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EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN
IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA:
“NADIE ENTRA SIN SABER
GEOMETRÍA”
CONOCIENDO MÁSCONOCIENDO MÁS
DE LOSDE LOS
TRIÁNGULOSTRIÁNGULOS
Triángulo....
Más que un polígono de tres
lados...
Postulado de existencia de un triángulo, llamado también
desigualdad triangular
Un triángulo queda determinado cuando
ocurre que la suma de las medidas de dos de sus
lados es siempre mayor que el tercer lado o la
diferencia de las medidas de dos de sus lados es
siempre menor que el tercer lado.
Clasificación de triángulos
Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser:
Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser:
1) Equilátero.
2) Isósceles.
3) Escalenos.
1) Acutángulos (ángulos internos agudos).
2) Rectángulos (un ángulo recto).
3) Obtusángulos (un ángulo obtuso).
Triángulo isóscelesTriángulo isósceles
 IsóscelesIsósceles: se: se
denomina al triángulodenomina al triángulo
que posee dos ladosque posee dos lados
iguales (AC y BC) yiguales (AC y BC) y
uno desigual, este seuno desigual, este se
llama base (AB) y sonllama base (AB) y son
los ángulos que selos ángulos que se
encuentran en susencuentran en sus
extremos losextremos los
idénticos. (ángulos a)idénticos. (ángulos a)A B
C
a a
b
Triángulo equiláteroTriángulo equilátero ..
 Equilátero: es el
único triángulo
regular; o sea tiene
sus tres lados
iguales y por ende
sus tres ángulos
miden lo mismo
(60° cada uno).
A B
C
60° 60°
60°
Triángulo escaleno.Triángulo escaleno.
 Escaleno: se
denomina al
triángulo que posee
sus tres lados
diferentes y por
ende, sus ángulos
también lo son.
A B
C
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c
Otra clasificación es...Otra clasificación es...
 Según sus ángulos.Según sus ángulos.
 Pero para esoPero para eso
debes saber que ladebes saber que la
suma de los tressuma de los tres
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de cualquierde cualquier
triángulo es 180°.triángulo es 180°.
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 Obtusángulo: se le: se le
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ángulos interioresángulos interiores
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recto o sea, miderecto o sea, mide
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lado, o sea, ellado, o sea, el
opuesto al ánguloopuesto al ángulo
recto se le llamarecto se le llama
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perpendicular a cada lado que se une con el vérticeperpendicular a cada lado que se une con el vértice
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Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de unEs la recta notable que corresponde a la bisectriz de un
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ángulo, que se nombran generalmente con una letra griegaángulo, que se nombran generalmente con una letra griega
El punto donde se cortan se llama incentroEl punto donde se cortan se llama incentro
ba
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∩ bc
=
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A
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bc
ba
bb
I = incentro
I
La propiedad de la mediana consiste en que cada
mediana trazada en el triángulo es paralela al tercer lado
y además la medida de su longitud corresponde a la mitad
de la longitud del lado paralelo.
Como corolario (consecuencia de lo anterior) al trazar
las tres medianas en un triángulo, éste se subdivide en 4
triángulos congruentes y semejantes al triángulo inicial.
MEDIANA DE TRIANGULOSMEDIANA DE TRIANGULOS
Se llaman medianas de un triangulo a losSe llaman medianas de un triangulo a los
segmentos determinados por cada vértice y elsegmentos determinados por cada vértice y el
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interior del triangulo.interior del triangulo.
El punto donde se cortan las medianas se llamaEl punto donde se cortan las medianas se llama
baricentrobaricentro
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Es el segmento perpendicular levantado en el punto medio de
cada lado del triangulo. Se denota por la letras S y según el
lado al cual dimidian.
Se Sd
Sa
∩ Sb
∩ Cc
= {
C }
C =
circuncentro C
D E
F
Sf
Transversal de Gravedad o Mediana
Corresponde a un trazo que está determinado por el
vértice y el punto medio del tercer lado.
S
C
A
T
B
R
• GT
La propiedad está dada por el punto G o baricentro que
determina en cada transversal dos segmentos menores que están
en razón 2 : 1
Teoremas Relativos a Ángulos en el TriánguloTeoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo
Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si α, β y γ son ángulos
interiores de un triángulo, la suma de sus medidas es siempre 180º.
