Este documento presenta un curso sobre ecuaciones diferenciales. Contiene información sobre dos unidades principales: ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior. Incluye definiciones, métodos de resolución y ejemplos para diferentes tipos de ecuaciones diferenciales lineales de primer y segundo orden.

1. Universidad Nacional
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Ecuaciones Diferenciales
Introducción al Curso

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Presentación

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BIENVENIDOS!!!

4. CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
CAPITULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
CAPITULO 3
CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE
PRIMER ORDEN
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
CAPITULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
CAPITULO 3
CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE
PRIMER ORDEN
Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES
CONTENIDO

5. 1.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1.1 Conceptualización de una Ecuación Diferencial
1.1.2 Resolución de una Ecuación Diferencial
1.1.3 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
1.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1.1 Conceptualización de una Ecuación Diferencial
1.1.2 Resolución de una Ecuación Diferencial
1.1.3 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES
CONTENIDO

6. 1.1.1 Conceptualización de una Ecuación Diferencial1.1.1 Conceptualización de una Ecuación Diferencial
Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES
d 2
y + 3 dy - 2y = 0
dx 2
dx

7. 1.1.2 Resolución de una Ecuación Diferencial
Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación
diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus
derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo, derivando
y sustituyendo es fácil comprobar que:
y = e -2x
es una solución de la ecuación diferencial:
y´ + 2 y = 0
1.1.2 Resolución de una Ecuación Diferencial
Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación
diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus
derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo, derivando
y sustituyendo es fácil comprobar que:
y = e -2x
es una solución de la ecuación diferencial:
y´ + 2 y = 0
Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

8. 1.1.3 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales1.1.3 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
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EJEMPLOS
ECUACIÓN TIPO ORDEN
y´´´ + 4y = 2 Ordinaria 3
b) d 2
s = -32 Ordinaria 2
dt 2
c) (y´)2 – 3y = ex Ordinaria 1
d) ∂ 2
u + ∂ 2
u = 0 Parcial 2
∂x 2
+ ∂y 2
EJEMPLOS
ECUACIÓN TIPO ORDEN
y´´´ + 4y = 2 Ordinaria 3
b) d 2
s = -32 Ordinaria 2
dt 2
c) (y´)2 – 3y = ex Ordinaria 1
d) ∂ 2
u + ∂ 2
u = 0 Parcial 2
∂x 2
+ ∂y 2

9. 1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
1.2.1 De variables separables
1.2.2 Homogéneas
1.2.3 Ecuaciones exactas
1.2.4 El factor integrante
1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
1.2.1 De variables separables
1.2.2 Homogéneas
1.2.3 Ecuaciones exactas
1.2.4 El factor integrante
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DE PRIMER ORDEN
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10. 1.2.1 De variables separables
M(x) + N(-y) dy = 0
dx
EJEMPLO
Hallar la solución general de: (x 2
+ 4) dy = xy
dx
1.2.1 De variables separables
M(x) + N(-y) dy = 0
dx
EJEMPLO
Hallar la solución general de: (x 2
+ 4) dy = xy
dx
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11. 1.2.2 Homogéneas
Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación de la forma
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
1.2.2 Homogéneas
Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación de la forma
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
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EJEMPLOS
a) f(x,y) = x + y 2 no es homogénea porque
f(tx,ty) = tx +t 2 y 2 = t (x+ty 2 ) ≠ t n (x+y 2 )
b) f(x,y) = x/y es homogénea de grado cero porque f(tx,ty) tx t 0 x
ty y

