Universidad Técnica Particular de Loja Ciencias de la Computación Cálculo II I Bimestre Abril-Agosto 2007 Ponente: Ing. Pablo Ramón

1. ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : CÁLCULO II CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN I BIMESTRE Ing. Pablo Ramón ABRIL – AGOSTO 2007

2. OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el Cálculo Integral, las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y las Series Infinitas.

8. Cap. 1 ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA Resolver el problema: Determinar una función a partir de su razón de cambio conocida. F es antiderivada de f si: F’(x) = f(x) ANTIDERIVADA = PRIMITIVA

9. Si F es primitiva de f, entonces G también es primitiva si y sólo sí tiene la forma: G(x) = F(x) + C  FAMILIA DE PRIMITIVAS C > 0 C < 0

10. INTEGRAL INDEFINIDA Integración: Operación inversa a la derivación Signo de integral Integrando Variable de integración

11. Proceso de Integración Integral Original Reescribir Integrar Simplificar

12. Ecuaciones Diferenciales Infinitas soluciones (infinitas Primitivas) Ecuación diferencial ordinaria (primer orden) Separación de variables

13. Problema de Valor Inicial Gráficamente:

14. Método de solución: Variables Separables EDO admite separación de variables si tiene la forma: Dividiendo por h(y): p(y)=1/h(y)

15. Ejemplo 1 Ecuación de la forma:

16. Ejemplo 2 Solución general

17. Modelamiento con ED Ejemplo 1: Crecimiento poblacional Modelo de Malthus

19. Modelamiento con ED Ejemplo 2: Ley de Newton

20. Modelamiento con ED Ejemplo 3: Vaciado de un estanque

21. Modelamiento con ED Ejemplo 4: Caída Libre

22. REGLA DE SUSTITUCIÓN Permite resolver integrales de la forma: Ejemplos:

23. M É TODO DE SUSTITUCIÓN Solución Ejemplo 1

24. M É TODO DE SUSTITUCIÓN Solución Ejemplo 2

25. M É TODO DE SUSTITUCIÓN Solución Ejemplo 3

26. M É TODO DE SUSTITUCIÓN Solución Ejemplo 4

27. Cap. 2 INTEGRAL DEFINIDA (Limitada) NOCIÓN INTUITIVA E HISTÓRICA AREA REGIÓN R  AREA REGIÓN R’ INTEGRACIÓN    

28. EJEMPLO 0 AREA BAJO LA CURVA Suma del área de los rectángulos = Área total + Error

29. DEFINICIÓN DE INTEGRAL dx  base de cada rectángulo

31. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO F es primitiva de f

32. Propiedades (2) y (3) Transf. Lineal F es primitiva (integral) de f, si: F’(x) = f(x) PROPIEDADES 1 2 3 4

33. Ejemplo 1: Hallar el área bajo la curva en el intervalo [0, 2].

34. Aplicando el Teo. Fundamental del cálculo:

36. REGLA DEL TRAPECIO Ecuación de la recta

37. REGLA DEL TRAPECIO MÚLTIPLE

38. REGLA DE SIMPSON

39. REGLA DE SIMPSON (1/3): # par de intervalos

40. REGLA DE SIMPSON 3/8: 3 intervalos, es complemento de la regla 1/3 Utiliza un polinomio de 3er grado

43. Exponenciales Vs Logarítmicas Exponencial de base a

44. Trigonométricas Inversas

45. Trigonométricas  Integrales con (1-x 2 ) 1/2 Hiperbólicas  Integrales con (1+x 2 ) 1/2 . Trigonométricas Vs Hiperbólicas

46. Hiperbólicas

47. Integrales Trascendentes Ejemplo 1

48. Integrales Trascendentes Ejemplo 2

49. Integrales Trascendentes Ejemplo 3

51. Cálculo de Áreas Ejemplo 1 Graficar la región encerrada por las curvas y hallar el área respectiva. Puntos de corte:

53. Cálculo de Áreas Ejemplo 2 Graficar la región encerrada por las curvas y hallar el área respectiva. Puntos de corte:

54. Puntos Intersección

55. Volumen de Revolución Ejemplo Se obtiene al hacer girar una región limitada alrededor de un eje.

56. La región R en el plano xy puede ser aproximada con rectángulos Volumen de Revolución.- Eje X

57. Volumen de Revolución.- Eje Y