Tema 1: Preliminares Tema 2: Funciones Reales de una Variable Tema 3: Cálculo Diferencial Tema 4: Integración Tema 5: Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones Apuntes de Matemáticas I de grados ADE y Económicas

3. Matemáticas I
1º GRADO
Tema 1: Preliminares .........................................................................3
Tema 2: Funciones Reales de una Variable ...............................13
Tema 3: Cálculo Diferencial ............................................................17
Tema 4: Integración .........................................................................29
Tema 5: Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones ...........37
-1-

5. Tema 1: Preliminares
DERIVADAS
• y=k y′ = 0
• y = k ·u y′ = k ·u ′
• y = u +v y ′ = u′ + v ′
• y = un y′ = n·u n −1·u′
• y = u ·v y′ = u′·v + u·v′
u u′·v − u·v′
• y= y′ =
v v2
1 1
• y= y′ = − ·u′
u u2
u′
• y = ln u y′ =
u
• y = eu y′ = eu ·u′
• y = sin u y′ = cos u·u′
• y = cos u y′ = − sin u·u′
• y = tan u y ′ = (1+ tan 2 u )u'
INTEGRALES
•  kdx = k ·x
x n +1
 x dx = n + 1 si n ≠ −1
n
•
•  1
x
dx = ln x
1
e dx = ·e ax
ax
•
a
•  [ f ( x) + g ( x)]dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx
•  k · f ( x)dx = k  f ( x)dx
-3-

6. LIMITES DE SUCESIONES
∞ si k > l k y l son los máximos exponentes
k
a· n +  

• lim =  a si k = l del numerador y denominador
l b
n →∞ b· n +   respectivamente.
 0 si k < l

 ∞
 =∞
0
 0
 =0
 ∞
 a
an  =∞
• = 0
lim  a
n →∞ bn  =0
 ∞
 ∞
 =∞
a
 0
 =0
 a
xn
 1
• lim 1 + 
 = e
xn →∞  xn 

 0 si 0 < a < 1
∞ 
• a =  1 si a =1
∞ si a >1

-4-

7. LOGARITMOS
• log a x = y ⇔ a y = x
• ln x = y ⇔ e y = x
• ln(a·b) = ln a + ln b
• ln( b ) = ln a − ln b
a
• ln a n = n ln a
• ln 0 = −∞
• ln1 = 0
POTENCIAS
a n ·b n = (a·b )
n
•
n
an a
• = 
bn b
• a n ·a m = a n + m
an
• m
= an−m
a
• (a )
n m
= a n·m
1
• a−n =
an
PRODUCTOS NOTABLES
• (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
• (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
• (a + b )(a − b ) = a 2 − b2
·
• (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
• (a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3
-5-

8. ECUACIONES
− b ± b 2 − 4ac
• ax + bx + c = 0
2
 x=
2a
• ax 4 + bx 2 + c = 0  Hallamos x 2 mediante la fórmula anterior y extraemos la raíz cuadrada.
• Ecuaciones con la incógnita en el exponente  Dejamos la expresión que contenga la incógnita en uno de
los lados de la ecuación y tomamos logaritmos.
• Ecuaciones con la incógnita dentro de un logaritmo  Dejamos la expresión que contenga la incógnita en
uno de los lados de la ecuación y tomamos exponenciales.
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
Recta
A
• Ax + By + C = 0 para esta ecuación la pendiente es m = − .
B
• y = ax + b para esta ecuación la pendiente es a .
Circunferencia de centro (a, b ) y radio R
• (x − a )2 + ( y − b )2 = R2
Elipse de centro (0,0) y semiejes a y b
x2 y2
• + =1
a 2 b2
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9. Ejercicios
Tema1: Preliminares
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
1. y = 3x + 2
2. y = 4x2 + 2x + 1
3. ( )
y = 3x 2 + 1 ·ln(3 x + 1)
sin(2 x 2 + 1)
4. y=
cos(3x + 2)
5. y = 2 x5 + 1
6. y= 4
cos x
7. y = x 2 ·e 4 x + 2
 2x + 1 
8. y = ln 
 3x − 1 
1
9. y=
x2
Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:
10. f ( x, y ) = 3x 2 y + 2 x + 3
3x 2
11. f ( x, y ) = + 2x + 1
y
 y
12. f ( x, y ) = ln 2 
x 
1
13. f ( x, y ) =
3x
-7-

10. Calcular las siguientes integrales:
14.  3 x dx
2
15.  (4 x )
+ 5 x 4 + 2 dx
3
1
16.  4 x dx
e
−2 x
17. dx
1
18. x 4
dx
1
19.  3
x2
dx
 1 1
20. e + + dx
4x
 x x8 
2
21.  x dx
4
1
∞
e
−8 x
22. dx
0
2
23.  (3x )
+ x dx
4
1
24.  (4 x )
y + 5 x 4 y 2 + 2 dx
3
25.  (4 x )
y + 5 x 4 y 2 + 2 dy
3
26.  3 x dy
2
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11. Calcular los siguientes límites:
3·n 2 + 4n + 2
27. lim 5·n 2 + 6
n →∞
5·n3 + 2
28. lim 3·n2 + 2n + 1
n →∞
n 4 + 2n + 1
29. lim n6 + n 4 + 1
n →∞
1 2 2
4
+ 2+
30. lim n n n
3 2
n →∞
+
n3 n
2
1+
31. lim n2
1
n→∞
3+
n
n
1
32. lim  
n →∞ 2
n 2 +1
3
+3
33. lim en
n→∞
− n 3 +1
2
+3
34. lim en
n →∞
3n
 2
35. lim 1 + 
n →∞  n
3n
 2
36. lim 1 + 2 
n →∞  n 
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12. Expresar utilizando  o ∏ según proceda:
37. x1 + x2 + x3 +  + xn
2 2 2 2
38. 2 x1·2 x2 ·2 x3 · ·2 xn

