Es la parte de la Matemática
Elemental que trata de
las propiedades y medidas de
la extensión. La
Geometría parte de ciert...
ÁNGULOS:
TEOREMAS BÁSICOS
ÁNGULOS
TEOREMAS BÁSICOS
1) La suma de los ángulos consecutivos
formados
alrededor de un punto y a un mismo lado de
una
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2) En todo triángulo, la suma de los
ángulos internos
es igual a 180°.
Δ ABC: α + β + γ = 180°
3) En un triángulo cualquiera, el ángulo
exterior es
igual a la suma de los ángulos interiores
no adyacentes
con él.
ΔABC:...
TEOREMAS AUXILIARES
TEOREMA 1.-
En todo cuadrilátero cóncavo, el ángulo
exterior
convexo, es igual a la suma de los ángulos
interiores
convexo...
TEOREMA 2.-
El ángulo formado por dos bisectrices
interiores
de un triángulo, es igual a noventa
grados más la
mitad del t...
TEOREMA 3.-
El ángulo formado por dos bisectrices
exteriores
de un triángulo es igual a noventa
grados, menos
la mitad del...
TEOREMA 4.-
El ángulo formado por una bisectriz
interior y
una bisectriz exterior de un triángulo es
igual a la
mitad del ...
VALOR DE LOS ÁNGULOS
EN LA CIRCUNFERENCIA
Sean los ángulos “α”:
ÁNGULO CENTRAL
α = AC
ÁNGULO INSCRITO
α = AC
2
Ángulo interior
α=AD-BC
2
Ángulo semi-inscrito
α = AB
2
Ángulo exincripto
α = ABD
2
Distancia de un punto a una
recta
“Es la longitud de la perpendicular trazada desde el
punto a la recta”.
AB: distancia de...
TRIÁNGULOS
LÍNEAS PRINCIPALES DEL
TRIÁNGULO
Son cuatro las líneas principales: Altura, Mediana,
Mediatriz y Bisectriz.
1) ALTURA
Es la distancia de un vértice al lado opuesto o a
su
prolongación. Las ALTURAS se cortan en un
punto llamado ORT...
Si el triángulo es acutángulo, el
ortocentro es
Interior.
si es obtusángulo es exterior
ortocentro
Pero si es
rectángulo, es el punto de intersección de los
catetos.
ortocentro
TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL
Es el triángulo cuyos vértices son los pies de las
alturas de un triángulo dado.
α , β y δ : ángu...
2)MEDIANA
Es el segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto.
Las MEDIANAS se intersectan en un punto llamado
BARICENTRO o CENTRO DE GRAVEDAD del
triángulo, este punto tiene la propied...
Por consiguiente, se cumple que:
OB 2 OD 1 BD
OD 1 OB 2 BD 3
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TEOREMA.- En todo triángulo rectángulo, la mediana
relativa a la hipotenusa es igual a la mitad
de esa hipotenusa.
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3) MEDIATRIZ
Es la perpendicular trazada desde el punto
medio
del lado de un triángulo. Las MEDIATRICES se
cortan en un pu...
O: CIRCUNCENTRO
O:CIRCUNCENTRO
O:CIRCUNCENTRO
4) BISECTRIZ
Es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos
parciales iguales. Las BISECTRICES de un triángulo
se corta...
EXCENTRO.- Es el punto “O” de intersección de
una bisectriz interior con dos bisectrices exteriores
relativas a los otros ...
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
Para determinar la igualdad de dos triángulos,
bastará
establecer la igualdad de tres elementos, a
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TEOREMAS DERIVADOS DE LA
IGUALDAD DE
TRIÁNGULOS
En virtud de la igualdad de
triángulos, se demuestra
los siguientes teorem...
TEOREMA 1.-
Si por el punto medio del lado de un triángulo,
se
traza una paralela a otro lado, dicha paralela
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MN AC
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TEOREMA 2.-
El “baricentro” o “Centro de Gravedad” de un
triángulo divide a cada una de las medianas en la
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TEOREMA 3.-
En cualquier trapecio, la mediana es igual a la
semisuma de las bases; y el segmento que une los
puntos medios...
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes
cuando tienen sus
ángulos respectivamente iguales, y
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1er. Caso.- Cuando tienen sus 3 ángulos
iguales.
2do. Caso.- Cuando tienen un ángulo igual,
comprendido
entre lados propor...
