El documento describe los sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que la solución general de estos sistemas está dada por combinaciones lineales de vectores propios correspondientes a los valores propios de la matriz de coeficientes. También aborda casos como valores propios repetidos o complejos y cómo afectan las soluciones. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar los conceptos.
10. RESOLVIENDO ESTA ECUACIÓN Y
HALLANDO LAS DEMÁS VARIABLES
X j , j i SE TIENE RESUELTO EL SISTEMA.
ESTE MÉTODO DE ELIMINACIÓN NO SE
PUEDE SISTEMATIZAR Y PUEDE RESULTAR
EN OCASIONES MUY COMPLICADO.
11. EJEMPLO 5 SECCION 8.1
SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA (6)
EN EL EJEMPLO 2 VIMOS QUE
1 2t 3 6t
X1 e X2 e
1 5
12. SON SOLUCIONES LINEALMENTE
INDEPENDIENTES DE (6) EN ( , ) ;
POR LO TANTO, X 1 Y X 2 FORMAN UN
CONJUNTO FUNDAMENTAL DE
SOLUCIONESEN EL INTERVALO.
13. EN CONSECUENCIA, LA SOLUCION
GENERAL DEL SISTEMA EN EL INTERVALO
ES
1 2t 3
X c1 X1 c1 X1 c1 e c2 e 6t
1 5
14. SE VIO EN EL EJEMPLO 5 DE LA SECCION 8.1 QUE
LA SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA
HOMOGENEO X'
1 3
X
5 3
ES:
1 2t 3
X c1 X1 c2 X 2 c1 e c2 e6t
1 5
DEBIDO A QUE AMBOS VECTORES SOLUCION
TIENEN LA FORMA
k1
Xi e t , i 1, 2 i
k2
15. DONDE k1 , k 2 , 1 Y 2 SON CONSTANTES,
SE MOTIVA A PREGUNTAR SIEMPRE SI SIEMPRE ES
POSIBLE ENCONTRAR UNA SOLUCION DE LA
FORMA k1
k2
.
X
.
e t
Ke t
(1)
.
kn
PARA EL SISTEMA LINEAL HOMOGENEO GENERAL
DE PRIMER ORDEN X ' AX (2)
DONDE “A” ES UNA MATRIZ DE CONSTANTES n n
.
29. SEAN 1 , 2 , , n VALORES PROPIOS
REALES Y DISTINTOS DE LA MATRIZ DE
COEFICIENTES “A” DEL SISTEMA
HOMOGENEO (2), Y SEAN K1 , K 2 , , K n LOS
VECTORES PROPIOS CORRESPONDIENTES.
30. ENTONCES LA SOUCION GENERAL DE (2)
EN EL INTERVALO ( , ) ESTA DADA POR
nt
X c1 K1e 1t c2 K 2e 2t
... cn K n e
32. EN RESUMEN, NO TODOS LOS n VALORES
PROPIOS 1 , 2 , , n DE UNA MATRIZ “A”
n n DEBEN SER DISTINTOS; ES DECIR,
QUE EN ALGUNOS CASOS LOS VALORES
PROPIOS PODRIAN SER REPETIDOS.
34. EXISTEN 2 CASOS IMPORTANTES PARA LOS
VALORES PROPIOS REPETIDOS
35. PRIMER CASO
PARA ALGUNAS MATRICES “A” DE n n
PODRIA SER POSIBLE ENCONTRAR m
VECTORES PROPIOS LINEALMENTE
INDEPENDIENTES K1 , K 2 ,..., K m QUE
CORRESPONDEN A UN VALOR PROPIO 1 DE
MULTIPLICDAD m n.
36. EN ESTE CASO, LA SOLUCION GENERAL
DEL SISTEMA CONTIENE LA COMBINACION
LINEAL
1t 1t 1t
c1 K1e c2 K 2 e ... cm K m e
37. SEGUNDO CASO
SI SOLO HAY UN VECTOR PROPIO QUE
CORRESPONDE AL VALOR PROPIO 1
DE MULTIPLICIDAD m , ENTONCES SE
PUEDE ENCONTRAR m SOLUCIONES
LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE LA
FORMA
38. X1 K11e 1t
X2 K 21te 1t K 22 e 1t
.
.
.
tm 1 tm 2
Xm K m1 e 1t Km2 e 1t K mm e 1t
(m 1)! ( m 2)!
DONDE K ij SON VECTORES COLUMNA.
40. SI 1 i Y 2 1 SON
i, > 0, i 2
VALORES PROPIOS COMPLEJOS DE LA
MATRIZ DE COEFICIENTES A, ENTONCES
SE PUEDE ESPERAR DE HECHO QUE SUS
VECTORES PROPIOS CORRESPONDIENTES
TAMBIEN TENGAN ELEMENTOS
COMPLEJOS.
41. TEOREMA 8.8
SOLUCIONES
CORRESPONDIENTES A UN
VALOR COMPLEJO
113. LOS k1 Y k 2 SON DE ESTA NUEVA
ECUACIÓN NO CONFUNDIRLOS CON LA
ANTERIOR.
114. NUESTRA SEGUNDA PARTE DE LA
SOLUCIÓN GENERAL NOS QUEDARÍA DE LA
SIGUIENTE FORMA
115. PERO YA QUE EN NUESTRA CLASE DE
ECUACIONES DIFERENCIALES NO
QUEREMOS QUE LAS SOLUCIONES NOS
QUEDEN EXPRESADAS COMO NÚMEROS
IMAGINARIO UTILIZAMOS LA ECUACIÓN DE
EULER POR LO QUE SE ACONSEJA EXPRESAR
UNA SOLUCIÓN EN TÉRMINOS DE
FUNCIONES REALES.
116. QUE QUEDA EXPRESADA DE LA SIGUIENTE
MANERA
t
X1 B1cos t B2 sen t e
t
X2 B2cos t B1sen t e