39. (x1 − 2)(x2 − 2)··(xn − 2)
·
40. (x1 − 1)1 + (x2 − 2)2 +  +·(xn − n )n
41. x1 ·e −2 x1 ·x2 ·e −2 x2 ··xn ·e −2 xn
x1 ·e −2 x1 x2 ·e −2 x2 x ·e −2 xn
42. · x 2 ·· n x n
2 x1 2 2
x1 ·e −2 x1 ·x2 ·e −2 x2 ··xn ·e −2 xn
43.
x1 ·e −3 x1 ·x2 ·e −3 x2 ··xn ·e −3 xn
Expresar abreviadamente y tomar logaritmos de las siguientes expresiones:
44. 3·e −3 x1 ·3·e −3 x2 · ·3·e −3 xn

x1 2 xn 2
1 − 1 −
45. ·e 2
·· ·e 2
2π 2π
e −2 ·2 x1 e −2 ·2 xn
46. ··
x1! xn !
x1 ·e −3 x1 x2 ·e −3 x 2 xn ·e −3 x n
2 2 2
47. · ··
2 2 2
- 10 -

13. Ecuaciones:
48. x 2 − 6 x − 8 = 0
49. x 4 − 13 x 2 + 36 = 0
50. x 3 + 2 x 2 + x = 0
51. 1 − e − x = 0.05
52. 3 + 4 ln x = 11
Representar gráficamente y en el caso de las rectas, hallar la pendiente:
53. y = 2 x + 4
54. 2 x + 3 y − 2 = 0
55. x 2 + y 2 = 9
56. x 2 + ( y − 2 ) = 4
2
x2 y 2
57. + =1
4 9
58. y = x 2
59. y − 2 = ( x − 1)
2
60. y 2 = x − 4
61. 3x1 + 4 x 2 = 3
- 11 -

14. Tema 2: Funciones Reales de una Variable
NOCIÓN DE FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE
Una función de A en B es una regla que asigna, a cada elemento del conjunto A un elemento y sólo uno del
conjunto B.
Algunas funciones importantes
Recta
A
• Ax + By + C = 0 para esta ecuación la pendiente es m = − .
B
• y = ax + b para esta ecuación la pendiente es a .
Circunferencia de centro (a, b ) y radio R
• (x − a )2 + ( y − b )2 = R2
Elipse de centro (0,0) y semiejes a y b
x2 y 2
• + =1
a 2 b2
Parábola
• y = ax 2 + bx + c coordenada x del vértice: − b / 2a
• y − y 0 = k ( x − x 0 ) 2 parábola de vértice ( x0 , y 0 )
Hipérbolas
k
y=
• x
- 12 -

15. DOMINIO
El dominio de una función es el conjunto de puntos en el que la función está definida.
Dominio de algunas funciones importantes:
Funciones polinómicas:
f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a 0 ( ) =
Funciones racionales
g ( x)
f ( x) = donde g y h son polinomios ( ) = { ∈ / ℎ( ) ≠ 0}
h( x )
Función raíz enésima
si n impar D(f) = R
f ( x) = n
x
si n par D(f) = {x ∈ R/x ≥ 0}
Funciones seno y coseno:
f ( x ) = sin x ó f ( x ) = cos x ( ) =
Función exponencial:
f ( x) = e x ( ) =
Función logaritmo:
f ( x ) = ln( x ) ( ) = { ∈ / > 0}
LÍMITES
Escribir que lim f ( x ) = A significa que podemos hacer que ( ) se aproxime a A tanto como queramos
x→ b
para todo suficientemente próximo a b, pero no igual a él.
- 13 -

16. Reglas para límites:
Si lim f ( x ) = A y lim g ( x ) = B , entonces:
x→ b x→ b
1. lim [ f ( x ) + g ( x )] = A + B
x→ b
2. lim [ f ( x ) − g ( x )] = A − B
x→ b
3. lim f ( x ) ⋅ g( x ) = A ⋅ B
x→ b
4. lim f ( x ) / g ( x ) = A / B (siempre que B ≠ 0)
x→ b
5. lim
x→ b
[ f ( x ) ] p / q = [ A] p / q (si [A] p / q está definido)
CONTINUIDAD
Supongamos que el dominio de contiene un intervalo abierto de centro b. Se dirá que es continua en
= si el límite de ( ) cuando tiende a b es ( ):
lim f ( x ) = f (b)
x→ b
Para que f sea continua en x = b, se deben verificar las tres condiciones siguientes:
1. La función f debe estar definida en =
2. Debe existir el límite de ( ) cuando tiende a b
3. Este límite debe ser igual a ( )
Si alguna condición no se verifica decimos que es discontinua en b. Si la condición que no se verifica es la
condición 2, la discontinuidad se llama “inevitable”. Si es la condición 3 la que no se cumple, la discontinuidad
se llamará “evitable”.
Si y son continuas en b, entonces:
1. + y – son continuas en b
2. · es continua en b
3. / es continua en b si ( ) ≠ 0
4. [ f ( x ) ] p / q es continua en b si [ f (b ) ] p / q
Toda función que se construya a partir de funciones por medio de las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación, división (excepto por cero) y composición será continua en todos los puntos donde esté
definida.
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17. TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS
El teorema de los valores intermedios establece que:
Sea una función continua en un intervalo [ , ]. Entonces para cada u tal que ( ) < < ( ),
existe al menos un c dentro de ( , ) tal que ( ) = .
TEOREMA DE BOLZANO
Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [ , ] con ( ) y ( ) de signos contrarios.
Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto ( , ) con ( ) = 0.
- 15 -

19. Tema 3: Cálculo Diferencial
La derivada de la función en el punto se define como sigue:
( + ℎ) − ( )
´( ) = lim
→ ℎ
TEOREMA
Si ( ) es derivable en = , entonces es continua en = .
RECTA TANGENTE
La ecuación de la tangente a la gráfica de = ( ) en el punto ( , ( )) es:
– ( ) = ´( ) ( − )
APROXIMACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA
La aproximación lineal de f en un entorno de a es:
( ) ≈ ( ) + ´( )( − )
La aproximación cuadrática de f en un entorno de a es:
1
( ) ≈ ( ) + ´( )( − ) + ´´( )( − )
2
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Si dos variables x e y están relacionadas por una ecuación, para hallar (expresión alternativa a y´):
1. Derivar cada miembro de la ecuación respecto de x, considerando a y como función de x.
2. Despejar de la ecuación resultante.
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20. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Si queremos calcular la derivada de = ( ) mediante derivación logarítmica:
1. Tomar logaritmos a ambos lados de la igualdad.
2. Aplicar si es posible alguna de las propiedades de los logaritmos.
3. Derivar a ambos lados, considerando a y como función de x.
4. Despejar de la ecuación resultante.
TEOREMA DE LOS VALORES ÓPTIMOS
Si una función es continua en un intervalo [ , ] cerrado y acotado, tiene en él un máximo y un mínimo.
TEOREMA
Supongamos que está definida en un intervalo I y sea c un punto interior de I (esto es, distinto de los puntos
inicial y final). Si c es un máximo o un mínimo de , y si existe ´( ), entonces:
´( ) = 0
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [ , ] y derivable en el intervalo abierto ( , ), existe al menos un
punto interior c del intervalo ( , ) tal que:
( ( ) ( ))
´( ) =
( )
- 18 -

21. TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo I y derivable en el interior de I:
1. ´( ) > 0 para todo x del interior de I entonces f es estrictamente creciente.
2. Si ´( ) < 0 para todo x del interior de I entonces f es estrictamente decreciente.
3. Si ´( ) = 0 para todo x del interior de I entonces f es constante.
OPTIMIZACIÓN EN UNA VARIABLE
Definiciones básicas:
Si ( ) tiene dominio D, entonces
∈ es un máximo de ó ( ) ≤ ( ), ∈
∈ es un mínimo de ó ( ) ≥ ( ), ∈
xo ´( x o ) = 0
Test de la primera derivada para los puntos óptimos:
´( ) ≥ 0 ≤ ´( ) ≤ 0 ≥ , = á .
´( ) ≤ 0 ≤ ´( ) ≥ 0 ≥ , = í .
Cómo buscar los máximos y mínimos:
Supongamos que sabemos que una función tiene un máximo y/o un mínimo en un intervalo acotado I. Los
máximos o mínimos pueden ser únicamente de los tres tipos siguientes:
1. Puntos interiores de I en los que ´( ) = 0
2. Los dos extremos de I
3. Puntos de I en los que no exista ´
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22. Si queremos hallar los valores máximos y mínimos de una función derivable f definida en un intervalo [ , ]
cerrado y acotado:
1. Hallar todos los puntos estacionarios de ( , ) esto es, hallar todos los puntos ∈( , ) que
satisfacen la ecuación ´( ) = 0.
2. Evaluar f en los extremos a y b del intervalo y en todos los puntos estacionarios que se han hallado
en el paso 1.
3. El mayor valor de la función hallado en el paso 2, es el valor máximo de [ , ].
4. El menor valor de la función hallado en el paso 2 es el valor mínimo de [ , ].
MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES
Si ( ) está definida en el dominio A, tenemos las siguientes definiciones:
1. La función f tiene un máximo local en c si existe un intervalo ( , ) centrado en c tal que
( ) ≤ ( ) ∈ ∩ ( , ).
2. La función f tiene un mínimo local en d si existe un intervalo ( , ) centrado en d tal que
( ) ≥ ( ) ∈ ∩ ( , ).
Para hallar los posibles máximos y mínimos locales de una función f definida en un intervalo I, podemos
buscar de nuevo entre los siguientes tipos de puntos:
1. Puntos interiores de I donde ´( ) = 0.
2. Los dos extremos de I.
3. Puntos de I para los que no exista ´.
Teorema (Test de la derivada primera para puntos óptimos locales)
Supongamos que c es un punto estacionario de = ( ).
1. Si ´( ) ≥ 0 en un intervalo ( , ) a la izquierda de c y ´( ) ≤ 0 en un intervalo ( , )
a la derecha de c, entonces = es un máximo local de f.
2. Si ´( ) ≤ 0 en un intervalo ( , ) a la izquierda de c y ´( ) ≥ 0 en un intervalo ( , )
a la derecha de c, entonces = es un mínimo local de f.
3. Si ´( ) > 0 en un intervalo ( , ) a la izquierda de c y en un intervalo ( , ) a la derecha
de c, entonces = no es un punto óptimo local de f. Lo mismo ocurre si ´( ) < 0 a ambos
lados de c.
- 20 -

23. Test de la derivada segunda (condiciones suficientes)
Sea f una función derivable dos veces en un intervalo I. Supongamos que c es un punto interior de I.
Entonces:
1. ´( ) = 0 ´´( ) < 0 implica que c es un máximo local estricto.
2. ´( ) = 0 ´´( ) > 0 implica que c es un mínimo local estricto.
3. ´( ) = 0 ´´( ) = 0 no podemos afirmar nada.
FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Suponiendo que f es una función continua en el intervalo I y derivable dos veces en el interior de I:
1. f es convexa en I si y sólo si ´´( ) ≥ 0 para todo x perteneciente al interior de I.
2. f es cóncava en I si y sólo si ´´( ) ≤ 0 para todo x perteneciente al interior de I.
Punto de inflexión
El punto c es un punto de inflexión de una función f derivable dos veces cuando existe un intervalo ( , )
centrado en c tal que se verifica una de las dos condiciones siguientes:
1. ´´( ) ≥ 0 < < ´´ ( ) ≤ 0 < <
o
2. ´´( ) ≤ 0 < < ´´ ( ) ≥ 0 < <
Teorema (Test de puntos de inflexión)
Sea f una función con derivada segunda continua en un intervalo I y sea c un punto interior de I.
1. Si c es punto de inflexión de f, entonces ´´( ) = 0.
2. Si ´´( ) = 0 ´´ cambia de signo en c, entonces c es un punto de inflexión de f.
La condición ´´( ) = 0 es necesaria para que c sea un punto de inflexión. Sin embargo no es suficiente
porque ´´( ) = 0 no implica que ´´ cambie de signo en = . (Ejemplo ( ) = x 4 )
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24. Teorema (Máximos y mínimos de funciones cóncavas y convexas)
Supongamos que f es una función cóncava (convexa) en un intervalo I. Si c es un punto estacionario de f
interior a I, entonces c es un máximo (mínimo) de f en I. En otras palabras, si c es un punto interior de I,
entonces:
1. ´´( ) ≤ 0 ∈ ´( ) = 0, entonces = es un máximo de f en I.
2. ´´( ) ≥ 0 ∈ ´( ) = 0, entonces = es un mínimo de f en I.
- 22 -