A
α β
B
R C S
γ
L1
Hipótesis: α, β y γ ,ángulos interiores del triángulo ABC
Demostración:
Afirmación Justificación
1) L1 // V postulado de Euclides.
2) m ∠RCA + γ + m ∠ SCB = 180º son ángulos adyacentes que están a
un mismo lado de la recta.
3) m ∠ RCA = α son ángulos alternos internos entre
paralelas.
4) m ∠ RCB = β son ángulos alternos internos entre
paralelas.
5) α + γ + β = 180º reemplazando 3 y 4 en 2.
AB
Tesis: α + β + γ = 180º
Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de
360º.
A α’ B
β β’
γ’ C
γ
α
Teorema 3 : Ángulos exteriores de un triángulo: todo ángulo exterior de un
triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no
adyacentes a él.
β β’
γ’ C
γ
α
α’
A
B
•Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm. Determine la medida
de la hipotenusa.
Relaciones Métricas en el Ángulo
6 cm x
(a)
8 cm (b)
Cateto a Cateto b Hipotenusa
3 4
6 8
9 12
12 16
15 20
18 24
Teorema de Pitágoras
Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la suma de los
cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido
sobre la hipotenusa.
a2
+ b2
= c2
Observación:
Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos, por
cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos, que
satisfacen la relación pitagórica
Aplicación del Teorema de Pitágoras en la clasificación de
triángulos.
32 +
42
= 52
9 + 16 = 25
25 = 25
Postulado
En un triángulo cualesquiera se cumple siempre que un ángulo menor
se opone al lado menor, o bien a un ángulo mayor se opone un lado mayor
Actividad 3: Considerando los lados obtenidos anteriormente compare la
suma de a2
+ b2
con c2
.
Conclusión: a través del teorema de Pitágoras es posible reconocer el tipo
de triángulo.
En el triángulo rectángulo c2
= a2
+ b2
.
En el triángulo obtusángulo c2
> a2
+ b2
.
En el triángulo acutángulo c2
< a2
+ b2
.
Propiedades de la semejanza de triángulos
Entre las propiedades que se establecen para semejanza
de triángulos se encuentran:
Propiedad Reflexiva o Idéntica.
Todo triángulo se considera semejante a sí mismo, esto es ∆ ABC ~ ∆ ABC
Propiedad Simétrica o Recíproca.
Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero.
Si ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ ⇒ ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC
Propiedad transitiva.
Si un triángulo es semejante a un segundo y éste es semejante a un tercero,
entonces el tercero es semejante al primero.
Si ∆ ABC ~∆ A’B’C’ ∧ ∆ A’B’C’ ~ ∆ RST ⇒ ∆ ABC ~ ∆RST
TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOSTEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS
SEMEJANTESSEMEJANTES
 ““Toda paralela a unToda paralela a un
lado de un triangulolado de un triangulo
forma con los otrosforma con los otros
dos lados undos lados un
triangulo semejantetriangulo semejante
al primeroal primero
 1Posición1Posición
 2Posición2Posición
3Posición3Posición
LOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADESLOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADES
 1° TEOREMA1° TEOREMA:: En todoEn todo
triángulo isósceles, latriángulo isósceles, la
bisectriz correspondiente albisectriz correspondiente al
ángulo del vértice es laángulo del vértice es la
altura, transversal dealtura, transversal de
gravedad y simetralgravedad y simetral
 HIPOTESIS:HIPOTESIS:
 ∆∆ABC IsoscelesABC Isosceles
 CD = bCD = bχχ
 2° TEOREMA2° TEOREMA:: En todo losEn todo los
triángulos isósceles, lostriángulos isósceles, los
ángulos básales son igualesángulos básales son iguales
 HIPOTESIS:HIPOTESIS:
 ∆∆ABC ISOSCELESABC ISOSCELES
____
CD =CD = tt CC
 3° TEOREMA: En3° TEOREMA: En
todo triángulo, eltodo triángulo, el
ángulo mayor seángulo mayor se
opone al lado mayoropone al lado mayor
 HIPOTESIS:HIPOTESIS:
 ∆∆ABC cualquieraABC cualquiera
__ _____ ___
CD> CBCD> CB
 4°TEOREMA:4°TEOREMA: TODOTODO
LADO DE UN TRIANGULOLADO DE UN TRIANGULO
CUALESQUIERA ES MENORCUALESQUIERA ES MENOR
QUE LA SUMA DE LOSQUE LA SUMA DE LOS
OTYROS LADOSOTYROS LADOS
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 TESIS:TESIS:
 ___ ___ _______ ___ ____
 AB < AC + BCAB < AC + BC
 5° TEOREMA: Todo5° TEOREMA: Todo
lado de un triangulolado de un triangulo
cualquiera es mayorcualquiera es mayor
que la diferencia deque la diferencia de
los otros lados.los otros lados.
