Ejercicio de Econometría - Modelo Lineal General

1. ECONOMETRÍA I
EJERCICIO 7.18 DE GUJARATI
DATOS:
Desembolsos del presupuesto de defensa de Estados Unidos, 1962-1981. Para
explicar el presupuesto de defensa de Estados Unidos, considere el siguiente modelo:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑡 + 𝛽3 𝑋3𝑡 + 𝛽4 𝑋4𝑡 + 𝛽5 𝑋5𝑡 + 𝜇 𝑡
donde:
𝑌𝑡= desembolsos del presupuesto de defensa durante el año t, $ miles de millones.
𝑋2𝑡= PNB durante el año t, $ miles de millones.
𝑋3𝑡= ventas militares de Estados Unidos /ayuda en el año t, $ miles de millones.
𝑋4𝑡= ventas de la industria aeroespacial, $ miles de millones.
𝑋5𝑡= conflictos militares que implican a más de 100000 soldados. Esta variable
adquiere el valor de 1 cuando participan 100000 soldados o más, y es igual a cero
cuando el número de soldados no llega a 100000.
Para probar este modelo, se proporcionan datos en la siguiente tabla:
Año Yt X2 X3 X4 X5
1962 51,1 560,3 0,6 16 0
1963 52,3 590,5 0,9 16,4 0
1964 53,6 632,4 1,1 16,7 0
1965 49,6 684,9 1,4 17 1
1966 56,8 749,9 1,6 20,2 1
1967 70,1 793,9 1 23,4 1
1968 80,5 865 0,8 25,6 1
1969 81,2 931,4 1,5 24,6 1
1970 80,3 992,7 1 24,8 1
1971 77,7 1077,6 1,5 21,7 1
1972 78,3 1185,9 2,95 21,5 1
1973 74,5 1326,4 4,8 24,3 0
1974 77,8 1434,2 10,3 26,8 0
1975 85,6 1549,2 16 29,5 0
1976 89,4 1718 14,7 30,4 0
1977 97,5 1918,3 8,3 33,3 0
1978 105,2 2163,9 11 38 0
1979 117,7 2417,8 13 46,2 0
1980 135,9 2633,1 15,3 57,6 0
1981 162,1 2937,7 18 68,9 0

2. ECONOMETRÍA I
A continuación nos piden:
a) Estime los parámetros de este modelo y sus errores estándar, y obtenga 𝑅2
, 𝑅2
modificada y Ṝ2
.
b) Comente los resultados, considerando cualquier expectativa a priori que tenga
sobre la relación entre Y y las diversas variables X.
c) ¿Qué otra(s) variable(s) incluiría en el modelo y por qué?
SOLUCIÓN:
a) Estime los parámetros de este modelo y sus errores estándar, y
obtenga 𝑹 𝟐
, 𝑹 𝟐
modificada y Ṝ 𝟐
.
Modelo: 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑡 + 𝛽3 𝑋3𝑡 + 𝛽4 𝑋4𝑡 + 𝛽5 𝑋5𝑡 + 𝜇 𝑡
Tabla de datos:
t Año Yt x2 x3 x4 x5
1 1962 51,1 560,3 0,6 16 0
2 1963 52,3 590,5 0,9 16,4 0
3 1964 53,6 632,4 1,1 16,7 0
4 1965 49,6 684,9 1,4 17 1
5 1966 56,8 749,9 1,6 20,2 1
6 1967 70,1 793,9 1 23,4 1
7 1968 80,5 865 0,8 25,6 1
8 1969 81,2 931,4 1,5 24,6 1
9 1970 80,3 992,7 1 24,8 1
10 1971 77,7 1077,6 1,5 21,7 1
11 1972 78,3 1185,9 2,95 21,5 1
12 1973 74,5 1326,4 4,8 24,3 0
13 1974 77,8 1434,2 10,3 26,8 0
14 1975 85,6 1549,2 16 29,5 0
15 1976 89,4 1718 14,7 30,4 0
16 1977 97,5 1918,3 8,3 33,3 0
17 1978 105,2 2163,9 11 38 0
18 1979 117,7 2417,8 13 46,2 0
19 1980 135,9 2633,1 15,3 57,6 0
20 1981 162,1 2937,7 18 68,9 0
Suma 1677,2 27163,1 125,75 582,9 8
Media 83,86 1358,155 6,2875 29,145 0,4

