1. Ciencia Ergo Sum
Revista científica multidisciplinaria de la
Universidad Autónoma del Estado de México
ergo_sum@coatepec.uaemex.mx
ISSN 1405-0269
MÉXICO
2001
Vladimir S. Manko
SOLUCIONES SOLITÓNICAS AXIALSIMÉ-TRICAS EN
RELATIVIDAD GENERAL
Ciencia Ergo Sum, noviembre, volumen 8, número tres
Especial: Fenómenos no lineales
Universidad Autónoma del Estado de México
Toluca, México
pp. 371-373.
Red de Revistas Científicas de América Latina y El Caribe
Ciencias Sociales y Humanidades
http://redalyc.uaemex.mx

2. n ú m e r o e s p e c i a l
Soluciones solitónicas axialsimétricas
en relatividad general
VLADIMIR S. MANKO*
Resumen. Se revisan las soluciones solitónicas axialsimétricas obtenidas por técnicas de generación de
soluciones exactas de las ecuaciones no lineales dentro del marco de la Relatividad General.
Palabras clave: Relatividad General, ecuaciones de Evast, técnicas de generación de soluciones.
The Axisymmetric Solitonic Solutions in General Relativity
Abstract. The axisymmetric solutions obtained by using the solution generating techniques to the nonlinear
equations of the General Theory of Relativity are revised.
Keywords: General Relativity, Evast equations, solution generating techniques.
Recepción: 8 de noviembre de 2000 El progreso en la obtención de soluciones de las ecuaciones
Aceptación: 14 de mayo de 2001 (1) fue relacionado con el estudio de su grupo de simetrías
internas con número infinito de parámetros, primero en el
Introducción
caso de vacío (Φ = 0) y más tarde incluyendo el campo
electromagnético. La existencia de este grupo permite
Los campos gravitacionales y electromagnéticos con sime-
reformular las ecuaciones (1) en forma de un sistema
tría axial están definidos en relatividad general por dos po-
matricial, lineal y singular, aplicando para su resolución el
tenciales escalares ε que describe el campo gravitacional y
método de Riemann en el plano del parámetro analítico
Φ que describe el campo electromagnético, que satisfacen a
auxiliar. La solución cualquiera del sistema (1) se obtiene
las ecuaciones de Ernst (1968):
entonces a partir de una solución conocida, con ayuda de
un desplazamiento apropiado a lo largo de la órbita del gru-
(ε + ε )∆ε = (∇ε + 2Φ∇Φ)∇ε , po de transformaciones.
(1) Las soluciones solitónicas surgen de manera natural en
(ε + ε )∆Φ = (∇ε + 2Φ∇Φ)∇Φ,
este acercamiento, y eso lo mostraron Belinskii y Zakharov
El sistema (1) es de ecuaciones diferenciales no lineales * Departamento de Física, Cinvestav del IPN. Apartado Postal 14-740, C.P. 07000.
de segundo orden que en general es muy difícil de resolver. México, D. F.
VOL. 8 NÚMERO TRES, NOVIEMBRE 2001-FEBRERO 2002 CIENCIA ERGO SUM 371

3. n ú m e r o e s p e c i a l
(1979) utilizando el método de scattering inverso que es muy Las expresiones finales para ε y Φ tienen la forma (Ruiz
bien conocido en mecánica cuántica. Por otro lado, este et al., 1995)
método, aplicado al caso estacionario axialsimétrico en
relatividad general, lleva a las soluciones que describen el ε = E+/E–, Φ = F/E–,
campo exterior de masas alineadas situadas sobre el eje de
simetría y que no se propagan en el transcurso del tiempo,
como uno esperaría de los solitones clásicos.
1 1 1
r1 r2N
I. El método de Sibgatullin y la solución ±1 !
α1 − β1 α − β1
2N-solitónica de electrovacío 2N
! ! ! !
r1 r2N
El mejor método moderno para la generación de métricas E± = ± 1 !
α1 − β l α 2N − β l
solitónicas de Einstein-Maxwell es el método de Sibgatullin h1 (α1 ) h1 (α 2 N )
(1991), que permite la construcción de los potenciales ε y Φ 0 !
