Tema viii ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden uney

PROFESOR: JULIO C BARRETO G MATEMÁTICA I
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
TEMA VIII: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO
ORDEN
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES:
CASO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
0)()()(  tcytybtya
Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:
02
 cba 
De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:
CASO 1: 21  , raíces reales y distintas. La solución de la EDO es:
tt
eCeCty 21
21)( 

CASO 2:  21 , raíces reales e iguales. La solución de la EDO es:
tt
teCeCty 
21)( 
CASO 3:  ii 21 , , raíces complejas conjugadas. La solución de la
EDO es:
tt
eCeCty 21
21)( 
 (SOLUCIÓN COMPLEJA)
teCteCty tt
 
sencos)( 21  (SOLUCIÓN REAL)

TEMA VII: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 2DO
ORDEN
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA I
Vemos que en cada uno de estos casos existe un espacio de soluciones, resultante de
la combinación lineal de dos funciones. El conjunto de estas dos funciones se conoce como
base de soluciones de la EDO homogénea.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES:
CASO NO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
)()()()( tftcytybtya 
Para resolverla, se debe hallar primero la solución de la ecuación homogénea
asociada:
0)()()(  tcytybtya
Y la solución es de la forma:
)(*)()( tytyty c 
Donde cy es la solución de la homogénea asociada, y *
y es una solución particular
del problema no homogéneo que se obtiene a partir de un método adecuado (ver más
abajo).
EJEMPLOS:
1. Resuelva 065  yyy
SOLUCIÓN: La ecuación auxiliar es: ,0652
  luego, aplicamos la
resolvente de la ecuación cuadrática: Con 5,1  ba y :6c

ORDEN
      
 
2
15
2
15
2
24255
12
61455
2








Luego, las raíces reales son distintas:
3
2
6
2
15
1 

 y 2
2
4
2
15
1 


Entonces, la solución es:
tt
eCeCty 2
2
3
1
1
)( 
      
 12
41444
2



ORDEN
2
2
4
2
04
2
04
2
16164








Luego, las raíces reales son iguales:
21  y 21 
Es decir,
2
Entonces, la solución es:
tt
teCeCty 2
2
2
1)( 

ORDEN
      
 
 
 
i
i
i
i
32
2
322
2
324
2
344
2
1344
2
1124
2
124
2
28164
12
71444
2


















ORDEN
Luego:
i321  y i321 
Es decir,
La parte real es 2 y la parte imaginaria es .3 Entonces, la solución es:
    xsenCxCey x
33cos 21
2

EJERCICIOS: Resuelva
a) 0245  yyy
b) 08118  yyy
c) 0 yyy
d) Generalice en caso de las ecuaciones diferenciales lineales.
e) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. 054 2
2
3
3

dx
dy
dx
yd
dx
yd
2.
 
04
 yy
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A
COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES
INDETERMINADOS
Este método se aplica cuando la función  tf es una combinación lineal de
productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Son
ellas:
 Polinomios en .t

ORDEN
 Función exponencial .ht
e
 Combinaciones lineales de  tcos y  .sin t
Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación lineal del
mismo tipo de funciones, cuyos coeficientes se determinarán reemplazándola en la EDO.
El caso más general es:
 )sen()()cos()()( ttqttpetf ht
 
Donde 0, h y    tqtp , son polinomios de grado n. La función de prueba
general es:















)()(
)cos()(
)(*
121
121
tsentltll
ttktkk
ety
n
n
n
n
ht


,
Donde lk, son los coeficientes a determinar. Si  ih es raíz de la homogénea
asociada (lo que ocurre cuando esta función de prueba es solución del problema
homogéneo),  ty*
debe multiplicarse por .t
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A
COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS
PARÁMETROS
Es un método más general, y válido aun cuando los coeficientes de la EDO no sean
constantes, sino funciones. En este caso la solución particular toma la forma:

ORDEN
2211* yvyvy 
Donde 1v y 2v se obtienen del sistema:






a
tf
yvyv
yvyv
)(
0
2211
2211
Donde 1y y 2y son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea
asociada. Estas funciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben cumplir
con la condición:
0
21
21



yy
yy
W
Esto es, su determinante Wronskiano no debe ser idénticamente nulo.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS. La posición y la aceleración, en función del
tiempo, de una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la
ecuación diferencial
0tg)()(  ttatx (unidades mks)
Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la
partícula si la misma parte del origen con una velocidad de 3 m/s.