3. ECONOMETRÍA I
Entonces:
51,1
52,3
53,6
49,6
56,8
70,1
80,5
81,2
80,3
77,7
78,3
Y= 74,5
77,8
85,6
89,4
97,5
105,2
117,7
135,9
162,1
1 560,3 0,6 16 0
1 590,5 0,9 16,4 0
1 632,4 1,1 16,7 0
1 684,9 1,4 17 1
1 749,9 1,6 20,2 1
1 793,9 1 23,4 1
1 865 0,8 25,6 1
1 931,4 1,5 24,6 1
1 992,7 1 24,8 1
1 1077,6 1,5 21,7 1
X = 1 1185,9 2,95 21,5 1
1 1326,4 4,8 24,3 0
1 1434,2 10,3 26,8 0
1 1549,2 16 29,5 0
1 1718 14,7 30,4 0
1 1918,3 8,3 33,3 0
1 2163,9 11 38 0
1 2417,8 13 46,2 0
1 2633,1 15,3 57,6 0
1 2937,7 18 68,9 0

4. ECONOMETRÍA I
El desarrollo se encuentra en el formato de Excel el cual se le ha presentado en un
CD:
20 27163,1000 125,7500 582,9000 8
27163,1000 46832239,2300 248214,4750 973615,5100 7281,3000
X'X = 125,7500 248214,4750 1540,9425 5028,4350 11,7500
582,9000 973615,5100 5028,4350 20712,5900 178,8000
8 7281,3000 11,7500 178,8000 8
El desarrollo de la matriz inversa se encuentra en el formato de Excel el cual se le ha
presentado en un CD:
0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777
-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082
(X'X)-1
= 0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073
-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580
-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372
Hallamos:
1677,2
2657079,68
X'Y = 13317,485
56437,61
574,5
Hallamos Y'Y:
Y'Y = 156604,44
Estimador de mínimos cuadrados ordinarios del vector β:
β^
= (X'X)-1
X'Y
(X'X)-1
= 0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777
-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082
0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073
-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580
-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372

5. ECONOMETRÍA I
Operando
β^
= 0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777 1677,2
-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082 2657079,68
0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073 13317,485
-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580 56437,61
-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372 574,5
Resultado:
β^
= 19,443464
0,018056
-0,284209
1,343196
6,331823
Modelo:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑡 + 𝛽3 𝑋3𝑡 + 𝛽4 𝑋4𝑡 + 𝛽5 𝑋5𝑡 + 𝜇 𝑡
Obtenemos:
𝑌𝑡^
=19.4434635044165+0.0180563400404556X2t-0.2842088498X3t+1.3431964994181X4t+6.33182288971807X5t+ut
X'Y = 1677,2
2657079,7
13317,485
56437,61
574,5

