Este documento explica cómo calcular el área entre dos curvas. Primero, se grafican las curvas para determinar cuál está arriba y cuál abajo, así como sus puntos de intersección. Luego, se evalúa la integral del área entre las curvas de la función superior menos la función inferior entre los límites de los puntos de intersección. También se puede usar la simetría para simplificar la integral. Se proveen varios ejemplos resueltos.

1. Area entre dos curvas
Por: Jose A Vega Cotto MBA, MA

2. Encientre el area entre las curvas
• f (x) = 4 - x 2 and
g (x) = x 2 - 4.
• los puntos de
intersección son
x = -2 y x = 2.

3. Graficar las dos ecuaciones
• La razón para graficar las dos ecuaciones es
ser capaz de determinar qué función es en la
parte superior y que es una en la parte
inferior. A veces, también puede determinar
los puntos de intersección. A partir de este
gráfico, es taco que f (x) es la función superior,
g (x) es la función inferior, y que los puntos de
intersección son x = -2 y x = 2.

4. f (x) = 4 - x 2 y g (x) = x 2 - 4.
• Si no desea determinar • 4-x2=x2–4
los puntos de
intersección • -2x 2 = -8
gráficamente lo puede • x2=4®
resolver • x = -2 o x = 2
algebraicamente o con
la calculadora. Para
encontrarlos
algebraicamente, hay
que igualar las
ecuaciones.

5. Evalue la integral

6. Proximo paso evaluar la integral
Recuerde F (x) – g (x)

7. Solucion

8. Fijense en la grafica de las dos
funciones
• Se puede notar que se
puede utilizar simetría en la
creación de la integral. La
región es simétrica con
respecto tanto a la X y el eje
y. Si se hubiera utilizado la
simetría del eje, la integral
resultante habría tenido
límites de 0 y 2, y
hubiéramos tenido que
tomar 2 veces el área para
encontrar el área total. Aquí
está esta integral.

9. Por medio de simetria.

10. Ejemplo 2
• Encuentra el área entre las curvas x = y ³ y x =
y ² que está contenida en el primer cuadrante.

11. x=y³ , x=y²
• Dado que ambas
ecuaciones son x en
términos de y, que
se integrará con
respecto a y.

12. Integrar con respecto Y
• Cuando se integran con respecto a x, tenemos
que determinar la función superior y la
función inferior. Ahora que estamos
integrando con respecto a y, tenemos que
determinar cuál de las funciones esta más
alejada del eje de y. La función que esta más
alejada del eje y es x = y². Así que esa será
nuestra curva superior. La curva inferior será la
curva que está más cerca del eje y. En este
caso, es la función x = y ³.

13. Igualamos para encontrar los puntos
de intersección.
• y2=y3
• y2-y3=0
• y 2 (1 - y) = 0
• y=0,y=1

14. Por ultimo se evalúa la integral.

15. Ejemplo 3
• y = x2 -5x + 6
• y = 2x

16. Calcular el área limitada por la curva y
= x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
• En primer lugar
hallamos los puntos de
corte de las dos
funciones para conocer
los límites de
integración.
• x₁ = 1 x₂ = 6

17. Calculamos la Integral

18. Calcule el area entre dos curvas

19. Calcule el area entre dos curvas
• Solucion
• Y=x²-4x-1
• Y=-⅓ x²-1
• 6

20. Calcule el area

21. Solucion
• Area = 2

22. Calcule el area

23. Solucion
• Area = 1 ⅓

24. Calcule el area

25. Solucion
• Area = 3 ⁵⁄₉

26. Calcule el area

27. Solucion
• Area = 2 ²̸₃

28. Calcule el area

29. Solucion
• Area = 9 ⅓

30. Calcule el area

31. Solucion
• Area = 3 ⅓

32. Calcule el area

33. Solucion
• Area = 8

34. Calcule el area

35. Solucion
• Area = 6

36. Calcule el area

37. Solucion
• Area = ⅓