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 ___ ___ ______ ___ ___
 AB> AC + BCAB> AC + BC
 PODEMOS DARNOS CUENTA QUEPODEMOS DARNOS CUENTA QUE
 A TRAVÉS DE LA GEOMETRIAA TRAVÉS DE LA GEOMETRIA
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  • 2. CONOCIENDO MÁSCONOCIENDO MÁS DE LOSDE LOS TRIÁNGULOSTRIÁNGULOS
  • 3. Triángulo.... Más que un polígono de tres lados...
  • 4. Postulado de existencia de un triángulo, llamado también desigualdad triangular Un triángulo queda determinado cuando ocurre que la suma de las medidas de dos de sus lados es siempre mayor que el tercer lado o la diferencia de las medidas de dos de sus lados es siempre menor que el tercer lado.
  • 5. Clasificación de triángulos Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser: Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser: 1) Equilátero. 2) Isósceles. 3) Escalenos. 1) Acutángulos (ángulos internos agudos). 2) Rectángulos (un ángulo recto). 3) Obtusángulos (un ángulo obtuso).
  • 6. Triángulo isóscelesTriángulo isósceles  IsóscelesIsósceles: se: se denomina al triángulodenomina al triángulo que posee dos ladosque posee dos lados iguales (AC y BC) yiguales (AC y BC) y uno desigual, este seuno desigual, este se llama base (AB) y sonllama base (AB) y son los ángulos que selos ángulos que se encuentran en susencuentran en sus extremos losextremos los idénticos. (ángulos a)idénticos. (ángulos a)A B C a a b
  • 7. Triángulo equiláteroTriángulo equilátero ..  Equilátero: es el único triángulo regular; o sea tiene sus tres lados iguales y por ende sus tres ángulos miden lo mismo (60° cada uno). A B C 60° 60° 60°
  • 8. Triángulo escaleno.Triángulo escaleno.  Escaleno: se denomina al triángulo que posee sus tres lados diferentes y por ende, sus ángulos también lo son. A B C a b c
  • 9. Otra clasificación es...Otra clasificación es...  Según sus ángulos.Según sus ángulos.  Pero para esoPero para eso debes saber que ladebes saber que la suma de los tressuma de los tres ángulos interioresángulos interiores de cualquierde cualquier triángulo es 180°.triángulo es 180°. 35° 57° 88°
  • 10. Triángulo obtusánguloTriángulo obtusángulo ..  Obtusángulo: se le: se le llama al triángulollama al triángulo que tiene uno de susque tiene uno de sus ángulos interioresángulos interiores obtuso; o sea uno deobtuso; o sea uno de ellos mide más deellos mide más de 90°.90°. 105° 29° 46°
  • 11. Triángulo acutánguloTriángulo acutángulo ..  Acutángulo: se: se denomina aldenomina al triángulo que poseetriángulo que posee sus tres ángulossus tres ángulos interiores agudos ointeriores agudos o sea, cada uno desea, cada uno de sus ángulos midensus ángulos miden menos de 90°.menos de 90°. 59° 47° 74°
  • 12. Triángulo rectánguloTriángulo rectángulo  Rectángulo:: sese denomina al triángulodenomina al triángulo que posee uno de susque posee uno de sus ángulos interioresángulos interiores recto o sea, miderecto o sea, mide 90°.90°.  Los lados que formanLos lados que forman el triángulo rectoel triángulo recto reciben el nombre dereciben el nombre de catetos y, el tercercatetos y, el tercer lado, o sea, ellado, o sea, el opuesto al ánguloopuesto al ángulo recto se le llamarecto se le llama hipotenusa.hipotenusa. A BC a b c
  • 13. Rectas y puntos notables en el triángulo (elementos secundarios) Las rectas secundarias en el triángulo son: 1. Altura 2. Bisectriz 3. Mediana 4. Simetral 5.Transversal de gravedad
  • 14. ALTURA DE TRIANGULOSALTURA DE TRIANGULOS Se llama altura de un triangulo al segmentoSe llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el vérticeperpendicular a cada lado que se une con el vértice opuestoopuesto La altura se designa con unaLa altura se designa con una hh