25. PROBLEMAS
Tema 2: Funciones Reales de una Variable
Tema 3: Cálculo Diferencial
PROBLEMA 1
Resolver en x las ecuaciones:
a) 3 = 27
b) 2 =
c) 5 = 25
PROBLEMA 2
a) Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (3,4). ¿Cuál es su pendiente?
b) Escribir la ecuación de la recta con pendiente 3 que pasa por (1,2).
c) Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (2,1) y radio 3
d) La ecuación + + 2 + 4 = 8, ¿a qué curva plana corresponde?
e) Escribir la ecuación general de las parábolas con eje de simetría vertical y vértice (2,-1). ¿Cuál de ellas pasa
por el punto (0,0)?
PROBLEMA 3
a) Hallar el dominio de las siguientes funciones:
( )=√ −3, ( )= / /
, ( )= , ( ) = ( − 1) − ( + 2)
√
b) ¿Tienen el mismo domino ( ) = ( )= ?
√
c) Escribir el dominio y dibujar las gráficas de:
( )= , ( )=√
PROBLEMA 4
a) ¿Para qué valores de ∈ ≥ ?
b) ¿Cuál es conjunto de números ∈ para los que | −4| ≤ 3? ¿es acotado? ¿Cuáles son su supremo e
ínfimo?
c) ¿Cuál es el conjunto de números ∈ para los que | −4| > 3? ¿es acotado? ¿Cuáles son su supremo e
ínfimo?
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26. PROBLEMA 5
Dibuja las gráficas de:
a) ( ) = | | , para | | ≤ 2
b) ( )= , 0<| |≤2
| |
PROBLEMA 6
Estudiar la continuidad y dibujar la gráfica de la función, = + |2 + 1 |
PROBLEMA 7
Encontrar ∈ tal que, en cada uno de los siguientes casos, hace a la función f continua para todo punto:
+ , <0
a) ( )=
+ , ≥0
2 , <
b) ( )=
+2, ≥
( )= , ≠1
c)
2, , =1
( )= , ≠
d)
2 , =
PROBLEMA 8
Probar que cada una de estas ecuaciones tiene al menos una solución en el intervalo dado:
a) −4 +6 −2=0 (−1,1).
b) +2 −7=0 (0,2).
- 24 -

27. PROBLEMA 9
a) Sean , funciones continuas en el intervalo [ , ], y tales que ( ) < ( ), ( ) > ( ). Justificar
que la ecuación ( ) = ( ) tiene al menos una solución en el intervalo ( , ).
b) Si f( ) = 1/ , (−1) < 0, (1) > 0 pero no existe ningún ∈ [−1,1] tal que ( ) = 0, ¿por qué este
ejemplo no contradice el teorema de los valores intermedios?
PROBLEMA 10
Calcular ´( ) mediante la definición de derivada:
a) ( )=2 +3 −1
b) ( )=− +
c) ( ) = 1/
PROBLEMA 11
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) = 2 +3 − + 5 en el punto (1,4).
PROBLEMA 12
Encontrar los valores de a, si existen, para los que las siguientes funciones son derivables en todo punto:
, <0
a) ( )=
2 , ≥0
+ , <0
b) ( )=
+2 , ≥0
+ , <0
c) ( )=
+2 , ≥0
PROBLEMA 13
Hallar la aproximación lineal y cuadrática en los siguientes casos:
a) ( ) = (1 + ) en un entorno de = 0
b) ( ) = (1 − ) / en un entorno de =2
c) ( ) = (1 + ) / en un entorno de = 0
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28. PROBLEMA 14
Derivar las siguientes funciones:
a) =3
b) =
c) =3
d) =
√
e) =−
√
f) ( )
g) ( )
h) =
i) ( ) = (2 − 7)(3 + 4 )
j) ( )= + (3 − )
k) ( )= ( + 4)√
l)
m)
√
n)
√
o) (2 + 1)( − )
p)
PROBLEMA 15
Calcular los valores de x para los que ´( ) = 0 siendo:
a) ( )=3 −2 +4
b) ( )= −3
c)
PROBLEMA 16
Calcular, usando la regla de la cadena, las derivadas de:
a) =
( )
b) = +√
c) = (√ + )
d) = +
e) =
f) = (cos ( ))
g) =
- 26 -

29. PROBLEMA 17
Calcular ´ = , mediante derivación implícita, si y es función de x, cumpliendo estas ecuaciones:
a) =2
b) 2 − + 2 = 3
c) ( + 2) = ( + 1)
d) + =
/
e) + / = /
f) 2 − =
PROBLEMA 18
Calcular las derivadas de las siguientes funciones usando derivación logarítmica:
a) ( )=2
b) ( )=
c) ( )=
d) ( )=
PROBLEMA 19
Usar los cambios de signo de la derivada ´( )para localizar los puntos de máximo y mínimo en R de:
a) ( )=2 +3 − 12 + 4
b) ( )=
c) ( )=
PROBLEMA 20
Hallar los puntos óptimos (máximo o mínimo) locales, con sus valores correspondientes, para las siguientes funciones
en su dominio de definición:
a) ( ) = 5 − ( − 1)
b) ( )=2 −6 +2
c) ( )= +
d) ( )=
- 27 -

30. PROBLEMA 21
Hallar los puntos de máximo y mínimo de cada función en el intervalo indicado:
a) ( )=4 −2 +2 [1,3]
b) ( )= −6 +4 [1,4]
c) ( )= [2,4]
d) ( )= − 10 [−1,3]
PROBLEMA 22
Estudiar las siguientes funciones:
Hallar el dominio. ¿En qué intervalos es continua?
Hallar los límites en los extremos de los intervalos de continuidad.
¿En qué intervalos es derivable?
Hallar los puntos de máximo y mínimo locales y globales.
Encontrar los intervalos de convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.
a) ( )=2 +3 − 12 + 4
b) ( )= +3 +3 +4
c) ℎ( ) = −6 +8 +2
d) ( )= +2 −3 −4 +2
e) ( )=
f) ℎ( ) =
g) =
- 28 -

31. Tema 4: Integración
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ACOTADAS SOBRE CONJUNTOS
COMPACTOS
Integral de una función acotada sobre un intervalo acotado
Sea f : D ⊂ R ⎯ R y sea [a, b] ⊂ D . Intentamos aproximar el área comprendida entre la función y el
⎯→
eje de abscisas mediante las sumas superiores y sumas inferiores.
- 29 -