ORDEN
SOLUCIÓN: Expresando la aceleración como la derivada segunda de la posición y
reordenando la ecuación tenemos:
ttxtx tg)()( 
Hallemos primero la solución de la ecuación homogénea asociada.
Es ésta:
0)()(  txtx
La ecuación característica es:
tCtCxi c sencos01 21
2
  
Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo. Vemos
que, por el tipo de función excitación, deberemos usar En vista de la base de soluciones del
problema homogéneo halladas, será: tvtvx sencos* 21 
Hallemos ahora 1v y :2v












senttvtsentv
tsenvtsentv
t
t
t
sent
tgttvsentv
sentvtv
2
21
2
21
21
21
coscos
0cos
cosporabajoy
senporarribandomultiplica
cos
cos
0cos

ORDEN
Si ahora sumamos las dos ecuaciones de este último sistema tendremos.
tgttsentv
t
t
t
t
v
t
tsen
vtsentsentv
tvsentv







seclog
Tablas
cos
1
cos
cos
cos1
cos
0cos
ecuaciónprimera
laenemplazandoRe
cos
1
2
1
2
1
3
1
22
Con las funciones 1v y 2v así obtenidas podemos escribir:
 
  ttgttx
tsentttgttsentx
sentvtvx
cosseclog*
coscosseclog*
cos* 21



Con lo cual la solución general del problema no homogéneo es:

ORDEN
  ttttCtCxxx c costgseclogsencos* 21 
Las condiciones iniciales indican que cuando t es 0, x = 0 y v = 3.
De esta manera, podemos escribir:
231)0(
000seclog10cos0)0()0(
00cos00seclog00cos)0(
22
21
121



CCv
sentgCsenCxv
CtgsenCCx
Con estos valores de la constante tenemos, finalmente:
  ttttx costgseclogsen2 
Que es la solución al problema de valores iniciales planteado.
2. COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resolver el problema de valores iniciales:
0)0()0(
cos)(2)(2)(

 
xx
tetxtxtx t

ORDEN
SOLUCIÓN: Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada. La ecuación
característica será:
0222

De donde
i

 1
2
21422 2
De acá
senteCteCx tt
c

 21 cos
Ahora nos toca hallar la solución particular del problema no homogéneo. Vemos que
la función excitación es un producto de una exponencial por un coseno, por lo cual
podemos intentar hallar la solución particular por el método de los coeficientes
indeterminados. La función excitación es e-t
cost, de modo que normalmente propondríamos
como función de prueba una combinación lineal de senos y cosenos, Ae-t
cost + Be-t
cost.
Sin embargo, en este caso particular ésta sería una solución del problema homogéneo,
por lo cual debemos multiplicarla por la variable t. Obtenemos así:
tBte
tBesentBesentAtesentAetAetx
sentBtetBtetBetBtesentBte
sentBetBesentBetAtesentAtesentAe
sentAtetAtetAesentAetAetx
tBte
sentBtesentBesentAtetAtetAetx
sentBtetAtetx
t
ttttt
ttttt
tttttt
ttttt
t
ttttt
tt
cos2
cos2222cos2)(
coscoscos
coscos
coscoscos)(
cos
coscos)(
cos)(

















ORDEN
Con estas expresiones podemos reemplazar en la EDO del enunciado y obtener:
tBesentAexxx
sentBtetAtetBtesentBtesentBe
sentAtetAtetAetBtetBe
sentBesentAtesentAetAexxx
tt
ttttt
ttttt
tttt
cos2222
2cos2cos222
2cos2cos2cos2cos2
222cos222








Igualando con la función excitación:
tetBesentAe ttt
coscos22 

De acá tenemos que:
2
1
,0  BA
De modo que una solución particular al problema no homogéneo será:
tsentesenteCteCtx
txtxtxtsentetx
ttt
c
t




2
1
21
2
1
cos)(
)(*)()()(*
Queda como ejercicio para el lector deducir a partir de las condiciones iniciales que
las constantes deben ser nulas y obtener que:
ttetx t
sen)( 2
1 
 .

ORDEN
Como se ve, este método puede requerir derivaciones algo complicadas.
3.) SISTEMA MASA-RESORTE. Un sistema masa-resorte está caracterizado por los
siguientes valores: masa m = 0,2; constante del resorte k = 80; constante de
amortiguamiento h = 2. Si se aplica una excitación F(t) = 2cos30t, obtener el estado
estacionario de la respuesta, expresándolo en la forma x(t) = Acos(t - ).
SOLUCIÓN: El cuerpo se mueve bajo la acción de 3 fuerzas: F, la del resorte y la del
amortiguador. La del resorte es proporcional y de signo contrario al desplazamiento,
mientras que la de amortiguación es proporcional y de signo contrario a la velocidad. En
otras palabras:
hvkxFhvkxF
FFFF
i
oramortiguadresortei


)()(
Por otro lado, y según la segunda ley de Newton, esta sumatoria debe ser igual a la
masa por la aceleración. Si además tenemos en cuenta que la velocidad y la aceleración son
la derivada primera y segunda de la posición, tendremos:
txxxFkxxhxm
FkxhvmamahvkxF
30cos28022,0
datos



Esta última es una EDO de 2º orden a coeficientes constantes, no homogénea. Para
resolverla, primero encaramos el problema homogéneo. Planteando la ecuación
característica y resolviendo tenemos:
i3755
4,0
802,0422 2




