − (x + x 4 )2

III. Resuelve:

1) ¿Cuántos factores de primer grado admite la expresión:
a 5 − 4a 3 + a 2 − 4
2) ¿En cuántos factores se descompone la expresión:
64a 7b7 − ab13
3) Proporciona la suma de factores al factorizar la expresión
(a 2 − c 2 + b 2 + 2ab +1) 2 − 4(a + b) 2 en 4 factores.

4) La suma de los factores de:
x 2 y 2 z − x 2 yz 2 − xy 3 z + xy 2 z 2 es :

5) Al factorizar el polinomio:
x 2 − y 2 + 2 yz − z 2 −8 x +16
La suma algebraica de los términos independientes de los factores primos es:

6) Al factorizar x 5 − x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 + x − 1 se obtuvo una expresión de la forma:
( x −1) ∝( x +1) β Halla α+β
7) La suma de los factores de ( x 2 + x −1) 2 + ( 2 x +1) 2 al factorizar es:

8) ¿Cuántos factores se obtienen al factorizar x6-m6 ?

9

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