α1 − β1 α 2 N − β1
que dependen de coordenadas cilíndricas ρ y z a partir de su ! ! ! !
comportamiento arbitrario sobre el eje de simetría; es decir, hl (α1 ) hl (α 2 N )
dadas la funciones arbitrarias e(z)´ ε (ρ = 0, z) y f(z) ´ Φ(ρ = 0 !
α1 − β1 α 2 N − β l
0, z) se pueden obtener las ε (ρ, z) y Φ(ρ, z) correspondientes
que satisfacen a las ecuaciones (1).
La forma de las funciones e(z) y f(z) que nos lleva a la
solución 2N-solitónica de electrovacío es la siguiente: 0 f (α1 ) ! f (α 2 N )
r1 r2 N
−1 !
α1 − β1 α 2 N − β1
N eι N fι
e(z ) = 1 + ∑ , f (z ) = ∑ (2) ! ! ! !
ι =1 z − βι ι =1 z − βι r2 N
r1
F = −1 !
α1 − β l α 2 N − β l
donde el, βl y fl, l = 1,..., N, son constantes complejas h1 (α1 ) h (α )
0 ! 1 2N
arbitrarias. α1 − β1 α 2 N − β1
Los potenciales ε(ρ, z) y Φ(ρ, z) que sobre el eje de simetría ! ! ! !
tienen el comportamiento (2) se obtienen de las integrales hl (α1 ) hl (α 2 N )
0 !
α1 − β l α 2 N − β l
1 +1 µ (σ )e (ξ )dσ
ε= ∫ , Φ = 1 ∫ +1 µ (σ ) f (ξ )dσ , (3)
π −1 1−σ 2 π −1 1−σ 2
rn: = = ρ 2 + (z − α n )2 , hι (α n ):= eι + 2fι f (α n )
que involucran la función µ(σ) que satisface la ecuación
integral singular
2Π 2=1 (βι − α n )
N
N fι fκ
el = Π N (β − β )Π N (β − β ) − 2κ∑1 β − β
n
(6)
[ ]dσ = 0
~ = ι κ
k ≠ι ι κ κ =1 ι κ
+1 µ (σ ) e(ξ ) + e (η ) + 2f (ξ )f (η )
~
∫−1 (4)
(ξ − η ) 1 − σ
2
Ε± y F siendo determinantes (2N +1) × (2N+1).
y la condición de normalización El conjunto de los parámetros de las fórmulas (6) está
compuesto de βl, fl, así como de los nuevos parámetros αn,
n = 1,..., 2N, que pueden tomar valores reales arbitrarios o
1 +1 µ (σ )dσ
∫ =1 (5) ser pares complejos conjugados.
π −1 1 − σ 2
La solución (6) describe un sistema de N masas rotantes,
cargadas y magnetizadas que se encuentran sobre el eje de
En las fórmulas (3)-(5) ξ = z + iρσ, η = z + iρτ, σ, τ 2 [– simetría. Estas masas pueden ser tanto hoyos negros, cuando
1, 1] y~ ( ) : e ( ), donde la barra denota la conjugación
e η = η αn son reales, como discos relativistas, cuando αn son pares
compleja. complejos conjugados (ver figura 1).
372 CIENCIA ERGO SUM VOL. 8 NÚMERO TRES, NOVIEMBRE 2001-FEBRERO 2002

4. S O L U C I O N E S S O L I T Ó N I C A S A X I A L S I M É T R I C A S E N . . .
F I GU R A 1 . L O S S I S T E M A S A LI N EA D O S C O M P U E S T O S : (A ) F I GU R A 2 . S U PE R FI C I E S E ST A C I O N A R I A S P A R A LO S
D E H O Y O S N E G R O S , ( B ) D E D I S C O S R E LA T I V I ST A S Y (C ) D E S I G U I E N T E S S I S T E M A S B I N A R I O S EN EQ U I L I B R I O : (A ) E L
H O Y O S N E G R O S Y D I S C O S R E LA T I V I ST A S . S I S T E M A C O M P U ES T O D E U N H O Y O N E G R O Y U N D I SC O
R E L A T I V I S T A ; (B ) E L S I S T EM A C O M PU E S T O D E D O S D I S C O S
R E LAT IV I ST A S.