ORDEN
De acá
tseneCteCx tt
c 375375cos 5
2
5
1


Ahora buscaremos una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que
la función excitación es cosenoidal, y por ende usaremos como función de prueba una
combinación lineal de senos y cosenos.
ttFtsenBA
tBAtBsentAtB
tAsentBsentAxxx
tBsentAx
tBtAsenx
tBsentAx
30cos2)(30)10060(
30cos)60100(308030cos8030cos60
30603018030cos180*80*2*2,0
3090030cos900*
30cos303030*
3030cos*






De aquí que
tsentx
B
A
BA
BA
3030cos*
010060
260100
340
3
340
5
340
3
340
5









De modo que la solución general del problema no homogéneo será:
tsenttseneCteCx
xxx
tt
c
3030cos375375cos
*
340
3
340
55
2
5
1 



ORDEN
En el estado estacionario, para tiempos muy grandes, los dos primeros términos
tienden a 0 y podemos escribir:
ttx 30sen30cos 340
3
340
5
est 
La manera normal de expresar un movimiento oscilatorio de este tipo es de la forma
x(t) = Acos(t - ).
Si aplicamos la identidad trigonométrica del coseno de una suma, tendremos:
 
01716,0
6,2cos
6,2
2a.lacon3a.la
m.a.m.dividiendo
cos
30casonuestroen
3030cos
coscos)cos(
340
5
5
31
5
3
340
3
340
5
340
3
340
5
















A
tg
tg
Asen
A
tsent
tsenAsentAtA
De modo que finalmente podemos escribir:
xest = 0,01716cos(30t - 2,6)

ORDEN
Nótese que A, la amplitud del movimiento, es siempre un valor positivo. Por eso
elegimos un  tal que su coseno fuera negativo, de modo que al despejar A nos diera un
número positivo.
4.) CIRCUITO ELÉCTRICO. Hallar la corriente que circula en un circuito serie RLC,
sabiendo que R = 120 , L = 10 H, C = 10-3
F si la fuerza electromotriz viene dada por E(t)
= 17sen2t V, y si la intensidad cumple las condiciones i(0) = 0, 20
1
)0( i . Hallar
asimismo la corriente en estado estacionario.
SOLUCIÓN: La intensidad es la derivada de la carga eléctrica Q. Genéricamente se
puede escribir para un circuito RLC:
)(
1
2
2
tEQ
Ct
Q
R
t
Q
L 





En nuestro problema
tsenQ
t
Q
t
Q
217100012010 2
2






Ésta es una típica ecuación de 2º orden a coeficientes constantes. Hallamos primero la
solución general del problema homogéneo y luego le sumamos una solución particular del
problema no homogéneo. Para lo primero planteamos:
i86
20
1000104120120 2



De acá
tseneCteCQ tt
c 88cos 6
2
6
1



ORDEN
Para la solución particular del problema no homogéneo, podemos usar una función de
prueba:
tBtAsenQ
tBsentAQ
tBtAsenQ
2cos424*
222cos2*
2cos2*



O bien,
tBAtsenBAQQQ
tBtAsentBsen
tAtBtAsenQQQ
2cos)960240(2)240960(*1000*120*10
2cos1000210002240
2cos2402cos40240*1000*120*10



En este problema
tsenQQQ 217*1000*120*10 
De aquí
240
1
60
1
0960240
17240960








B
A
BA
BA
Por tanto
ttsenQ 2cos2* 240
1
60
1


ORDEN
De modo que la solución general del problema no homogéneo es:
ttsentseneCteCQ
QQQ
tt
c
2cos288cos
*
240
1
60
16
2
6
1 


Introduciendo las condiciones iniciales es:
30
1
2130
1
21
120
1
30
1
66
2
66
1
860)0(86)0(
22cos
)8cos886()888cos6(


 
CCiCCQ
tsent
tetseneCtseneteCQ tttt
Similarmente,
ttsen
tsenetetetseneC
tetsenetseneteCQ
tttt
tttt
2cos2
)8648cos488cos48836(
)8cos648488488cos36(
60
1
15
1
6666
2
6666
1





Además,
15
1
2120
1
60
1
21
9618)0(
9618)0(


CCi
CCQ

ORDEN
Reuniendo los dos últimos resultados, podemos escribir:
1350
7
1
3600
1
2
15
1
21
30
1
21
9618
86








C
C
CC
CC

De modo que la corriente que circula por el circuito vendrá dada por:
ttteteQQQ tt
c 2cos2sen8sen8cos* 240
1
60
16
3600
16
1350
7
 
La corriente en estado estacionario vendrá dada por los dos últimos términos de esta
expresión.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Antonio Tineo. (1995). Topología de Espacios Métricos. Editorial Kariñas.
Ayres, Frank. (1975). Fundamentos de Matemáticas Superiores. Series de compendios
Schaum. McGraw-Hill Book Company, INC., USA
Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos,
al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la
programación lineal. Colección de Universitaria. (1).
https://www.createspace.com/5230822
Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc. Sexta
Edición. México D. F
Louis Leithold. (1998). Cálculo con Geometría Analítica. Séptima edición. Editorial:
Oxford University Press (USA)
Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
Ramirez, T. (1980). Ecuaciones diferenciales, Editorial Limusa. Mexico.
Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,
con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Reverté.

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