Guia2semestre terceros2011

Enrique Troyo del Valle
COLEGIO
MIRAFLORES
GUIA FINAL
MATEMÁTICAS III
ENRIQUE TROYO DEL VALLE

Guía para examen final. Terceros.
En esta guía hay ejercicios y desarrollo de algunos temas similares a lo que se ha hecho en
clase. El orden no es perfectamente lógico y es porque no te pongo en la mano un libro de
texto para explicar el tema; más bien me he permitido tomar en cuenta que ya hemos visto
todo en clase, por lo que te doy algunos ejercicios con ejemplos y en ocasiones encontrarás el
desarrollo de alguna(s) parte(s) del tema. Es una guía pensada para que intelectualmente
puedas recorrer los contenidos del año y pases por los puntos que seguramente te preguntaré
en examen final.
TEMA. Ecuación lineal. Función lineal. Sistemas de ecuaciones lineales.
HABILIDADES.
H1. Cambiar una ecuación de su forma general a su forma ordinaria
y a su forma pendiente-ordenada al origen .
H2. Realizar la gráfica de una ecuación lineal en su forma general , en su
forma ordinaria o en su forma pendiente-ordenada al origen . Puede
hacerlo en una tabla en la que dos puntos son suficientes; o bien pueden sustituirse
EJERCICIO. Simplifique, grafique, y exprese las otras dos formas de las siguientes ecuaciones,
de acuerdo al ejemplo siguiente:
Ejemplo: construir la representación gráfica de la ecuación, 3x  1 = x + 3
- Se resuelve la ecuación.
- Se representa la solución de la ecuación mediante una función lineal,
igualando a cero la solución algebraica y sustituyendo posteriormente el
cero por .
- Se construye una tabulación asignándole valores arbitrarios a la variable
independiente (x) que se sustituyen en la función lineal para obtener los
valores de la variable dependiente (y), y así formar puntos de pares
ordenados que al unirlos en el plano, dan lugar a una línea recta.
x
y = x 2 y P(x,y)
1
0
1
2
3
4
5
y = 1  2
y = 0  2
y = 1  2
y = 2  2
y = 3  2
y = 4  2
y = 5  2
3
2
1
0
1
2
3
P1(1,3)
P2(0,2)
P3(1,1)
P4(2,0)
P5(3,1)
P6(4,2)
P7(5,3)

- Se grafican los puntos P(x,y) en el plano cartesiano uniendo cada uno de ellos.
La solución o raíz de la ecuación es el valor de la abscisa (x) en la intersección de
la recta con el eje de las abscisas del plano, es decir x = 2 ; las coordenadas del
punto solución S(x,y) correspondiente a dicha intersección, es S(2,0).
EJERCICIO. Simplificar, resolver y graficar:
1.
2.
3.
EJERCICIO. Resuelva los siguientes problemas:
1. Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de
5 años será el doble. Halla las edades de cada una de las personas.
2. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mide 80 m. y la
altura es de la base.
3. Un jurado está compuesto por hombres y mujeres. El número de mujeres
es igual al doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el jurado
tendría el mismo número de hombres que de mujeres. ¿Cuántos hombres
y mujeres habría en el jurado?
4. En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y
196 patas. Halla el número de conejos y de gallinas.
Determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos y .
EJEMPLO. Diga las tres formas de la ecuación que pasa por y por
. Grafique.
Usando la fórmula

Sustituyendo, tenemos
Simplificando…
forma general
forma ordinaria
forma ordenada al origen-pendiente
Ejercicio. Grafique y halle las 3 formas de las ecuaciones de las rectas que pasan por A y B, por
A y C, por B y C ( y , respectivamente).
EJEMPLO. Grafique a la ecuación . Sustituyendo separadamente
en la ecuación , .
Tenemos que si
entonces ,
de donde .
Hay un punto
Del mismo modo, si ,
entonces ,
por lo que .
Hay un punto en

