1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
Facultad de Ingeniería de Minas
CURSO: Investigación de Operaciones
TEMA: Método gráfico de solución de un Programa Lineal
PERTENECE: Condor Araujo Joel Condor
2015 - I
Docente : José AVELLANEDA PURI
avellaneda7@hotmail.com
2. EJERCICIOS
MÉTODO GRÁFICO DE SOLUCIÓN DE UN PROGRAMA LINEAL
1) Maximizar Z = x2 - 0.75x1
s.a.
x1 - x2 0 ….……….. (1)
-0.5x1 + x2 1 ………….. (2)
x1,x2 0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): x1 – x2 0
m = tg = -c1 = -(1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=1
c2 (-1) 1 x1
Si: x2=0; , Si: x1=0; x20x10
Función económica o función objetivo
Restricciones estructurales
Restricción de no-negatividad
m = tg = -c1 = x2
c2 x1
Si “m”:
Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(-) x1
6. x20
x10
1 2 3 4 5 6-1-2-3
5
4
3
2
1
-1
-2
1
2
Polígono Convexo NO Acotado
(abierto)
x2
x1
Minimizar Z = x1 – 10x2
-4-5
Solución NO FACTIBLE o
Problema NO SOLUBLE
7. Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Minimizar Z = x1 - 10x2
m = tg = -c1 = -(1) = 0.5 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.5, x1=5
c2 (-10) 5 x1
Es un caso excepcional, la recta Z en todo momento es secante al Polígono Convexo
NO Acotado (abierto).
x10 x20
8. 3) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 – x3
s.a.
x1 + 2x2 + x3 10 ……….….. (1)
x1 + x2 + 2x3 9 …………….. (2)
2x1 - x3 12 ……….….. (3)
x1,x2,x3 0
Solución:
x2
x1
x3
Aquí debemos acudir a un espacio tridimensional, y
como se deduce el tratar de resolverlo gráficamente
resulta muy complicado. Por lo que es menester la
solución por otro método y que será uno analítico
como veremos en el próximo capítulo.
9. 4) Maximizar Z = 2x1 + 3x2
s.a.
x1 + x2 = 8 …………….. (1)
2x1 + 3x2 12 ………….. (2)
x1,x2 0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Ecuación (1): x1 + x2 = 8
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (2): 2x1 + 3x2 12
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
x1=8 x2=8
x16 x24
x10 x20
10. Gráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2
m = tg = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3
c2 (3) 3 x1
Del gráfico se deduce: La intersección del semiplano (2x1 + 3x2 12) con la recta (x1 +
x2 = 8) viene a constituir la misma recta y es en ella donde se encuentra la solución
óptima.
Resolviendo la intersección de:
x1 + x2 = 8 ………….. (1)
x1 = 0 ………….. (2)
Se obtiene la siguiente solución óptima única:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(0) + 3(8) = 24
x1=0 x2=8
25. Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = -5x2
m = tg = -c1 = -(0) = 0; la recta Z es horizontal
c2 -5
No hay una posible intersección de los 4 semiplanos.
x10 x20
26. x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2
-2
-4
2
1
x2
x1
Si “m”:
Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg = x2
c2 x1
1614 18 20
Polígono Convexo NO Acotado
(Abierto)
Polígono Convexo Acotado
(cerrado)
Solución NO FACTIBLE o
Problema NO SOLUBLE
Z
32. 10) Una compañía posee dos minas: la Mina A produce cada día 1 tonelada de hierro
de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La Mina B
produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía
necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de
calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación
es de 2.000 dólares en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que
el costo sea mínimo?
Solución mediante el método gráfico: