CALCULO

1. Teorema Fundamental del Cálculo.
El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales
definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.
Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que
ambos procesos son mutuamente inversos.
Teorema fundamental del cálculo:
Sea f una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:
i) F es continua en [a, b]
ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto, y
F'(c) = f(c).
El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada
por la gráfica de una función continua f(x).
A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder elárea Tc.
Si calculamos la derivada de esa función:

2. Luego F'(c) = f(c), para todo c en [a, b]
Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente
diferentes. La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la tangente
a una curva en un punto (o también el cambio en la velocidad), mientras que
la integración corresponde a un proceso encaminado a encontrar el área bajo una
curva. El Teorema Fundamental afirma que ambos procesos son inversos eluno del
otro.
Regla de Barrow.
Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) cualquier función primitiva
de f(x) en [a, b], es decir:
F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:
La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte es un método que nos permite calcular
integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y luego calcularla en los
límites de integración y por otro representa una conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo
Integral.

3. Técnicas de Integración.
A continuación se indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales
de una clase muy amplia de funciones.
Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya conocida o
inmediata, como por ejemplo una de las de la tabla ó bien reducirla a una integral más sencilla.
Integración por cambio de variable.
Integración por cambio de variable.
Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una
derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.
Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x =
g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
Técnicas de Integración.
A continuación se indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales
de una clase muy amplia de funciones.
Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya conocida o
inmediata, como por ejemplo una de las de la tabla ó bien reducirla a una integral más sencilla.
Integración por cambio de variable.

4. Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una
derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.
Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x =
g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el
integrando a una función u y a u' (su derivada).
Ejemplo1 Ejemplo2
Integración por partes.
Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto
de una función por la derivada de otra.
Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces:
u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:

5. Integración de funciones racionales:
Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la
forma:
a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).
En este caso se divide P(x) entre Q(x), pasando la integral a:
Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una función
racional en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (está
última integral es la que nos queda por calcular).
b) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).
Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del
numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo
denominador es de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n
b.1) Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas:

6. La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos:
Q(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an), hacemos la siguiente descomposición:
con A1,
...An constantes reales.
Ejemplo
Técnicas de Integración trigonométrica:
a) Funciones racionales de funciones trigonométricas.
Si el integrando es una función racional de senos y cosenos de la forma R(senx,
cosx), entonces la integral se reduce a la integral de una función racional de "t"
mediante un cambio de variable.
b) Integrales que contienen funciones trigonométricas.
Veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonométricas,
que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución trigonométrica:
c) Sustitución trigonométrica.
Este método nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas
integrales son funciones trigonométricas.
Integración de funciones Irracionales:
a) donde R es una función racional.
Se reduce a la integral de una función racional mediante el

7. cambio x = tk
, donde "k" es el mínimo común múltiplo de los
denominadores (n, ...,s).

8. EJERCICIOS
1) ∫x3 ex2
dx
u = x2 du = 2xdx
dv = xex2
dx v =
1
2
ex2
∫x3 ex2
dx =
1
2
x2ex2
− ∫
2
2
xex2
dx
∫x3 ex2
dx =
1
2
x2ex2
− ∫xex2
dx
∫x3 ex2
dx =
1
2
x2ex2
−
1
2
ex2
∫ 𝐱 𝟑 𝐞 𝐱 𝟐
𝐝𝐱 =
𝟏
𝟐
𝐞 𝐱 𝟐
( 𝐱 𝟐 − 𝟏) + 𝐂
2) ∫ 𝐱𝐜𝐨𝐬𝐱 𝐝𝐱
u = x du = dx
dv = cosdx v = senx
∫xcosx dx = xsenx − ∫ senx dx
∫ 𝐱𝐜𝐨𝐬𝐱 𝐝𝐱 = 𝐱𝐬𝐞𝐧𝐱+ 𝐜𝐨𝐬𝐱+ 𝐂
3) ∫ 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝐱 𝐝𝐱
u = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝐱 du =
1
1+x2
dx
dv = dx v = x
∫tan−1x dx = xtan−1x − ∫
x
1 + x2 dx
∫tan−1x dx = xtan−1x − ∫
x
u
du
2x
∫tan−1x dx = xtan−1x −
1
2
∫
1
u
du
u = 1 + x2
du = 2xdx
dx =
𝑑𝑢
2x

9. 4)
5)
∫ ln⁡2
x dx
𝐮 = 𝐥𝐧⁡
𝟐
𝐱 𝐝 𝐮 =
𝟐 𝐥𝐧𝐱
𝐱
𝐝 𝐱
𝐝 𝐯 = 𝐝 𝐱 𝐯 = 𝐱
∫ ln⁡2
x dx = xln⁡2
x − ∫
2xlnx
x
dx
∫ ln⁡2
x dx = xln⁡2
x − 2 ∫ lnx dx
𝐮 = 𝐥𝐧𝐱 𝐝 𝐮 =
𝟏
𝐱
𝐝 𝐱
𝐝 𝐯 = 𝐝 𝐱 𝐯 = 𝐱
∫ ln⁡2
x dx = xln⁡2
x − 2 xlnx − ∫ x ∙
1
x
dx
∫ ln⁡2
x dx = xln⁡2
x − 2xlnx + ∫ dx
∫ 𝐥𝐧⁡𝟐
𝐱 𝐝 𝐱 = 𝐱𝐥𝐧⁡𝟐
𝐱 − 𝟐𝐱𝐥𝐧𝐱 + 𝐱 + 𝐜
∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑 𝑥
𝐮 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠(𝐱) 𝐝 𝐮 =
𝟏
𝟏 + 𝒙 𝟐
𝒅 𝒙
𝐝 𝐯 = 𝐱 𝐝 𝐱 𝐯 = 𝐱 𝟐
∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑 𝑥 =x2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − ∫
x2
1 + 𝑥2
𝑑 𝑥
∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑 𝑥 =x2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − ∫ 1 −
1
1 + 𝑥2
𝑑 𝑥
∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑 𝑥 =x2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − ∫ 𝑑 𝑥 + ∫
1
1 + 𝑥2
𝑑 𝑥
∫ 𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒅 𝒙 = 𝐱 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 − 𝒙 + 𝒄