6. ECONOMETRÍA I
Calculamos los residuos:
u^
t = yt - 19,4434635 - 0,01805634 . x2t + 0,28420885 . x3t - 1,343196499 . x4t - 6,33182289 . x5t
u^
1 = 51,1 - 19,4434635 - 0,01805634 . 560,3 + 0,28420885 . 0,6 - 1,343196499 . 16 - 6,33182289 . 0 = 0,21895049
u^
2 = 52,3 - 19,4434635 - 0,01805634 . 590,5 + 0,28420885 . 0,9 - 1,343196499 . 16,4 - 6,33182289 . 0 = 0,421633076
u^
3 = 53,6 - 19,4434635 - 0,01805634 . 632,4 + 0,28420885 . 1,1 - 1,343196499 . 16,7 - 6,33182289 . 0 = 0,618955249
u^
4 = 49,6 - 19,4434635 - 0,01805634 . 684,9 + 0,28420885 . 1,4 - 1,343196499 . 17 - 6,33182289 . 1 = -10,97852179
u^
5 = 56,8 - 19,4434635 - 0,01805634 . 749,9 + 0,28420885 . 1,6 - 1,343196499 . 20,2 - 6,33182289 . 1 = -9,193570919
u^
6 = 70,1 - 19,4434635 - 0,01805634 . 793,9 + 0,28420885 . 1 - 1,343196499 . 23,4 - 6,33182289 . 1 = -1,156803989
u^
7 = 80,5 - 19,4434635 - 0,01805634 . 865 + 0,28420885 . 0,8 - 1,343196499 . 25,6 - 6,33182289 . 1 = 4,947516166
u^
8 = 81,2 - 19,4434635 - 0,01805634 . 931,4 + 0,28420885 . 1,5 - 1,343196499 . 24,6 - 6,33182289 . 1 = 5,990717881
u^
9 = 80,3 - 19,4434635 - 0,01805634 . 992,7 + 0,28420885 . 1 - 1,343196499 . 24,8 - 6,33182289 . 1 = 3,573120512
u^
10 = 77,7 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1077,6 + 0,28420885 . 1,5 - 1,343196499 . 21,7 - 6,33182289 . 1 = 3,746150816
u^
11 = 78,3 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1185,9 + 0,28420885 . 2,95 - 1,343196499 . 21,5 - 6,33182289 . 1 = 3,071391322
u^
12 = 74,5 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1326,4 + 0,28420885 . 4,8 - 1,343196499 . 24,3 - 6,33182289 . 0 = -0,168865391
u^
13 = 77,8 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1434,2 + 0,28420885 . 10,3 - 1,343196499 . 26,8 - 6,33182289 . 0 = -0,610181421
u^
14 = 85,6 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1549,2 + 0,28420885 . 16 - 1,343196499 . 29,5 - 6,33182289 . 0 = 3,10669937
u^
15 = 89,4 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1718 + 0,28420885 . 14,7 - 1,343196499 . 30,4 - 6,33182289 . 0 = 2,280440817
u^
16 = 97,5 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1918,3 + 0,28420885 . 8,3 - 1,343196499 . 33,3 - 6,33182289 . 0 = 1,049549419
u^
17 = 105,2 - 19,4434635 - 0,01805634 . 2163,9 + 0,28420885 . 11 - 1,343196499 . 38 - 6,33182289 . 0 = -1,230747347
u^
18 = 117,7 - 19,4434635 - 0,01805634 . 2417,8 + 0,28420885 . 13 - 1,343196499 . 46,2 - 6,33182289 . 0 = -3,761045679
u^
19 = 135,9 - 19,4434635 - 0,01805634 . 2633,1 + 0,28420885 . 15,3 - 1,343196499 . 57,6 - 6,33182289 . 0 = -4,107335428
u^
20 = 162,1 - 19,4434635 - 0,01805634 . 2937,7 + 0,28420885 . 18 - 1,343196499 . 68,9 - 6,33182289 . 0 = 2,181946846
u^
t =Yt-19.4434635044165-0.0180563400404556X2t+0.284208849867881X3t-1.3431964994181X4t-6.33182288971807X5t

7. ECONOMETRÍA I
Por lo tanto:
u^
1 = 0,219
u^
2 = 0,422
u^
3 = 0,619
u^
4 = -11
u^
5 = -9,19
u^
6 = -1,16
u^
7 = 4,948
u^
8 = 5,991
u^
9 = 3,573
u^
10 = 3,746
u^
11 = 3,071
u^
12 = -0,17
u^
13 = -0,61
u^
14 = 3,107
u^
15 = 2,28
u^
16 = 1,05
u^
17 = -1,23
u^
18 = -3,76
u^
19 = -4,11
u^
20 = 2,182
Hallando la varianza estimada del error:
Sabemos que:
Y'Y = 156604,44
β^
= 19,44
0,02
-0,28
1,34
6,33
σ^2
= S^2
= Y'Y-β^
'(X'Y)
n-k

8. ECONOMETRÍA I
Entonces:
β^
' = 19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33
X'Y = 1677,2
2657079,68
13317,485
56437,61
574,5
De: X'X = 20 27163,1000 125,7500 582,9000 8
27163,1000 46832239,2300 248214,4750 973615,5100 7281,3000
125,7500 248214,4750 1540,9425 5028,4350 11,7500
582,9000 973615,5100 5028,4350 20712,5900 178,8000
8 7281,3000 11,7500 178,8000 8
Entonces: n = 20
De: Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+β5X5t+ut
Entonces: k = 5
Operando:
1677,2
2657080
19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33 13317,49
56437,61
σ^2
= 156604,4400 -
574,5
20 - 5
σ^2
= 156604,44 - 156247,1965
20 - 5
σ^2
= 23,8162

9. ECONOMETRÍA I
Entonces:
Var(β^
) = 23,8162 0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777
-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082
0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073
-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580
-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372
Var(β^
) = 11,601202 -0,006032 0,316795 -0,078180 -4,829378
-0,006032 0,000041 -0,001624 -0,001385 0,001962
0,316795 -0,001624 0,209104 0,011489 0,597138
-0,078180 -0,001385 0,011489 0,067215 -0,180517
-4,829378 0,001962 0,597138 -0,180517 9,178105
Por lo tanto:
Var(β^
1) = 11,601202
Var(β^
2) = 0,000041
Var(β^
3) = 0,209104
Var(β^
4) = 0,067215
Var(β^
5) = 9,178105
Modelo:
Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+β5X5t+ut
β^
= 19,443464
0,018056
-0,284209
1,343196
6,331823
σ^2
= 23,8162