Por dos puntos diferentes pasa una y sólo una recta. Dos puntos son suficientes
para construir una recta. Graficando y uniendo con , tenemos:
FUNCIONES LINEALES.
El mismo procedimiento para la obtención de la regla de correspondencia o ecuación puede
usarse para funciones lineales en las que se apliquen relaciones similares. También se puede
encontrar esta regla de asociación conociendo la pendiente y la ordenada al origen.
Un procedimiento es idéntico al mostrado en el ejemplo de la sección “ecuación que pasa por
dos puntos”. Se coloca la ecuación en la forma ordenada al origen-pendiente y se sustituye
por , quedando así:
Si quiere encontrar la regla de asociación usando pendiente y ordenada al origen, como ya se
hizo durante el año escolar, revise los párrafos siguientes. El ejemplo ilustrativo será el de los
costos. Mencionamos por lo pronto que el costo es la expresión cuantitativa monetaria
representativa del consumo necesario de factores de la producción que se emplean para
producir un bien o prestar un servicio. Los costos de producción de un bien o de prestación de
un servicio tienen componentes que para ser entendidos de la manera más sencilla se les
atribuirá un comportamiento lineal. Las funciones lineales son importantísimas en el análisis
de fenómenos económicos. Hay costos fijos y costos variables. Los costos fijos no dependen
de cuánto se produzca: la renta, el pago de servicios y/o impuestos, la depreciación, etc.). Los
costos variables se asocian a la producción (insumos y mano de obra). El costo total es la
suma de los costos fijos y variables.
=
Si a los costos fijos los llamamos pesos y suponemos que el costo por producción de unidad
es de pesos, entonces los costos totales dependen (están en relación funcional) de la
cantidad de unidades producidas. El costo por producir unidades es de pesos. Entonces la
función C del costo total se define así:

EJEMPLO: El costo variable de fabricar juntas para motor es de $2 por unidad y
los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su
gráfica. ¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas para motor por día?
Solución El costo total de fabricar x juntas para motor en un día es
El costo total de fabricar 25 juntas para motor por día es de $ 80.
Los ejemplos que se trabajaron en clase trataban sobre tarifas de telefonía fija tales
que cobraban renta y una cantidad por cada minuto de uso de la línea. Se ocupaba
más de una compañía con la finalidad de comparar costos y encontrar en cuanto
tiempo éstos eran iguales. Se encontraba esto resolviendo un sistema de
ecuaciones, utilizando cualquiera de los métodos (igualación, sustitución, pero
sobre todo eliminación por suma y resta, determinantes).
EJERCICIOS.
1. Encuentre la función del costo de las compañías A y B dado que los costos fijos
de renta ascienden a $290 y $185, respectivamente; el costo por minuto de
llamada es de $0.75 y de $1.10, respectivamente. Grafíquelas en el mismo plano
utilizando geogebra1
o wolfram alpha2
introduciendo la ecuación en la línea
correspondiente. Posteriormente encuentre por el método de igualación el tiempo
en minutos en el cual los costos son los mismos en las dos compañías; diga el
costo. Relacione el tiempo y el dinero con coordenadas específicas de la gráfica.
1
http://www.geogebra.org/cms/en/download
2
http://www.wolframalpha.com/