TEOREMAS DERIVADOS DE LA SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
TEOREMA DE THALES
Toda recta, paralela al lado de un triángulo y que
corta a los otros dos lados, determina un triángulo
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TEOREMA DE MENELAO
Toda recta que corta a los tres lados de un triángulo
determina en estos, seis segmentos; siendo el pro...
TEOREMA DE CEVA
Las rectas que pasan por los vértices de un triángulo
y son concurrentes, determinan en los lados de éste,...
RELACIONES MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
En cualquier triángulo rectángulo,
se cumple las
siguientes propiedades:
1° La altura relativa a la hipotenusa, es media
proporcional
entre los segmentos que determina
sobre ésta.
2° Cada cateto ...
1° h² = mn
2° a² = bn
c² = bm
3° a² + c² = b²
4º ac = bh
m n
TEOREMA.-
En todo triángulo rectángulo, la inversa del
cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es
igual a la suma d...
RELACIONES MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO
OBLICUÁNGULO
1er caso.- En todo triángulo acutángulo, el cuadrado
del lado que se opone a un ángulo agudo es
igual a la suma de los cua...
2do. Caso.- En todo triángulo obtusángulo, el
cuadrado del lado que se opone al ángulo obtuso
es igual a la suma de los cu...
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Geometría

  1. 1. Es la parte de la Matemática Elemental que trata de las propiedades y medidas de la extensión. La Geometría parte de ciertos conceptos primitivos dados intuitivamente, tales como: punto, recta y plano. Se divide en GEOMETRÍA PLANA Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO.
  2. 2. ÁNGULOS: TEOREMAS BÁSICOS
  3. 3. ÁNGULOS TEOREMAS BÁSICOS 1) La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta es 180°. Punto O: α + β + γ + δ = 180°
  4. 4. 2) En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a 180°. Δ ABC: α + β + γ = 180°
  5. 5. 3) En un triángulo cualquiera, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes con él. ΔABC: β= α + γ
  6. 6. TEOREMAS AUXILIARES
  7. 7. TEOREMA 1.- En todo cuadrilátero cóncavo, el ángulo exterior convexo, es igual a la suma de los ángulos interiores convexos: Δ BACD: α = β+ ε + δ
  8. 8. TEOREMA 2.- El ángulo formado por dos bisectrices interiores de un triángulo, es igual a noventa grados más la mitad del tercer ángulo: ΔABC: α = 90° + ε 2
  9. 9. TEOREMA 3.- El ángulo formado por dos bisectrices exteriores de un triángulo es igual a noventa grados, menos la mitad del tercer ángulo. δ = 90º - a 2
  10. 10. TEOREMA 4.- El ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior de un triángulo es igual a la mitad del tercer ángulo. δ = B^ 2
  11. 11. VALOR DE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
  12. 12. Sean los ángulos “α”: ÁNGULO CENTRAL α = AC
  13. 13. ÁNGULO INSCRITO α = AC 2
  14. 14. Ángulo interior α=AD-BC 2
  15. 15. Ángulo semi-inscrito α = AB 2
  16. 16. Ángulo exincripto α = ABD 2
  17. 17. Distancia de un punto a una recta “Es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto a la recta”. AB: distancia de “A” a XX´
  18. 18. TRIÁNGULOS
  19. 19. LÍNEAS PRINCIPALES DEL TRIÁNGULO Son cuatro las líneas principales: Altura, Mediana, Mediatriz y Bisectriz.
  20. 20. 1) ALTURA Es la distancia de un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Las ALTURAS se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO.
  21. 21. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es Interior.
  22. 22. si es obtusángulo es exterior ortocentro
  23. 23. Pero si es rectángulo, es el punto de intersección de los catetos. ortocentro
  24. 24. TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL Es el triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo dado. α , β y δ : ángulos del triángulo órtico. “O” es el incentro del triángulo órtico. Δ MNP: órtico o pedal. Donde se cumple: α = 180° - 2C β = 180° - 2A δ = 180° - 2B
  25. 25. 2)MEDIANA Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
  26. 26. Las MEDIANAS se intersectan en un punto llamado BARICENTRO o CENTRO DE GRAVEDAD del triángulo, este punto tiene la propiedad de dividir a cada una de las medianas en la relación de dos es a uno. BARICENTRO
  27. 27. Por consiguiente, se cumple que: OB 2 OD 1 BD OD 1 OB 2 BD 3 3
  28. 28. TEOREMA.- En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esa hipotenusa. DB AC h 2 2 MEDIANA
  29. 29. 3) MEDIATRIZ Es la perpendicular trazada desde el punto medio del lado de un triángulo. Las MEDIATRICES se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Cuando el triángulo es acutángulo, el CIRCUNCENTRO es interior, si es obtusángulo es exterior, pero si es rectángulo, es el punto medio de la hipotenusa.
