1. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 1
DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS
El diagrama de tallos nos permite sacar la mediana
20 13 8 6 10
15 15 10 7 8
12 16 18 12 15
13 2 20 13 14
14 16 13 15 15
13 13 18 16 14
11 5 12 15 16
10 15 13 18 15
7 13 15 15 15
8 9 16 14 11
13 8 18 15 17
10 6 15 13 14
16 8
13
12
2 0 0
1 5 2 3 5 6 8 2 0 5 3 4 3 6 3 9 8 3 5 6 4 5 4 1 0 5 2 3 5 5 8 5 6 5 5 3 0 6 8 5 4 5 3 1 2 4 6 3 2
0 8 3 6 7 8 2 7 6 3 8 9 8 6 8
2 0 0
1 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 8 8 8 8 9
0 2 3 3 6 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9
INTERVALOS NI
2 - 4 3
5 - 7 5
8 - 12 9
11 - 13 16
14 - 16 24
17 - 19 5
20 - 22 2

2. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 2
CENTROGRAMA
Los centrogramas son gráficos circulares, el que se divide en proporciones al tamaño de la
frecuencia del intervalo.
INTERVALOS ni 0 %
2 - 4 3 16.88 4.69
5 - 7 5 28.12 7.81
8 - 12 9 50.62 14.06
11 - 13 16 90.00 25.00
14 - 16 24 135.00 37.5
17 - 19 5 28.12 7.81
20 - 22 2 11.25 3.12
4.39%
7.81%
14.06%
25%
37.5%
7.81%
3.12%
%
4.69 %
7.81 %
14.06 %
25.00 %
37.5 %
7.81 %
3.12 %
LEYENDA

3. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 3
º A
16.88 %
45.00 %
95.62 %
185.62 %
320.62 %
348.75 %
360.00 %
LEYENDA
INTERVALOS ni º A %
2 - 4 3 16.88 4.69
5 - 7 5 45.00 7.81
8 - 12 9 95.62 14.06
11 - 13 16 185.62 25.00
14 - 16 24 320.62 37.5
17 - 19 5 348.75 7.81
20 - 22 2 360.00 3.12

4. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 4
POLÍGONO SUAVIZADO
Yi ni nis
3 3 2.7
6 5 5.7
9 9 10.00
12 16 16.33
15 24 15.00
18 5 10.33
21 2 2.33
0
5
10
15
20
25
30
3 6 9 12 15 18 21

5. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 5
MEDIA ARITMÉTICA
Es el valor de equilibrio en la variable, es decir su valor puede estar alterado o cambiado
de ubicación según se altere o modifique los valores extremos. Puede ser calculado con
datos simples, datos ponderados, datos agrupados.
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
MEDIA ARITMÉTICA MEDIANA
MODA MEDIA GEOMÉTRICA
CUANTILES
POBLACIÓN Y MUESTRA
MEDIDAS DE DISPERCIÓN

6. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 6
MEDIDAS
DE TENDENCIA
CENTRAL

7. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 7
MEDIA ARITMÉTICA
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Datos simples
Datos ponderados
Yi
30
29
28
27
26
20
15
10
5
190
Yi
Yi ni Yi ni U Uni
30 1 30 4 4
29 2 58 3 6
28 8 224 2 16
27 10 270 1 10
26 20 520 0 0
20 17 340 -6 -102
15 5 75 -11 -55
10 3 30 -16 -48
5 1 5 -21 -21
190 67 1552 -190
n Yi Uni
=
=
=

8. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 8
U=
Metodoorigen de trabajo
= ot + Uni C
Datos agrupados
INTERVALO Yi ni
Yi ni U Uni
40 44 42 3 30 -4 -12
45 49 47 5 58 -3 -15
50 54 52 10 520 -2 -20
55 59 57 18 1026 -1 -18
60 64 62 40 2480 0 0
65 69 67 13 871 1 13
70 74 72 7 504 2 14
75 79 77 3 231 3 9
80 84 82 1 82 4 4
5 100 5802 -25
C n Yi ni
Uni
= ot + Uni C
MétodoDirecto
= Uni
n
= 1552
67
=
Método Origen de Trabajo
= 26 + 1552 . 5
67
=23.36
n
= Uni
n= 1552
67=
Yi– ot
=
MétodoDirecto
n
= 26 + 1552
67
=23.36

9. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 9
MEDIANA
En el ámbito de la estadística, la mediana, representa el valor de la variable de posición
central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto
de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que
sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.
DATOS SIMPLES:
DATOS PONDERADOS:
Yi ni Ni2
20 2 131
19 3 129
18 6 126
17 10 120
16 18 110
15 40 92
14 30 52
13 10 22
12 5 12
11 3 7
10 4 4
131
n
Yi 1/Yi
20 0.05
19 0.053
18 0.056
17 0.059
16 0.063
15 0.067
14 0.071
13 0.077
11 0.091
10 0.1
10 0.687
FORMULA
H= n
1/Yi
H= 10
0.687
H= 14,56
FORMULA
Pos mediana= n+1
2
Posmed= 131+1
2
Posmed= 66
Mediana= 15

10. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 10
DATOS AGRUPADOS:
INTERVALOS Ni Ni
2 4 3 3
5 7 5 8
8 10 9 17
11 13 16 33
14 16 24 57
17 19 5 62
20 22 2 64
64
n
MODA O VALOR MODAL
En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de
datos.
Datos simples:
NO EXISTE MODA
MODA=15
Yi
20
19
18
17
16
15
Yi
20
19
18
17
16
15
15
8
FORMULA
Med= Yi+1 (n/2- Ni-1) c
Ni
Med= 10.5+ (0.9375) 3
Med= 13,3

11. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 11
DATOS PONDERADOS:
MODA=15
DATOS AGRUPADOS:
INTERVALOS ni
2 4 3
5 7 5
8 10 9
11 13 16
14 16 24
17 19 5
20 22 2
64
N
Yi ni
20 2
19 3
18 6
17 10
16 18
15 40
14 1
13 10
12 5
11 3
10 2
FORMULA:
Mod: Yi-1 + ()
Mod: 13.5 8 3
8+19
Mod: 14,39

12. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 12
MEDIA ARMONICA
La media armónica, denominada H, de una cantidad finita de números es igual
al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es
recomendada para promediar velocidades.
DATOS SIMPLES:
Yi 1/yi
20 0.05
19 0.053
18 0.056
17 0.059
16 0.063
15 0.067
14 0.071
13 0.077
11 0.091
10 0.1
10 0.687
DATOS PONDERADOS:
Yi ni ni/Yi
20 2 0.1
19 3 0.158
18 6 0.333
17 10 0.588
16 18 1.125
15 40 2.667
14 40 2
13 10 0.169
12 5 0.417
11 3 0.273
10 4 0.4
9.997
FORMULA:
H= n
1/Yi
H= 10
0.687
H= 14,56
FORMULA
H= n
ni/Yi
H= 11
9.997
H= 1.100

13. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 13
DATOS AGRUPADOS:
intervalos Columna1 Yi ni ni/Yi
2 4 3 3 1
5 7 6 5 0.83
8 10 9 9 1
11 13 12 16 1.33
14 16 15 24 1.6
17 19 18 5 0.28
20 22 21 2 0.10
64 6,14
DEBER
Calcular la mediana de los siguientes datos:
DATOS SIMPLES
Mediana:
Pos. Md.= mda=26
Pos. Md.=
Pos. Md.= 5
Y1
30
29
28
27
26
20
15
10
5
FORMULA
H= n
ni/Yi
H= 64
6.14
H= 10,42

14. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 14
DATOS PONDERADOS
Pos. Mediana: Mediana:
Pos. Md.= mda= 26
Pos. Md.=
Pos. Md.= 34
DATOS AGRUPADOS INTERVALOS
Pos. Mediana:
Pos. Md.= =
Pos. Md.= 50
Mediana:
Mda=
Mda=
Mda= 61,25
Y1 ni Ni
30 1 67
29 2 66
28 8 64
27 10 56
26 20 46
20 17 26
15 5 9
10 3 4
5 1 1
Intervalos Y1 ni Ni
40 - 44 42 3 3
45 - 49 47 5 8
50 - 54 52 10 18
55 – 59 57 18 36
60 – 64 62 40 76
65 – 69 67 13 89
70 – 74 72 7 90
75 – 79 77 3 99
80 - 84 82 1 100
100

15. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 15
Calcular la moda de los siguientes datos:
DATOS SIMPLES
Mo= No existe.
DATOS PONDERADOS
Mo= 20
Y1
30
29
28
27
26
20
15
10
5
Y1 ni
30 1
29 2
28 8
27 10
26 20
20 17
15 5
10 3
5 1

16. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 16
DATOS AGRUPADOS INTERVALOS
Mo=
Mo=
Mo=
Mo= 61, 74
∆1
= 40 - 18 ∆2
= 40 -13
∆1
= 22 ∆2
= 27
DATOS SIMPLES DATOS PONDERADOS
H= H=
H= H=
H= 15,13 H= 20,89
Intervalos ni
40 - 44 3
45 - 49 5
50 - 54 10
55 – 59 18
60 – 64 40
65 – 69 13
70 – 74 7
75 – 79 3
80 - 84 1
Y1
30 0,033
29 0,034
28 0,036
27 0,037
26 0,038
20 0,05
15 0,067
10 0,1
5 0,2
0, 595
Y1 ni
30 1 0,033
29 2 0,069
28 8 0,286
27 10 0,370
26 20 0,769
20 17 0,85
15 5 0,33
10 3 0,3
5 1 0,2
67 3,207
n

17. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 17
DATOS AGRUPADOS INTERVALOS
H=
H=
H= 59,81
MEDIA GEOMÉTRICA
Intervalos ni Y1
40 - 44 3 42 0,071
45 - 49 5 47 0,106
50 - 54 10 52 0,192
55 – 59 18 57 0,316
60 – 64 40 62 0,645
65 – 69 13 67 0,194
70 – 74 7 72 0,097
75 – 79 3 77 0,039
80 - 84 1 82 0,012
100 1,672
n

18. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 18
DATOS SIMPLES
Fórmula:
G=
G= 16,34
Yi
20
19
18
17
16
15
14
13
G=

19. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 19
DATOS PONDERADOS
G= antilog
G= antilog
G= antilog 1,12680
G= 13,39
Fórmula:
G= 253 no se puede hacer
G=
Yi ni log Yi ni × log × Yi
20 3 1,30103 3,90309
19 4 1,27875 5,115
18 10 1,25527 12,5527
17 18 1,23045 22,1481
16 30 1,20412 36,1236
15 35 1,17609 41,16315
14 42 1,14613 48,137716
13 35 1,11394 38,9879
12 20 1,07918 21,5836
11 18 1,04139 18,74502
10 16 1, 16,
9 17 0,95424 16,22208
8 3 0,90309 2,70927
7 2 0,84509 1,69018
253 285,08115
n Σ ni log Yi
G=

20. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 20
DEBER
Calcular la media geométrica para los siguientes datos:
k
G= antilog + log
G= antilog + log
G= antilog + log
G= 31,4420
= ot + Uni C
Intervalos Yi ni log Yi ni × log × Yi
6 – 12 9 4 0,95424 3,81697
13 – 19 16 10 1,20412 12,04119
20 – 26 23 9 1,36172 12,25555
27 – 33 30 35 1,47712 51,69924
34 – 40 37 25 1,56820 39,20504
41 – 47 44 17 1,64345 27,93869
48 – 54 51 5 1,70757 8,53785
55 – 61 58 3 1,76343 5,29028
62 - 68 65 3 1,81291 5,43874
111 166,22355
n Σ ni log Yi
MétodoDirecto Método Origen de Trabajo
= Uni
n
= 804
64
= =12.56
n
=12 + 12 . 3
64

21. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 21
FORMA DESCENDENTE
= ot + Uni C
INTERVALO Yi ni
Yi ni U Uni
18 20 19 7 133 3 21
15 17 16 19 304 2 38
12 14 13 9 247 1 19
9 11 10 6 60 0 0
6 8 7 10 70 -1 -10
3 5 4 2 8 -2 -4
0 2 1 1 1 -3 -3
3 64 823 61
C n Yi ni
Uni
MétodoDirecto Método Origen de Trabajo
= Uni
n
= 823
64
= =12.86
n
=10 + 61 . 3
64

22. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 22
CUANTILES
Son medidas posicionales que determinan valores porcentuales en los cuales están
ubicados estos elementos y son:
 Cuartiles
 Quintiles
 deciles
 percentiles.
EjerciciosCon datos simples
Yi
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
Pos Cu1 = n+1 Pos Q2 = 2(n+1) Pos Cu3 = 3(n+1)
4 4 4
Pos Cu1 = 15+1 Pos Cu2 = 2(16) Pos Cu3 = 3(16)
4 4 4
Pos Cu1 = 4 Pos Cu2 = 8 Pos Cu3 = 12
Cu1 = 9 Cu2 = 13 Cu3 = 17
Cu amplitudsemiintercuartilica
Cu Cu3-Cu1 = 17-9 = 4
2 2
Q3 = 3(16) Q4 = 4(16)
5 5
Q3 = 9,6 Q4 = 12,8
D8 = 8(n+1) D9 = 9(n+1)
10 10

23. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 23
Con datos ponderados
Yi ni Ni Pos Cu1 = 128+1 = 32,25
20 2 128 4
19 3 126
18 6 123 Cu1 = 12
17 8 117
16 10 109 Pos Cu2 = 2(129)
15 18 99 4
14 30 81
13 15 51 Cu2 = 14
12 14 36
11 9 22 Pos Cu3 = 3(129)
10 6 13 4
9 3 7 Cu3 5
8 2 4
7 1 2 Cu =
Cu3-
Cu1 = 15-02 = 1,5
6 1 1 2 2
128
D8 12,8 D9 14,4
P25 = 25(16) P50 = 50(16)
100 100
P25 = 4 P50 = 8
P75 = 75(16) P90 = 9(16)
100 100
P75 = 12 P90 = 1,44

24. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 24
Q3 = 3(n+1) = 3(129) = 77,4 Resp. Q3 = 14
5 5
Q4 = 4(n+1) = 4(129) = 103,2 Resp. Q4 = 16
5 5
D8 = 8(n+1) = 8(129) = 206,4 Resp. D8 = 16
10 10
D9 = 9(n+1) = 9(129) = 116,4 Resp. D9 = 17
10 10
P25 = 25(n+1) = 25(129) = 32,3 Resp. P25 = 12
100 100
P50 = 50(n+1) = 50(129) = 64,5 Resp. P50 = 14
100 100
P45 = 45(n+1) = 45(129) = 96,75 Resp. P45 = 12
100 100
P90 = 90(n+1) = 90(129) = 116,1 Resp. P90 = 8
100 100

25. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 25
Con datos de intervalos
Intervalos ni Ni
20 - 26 3 3
27 - 33 4 7
34 - 40 6 13
41 - 47 8 21
48 - 54 18 39
55 - 61 40 79
62 - 68 20 99
69 - 75 15 114
76 - 82 3 117
83 - 89 1 118
7 118
c n
Pos
Cu1 = Yi-1 + 1n/4-Ni-1
Pos
Cu3 = Yi-1 + 3n/4-Ni-1
ni ni
Pos
Cu1 = 1(118) = 29,5
Pos
Cu3 = 3(118) = 88,5
4 4
Cu1 = 50,81 Cu3 = 65
Pos Q3 = Yi-1 + 3n/5-Ni-1 Pos Q4 = Yi-1 + 4n/5-Ni-1
ni ni
Pos Q3 = 3(118) = 70,8
Pos
Cu3 = 4(118) = 94,4
5 5
Q3 = 66,87 Q4 = 64,2

26. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN
UNIDAD 3 Página 26
Pos D8 = Yi-1 + 8n/10-Ni-1 Pos D9 = Yi-1 + 9n/10-Ni-1
ni ni
Pos D8 = 8(118) = 94,4 Pos D9 = 9(118) = 106,9
10 10
D8 = 64,2 D9 = 71,86
Pos
D25 = Yi-1 +
25n/100-Ni-
1 Pos D90 = Yi-1 + 90n/100-Ni-1
ni ni
Pos
D25 =
25(118
) = 29,5 Pos D25 =
90(118
) = 106,2
100 100
P25 = 50,81 P90 = 71,86