2. Los costos diarios de producción de una fábrica de componentes electrónicos,
para x número de unidades, son de
Cada componente se vende en $2.35. Encuentre el punto de equilibrio3
y la facturación diaria
correspondiente. Grafique en wólfram alpha o en geogebra.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Como pueden ver, ya estamos tocando el tema de Sistemas de Ecuaciones lineales. No
tocaremos la teoría ni el desarrollo de cada método. Sólo los mencionaremos: igualación,
sustitución, eliminación por suma y resta, determinantes y gráfico (aproximado, abordado en
el apartado anterior). La única idea central a desarrollar es que a cada una de las ecuaciones
y le corresponde una gráfica, una recta si es lineal. Toda gráfica está compuesta de puntos
P cuyas coordenadas al ser sustituidas en la ecuación la hacen verdadera. Si las rectas
se cruzan por no ser paralelas, entonces existe un punto tal que pertenece a las dos
rectas; satisface entonces a ambas ecuaciones. Los valores de las coordenadas son la solución
del sistema.
La gráfica de una ecuación se hace en un plano o espacio con tantas dimensiones como
incógnitas tiene la ecuación. No podemos graficar espacios con más de 3 dimensiones.
Algo muy importante es que una ecuación no se altera en su gráfica o en sus soluciones si se le
multiplica a sus dos miembros por el mismo número. Se obtiene un múltiplo de la ecuación.
Como les he dicho coloquialmente en clase: “es la misma, pero disfrazada”.
Revisando las gráficas, tenemos:
3
El punto de equilibrio, en términos de contabilidad de costos, es aquel punto de actividad (volumen de
ventas) donde los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, el punto de actividad donde
no existe utilidad ni pérdida. (http://www.crecenegocios.com/el-punto-de-equilibrio/, consultado el 5
de mayo de 2011)

Ejercicio. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones/funciones lineales. Uno por cada
método. Grafique únicamente los de dos variables (2 a mano, 3 a computadora).
EJERCICIO.
Encuentre las ecuaciones y la intersección de sus gráficas, las rectas , que pasa por
y , y la recta , con y . Grafique por computadora y
coloque el punto sobre la gráfica en la posición de la solución.
Los problemas regularmente se presentan de manera verbal y describen relaciones que
pueden ser escritas en formato matemático como ecuaciones. A cada ecuación le corresponde
una gráfica, y el punto donde se cortan estas tiene coordenadas que son la solución del
sistema.
PROBLEMAS.
Procedimiento: Definir variables, plantear ecuaciones, resolver por un método diferente cada
vez. Grafique cuatro que Ud. escoja, nombre los ejes adecuadamente con la variable utilizada:
1. Un mecánico gana $45 por cada cambio de aceite y $100 por cada
cambio de balata. Si necesita $705 diarios y tiene que hacer el triple de cambios
de aceite que de balatas, entonces ¿cuántos servicios de cada tipo debe hacer?
2. Juan Topo abrió una tienda y le invirtió $5000.00 para poder abrir.
Además compró metros cuadrados de alfombra a un costo de $8.00/m. El vende
al público cada metro a $18.00 cada metro cuadrado. ¿Cuántos metros cuadrados
de alfombra debe vender para recuperar el monto de su inversión inicial y su
compra de material?
3. Si eres el director de RRHH y debes hacer los horarios de los
trabajadores, se deben cumplir ciertas condiciones. Tres trabajadores deben
acumular 110 horas de trabajo semanales. El trabajador A debe trabajar 5 horas
más que el trabajador B y éste a su vez debe trabajar 15 horas más que el
trabajador C. ¿Cuántas horas debe trabajar cada uno?

4. Los costos de renta de auto por un día de dos proveedores se describen
por las ecuaciones en las que c es el costo en dólares y n es el número de
kilómetros recorridos
A:
B:
Describe cada plan verbalmente. ¿Cuántos kilómetros se recorren en ambos
planes para que se pague lo mismo por cualquiera? ¿Cuánto se pagaría en dicho
caso ? ¿Cuál plan escogerías si necesitas manejar unos 90 km?
5. Un cargamento de 20 televisiones pesa 880kg. Algunas pesan 5okg y
otras 30kg ¿Cuántas hay de cada tipo?
6. Tu examen tiene 100 aciertos en 29 preguntas. Las de opción múltiple
valen 2 aciertos, y los problemas 5aciertos. ¿Cuántas preguntas de cada tipo hay?
7. Se te presentan dos ofertas de trabajo en ventas en EU. La opción A te
ofrece un salario anual de 30,000USD y un bono del 1%de tus ventas. La otra
opción te da sueldo fijo de 24,000 anuales y un bono del 2%de tus ventas del año.
¿Cuánto tienes que vender para ganar lo mismo con cualquier trabajo? Por otra
parte, si tú crees que puedes vender de 500,000 a 800,000 de mercancía en un
año, ¿cuál trabajo te conviene?
8. En la pista de atletismo corres y trotas durante hora y media. El trote es
a 4 mi/h y el sprint a 6 mi/h. Al final sabes que recorriste 7 millas. ¿Cuánto tiempo
corriste y cuánto tiempo trotaste?
9. Se invierten $250,000.00 en tres fondos de inversión cuyas tasas de
interés anuales son, respectivamente 5%, 7% y 9% En el primer instrumento se
pone el doble de dinero que en el segundo. Los rendimientos después de un año
son de $17,700.00 Diga cuánto se depositó en cada fondo.