32. Cuantos más elementos tenga la partición, más conseguiremos acercarnos al área que queda entre la función
y el eje de abscisas. La integral de f en el intervalo [a, b ] se define como el área que queda limitada entre
b
la función y el eje y se denota  a
f.
Integrabilidad de funciones continuas
Si f : D ⊂ R ⎯ R en continua en un intervalo [a, b ]  f es integrable en [a, b ] .
⎯→
Propiedades de la integral
Sea f : D ⊂ R ⎯ R , [a, b] ⊂ D y f acotada en [a, b ] , entonces
⎯→
1. Sea c ∈ [a, b] , si existen dos de las siguientes integrales, también existe la tercera y se cumple que
b c b

a
f = f + f
a c
a
2. 
a
f =0
b a
3. 
a
f = − f
b
4. Dadas dos funciones f , g acotadas e integrables en [a, b ] , entonces f + g también es acotada e
integrable en [a, b ] y se verifica que
b b b
 a
f +g= f + g
a a
b b
5.  a
k· f = k  f
a
6. Las funciones acotadas e integrables en un intervalo [a, b ] tienen estructura de espacio vectorial.
7. Si dos funciones f , g son acotadas e integrables en [a, b ] y f ( x) = g ( x) salvo en un número
b b
finito de puntos, entonces a
f ( x) dx =  g ( x) dx .
a
8. Si una función es continua en [a, b ] salvo quizás en un número finito de puntos (seccionadamente
continua), entonces f es integrable en [a, b ] .
Integrales inmediatas
x a +1
 x dx = a + 1 + k ∀a ≠ −1  dx = ln x + k
a 1
x
 a dx = ax + k  e dx = e + k
x x
ax
 a dx = +k  sin x dx = − cos x + k
x
ln a
1 ax
 cos x dx = sin x + k e dx = e +k
ax
a
- 30 -

33. TEORÍA DEL CÁLCULO DE INTEGRALES
Primitiva o antiderivada de una función
Dada una función f : D ⊂ R ⎯ R , se llama primitiva o antiderivada de f en [a, b ] a toda función
⎯→
continua que cumpla que F ' = f dentro de (a, b) .
Si F es una primitiva de f , entonces también es primitiva F + k ∀k ∈ R .
Regla de Barrow
Sea f : D ⊂ R ⎯ R , f continua en [a, b ] y sea F una primitiva de f en el intervalo [a, b ] . Entonces
⎯→
b
 a
f ( x) =F (b) − F (a)
Cambio de variable
Sea f una función continua , en [a, b ] y g una función con derivada continua en [α , β ] tal que g (α ) = a ,
g ( β ) = b y g [(α , β )] ⊂ [a, b] , entonces
β
α f (g ( x))· g ' ( x) dx = 
b
f ( x) dx
a
Integración por partes
Sean f , g dos funciones con derivadas continuas en [a, b ] . Entonces:
b b
a
f ·g ' = f (b)·g (b) − f (a)·g (a) −  f '·g
a
o bien
b b b
a
u·dv = u·v −  v·du
a a
- 31 -

34. INTEGRALES IMPROPIAS
Integrales impropias de 1ª especie
Sea f : D ⊂ R ⎯ R tal que f es integrable en cada intervalo [a, x ] ∀x ≥ a .
⎯→
Se llama integral impropia de 1ª especie de f sobre el intervalo [a,+∞ ) al límite:
∞ x

a
f = lim  f
x →∞ a
Si el límite existe, se dice que la integral es convergente y en caso contrario, divergente.
Análogamente, sea f : D ⊂ R ⎯ R tal que f es integrable en cada intervalo [x, a ] ∀x ≤ a
⎯→
Se llama integral impropia de 1ª especie de f sobre el intervalo (− ∞, a ] al límite:
a a
 −∞
f = lim
x →−∞ x  f
Si el límite existe, se dice que la integral es convergente y en caso contrario, divergente.
a ∞
Sea f : R ⎯ R , si existe a ∈ R de modo que existan las dos integrales impropias
⎯→ 
−∞
f y 
a
f,
entonces existe la integral impropia en el intervalo (−∞, ∞ ) y se tiene que
∞ a ∞
−∞
f =
−∞
f + f
a
Si alguna de las integrales anteriores no existe, se dice que la integral es divergente.
Integrales impropias de 2ª especie
Sea f : D ⊂ R ⎯ R tal que f es integrable y acotada en cada subintervalo [x, b] ⊂ [a, b] y tal que f
⎯→
no esta acotada por la derecha de a .
Se llama integral impropia de 2ª especie de f sobre el intervalo [a, b ] al límite:
b b
 +
a
f = lim  f
x→a x
x >a
Sea f : D ⊂ R ⎯ R tal que f es integrable y acotada en cada subintervalo [a, x ] ⊂ [a, b] y tal que f
⎯→
no esta acotada por la izquierda de
Se llama integral impropia de 2ª especie de f sobre el intervalo [a, b ] al límite:
−
b b

a
f = lim  f
x →b x
x <b
En ambos casos, si existe el límite se dice que la integral es convergente y en caso contrario se dice que la
integral es divergente.
- 32 -

35. INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL EN R2
Integración en un recinto rectangular. Teorema de Fubini
Sea f : D ⊂ R 2 ⎯ R , f continua en D y sea el rectángulo U = [a1 , b1 ] × [a 2 , b2 ] ⊂ D , entonces:
⎯→
f =    f ( x, y ) dy  dx =    f ( x, y ) dx  dy
b1 b2 b2 b1
U
 a
a1  2


 a
a2  1


- 33 -

36. PROBLEMAS
Tema 4: Integración
PROBLEMA 1
Calcular las siguientes integrales utilizando el método de cambio de variable:
( )
50
3
ex

3
a)
1
2 x· x 2 + 10 dx b)  1 3
1+ ex
dx
π
ln x

8
 d)
2
c) dx cos x·e sin x dx
0
3 x
e)  sin x·cos x dx 1

2
f) x·e x dx
0
PROBLEMA 2
Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
a)  x·ln x dx b)  x·sin x dx
c)  ( x + 2)·e
2 x
dx d)  ln x dx
PROBLEMA 3
Clasifica y calcula, si es posible, las siguientes integrales:
10 4

2
a) (i) 
− 3 x 10
dx (ii)
−∞
e10 x dx
∞  x·e x 0 ≤ x ≤ 2
b)  0
f ( x) dx f ( x) =  − 2
e·x x>2
e x x≤0
1 ∞ 
c)  −∞
f ( x) dx y 
−∞
f ( x) dx f ( x) =  x 2 0< x≤2
1 x>2
x
∞ 1
d)  −1 3
x
dx
 ex x≤0
4  1
e)  −∞
f ( x) dx f ( x) =  x 0 < x ≤1
2 + x 1< x ≤ 4