  30. 30. O: CIRCUNCENTRO
  31. 31. O:CIRCUNCENTRO
  32. 32. O:CIRCUNCENTRO
  33. 33. 4) BISECTRIZ Es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos parciales iguales. Las BISECTRICES de un triángulo se cortan en un punto “O” llamado INCENTRO por ser el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. INCENTRO
  34. 34. EXCENTRO.- Es el punto “O” de intersección de una bisectriz interior con dos bisectrices exteriores relativas a los otros dos ángulos de un triángulo. El excentro es el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo. EXCENTRO
  35. 35. IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Para determinar la igualdad de dos triángulos, bastará establecer la igualdad de tres elementos, a condición de incluir en ellos, por lo menos un lado. Si esta última cláusula no se cumple, se llegará sólo a la semejanza de triángulos. 1er. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido entre éstos es igual. 2do. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a estos, respectivamente iguales. 3er. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados respectivamente iguales.
  36. 36. TEOREMAS DERIVADOS DE LA IGUALDAD DE TRIÁNGULOS En virtud de la igualdad de triángulos, se demuestra los siguientes teoremas:
  37. 37. TEOREMA 1.- Si por el punto medio del lado de un triángulo, se traza una paralela a otro lado, dicha paralela pasará por el punto medio del tercer lado y su longitud será igual a la mitad del lado al que es paralelo. Si M = punto medio de AB y MN // AC ⇒ N = punto medio de BC
  38. 38. MN AC 2
  39. 39. TEOREMA 2.- El “baricentro” o “Centro de Gravedad” de un triángulo divide a cada una de las medianas en la relación dos es a uno. Δ ABC: OA OB OC 2 OF OD OE 1 C. G.
  40. 40. TEOREMA 3.- En cualquier trapecio, la mediana es igual a la semisuma de las bases; y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las bases. MN DC + AB EF DC -AB 2 2 M N
  41. 41. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales, y sus elementos homólogos son proporcionales. Se llama elementos homólogos a aquellos que se oponen a ángulos iguales, comparando ambos triángulos. Los casos generales de semejanza de triángulos son:
  42. 42. 1er. Caso.- Cuando tienen sus 3 ángulos iguales. 2do. Caso.- Cuando tienen un ángulo igual, comprendido entre lados proporcionales. 3er. Caso.- Cuando tienen sus lados respectivamente proporcionales.
  43. 43. TEOREMAS DERIVADOS DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
  44. 44. TEOREMA DE THALES Toda recta, paralela al lado de un triángulo y que corta a los otros dos lados, determina un triángulo parcial, semejante al total y recíprocamente. Si: MN // AC ⇒ Δ ABC ∼ Δ MBN Luego: AB BC AC BM BN MN
  45. 45. TEOREMA DE MENELAO Toda recta que corta a los tres lados de un triángulo determina en estos, seis segmentos; siendo el producto de tres de ellos no consecutivos igual al producto de los otros tres. Δ ABC: AF . BE . CD = BF . CE . AD FD: recta que corta a los tres lados.
  46. 46. TEOREMA DE CEVA Las rectas que pasan por los vértices de un triángulo y son concurrentes, determinan en los lados de éste, seis segmentos; siendo el producto de tres de ellos no consecutivos igual al producto de los otros tres. Δ ABC: AD. BE . CF = BD . CE . AF
  47. 47. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En cualquier triángulo rectángulo, se cumple las siguientes propiedades:
  48. 48. 1° La altura relativa a la hipotenusa, es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ésta. 2° Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta. 3° La suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa; es el teorema de Pitágoras. 4° El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura relativa a ésta.
  49. 49. 1° h² = mn 2° a² = bn c² = bm 3° a² + c² = b² 4º ac = bh m n
  50. 50. TEOREMA.- En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos. 1 1 + 1 h² a² c²
  51. 51. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
  52. 52. 1er caso.- En todo triángulo acutángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de éstos por la proyección del otro sobre el que se ha tomado. Δ ABC: a² = b² + c² - 2bp Δ ABC: c² = a² + b² - 2bm
  53. 53. 2do. Caso.- En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado que se opone al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos más el doble producto de unos de éstos por la proyección del otro sobre el que se ha tomado. Δ ABC: a² = b² + c² + 2bp

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