CRECIMIENTO EXPONENCIAL
Es aquel que se describe con una ecuación o función en la cual la variable actúa como
exponente. Sirve para describir cosas tan comunes e importantes como los intereses bancario
(compuesto), el crecimiento de las poblaciones de cualquier especie, el crecimiento económico
de un país, etc.
EJEMPLO
En una cuenta hay un capital de $25,000.- Se invierte a un rédito anual del 7%. Sólo se
consideran capitalizaciones anuales para simplificar y eliminar la variable n4
convirtiéndola en
1. Calcular y graficar el monto alcanzado cuando el tiempo t es igual a
Datos:
Fórmula:
tiempo Monto
0 25000
1 26750
3 30626.08
5 35063.79
-2 49178.78
15 68975.79
20 96742.11
4
La fórmula del interés compuesto es . Simplificando con , queda así:

PROBLEMAS.
1. Una cuenta tiene recursos por $50,000. Cada mes tiene rendimientos del 0.6% por concepto
de intereses. Diga el monto después de 1, 5, 10, 15, 20 años. Extra: diga la tasa de interés
anual. Grafique.
2. Un coche se compra en la agencia por $275,000.- Cada año pierde el 20% de su valor5
. Diga
su costo cada 2 años, hasta 10 de antigüedad. Grafique.
3. Compare el Producto Interno Bruto (en adelante PIB) de EEUU y China con los siguientes
datos:
Si cada año crecen al 2.5% y 9%, calcule sus PIB dentro de 1, 5, 10, 15, 20 años. Grafique.
4. Las bacterias se reproducen muy rápido, siempre que tengan alimento suficiente. En un
instante determinado sembramos 50 bacterias en un cultivo. Estas bacterias se reproducen,
duplicandose cada 25 minutos. Haga una tabla donde hayan 10 valores bien distribuidos y que
el mayor dato se aproxime a 10 millones de bacterias. Grafique.
5
En problemas de devaluación la tasa se resta del 1 que es el 100%

ECUACION DE SEGUNDO GRADO.
El grado de una ecuación depende del mayor exponente al que esté elevada la variable. Se
asocia a cada grado de la variable un término constante que se multiplica. Se les nombra
típicamente Cuando se ordenan por grado y se igualan a cero tenemos la forma general
de la ecuación de segundo grado:
La solución de la ecuación son los valores que se le pueden dar a la variable para que al ser
sustituidos por ésta, hagan verdadera a la ecuación. Por ejemplo, sí es solución de
, pero no lo es. Veamos:
Hay varios métodos para resolver la ecuación de segundo grado: fórmula general aplica
siempre, factorización sólo da soluciones que sean enteros o fracciones, completar cuadrados
aplica siempre. Revísalos en tu cuaderno y estúdialos por favor.
Por teorema fundamental del Álgebra se sabe que la ecuación de segundo grado puede tener
hasta dos soluciones reales diferentes, dos soluciones reales iguales (también se podría decir
que es una solución), o bien dos soluciones complejas diferentes. Revisa las ideas relativas al
discriminante. Relaciónalas con la forma de la gráfica cuando se iguala la forma general con ,
quedando del siguiente modo . Entonces se puede saber si la gráfica corta
(2 puntos), toca (1 punto) o no (0 puntos) al eje x. No olvides que al hacer la gráfica de una
ecuación de segundo grado la dirección en la que abre la gráfica llamada parábola depende del
signo del coeficiente cuadrático. Si es positivo, abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.
Como ejercicio de aplicación te puede servir el siguiente