∞  x12 x >1
f)  −∞
f ( x) dx f ( x) =  2
x −1≤ x ≤1
- 34 -

37. PROBLEMA 4
2
Sea la integral  −1
2 x·(x 2 − 1) p dx , donde p es un entero.
a) Clasificar la integral para los distintos valores de p .
b) Calcular la integral para p = 2 .
PROBLEMA 5
a 4
Considérese la integral 
1− x
0 3
dx , donde a > 0 .
a) Clasificar la integral para cada a > 0 .
b) Calcular la integral para a = 2 .
PROBLEMA 6
∞
Sea la integral  −1
x −q ·(1 + x) p dx con p, q enteros distintos de cero.
Clasificar la integral para los distintos valores de p, q .
Calcular la integral, si es posible para p = 2 y q = 1 .
PROBLEMA 7
Clasifica y calcula, si es posible, las siguientes integrales:
4 2x 1

3
a)
1 5
x +1
2
dx b) 
−∞ ( x − 2) 5
dx
- 35 -

39. Tema 5: Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones
Definiciones básicas
Consideramos el conjunto R n = {( x1 , x 2 ,  , x n ) / x i ∈ R ∀i = 1,  , n} y las operaciones suma y producto
por un escalar definidas de la siguiente forma:
 x = ( x1 ,  , x n ) y = ( y1 ,  , y n )  x + y = ( x1 + y1 ,  , x n + y n )
 λ ∈ R y x = ( x1 ,  , x n )  λ ·x = (λ ·x1 ,  , λ ·x n )
El espacio R n con estas dos operaciones tiene estructura de espacio vectorial.
Subespacios vectoriales
Sea E un espacio vectorial y S un subconjunto de E . Se dice que S es un subespacio vectorial de E si
∀x, y ∈ S x + y∈S
∀λ ∈ R ∀x ∈ S λ ·x ∈ S
Nota: El vector 0 está en todos los subespacios vectoriales, por tanto si un conjunto no contiene al vector 0 ,
no puede ser subespacio vectorial.
Sistemas libres. Sistemas generadores
Dado un sistema de vectores x 1 , , x n , se llama combinación lineal del sistema x 1 , , x n a todo
vector de la forma x = λ1 x1 +  + λ n x n donde λ1 ,  , λ n son números reales cualesquiera.
Se dice que un sistema de vectores es ligado si alguno de los vectores es combinación lineal de los
restantes. En caso contrario, se dice que el sistema es libre.
Se define el rango de un sistema de vectores como el rango de la matriz que resulta al escribir los vectores
en las columnas de una matriz.
Un sistema de n vectores es libre si su rango es igual al número de vectores y es ligado si es menor que el
número de vectores.
= n  El sistema es libre
Rango x 1 , , x n 
< n  El sistema es ligado
- 37 -

40. Se dice que un sistema de vectores x 1 , , x n es sistema generador de un espacio vectorial E cuando
todo vector de E se puede escribir como combinación lineal de x 1 , , x n .
Bases
Se dice que un sistema de vectores x 1 , , x n es base de un espacio vectorial E si:
 x 1 , , x n es libre.
 x 1 , , x n es sistema generador de E .
Un espacio vectorial puede tener infinitas bases, pero todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo
número de elementos. A este número se le llama dimensión del espacio.
Se llama base canónica de R n a la base formada por los vectores e 1 = (1,0,  ,0) e 2 = (0,1,  ,0) ,...,
e n = (0,0, ,1)
Teoremas:
 Todo espacio vectorial tiene alguna base.
 La dimensión de un subespacio vectorial es siempre menor o igual que la del espacio en el que está
contenido.
 Sea un espacio vectorial de dimensión n > 1 .Entonces:
 Cualquier sistema de más de n vectores es ligado.
 Un sistema de menos de n vectores no puede ser generador.
 Todo sistema libre de n vectores es una base.
 Todo sistema generador de n vectores es una base.
 Sea un espacio vectorial de dimensión n
 Todo sistema libre de menos de n vectores se puede completar hasta obtener una base
(completando con vectores de la base canónica).
 Todo sistema generador de más de n vectores se puede reducir hasta obtener una base
(eliminando los vectores que sean combinación lineal de los restantes).
- 38 -

41. ESPACIO EUCLÍDEO
Producto interno
Sean x = ( x1 ,  , x n ) , y = ( y1 ,  , y n ) dos vectores de R n . Se define el producto interno euclídeo entre
x , y como:
x y = x1 y1 +  x n y n
El producto interno verifica las siguientes propiedades:
1) x x ≥ 0 ∀x ∈ R n ∀x ∈ R n
2) x x = 0 ⇔ x = 0 ∀x ∈ R n
3) x y = y x ∀x, y ∈ R n
4) λ1 x 1 + λ 2 x 2 x = λ1 x 1 x + λ 2 x 2 x ∀λ1 , λ 2 ∈ R ∀x, x 1 , x 2 ∈ R n
Al espacio vectorial R n con el producto interno interno así definido se le llama espacio euclídeo R n .
Norma de un vector. Ángulo entre dos vectores
Llamamos norma del vector x al número real x = x x . xx = x
2
La norma verifica las siguientes propiedades:
1) x ≥ 0 ∀x ∈ R n
2) x = 0 ⇔ x = 0 ∀x ∈ R n
3) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ R n
4) x y ≤ x · y ∀x, y ∈ R n
5) λx = λ x ∀x ∈ R n ∀λ ∈ R
x y
Se define el ángulo formado entre dos vectores como el ángulo θ que cumple cos θ = .
x ·y
- 39 -

42. Sistemas ortogonales y ortonormales
Se dice que x, y son ortogonales cuando 0= y x .
Se dice que x 1 , , x n es un sistema ortogonal cuando x i x j = 0 ∀i ≠ j .
 x x =0
 ∀i ≠ j
Se dice que x 1 , , x n es un sistema ortonornal cuando  i j
 x 1 = 1, x 2 = 1,..., x n = 1,

Teoremas:
 Si dos vectores son ortogonales, forman un ángulo de 90º .
 Si x 1 , , x n es un sistema ortogonal que no contiene al vector cero, entonces es libre.
 Todo sistema ortonormal es libre.
 Un vector es ortogonal a todos los vectores de un subesapacio vectorial S cuando es ortogonal a todos
los vectores de una base de S .
- 40 -