10. ECONOMETRÍA I
Obtenemos:
Yt=19.4434635044165+0.0180563400404556X2t-0.284208849867881X3t+1.3431964994181X4t+6.33182288971807X5t+ut
Además:
S^
(β^
) = S^2
(X'X)-1
Operando:
0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777
S^
(β^
) = 23,8162 -0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082
0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073
-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580
-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372
S^
(β^
) = 11,6012 -0,0060 0,3168 -0,0782 -4,8294
-0,0060 0,0000 -0,0016 -0,0014 0,0020
0,3168 -0,0016 0,2091 0,0115 0,5971
-0,0782 -0,0014 0,0115 0,0672 -0,1805
-4,8294 0,0020 0,5971 -0,1805 9,1781
Además:
R2
= β^'X'Y-nȲ2
Y'Y-nȲ2
Tenemos:
β^
' = 19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33
X'y = 1677,2
2657080
13317,49
56437,61
574,5
S^2
= 23,8162
S^
= 4,880184423

11. ECONOMETRÍA I
n = 20
Yp = 83,86
Yp
2
= 7032,5
Y'Y = 156604,4
Operando:
19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33 1677,2
2657079,68
13317,485
56437,61
R2
= 574,5 - 20 . 7032,4996
156604 - 20 . 7032,4996
R2 = 0,97761
Análisis:
Este resultado nos indica que es una buena explicación de los parámetros y de las
variables del modelo con un 97%.
Los residuos están desapareciendo.
R2
= 156247 - 20 . 7032,5
156604 - 20 . 7032,5

12. ECONOMETRÍA I
Yt = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + β5X5 + µ
ADEMÁS: R2
ajustado
R2
a = 1 - (n-1) (1-R2
)
(n-k)
R2
a = 1 - 19 0,022391
15
R2
a = 0,97164
ADEMÁS: R2
modificado
R2
m = 1 - k R2
n
R2
m = 1 - 5 0,977609
20
R2
m = 0,7556
b) Comente los resultados, considerando cualquier expectativa a priori que
tenga sobre la relación entre Y y las diversas variables X.
1) TEMA: Desembolsos del presupuesto de defensa de EE.UU
Modelo Dado
Sabemos: Y = F(X2, X3, X4. X5)
DESEMBOLSOS DEL PRESUPUESTO DE DEFENSA = F(PNB,
VENTAS/ASISTENCIAS MILITARES DE EE.UU, VENTAS DE LA INDUSTRIA
AEROESPACIAL, CONFLICTOS)
Para responder a la pregunta dada, primeramente definimos algunos conceptos sobre
lo que hemos estado trabajando con anterioridad, para que de allí pasemos a
responder a la pregunta que nos es dado.

13. ECONOMETRÍA I
2) DESARROLLO:
El papel de los modelos econométricos en la investigación económica aplicada
Por ejemplo, sea el modelo estimado: ttt ZbXbbY 210 
El conocimiento de los coeficientes b0, b1 y b2 nos permite realizar
 Un análisis estructural: Se usa el modelo estimado para medir la relación entre
variables económicas. Nos permite evaluar el impacto en Yt de las variaciones
ocurridas en Xt y Zt.
 La predicción: Se usa para predecir el valor futuro de una variable de interés, por
ejemplo predecimos Yt dados unos hipotéticos valores futuros para Xt y Zt.
R2
, R2
modificada y Ṝ2
𝑅2
: Es un indicador del poder explicativo del modelo, indica en qué proporción la
variación de Y es explicado por el modelo de regresión.
𝑅2
modificado : Como sabemos, al considerar 𝑅2
como un indicador del poder
explicativo del modelo, debemos tomar en cuenta que al comparar 2 modelos con
diferentes números de variables explicativas, el modelo con más variables siempre
tendrá un 𝑅2
mayor.
Ṝ2
: Para determinar que tanto mejora el poder explicativo del modelo al adicionar
nuevas variables se propone una modificación en el cálculo del 𝑅2
al que se
denomina Ṝ2
. Este coeficiente es sensible al número de variables adicionales, de
manera que si las variables adicionales no incrementan de manera significativa el
poder explicativo el Ṝ2
se reducirá.
3) RESPUESTA:
Como podemos a ver visto las diferentes definiciones de los puntos tocados con
anterioridad, pasamos a responder que los resultados que se llegará a obtener dado
cualquier expectativa a priori que tenga sobre la relación entre Y y las diversas
variables de X, es que se modificaran y ocurrirán un impacto en Y, dado que unos
hipotéticos valores en X varíe.