EJERCICIO. Relacione las
siguientes gráficas con las
ecuaciones tomando en cuenta
el valor del discriminante y el
signo del coeficiente
cuadrático.
Ecuaciones:
Resuelve las siguientes ecuaciones. Una por cada método. Anota la comprobación
sustituyendo 1 de los valores. Grafica al sustituir en lugar de 0 en la forma general de la
ecuación.
EJEMPLO.
Resolver, comprobar y graficar:
, completando cuadrados Aplicando raíz a ambos miembros de la
ecuación
Comprobación. Sustituir 7 en la ecuación original.

Graficando:
Como se ve, los valores de la coordenada de x de los puntos en los que corta la gráfica corta al
eje x, son los valores de las soluciones halladas.
Resolver, comprobar y graficar. Puede hacer la gráfica manualmente o bien usar geogebra (hay
que igualar con y) o wolfram|alpha (se puede introducir sin igualar con y). Usar un método
diferente para cada ecuación.
a) –
b) –
c) – –
d) –
d) – –
e) –
Para algunos casos en que se quiere obtener coeficientes enteros para ecuaciones
cuadráticas con coeficientes fraccionarios o decimales se usa el principio que afirma que si
una ecuación es múltiplo de otra, entonces sus soluciones son las mismas. El otro efecto
que produce la multiplicación de una ecuación en su forma general puede ser la
expansión, compresión o reflexión del resto de su gráfica en el sentido vertical, pero
conservando los puntos donde corta al eje x.
EJEMPLO: Resuelva – para eliminar los denominadores 5 y 3, se le
aplica a toda la ecuación la operación contraria, que es multiplicarla por el mcm de los
denominadores, como se muestra:
La ecuación ya tiene coeficientes enteros que son mucho más sencillos de factorizar o para
sustituir en ecuación general. Se redujo a una forma que ya se sabe como manejar.

Se aplicaría la misma técnica si los coeficientes son decimales
Y como todos los coeficientes son múltiplos de 5, entonces se puede simplificar antes de
aplicar cualquier otro método:
PROBLEMAS. Grafique siempre que sea posible.
1. La base de un rectángulo es mayor que su altura por 4 unidades. Halle sus dimensiones
si su área es de 96 unidades cuadradas.
2. Si la medida del lado de un cuadrado es disminuida en 2 y el otro es aumentado en 2,
entonces el área del rectángulo es de 32 unidades cuadradas. Halle el lado del
cuadrado original.
3. El jardín de Joe mide 4 por 6 metros. Quiere duplicar su área aumentando la misma
medida al largo y al ancho. ¿Cuánto debe ser esta medida?
4. Después de t segundos, una pelota lanzada al aire desde el piso alcanza una altura h
dada por la ecuación – .
a. Cuál es la altura de la bola 3 segundos después del lanzamiento?
b. Diga el número de segundos que la bola lleva en el aire cuando alcanza la
altura de 224m.
c. ¿Después de cuánto tiempo la bola caerá de Nuevo al piso (h=0)?
5. Se lanza una roca desde lo alto de un edificio. La distancia en pies entre la roca y el
piso después de t segundos del lanzamiento está dada por la ecuación descrita abajo.
¿Después de cuánto tiempo la roca se encontrará a 370 pies del piso?

TRIGONOMETRÍA.
Las razones trigonométricas relacionan los lados de un triángulo rectángulo. Los lados
perpendiculares son llamados catetos (Del lat. cathĕtus, y este del gr. κάθετος,
perpendicular)6
; el lado opuesto al ángulo recto, siempre el mayor en longitud, es llamado
hipotenusa. El truco mnemotécnico para recordar la definición de las 3 razones
trigonométricas iniciales es SohCahToa:
S SENO
O OPUESTO
H HIPOTENUSA
C COSENO
A ADYACENTE
H HIPOTENUSA
T TANGENTE
O OPUESTO
A ADYACENTE
Tenga en cuenta que y cambian su lugar cuando el ángulo de referencia tiene su
vértice en o en . La hipotenusa no varía por la referencia del ángulo.
6 http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=cateto,
consultado el 12 de mayo de 2011.