  • 15. BISECTRIZ DE UN TRIANGULOBISECTRIZ DE UN TRIANGULO Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de unEs la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cadaángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo, que se nombran generalmente con una letra griegaángulo, que se nombran generalmente con una letra griega El punto donde se cortan se llama incentroEl punto donde se cortan se llama incentro ba ∩ bb ∩ bc = { I } A B C bc ba bb I = incentro I
  • 16. La propiedad de la mediana consiste en que cada mediana trazada en el triángulo es paralela al tercer lado y además la medida de su longitud corresponde a la mitad de la longitud del lado paralelo. Como corolario (consecuencia de lo anterior) al trazar las tres medianas en un triángulo, éste se subdivide en 4 triángulos congruentes y semejantes al triángulo inicial.
  • 17. MEDIANA DE TRIANGULOSMEDIANA DE TRIANGULOS Se llaman medianas de un triangulo a losSe llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por cada vértice y elsegmentos determinados por cada vértice y el punto medio del lado opuestopunto medio del lado opuesto Las medianas se cortan siempre en un puntoLas medianas se cortan siempre en un punto interior del triangulo.interior del triangulo. El punto donde se cortan las medianas se llamaEl punto donde se cortan las medianas se llama baricentrobaricentro
  • 18. Simetral o Mediatriz Es el segmento perpendicular levantado en el punto medio de cada lado del triangulo. Se denota por la letras S y según el lado al cual dimidian. Se Sd Sa ∩ Sb ∩ Cc = { C } C = circuncentro C D E F Sf
  • 19. Transversal de Gravedad o Mediana Corresponde a un trazo que está determinado por el vértice y el punto medio del tercer lado. S C A T B R • GT La propiedad está dada por el punto G o baricentro que determina en cada transversal dos segmentos menores que están en razón 2 : 1
  • 20. Teoremas Relativos a Ángulos en el TriánguloTeoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si α, β y γ son ángulos interiores de un triángulo, la suma de sus medidas es siempre 180º. A α β B R C S γ L1
  • 21. Hipótesis: α, β y γ ,ángulos interiores del triángulo ABC Demostración: Afirmación Justificación 1) L1 // V postulado de Euclides. 2) m ∠RCA + γ + m ∠ SCB = 180º son ángulos adyacentes que están a un mismo lado de la recta. 3) m ∠ RCA = α son ángulos alternos internos entre paralelas. 4) m ∠ RCB = β son ángulos alternos internos entre paralelas. 5) α + γ + β = 180º reemplazando 3 y 4 en 2. AB Tesis: α + β + γ = 180º
  • 22. Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360º. A α’ B β β’ γ’ C γ α
  • 23. Teorema 3 : Ángulos exteriores de un triángulo: todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. β β’ γ’ C γ α α’ A B
  • 24. •Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm. Determine la medida de la hipotenusa. Relaciones Métricas en el Ángulo 6 cm x (a) 8 cm (b) Cateto a Cateto b Hipotenusa 3 4 6 8 9 12 12 16 15 20 18 24
  • 25. Teorema de Pitágoras Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. a2 + b2 = c2
  • 26. Observación: Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos, por cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos, que satisfacen la relación pitagórica Aplicación del Teorema de Pitágoras en la clasificación de triángulos. 32 + 42 = 52 9 + 16 = 25 25 = 25
  • 27. Postulado En un triángulo cualesquiera se cumple siempre que un ángulo menor se opone al lado menor, o bien a un ángulo mayor se opone un lado mayor Actividad 3: Considerando los lados obtenidos anteriormente compare la suma de a2 + b2 con c2 . Conclusión: a través del teorema de Pitágoras es posible reconocer el tipo de triángulo. En el triángulo rectángulo c2 = a2 + b2 . En el triángulo obtusángulo c2 > a2 + b2 . En el triángulo acutángulo c2 < a2 + b2 .
