1. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
INTRODUCCION:
El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son
operaciones inversas.
Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este
teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.
1.1 MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS
DEFINICION DE AMORFA:
Sin forma determinada.
(del griego, prefijo a, negación, y la palabra
morfo, forma; literalmente, sin forma.)
Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil,
aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.
EJEMPLOS DE FIGURAS AMORFAS:
1.2 NOTACION SUMATORIA (NOTACION SIGMA)
En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara sumas de muchos números. Para expresar dichas
sumas en forma compacta, es conveniente usar la notación de suma, (notación sumatoria o notación sigma).
DEFINICION:
El sumatorio o la sumatoria es un operando
matemático que permite representar sumas de
muchos sumandos.
CALCULO INTEGRAL Página 1

2. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El nombre de esta notación se denomina de la letra griega: (Sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de
"suma").
La notación sigma :
La ecuación anterior se lee la "suma de
desde hasta ."
DOND Indica una suma.
E: K es el índice de la suma o variable de la
sumatoria.
Los números 1 y n indican sus valores
extremos.
NOTA: Se puede utilizar cualquier
variable como índice de suma; “i,j y k”
EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
CALCULO INTEGRAL Página 2

3. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
PARA REALIZAR EN CLASE
Calcule la siguientes Series:
1.
2.
3.
4.
Exprese cada suma en notación sigma:
1.
2.
PROPIEDADES DE LAS SUMAS:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
CALCULO INTEGRAL Página 3

4. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Evaluacion de una suma aplicando las propiedades.
SOLUCION:
, factor constante fuera
de la suma. (3)
Escribir como dos
sumas. (1)
Aplicar propiedades. (4
y 7)
Simplificar
Simplificar
PARA REALIZAR EN CLASE
1. 2. 3.
4. 5.
1.3 SUMAS DE RIEMANN
En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica
de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
SUMA DE RIEMANN :
Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b]
y sea ∆ una particion de [a,b] dada por:
CALCULO INTEGRAL Página 4

5. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
=es algún numero en para
DOND i=1,2,…..,n.
E: = es el ancho del i-esimo subintervalo.
METODOS: Hay cuatro métodos comunes para computar una suma de Riemann:
Izquierdo
Derecho
Medio
Trapezoidal.
APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANN
El área por debajo de una curva puede ser aproximada con la suma de Riemann:
=es algún numero en para
DOND i=1,2,…..,n.
E: = es el ancho del i-esimo subintervalo.
Dada con , encontrar la suma de riemann para la función f en para la
partición. Dada:
SOLUCION:
CALCULO INTEGRAL Página 5

6. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
PARA REALIZAR EN CLASE
Dada , encontrar la suma de riemann para la función f en para la partición. Dada:
1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
Si “F” se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite:
Entonces “f “es integrable en [a,b] y el limite se denota por:
NOTA:
-Una integral definida es un número, en
tanto que una integral indefinida es una
familia de funciones.
DONDE:
El ancho del subintervalo mas grande de la partición ∆
es la norma de la partición y se denota por medio de
.
Particion
ordinaria
Particion
general
HALLAR LA INTEGRAL DEFINIDA:
La solución f(x)=2x es integrable en el intervalo [-2,1]
SOLUCION:
CALCULO INTEGRAL Página 6

7. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL Página 7

8. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
PARA REALIZAR EN CLASE:
Hallar la integral indefinida.
1. 2.
LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN:
Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], entonces el área de la región acotada por la grafica de f del
“eje x” y las rectas verticales x=a y x=b está dada por :
Área:
Escribir la integral:
Ejemplo de áreas de figuras geométricas comunes.
Dibujar la region correspondiente a cada integral definida. Evaluar después cada integral utilizando una
formula geométrica.
a. b. c.
Rectangulo Trapezoide semicirculo
CALCULO INTEGRAL Página 8

9. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
1.5. TEOREMA DE EXISTENCIA Y 1.6. PROPIEDADES
Definicion de dos integrales definidas especiales:
1. Si f esta definida en x=a, entonces se define:
2. Si f es integrable en [a,b], entonces se define:
3. Propiedades aditiva de intervalos:
Si f es integrable en los tres intervalos cerrados
determinados por “a,b y c.”
4. Propiedades de las integrales definidas: si f y g
son integrables en [a,b] y k es una constante
entonces las funciones “k” y “f” y “f±g” son
integrables en [a,b]:
, Utilizando los siguientes valores:
SOLUCION:
CALCULO INTEGRAL Página 9

10. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
1.7. FUNCION PRIMITIVA (ANTIDERIVADAS)
Suponer que se decide encontrar una función f cuya derivada es :
EJEMPLO:
Definicion de una antiderivada o primitiva
Se dice que una función f es una antiderivada o
primitiva de f, en un intervalo I si:
Ejemplo:
Son todas antiderivadas de:
es una antiderivada de “f.”
ecuacion
diferencial
derivada antiderivada
Diferenciales:
PARTES DE UNA INTEGRAL
La antiderivada o primitiva de f con respecto a “x”.
CALCULO INTEGRAL Página 10

11. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Donde:
f(x)=integrando
dx=variable de integración
C=constante de integración
F es una antiderivada o primitiva de
f en un intervalo.
La integral indefinida es sinónimo
de antiderivada.
REGLAS BASICAS DE INTEGRACION:
Integral
reescribir integrar Simplificar
original
1.8. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.
Se ha visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El teorema fue
enunciado por Newton y Leibniz.
De manera informal, el teorema establece que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, asi
como la división y la multiplicación.
El teorema fundamental del calculo establece que los procesos de limite (utilizandos para definir la derivada y la
integral definida).
El teorema fundamental del calculo
Si una funcion f es continua en el intervalo cerrado y F
es una antiderivada de f en el intervalo cerrado,
entonces:
1.9. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.
REPASO: INTEGRACION Y ANTIDERIVADA
A lo largo de esta unidad, se ha estado utilizando es signo de integral para denotar una antiderivada o primitiva y una
integral definida.
Antiderivada:
CALCULO INTEGRAL Página 11

12. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Integración
definida:
CALCULOS:
1.10. INTEGRALES IMPROPIAS
Es la concideracion de un intervalo infinito de integración.
Si f es continua para toda “x” x≥a, entonces:
Si f es continua para toda “x” x≤b, entonces:
Si f es continua para todos los valores de x, entonces:
EJEMPLO:
CALCULO INTEGRAL Página 12

13. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Asignatura, Objetivo general, Titulo de la unidad, Contenido d la unidad, Competencia especifica a desarrollar y
act d aprendizaje
CALCULO INTEGRAL Página 13