No olvidar tampoco que al acomodar las 6 razones trigonométricas del triángulo
rectángulo como se muestra, las razones del mismo renglón son recíprocas.
EJERCICIO:
Diga las 6 razones trigonométricas para los triángulos siguientes, para cada ángulo agudo.
Si sólo se dan 2 medidas de longitud, calcule Ud. la tercera por Pitágoras. Si la raíz no es
entera, déjela indicada. Aunque se debería, no les enseñé a racionalizar denominador, así
que no se molesten en hacerlo. Pueden dejar raíz indicada en el denominador. Si sólo se
da una longitud y ángulo entonces despeje de la correspondiente función trigonométrica.
Los valores de las funciones con 4 decimales de precisión; los de longitudes y ángulos con
2 decimales. Calcule los ángulos con función inversa como se ha visto en clase.
EJEMPLO
Resuelva el siguiente triángulo:
El lado conocido es la hipotenusa, que
aparece en seno y coseno. Se plantean estas
razones con respecto a B que es al ángulo de
medida conocida, para luego despejar
realizando las operaciones indicadas, como
se muestra enseguida:
El ángulo A por suma y resta
El triángulo está resuelto porque se conoce la medida de cada ángulo y lado.

EJEMPLO. En el siguiente sólo se mostrará cómo conocer ángulo desconocido en presencia
de dos lados conocidos
Se conocen los catetos, y estos se
relacionan en tangente.
Resuelve los siguientes triángulos.

PROBLEMAS. Haga los correspondientes diagramas.
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de
depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una
cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de
70° (Hint: triángulos isósceles).
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto
del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si
nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
La longitud del lado de un octógono regular es 12 m.
Hallar los radios de la circunferencia inscrita y
circunscrita .
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una
circunferencia de 49 centímetros de radio.
Calcule x e y en el siguiente triángulo

El mástil de un velero se halla unido a la proa y a la popa por dos cables que
forman con la cubierta ángulos de 45° y 60°, respectivamente. Si el barco tiene
una longitud de 100 m, ¿cuál es la altura del mástil?

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
Representemos al triángulo :
Para resolver estos triángulos
se usan la ley de senos
y la ley de cosenos
que es una generalización del teorema
de Pitágoras.
La ley de cosenos se puede escribir de
tres maneras, dependiendo del ángulo buscado, y (obviamente) es válida en todos los
casos. Lo único que debe hacerse es un intercambio de letras. Observe:
LEY DE SENOS
Se aplica cuando se conoce un lado, su
ángulo opuesto y cualquier otra
medida, sea lado o ángulo. Por
ejemplo:
En este triángulo se conocen lado y
ángulo opuestos B y b, además del
ángulo A. Sustituyendo en los datos
conocidos:
tenemos

En todo triángulo se cumple que de donde
Sustituyendo nuevamente en ley de senos, para las medidas C, tenemos:
El triángulo está resuelto.
EJERCICIOS. Resuelva los siguientes triángulos:

LEY DE COSENOS
Existen 2 casos:
CASO 1. Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre estos.
Se toma la fórmula
Sustituyendo: de donde
Con este dato se puede usar ley de senos y se obtienen lados y ángulos faltantes
Por sumas y restas se obtiene El triángulo está resuelto.
CASO 2. Cuando se conocen las longitudes de los tres lados y se quiere conocer el valor de
los ángulos.
En este caso de la fórmula se despeja la función relativa al ángulo, así:
posteriormente se sustituye y se opera, obteniendo que
.
Teniendo la medida de C, por ley de senos o de cosenos se obtienen las faltantes, que son:
, El triángulo está resuelto.

