1. ´
MATEMATICAS
26 de enero de 2012
Ejercicio parcial 1
1. Sea la curva
1
y(x) = .
x2
+ 3x + 2
Esboce su gr´fica cuando x ∈ R y calcule el volumen del s´lido de revoluci´n que se genera
a o o
cuando el arco de dicha curva correspondiente a x ∈ [0, 1] gira alrededor del eje de abscisas.
(4 p.)
2. Aproxime el volumen anterior mediante integraci´n num´rica por el m´todo de Simpson divi-
o e e
diendo el intervalo [0, 1] en dos subintervalos iguales. (2 p.)
3. Dada la funci´n
o
cos x2 x2
f (x, y) = + tan ,
y y
π
calcule su gradiente f en el punto ,1 y util´
ızelo para obtener el valor de la derivada
3
π
direcccional de f (x, y) en el punto ,1 en la direcci´n del vector unitario que forma un
o
3
7π
angulo de
´ radianes con la horizontal. (4 p.)
6
Ejercicio parcial 2
1. Razone si las siguientes matrices son diagonalizables y diagonal´
ıcelas cuando sea posible. (4 p.)
   
2 2 1 2 0 0
A = 1 3 1 , B = 1 2 2
1 2 2 3 0 2
2. Resuelva los sistemas
   
1 −1 −1   0
0  x
2 −1    
−4
a) 
1 y =  ,
1 1 2
z
2 0 3 8
   
1 −1 −1   1
0  x
2 −1    
2
b)  y = 
1 1 1 −1
z
2 0 3 −2
utilizando la factorizaci´n LU de la matriz de los coeficientes del sistema. En caso de que el
o
sistema sea incompatible calcule la soluci´n de m´
o ınimos cuadrados. (4 p.)
3. Utilice desarrollos de Maclaurin para aclarar la procedencia de la f´rmula aproximada
o
√ x
a2 + x ≈ a + , (a > 0).
2a
√
Calcule con ella una aproximaci´n de 24.5.
o (2 p.)
ETSI Agron´mica y del Medio Natural — Grado Biotecnolog´ — Matem´ticas (c´digo 11114)
o ıa a o

2. ´
MATEMATICAS
26 de enero de 2012
1. Calcule la integral (2 p.)
x
√ dx.
2 + 2x − x2
2. Una reacci´n termodin´mica en la que el volumen (V ) depende de la temperatura (T ) se puede
o a
modelizar mediante la ecuaci´n
o
RT
Cv dT = − dV,
V
donde Cv y R son constantes. Si para las temperaturas T1 y T2 se obtienen los vol´menes V1 y
u
V2 respectivamente, demuestre que se satisface la relaci´n
o
R
T2 V1 Cv
= .
T1 V2
Sugerencia: Resuelva la ecuaci´n diferencial y obtenga el volumen en funci´n de la temperatura.
o o
(2 p.)
3. Calcule la diferencial total de la funci´n
o
sen x
f (x, y) = x2 + y 2 .
√
En el punto (0, e), calcule su gradiente. (2 p.)
4. Sea A una matriz cuadrada, de tama˜o n × n.
n (2 p.)
a) Si A es invertible y
Av = λv,
con λ un n´mero real no nulo y v un vector no nulo de Rn ; demuestre que
u
1
A−1 v = v.
λ
b) Si la matriz A es diagonalizable, es decir, A = P D1 P −1 , con todos los elementos de la
diagonal de  
λ1
 λ2 
D1 = 
 
 ... 

λn
no nulos; demuestre que entonces A es invertible y que
A−1 = P D2 P −1 ,
donde D2 es tambi´n una matriz diagonal. ¿Puedes decir cu´les son los elementos de la
e a
diagonal de D2 ?
5. Hallar los desarrollos de McLaurin de las funciones (2 p.)
a) ex , b) cos x, c) sen x,
hasta un polinomio de grado 3. Utilizar estos desarrollos para calcular
x2 (ex − cos x)
l´
ım .
x→0 sen x − x