12. 1.2.3 Ecuaciones exactas
La ecuación M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Es una ecuación diferencial exacta si existe una función f de dos variables
x e y, con derivadas parciales continuas, tal que
fx (x,y) = M(x,y) y fy(x,y) = N (x,y)
La solución general de la ecuación es f(x,y) = C
1.2.3 Ecuaciones exactas
La ecuación M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Es una ecuación diferencial exacta si existe una función f de dos variables
x e y, con derivadas parciales continuas, tal que
fx (x,y) = M(x,y) y fy(x,y) = N (x,y)
La solución general de la ecuación es f(x,y) = C
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DE PRIMER ORDEN
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13. 1.2.4 El factor integrante
En otras palabras, llamamos a M dx + N dy = 0 no es exacta, puede que
se transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado u(x,y),
llamado factor integrante de la ecuación diferencial.
Por ejemplo, si la ecuación diferencial
2y dx + x dy = 0 Ecuación no exacta
se multiplica por el factor integrante u(x,y) = x, la ecuación resultante es:
2xy dx +x 2
dy = 0 Ecuación exacta
1.2.4 El factor integrante
En otras palabras, llamamos a M dx + N dy = 0 no es exacta, puede que
se transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado u(x,y),
llamado factor integrante de la ecuación diferencial.
Por ejemplo, si la ecuación diferencial
2y dx + x dy = 0 Ecuación no exacta
se multiplica por el factor integrante u(x,y) = x, la ecuación resultante es:
2xy dx +x 2
dy = 0 Ecuación exacta
Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
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14. 1.3 Campos de aplicación de las ecuaciones lineales de primer
orden
1.3 Campos de aplicación de las ecuaciones lineales de primer
orden
Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

15. 2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
2.3 CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y
DE ORDEN SUPÈRIOR
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
2.3 CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y
DE ORDEN SUPÈRIOR
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
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16. 2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden.
2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden
2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes
constantes
2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes
constantes
2.1.5. Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden.
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden.
2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden
2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes
constantes
2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes
constantes
2.1.5. Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden.
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
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17. 2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer
orden.
2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer
orden.
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ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
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y ´ + P(x)y = Q(x) y n
Ecuación de Bernoulli

18. 2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Sean g1, g2…., gn y f funciones de x con un dominio común. Una ecuación de
la forma
Y( n
) + g 1(x) y (n-1
)+ g2(x) y (n-2
)…+ gn – 1(x)y´ + gn (x)y = f(x)
Se llama una ecuación diferencial lineal de orden n. si f(x) = 0, se dice que la
ecuación es homogénea en caso contrario, se llama inhomogénea.
2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Sean g1, g2…., gn y f funciones de x con un dominio común. Una ecuación de
la forma
Y( n
) + g 1(x) y (n-1
)+ g2(x) y (n-2
)…+ gn – 1(x)y´ + gn (x)y = f(x)
Se llama una ecuación diferencial lineal de orden n. si f(x) = 0, se dice que la
ecuación es homogénea en caso contrario, se llama inhomogénea.
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
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19. 2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes
constantes.
• ECUACION CARACTERISTICA CON RAICES REALES DISTINTAS.
• ECUACION CARACTERISTICA CON RAICES COMPLEJAS
• ECUACION CARACTERÍSTICA CON RAICES REPETIDAS
2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes
constantes.
• ECUACION CARACTERISTICA CON RAICES REALES DISTINTAS.
• ECUACION CARACTERISTICA CON RAICES COMPLEJAS
• ECUACION CARACTERÍSTICA CON RAICES REPETIDAS
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

20. 2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes
constantes
Sea y" + ay' + by = F(x) una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden. Si yp es una solución particular de esta ecuación e yh es la
solución general de la ecuación correspondiente, entonces:
y = yh + Yp
es la solución general de la ecuación no homogénea.
2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes
constantes
Sea y" + ay' + by = F(x) una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden. Si yp es una solución particular de esta ecuación e yh es la
solución general de la ecuación correspondiente, entonces:
y = yh + Yp
es la solución general de la ecuación no homogénea.
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

21. 2.1.5. Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden.
Dadas n funciones f1(x), ..., fn(x) Î Cn(I), se llama wronskiano ( o determinante
de Wronski) de las mismas, y se designa por W[f1, ... ,fn]
2.1.5. Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden.
Dadas n funciones f1(x), ..., fn(x) Î Cn(I), se llama wronskiano ( o determinante
de Wronski) de las mismas, y se designa por W[f1, ... ,fn]
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

22. 2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

23. 2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma
En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar
El proceso anterior se repite (n -1) veces, de esta manera se obtendrá la
solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias
2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma
En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar
El proceso anterior se repite (n -1) veces, de esta manera se obtendrá la
solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

