Este documento resume varios conceptos clave relacionados con las sumatorias y las integrales definidas. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos dentro de un intervalo especificado. También describe cómo dividir un área bajo una curva en rectángulos para aproximar el área total, y cómo el número de rectángulos afecta la precisión de la aproximación. Finalmente, resume algunas propiedades importantes de las integrales, incluidos los teoremas fundamentales del cálculo y la sustitución y cambio de

1. Unidad 1
Oscar Arroyo
Slideshare de la Unidad I

2. Notación Sigma
• Una sumatoria indica la suma de una serie de
términos que corresponden a una expresión
algebraica y que mediante alguna expresión se
puede generalizar en un tamaño de intervalo
específico, incrementándose siempre en una
unidad. La sumatoria se denota mediante la letra
griega sigma (å), en cuya parte inferior y superior
se especifica el tamaño del intervalo en que se
desarrollará. Estos números reciben el nombre de
índice inferior e índice superior.

3. Suma Superior e inferior
• Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y
continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos
dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de
cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del
área real.
Si el área se divide en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno
de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área
buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
Si el rectángulo se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte
que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que
nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos
aproximamos al área real.
• Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy
grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

4. Integral definida
• Si a la expresión obtenida para la suma de
Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2,
3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir
la integral definida de F desde a hasta b
por donde "a" representa el límite inferior y
"b" el límite superior de la integral.

5. Propiedades

6. Teorema del Valor Medio para
Integrales
• Dada una función "f" contínua en un intervalo
cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro
del mismo, tal que la derivada de la función
evaluada en "c", representa dicho valor
promedio, conocido también como valor medio
para integrales.

7. Teorema Fundamental del Calculo
• A grandes rasgos, el Teorema fundamental del
Cálculo establece que el Diferencial y la
Integral son inversos, el uno del otro.

8. • Primer teorema fundamental del
cálculo:
• Segundo teorema fundamental del
cálculo:

9. Sustitución y cambio de Variable
• No siempre tendremos una integral que se
resuelva directamente aplicando los teoremas de
la integración. Existen expresiones (funciones)
que se deben modificar y expresarlas de otra
forma, sin que cambie la expresión integrando,
para poder encontrar su antiderivada. Los
cambios de variable se realizan cuando en el
integrando existe una expresión que resulta de
derivar otra parte de ella, éstos se complementan
mediante aplicación de artificios matemáticos.