EJERCICIO. Resuelva los siguientes triángulos.

VECTORES Y SUMA DE VECTORES
Definición: Un vector es una magnitud física que tiene módulo y dirección.
Se representa como un segmento orientado, con una
dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Para
escribirlo en su forma polar se debe anotar su longitud
también llamada modulo del vector, la "punta de flecha"
que indica su dirección, y también el ángulo¸ que determina
su dirección. Estos elementos se escriben en un paréntesis
donde los valores se separan con punto y coma.
Llamemos al valor del módulo, y al ángulo que define su
dirección. El vector se puede representar
gráficamente como muestra la figura.
Note además que la punta del vector llega, de acuerdo con la
siguiente figura, hasta el hasta un punto en el plano
cartesiano .
Para obtener las componentes y , y dado que las
componentes con el vector forman un triángulo rectángulo,
se usan las siguientes fórmulas, obtenidas por trigonometría:
Observe que e están en orden alfabético; igual que y . Los ángulos de
ó pueden incrementarse respectivamente en dependiendo de la dirección del
vector. Esto se determina de acuerdo con el valor que arroje la calculadora al introducir el
valor; si es negativo, se agregan los dichos .
Revisemos las componentes del vector
Con las componentes del vector, podemos escribir el vector en su forma cartesiana, es
decir, anotando cuáles son las coordenadas del plano cartesiano que alcanza cuando su
punto de aplicación es en el origen. Aquí no se anota ni el módulo ni el ángulo, sino el
resultado de la longitud o módulo de las componentes. En general se anota:
En particular se ejemplifica:
La primera notación es de la forma polar, donde se anotan dentro del paréntesis,
separados por punto y coma el módulo o longitud y el ángulo o dirección; la segunda es la
forma cartesiana, donde se anotan dentro del paréntesis, separados por coma, los valores
de las componentes de x e y.

SUMA DE VECTORES.
El PROCEDIMIENTO para la suma de dos vectores , tales que ,
y , es el siguiente. Observe conforme se desarrolla la imagen.
1. Se hace la gráfica y se traslada cualquiera de los vectores para que manteniendo su
dirección se aplique desde la punta del otro vector. es el vector trasladado al final de
es la suma de .
2. Transformar cada ángulo a la notación cartesiana.
3. Sumar las coordenadas cartesianas de cada eje separadamente.
4. Transformar de la notación cartesiana a la notación polar el resultado de la suma. De
acuerdo con el siguiente procedimiento:
La explicación. Si x e y son perpendiculares, el módulo del vector es la hipotenusa, por eso
se calcula como tal:
Por la misma perpendicularidad x e y son
considerados como catetos adyacente y opuesto,
respectivamente. Entonces para saber el ángulo que
forman se les relaciona en tangente y se aplica
función inversa:
EJEMPLO.
Halle es vector suma de , y
1. Graficar. Se muestra imagen a la derecha.
2. Pasar cada vector a notación cartesiana:
3. Sumar coordenadas en forma cartesiana:

4. Pasar a coordenadas polares
Como ven el resultado de la operación tangente inversa es un ángulo negativo. Eso
requiere interpretación o al menos arreglo. Súmele 180 o alguno de sus múltiplos al
ángulo; todo depende de su diagrama. Tendremos en este caso Un ángulo que
corresponde perfectamente con lo que la imagen muestra.
EJERCICIOS.
Dados los siguientes vectores, realice las sumas indicadas. Dibuje cada gráfica con el vector
suma en sus dos formas:

PROBLEMAS.
Los problemas con distancias inaccesibles pueden resolverse por sistemas de ecuaciones
trigonométricas o por leyes de senos y cosenos. Resolver los siguientes por los dos métodos:
1. Se miden los ángulos de elevación de la pirámide roja de Egipto desde dos puntos de
observación que distan 136m. En la imagen se muestran los ángulos obtenidos. Calcule la
medida de su altura y su base.
2. Resolver el siguiente triángulo.

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