43. MATRICES
Definiciones. Operaciones con matrices
Un matriz de orden mxn es una aplicación
M : { ,..., m} ×
1 {1,..., n} ⎯ ℜ
⎯→
(i, j ) ⎯ a ij
⎯→
 a 11 a 12  a 1n 
 
a a 22  a 2n 
M =  21 
   
 
a  
 m1 am2 a mn 
Se dice que una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de
matrices cuadradas de orden n se denota M (n ) .
Llamamos matriz fila a una matriz que está formada por una fila y n columnas, y llamamos matriz columna a
una matriz formada por una columna y m filas.
Se dice que una matriz es triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos. Análogamente se define triangular inferior.
Dadas dos matrices del mismo orden, se define la matriz suma como la matriz que resulta al sumar los
elementos que ocupan el mismo lugar.
 a11 a12  a1n   b11 b12  b1n   a11 + b11 a12 + b12  a1n + b1n 
     
a a 22  a2n  b b22  b2 n   a + b21 a 22 + b22  a 2 n + b2 n 
A =  21 B =  21 A + B =  21
              
     
a  a mn  b  bmn  a + b a m 2 + bm 2  a mn + bmn 
 m1 am2   m1 bm 2   m1 m1 
Dadas A ∈ M (m, n ), B ∈ M (n, p ) , se puede definir la matriz producto como
 c11 c12  c1n 
 
c c 22  c2n 
A ⋅ B =  21
    
 
c  c mn 
 m1 cm 2 
donde c ij son el resultado de multiplicar la fila i por la columna j.
Notas:
 No siempre se pueden multiplicar matrices. El número de columnas de la primera tiene que coincidir con
el número de filas de la segunda.
 Aunque se puedan multiplicar, las matrices no verifican la propiedad conmutativa.
- 41 -

44. Traspuesta de una matriz
Se define la traspuesta de una matriz como la matriz que resulta al intercambiar filas por columnas, es decir:
 a11 a12  a1n   a11 a 21  a m1 
   
a a 22  a2n  a a 22  a m 2 
A =  21  A =  12
t
         
   
a 
 a mn  a a 2 n  a nm 
 m1 am2  1n 
Se dice que una matriz es simétrica cuando es igual a su traspuesta.
Matrices escalonadas
Se llama matriz escalonada a una matriz que verifica que cada una de las filas a partir de la segunda
comienza por una sucesión de ceros que contiene algún cero más que la anterior. El primer elemento no nulo
de cada fila se llama elemento cabecera de la fila.
Se llama matriz escalonada reducida a una matriz escalonada que verifica que en las columnas en las que
estén los elementos cabecera de las filas, todos los demás elementos son nulos.
Rango de una matriz
Se define el rango de una matriz como el orden del mayor determinante distinto de cero contenido en esa matriz.
El rango de una matriz no varía al aplicar a esa matriz cualquiera de las siguientes operaciones, llamadas
operaciones elementales:
 Intercambiar el orden de las filas
 Multiplicar una de las filas por un escalar (número real) distinto de cero.
 Sumar a una de las filas cualquiera de las otras.
 Aplicar reiteradamente cualquiera de las operaciones anteriores.
El rango de una matriz escalonada es igual al número de filas con algún elemento distinto de cero.
En la práctica, para calcular el rango de una matriz, haremos operaciones elementales hasta convertirla en
una matriz escalonada y calcularermos el rango contando las filas no nulas.
Matrices invertibles. Cálculo de la matriz inversa
Se dice que una matriz cuadrada A ∈ M (n ) es invertible si existe una matriz A −1 ∈ M (n ) que cumpla que
A ⋅ A −1 = I n y A −1 ⋅ A = I n . En la práctica, usaremos que A ∈ M (n ) es invertible ⇔ A ≠ 0 .
Pasos para calcular la matriz inversa:
1. Calcular A t
( )
2. Calcular A c = Adj A t
1 c
3. A −1 = A
A
- 42 -

45. DETERMINANTES
Determinante de una matriz cuadrada
Dada una matriz cuadrada A ∈ M (n) , se define su determinante como un número real asociado a esa
matriz, que se calcula de la siguiente forma:
Para n = 2
a11 a12
= a11·a22 − a12 ·a21
a21 a22
Para n = 3
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 = a11 ·a 22 ·a 33 + a12 ·a 23 ·a 31 + a 21 ·a 32 ·a13 − a13 ·a 22 ·a 31 − a 23 ·a 32 ·a11 − a 33 ·a 21 ·a12
a 31 a 32 a 33
Desarrollo por una fila o columna
Dada la matriz
 a11 a12  a1n 
 
a a 22  a2n 
A =  21
    
 
a  a nn 
 n1 an2 
se llama adjunto del elemento a ij y se denota Aij a (− 1)i+ j por el determinante que resulta al eliminar de la
matriz original la fila i y la columna j .
Para calcular determinantes de orden mayor que 3, podemos utilizar el siguiente desarrollo:
n
 Desarrollo por la fila i A =  aij ·Aij
j =1
n
 Desarrollo por la columna j A =  aij ·Aij
i =1
- 43 -

46. Propiedades de los determinantes
1) Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna por una constante, todo el determinante
queda multiplicado por dicha constante.
k ·a11 a12  a1n a 11 a 12  a1n
k ·a 21 a 22  a2n a 21 a 22  a2n
= k·
       
k ·a n1 a n 2  a nn an1 an2  a nn
2) Si permutamos entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
a11 a12  a1n a12 a11  a1n
a 21 a 22  a2n a 22 a 21  a 2n
=−
       
a n1 an2  a nn an2 a n1  a nn
3) Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales entre si, su valor es cero.
4) Si a una fila o columna le sumamos una combinación lineal de las restantes, el determinante no varía.
5) A·B = A · B
- 44 -

47. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
Definiciones básicas
Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas al conjunto de ecuaciones:
 a11 x1 + a12 x 2 +  + a1n x n = y1
 a x + a x ++ a x = y2