A B
muy reciente y novedoso es la construcción de la métrica
para el campo exterior de una estrella de neutrones (Manko,
Mielke, Sanabria-Gómez, 2000) en funciones racionales.
II. Algunas aplicaciones
Conclusión
Con ayuda de la solución solitónica (6) se pueden resolver
los siguientes dos problemas importantes de relevancia as- Las soluciones solitónicas axialsimétricas en relatividad general
trofísica: i) el equilibrio en sistemas binarios compuestos de han jugado y siguen jugando un papel muy importante. Las
hoyos negros y discos relativistas, ii) la descripción de los métricas de hoyos negros son ahora complementadas por las
campos exteriores de objetos compactos axialsimétricos, soluciones mas generales que permiten tratar exitosamente
rotantes, cargados y magnetizados. los problemas del interés astrofísico. Se podría esperar nuevos
El problema (i) fue considerado en los artículos de Bretón descubrimientos interesantes relacionados con estas soluciones,
et al. (1998 y 1999), así como en el trabajo de Manko, Ruiz tanto en la esfera de sus nuevas aplicaciones como en la
y Sanabria-Gómez (2000). El resultado principal de los dos investigación más profunda de sus propiedades físicas.
primeros trabajos es la existencia de soluciones numéricas
de las ecuaciones de balance que representan estados de
equilibrio entre un hoyo negro regular y un objeto su-
perextremo (la masa sobrecargada o disco relativista). En el
tercer trabajo se encontraron las fórmulas analíticas que BIBLIOGRAFÍA
determinan equilibrio de dos componentes en la famosa
solución doble Kerr (Kramer y Neugebauer, 1980). En la
figura 2 se muestran las superficies estacionarias para dos Belinskii, V. A. y V. E. Zakharov (1979). Sov. Phys. JETP. 50, 1.
diferentes casos de sistemas binarios en equilibrio puramente Bretón, N.; V. S. Manko y J. A. Aguilar-Sánchez
gravitacional (la fuerza atractiva gravitatoria está equilibrada ______ (1998). Class. Quantum Grav. 15, 3071.
por la fuerza repulsiva de interacción espín-espín): el primer ______ (1999). Class. Quantum Grav. 16, 3725.
caso (figura 2A) representa equilibrio de un hoyo negro y un Ernst, F. J. (1968). Phys. Rev. 168, 1415.
disco relativista, y el segundo caso (figura 2B) representa Kramer, D. y G. Neugebauer (1980). Phys. Lett. A. 75, 259.
equilibrio de dos discos relativistas. Manko, V. S.
La solución (6) es también apropiada para la resolución del ______ (1993). Phys. Lett. A 181, 349.
problema (ii), porque ella es asintóticamente plana si al llamado ______; J. Martín y E. Ruiz (1995). J. Math. Phys. 36, 3063.
parámetro NUT se le asigna el valor cero; y además sus ______; E. Mielke y J. D. Sanabria-Gómez (2000). Phys. Rev. D 61, 081501(R).
constantes βl, αn y fl definen los momentos multipolares ______; E. Ruiz y J. D. Sanabria-Gómez (2000). Class. Quantum Grav. 17, 3881.
arbitrarios. Las generalizaciones magnetizadas asintóticamente Ruiz, E.; V. S. Manko y J. Martín (1995). Phys. Rev. D 51, 4192.
planas de la métrica de hoyo negro de Kerr-Newman fueron Sibgatullin, N. R. (1991). Oscillations and Waves in Strong Gravitational and
construidas por Manko, Martín y Ruiz (1995). Un resultado Electromagnetic Fields. Berlin, Springer.
VOL. 8 NÚMERO TRES, NOVIEMBRE 2001-FEBRERO 2002 CIENCIA ERGO SUM 373