10. 6)
7)
∫exsenx dx
𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
∫ sen(lnx)dx
𝐮 = 𝐬𝐞𝐧 𝐥𝐧𝐱 𝐝 𝐮 =
𝐜𝐨𝐬⁡( 𝐥𝐧𝐱)
𝐱
𝐝 𝐱
𝐝 𝐯 = 𝐝 𝐱 𝐯 = 𝐱
∫ sen(lnx)dx = xsen lnx − ∫
xcos(lnx)
x
dx
∫ sen(lnx)dx = xsen lnx − ∫ cos⁡(lnx) dx
𝐮 = 𝐜𝐨𝐬 𝐥𝐧𝐱 𝐝 𝐮 =
−𝐬𝐞𝐧⁡( 𝐥𝐧𝐱)
𝐱
𝐝 𝐱
𝐝 𝐯 = 𝐝 𝐱 𝐯 = 𝐱
∫ sen(lnx)dx = xsen lnx − xcos lnx − ∫
−xsen⁡(lnx)
x
dx
∫ sen(lnx)dx = xsen lnx − xcos lnx + ∫ sen(lnx) dx
∫ sen(lnx)dx = xsen lnx − xcos lnx − ∫ sen(lnx) dx
∫ sen(lnx)dx + ∫ sen(lnx) dx = xsen lnx − xcos lnx
2 ∫ sen(lnx)dx = xsen lnx − xcos lnx
∫ 𝐬𝐞𝐧(𝐥𝐧𝐱)𝐝 𝐱 =
𝐱𝐬𝐞𝐧 𝐥𝐧𝐱 − 𝐱𝐜𝐨𝐬 𝐥𝐧𝐱
𝟐
+ 𝒄

11. ∫exsenx dx = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
∫exsenx dx = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
2 ∫exsenx dx = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
∫exsenx dx =
−𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
2
∫ 𝐞 𝐱 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐝𝐱 =
𝟏
𝟐
𝐞 𝐱 𝐬𝐞𝐧𝐱− 𝐜𝐨𝐬𝐱 + 𝐂
8)
∫exsen2x dx
u = ex du = exdx
dv = sen2xdx v = −
1
2
cos2x
∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2
𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥− ∫−
1
2
𝑒 𝑥cos2x dx
∫exsen2x dx = −
1
2
excos2x +
1
2
∫excos2x dx
u = ex du = exdx
𝑑 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥
∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 == −
1
2
𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥+
1
2
1
2
𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −
1
2
∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 == −
1
2
𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥+
1
4
𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −
1
4
∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
∫exsen2x dx == −
1
2
excos2x +
1
4
exsen2x −
1
4
∫ excos2x dx

12. ∫exsen2x dx +
1
4
∫ excos2x dx = −
1
2
excos2x +
1
4
exsen2x
∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
4
5
−
1
2
𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
4
𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶
∫ 𝐞 𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝐝𝐱 =
𝟏
𝟓
𝐞 𝐱 −𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱+ 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 + 𝐂
9) ∫
𝐱
𝐱 𝐱+𝟐 ²
𝐝𝐱
x
x x + 2 ²
=
A
x
+
B
x + 2
+
C
x + 2 ²
=
A x + 2 ² + Bx x + 2 + Cx
x x + 2 ²
x
x x + 2 ²
=
A x2 + 4x + 4 + Bx2 + 2Bx + Cx
x x + 2 ²
x
x x + 2 ²
=
Ax2 + 4Ax + 4A + Bx2 + 2Bx + Cx
x x + 2 ²
x = Ax2 + 4Ax + 4A + Bx2 + 2Bx + Cx
x = Ax2 + Bx2 + 4Ax + 2Bx + Cx + 4A
x = A + B x2 + 4A + 2B + C x + 4A
{
A + B = 0 → B = 0
4A + 2B + C = 1 → C = 1
4A = 0 → A =
0
4
= A = 0
∫
x
x x + 2 ²
dx = ∫
A
x
+
B
x + 2
+
C
x + 2 ²
dx
∫
x
x x + 2 ²
dx = ∫
0
x
+
0
x + 2
+
1
x + 2 ²
dx
∫
x
x x + 2 ²
dx = ∫
1
x + 2 ²
dx
u = x + 2 ∫
x
x x + 2 ²
dx = ∫
1
u2 du
du = dx ∫
x
x x + 2 ²
dx = ∫u−2du
dx = du ∫
x
x x + 2 ²
dx =
u
−1
−1
+ C
∫
x
x x + 2 ²
dx =
x + 2−1
−1
+ C
∫
x
x x + 2 ²
dx = −
1
x + 2
+ C