(1)  21 1 22 2 2n n
 
a m1 x1 + a m 2 x 2 +  + a mn x n
 = ym
a ij son los coeficientes del sistema
x1 , xn son las incógnitas o variables independientes
y1 ,  y m son los términos independientes
Se llama solución del sistema a un vector ( x1 ,  , x n ) que verifique todas las ecuaciones simultáneamente.
Un sistema se dice que es compatible cuando tiene solución y se dice que es incompatible cuando no tiene
solución.
Los sistemas compatibles pueden ser determinados (solución única) o indeterminados (infinitas
soluciones).
Expresión matricial
El sistema de ecuaciones lineales (1), se puede escribir de forma matricial considerando las matrices
A ∈ M ( m, n) matriz de coeficientes, X ∈ M (n,1) matriz incógnita e Y ∈ M (m,1) matriz de términos
independientes, de la siguiente manera.
 a11 a12  a1n   x1   y1 
     
 a 21 a 22  a2n   x2   y2 
  ⋅ = ⇔ A·X = Y
         
     
a  a nn   x n   y m 
 m1 am 2     
Sistemas homogéneos
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo cuando todos sus términos independientes
son cero.
 a11 x1 + a12 x 2 +  + a1n x n = 0
 a x + a x ++ a x = 0
 21 1 22 2 2n n

 
a m1 x1 + a m 2 x 2 +  + a mn x n = 0

Es inmediato comprobar que si tomamos x1 = 0, x 2 = 0,  , x n = 0 , se cumplen todas las ecuaciones, es
decir, un sistema homogéneo siempre tiene la solución (0,  ,0) (llamada solución trivial). Por tanto TODO
SISTEMA HOMOGÉNEO ES COMPATIBLE.
- 45 -

48. Sistemas equivalentes
Se dice que dos sistemas de ecuaciones con el mismo número de incógnitas son equivalentes cuanto tienen
las mismas soluciones.
Un sistema de ecuaciones es equivalente al sistema que resulta al efectuar con su matriz asociada
operaciones elementales, es decir:
 Intercambiar el orden de las distintas ecuaciones.
 Multiplicar una de las ecuaciones por un escalar (nº real) distinto de cero.
 Sumar a una de las ecuaciones una combinación lineal de las restantes.
 Aplicar reiteradamente cualquiera de las operaciones anteriores.
Teorema de Rouché
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, con la correspondiente matriz ampliada
 a11 x1 + a12 x 2 +  + a1 n x n = b1
 a11  a1n b1 
 a x + a x ++ a x = b2  
 21 1
[A : B] =  21
22 2 2n n a  a2n b2 
  
    
 
 a m 1 x1 + a m 2 x 2 +  + a mn x n = bm a bm 
  m1  a mn 
 Si r [A] = r [A : B ]  SISTEMA COMPATIBLE
 Si r [ A] = r [ A : B ] = nº de incógnitas  SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
 Si r [A] = r [A : B ] < nº de incógnitas  SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
 Si r [ A] < r [ A : B ]  SISTEMA INCOMPATIBLE
Método de Gauss. Método de Gauss-Jordan.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en un sistema equivalente
que sea escalonado. Así calcularemos fácilmente el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la
matriz ampliada, contando el número de filas distintas de cero.
Pasos a seguir:
1) Escribir la matriz ampliada
2) Hallar una matriz escalonada equivalente a la anterior usando operaciones elementales.
3) Discutir el sistema utilizando el Teorema de Rouché.
4) Si es compatible, escribimos el sistema equivalente y resolvemos.
El Método de Gauss-Jordan es análogo al método de Gauss, pero obteniendo una matriz escalonada
reducida.
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49. PROBLEMAS
Tema 5: Vectores, Matrices y Sistemas De Ecuaciones
PROBLEMA 1
a) Sean x, y ∈ R n . Probar que si x, y son ortogonales, entonces x − y
2 2 2
= x + y .
b) Sean x, y ∈ R n . Demostrar que si x = y , entonces x + y x − y = 0 .
PROBLEMA 2
¿Para qué valores de α ∈ R son ortogonales los vectores (α , α − 1,0,1) y ( 2α , α ,3,1) ?
¿y los vectores (α , α ,0,−1) y ( 2α ,0, α ,1) ?
PROBLEMA 3
Dado el conjunto S = (5,4, a), (2,4,4) , Calcular:
a) El valor de a ∈ R para que el vector (2,−2,1) sea ortogonal a x ∀x ∈ S .
PROBLEMA 4
Calcular el rango de las siguientes matrices:
1 2 − 4 1 4 − 5  4 2 −1
     
a)  4 1 − 2  b)  8 7 − 2  c)  5 3 − 2 
 5 2 − 3 2 −1 8   3 2 −1
     
0 1 1 2 1 1 1 1  2 − 5 1 2
     
d)  1 0 1 2  e) 1 − 1 1 1 f)  − 3 7 1 4 
1 1 0 4 1 1 − 1 1  5 − 9 2 7
     
PROBLEMA 5
Calcular la inversa de la siguientes matrices:
2 5 7  3 − 4 5   2 7 3
       cos(α ) − sin(α ) 
a)  6 3 4  b)  2 − 3 1  c)  3 9 4  d) 
 sin(α ) cos(α )  
 5 − 2 − 3  3 − 5 − 1 1 5 3  
     
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50. PROBLEMA 6
Resolver mediante el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
x + 2 y + 2z = 0
 x − 2y + z = 5  3x + y + 3z = 3  2x + y + z = 6
  
a) 2 x − y − 2 z = −1 b)  c) 3 x − 2 y + 3 z = 4
 x + 3y + z = 0  2 x + y + z = −1  x + 4y + z = 0
  2x + y + z = 2 

 x+ y− z =3 3 x − 4 y + 6 z = 7
 
d) 2 x − y + 4 z = 3 e) 5 x + 2 y − 4 z = 5
 3x + 2 y − z = 8  x + 3 y − 5z = 0
 
PROBLEMA 7
Discutir y resolver los siguientes sistemas según los distintos valores de a ∈ R :
 x + 3y + z = 0
 x + y + az = 3 
a)  b)  2 x + y − 3 z = 5
ax + y + z = 2 − x + 7 y + 9 z = a

PROBLEMA 8
Discutir los siguientes sistemas según los valores de los parámetros a, b ∈ R .
x + y + z = 3 2 x − ay + bz = 4
 
a)  x − y + z = 1 b)  x+z =2
 2 x + az = b  x+ y+z =2
 
 x + y − z =1

c) 3 x + ay + az = 5
 4 x + ay = 5

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