24. 2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

25. 2.3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
EJEMPLO:
Un depósito contiene 50 litros de una solución compuesta por 90 por 100 de
agua y 10 por 100 de alcohol. Al mismo tiempo, se vacía en el depósito a razón
de 5 litros/min., suponiendo que la solución del depósito se agita
constantemente, ¿cuánto alcohol queda en el depósito después de 10 minutos?
2.3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
EJEMPLO:
Un depósito contiene 50 litros de una solución compuesta por 90 por 100 de
agua y 10 por 100 de alcohol. Al mismo tiempo, se vacía en el depósito a razón
de 5 litros/min., suponiendo que la solución del depósito se agita
constantemente, ¿cuánto alcohol queda en el depósito después de 10 minutos?
Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

26. 3.1 GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES DE POTENCIAS
3.2 SERIES DE POTENCIAS
3.2 FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS
3.1 GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES DE POTENCIAS
3.2 SERIES DE POTENCIAS
3.2 FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS
Unidad 3: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

27. 3.1 SERIES DE POTENCIAS
DEFINICION: Una serie de potencias entorno al punto xo es una expresión
de la forma
Donde las an son constantes
3.1 SERIES DE POTENCIAS
DEFINICION: Una serie de potencias entorno al punto xo es una expresión
de la forma
Donde las an son constantes
Unidad 3: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

28. TEOREMA DE ABEL
Una serie de potencias converge siempre para todo
valor de x de un cierto intervalo abierto I =(x0-R,x0+R) y diverge si lx- x0l >R
En los extremos del intervalo puede converger o no.
TEOREMA DE ABEL
Una serie de potencias converge siempre para todo
valor de x de un cierto intervalo abierto I =(x0-R,x0+R) y diverge si lx- x0l >R
En los extremos del intervalo puede converger o no.
Unidad 3: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

29. 3.1.1 Solución de Ecuaciones Diferenciales mediante serie de potencias
Comenzamos con el método general de solución por series de potencias.
Recuérdese que una serie de potencias representa a una función f en un
intervalo de convergencia, y que podemos derivar la serie de potencias
sucesivamente, para obtener series para f, f", etc. Por ejemplo,
3.1.1 Solución de Ecuaciones Diferenciales mediante serie de potencias
Comenzamos con el método general de solución por series de potencias.
Recuérdese que una serie de potencias representa a una función f en un
intervalo de convergencia, y que podemos derivar la serie de potencias
sucesivamente, para obtener series para f, f", etc. Por ejemplo,
Unidad 3: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

30. 3.2.1 Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de Taylor
Un segundo tipo de método de resolución por series de potencias se refiere a
una ecuación diferencial con condiciones iniciales y hace uso de las series de
Taylor.
3.2.1 Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de Taylor
Un segundo tipo de método de resolución por series de potencias se refiere a
una ecuación diferencial con condiciones iniciales y hace uso de las series de
Taylor.
Unidad 3: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

31. 3.2 SERIES DE TAYLOR
Por tanto, podemos aproximar los valores de la solución mediante la serie
Usando los seis primeros términos de esta serie, calculamos varios valores de
y en el intervalo 0<= x <= ,como muestra la Tabla.
3.2 SERIES DE TAYLOR
Por tanto, podemos aproximar los valores de la solución mediante la serie
Usando los seis primeros términos de esta serie, calculamos varios valores de
y en el intervalo 0<= x <= ,como muestra la Tabla.
Unidad 3: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES
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32. Universidad Nacional
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Si permaneces en el oscuro encierro del pesimismo
por miedo a la lluvia de mañana,
te perderás el hermoso paisaje que ilumina el
sol alegre del día de hoy.
Cultiva tu capacidad de mirar con simpatía a tus semejantes.
Cultiva la tendencia a descubrir lo bueno y agradable de los acontecimientos.
El optimismo razonable es voluntad de afirmación personal,
y garantía de mantener la decisión de progresar,
convivir y ser solidario con tus semejantes
en la construcción de la paz.

33. Universidad Nacional
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EXITOS!!
EN EL CURSO