  • 28. Propiedades de la semejanza de triángulos Entre las propiedades que se establecen para semejanza de triángulos se encuentran: Propiedad Reflexiva o Idéntica. Todo triángulo se considera semejante a sí mismo, esto es ∆ ABC ~ ∆ ABC Propiedad Simétrica o Recíproca. Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero. Si ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ ⇒ ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC Propiedad transitiva. Si un triángulo es semejante a un segundo y éste es semejante a un tercero, entonces el tercero es semejante al primero. Si ∆ ABC ~∆ A’B’C’ ∧ ∆ A’B’C’ ~ ∆ RST ⇒ ∆ ABC ~ ∆RST
  • 29. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOSTEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS SEMEJANTESSEMEJANTES  ““Toda paralela a unToda paralela a un lado de un triangulolado de un triangulo forma con los otrosforma con los otros dos lados undos lados un triangulo semejantetriangulo semejante al primeroal primero  1Posición1Posición
  • 31. LOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADESLOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADES  1° TEOREMA1° TEOREMA:: En todoEn todo triángulo isósceles, latriángulo isósceles, la bisectriz correspondiente albisectriz correspondiente al ángulo del vértice es laángulo del vértice es la altura, transversal dealtura, transversal de gravedad y simetralgravedad y simetral  HIPOTESIS:HIPOTESIS:  ∆∆ABC IsoscelesABC Isosceles  CD = bCD = bχχ
  • 32.  2° TEOREMA2° TEOREMA:: En todo losEn todo los triángulos isósceles, lostriángulos isósceles, los ángulos básales son igualesángulos básales son iguales  HIPOTESIS:HIPOTESIS:  ∆∆ABC ISOSCELESABC ISOSCELES ____ CD =CD = tt CC
  • 33.  3° TEOREMA: En3° TEOREMA: En todo triángulo, eltodo triángulo, el ángulo mayor seángulo mayor se opone al lado mayoropone al lado mayor  HIPOTESIS:HIPOTESIS:  ∆∆ABC cualquieraABC cualquiera __ _____ ___ CD> CBCD> CB
  • 34.  4°TEOREMA:4°TEOREMA: TODOTODO LADO DE UN TRIANGULOLADO DE UN TRIANGULO CUALESQUIERA ES MENORCUALESQUIERA ES MENOR QUE LA SUMA DE LOSQUE LA SUMA DE LOS OTYROS LADOSOTYROS LADOS  HIPOTESIS:HIPOTESIS:  ∆∆ABC cualquieraABC cualquiera  TESIS:TESIS:  ___ ___ _______ ___ ____  AB < AC + BCAB < AC + BC
  • 35.  5° TEOREMA: Todo5° TEOREMA: Todo lado de un triangulolado de un triangulo cualquiera es mayorcualquiera es mayor que la diferencia deque la diferencia de los otros lados.los otros lados.  HIPOTESIS:HIPOTESIS:  ∆∆ABC cualquieraABC cualquiera  TESIS:TESIS:  ___ ___ ______ ___ ___  AB> AC + BCAB> AC + BC
  • 36.  PODEMOS DARNOS CUENTA QUEPODEMOS DARNOS CUENTA QUE  A TRAVÉS DE LA GEOMETRIAA TRAVÉS DE LA GEOMETRIA TODOTODO  LO QUE ESTA EN NUESTROLO QUE ESTA EN NUESTRO  ENTORNO TIENE SENTIDOENTORNO TIENE SENTIDO ..   FINFIN

Notas del editor

  1. hola