Este documento presenta un proyecto de investigación sobre el cálculo de la velocidad de un caudal de agua mediante métodos numéricos. El objetivo principal es determinar la velocidad de un caudal de agua usando la regla de Simpson, un método de integración numérica. El documento explica la teoría detrás de la regla de Simpson y cómo aplicarla para aproximar el área bajo una curva representativa de un caudal. También incluye la metodología y el índice del proyecto.

1. Curso:
Métodos numéricos
Clase:
002813
Título del proyecto:
‘Velocidad de Caudal de agua mediante
métodos numéricas’
Nº de equipo de Trabajo:
Rodriguez Cepeda, Sandra
Sanchez Leiva, Leticia
Murga Alayo, Kevin
Fecha de sustentación: Semana 15

2. INTRODUCCION
La construcción civil abarca todo lo material que un hombre es capaz de
generar, partiendo de la utilización y transformación de materia prima (los
recursos naturales). Esta parte ingenieril, abarca muchas áreas, entre tantas el
desarrollo urbanístico, diseño y ejecución de vías de transporte como
autopistas, avenidas, entre otras aplicaciones como diseño de paso de agua.
El agua es un material líquido, variante y de mucha importancia para diferentes
aplicaciones de la vida humana, es así que en la mecánica de fluidos se
estudia el comportamiento de este fluido. Por ello antes de cualquier obra
ingenieril que abarque la utilización del agua es necesario saber cómo se la
encuentra y para el caso de obras para el trasporte de agua es necesario saber
cómo se comporta con su exterior que lo acoge, así es que encontramos la
aplicación en el presente informe, hallar la velocidad del paso de un
determinado caudal de agua.
Para el desarrollo del problema se usara un sistema matemático desarrollado
por métodos numéricos que simplifiquen su cálculo.

3. JUSTIFICACIÓN
Como parte del curso de Métodos Numéricos se deben estudiar diferentes
técnicas para formular problemas matemáticos. Una forma práctica para que el
estudiante aprenda es mediante la investigación; es por eso que en este curso
se fomenta esta práctica y el grupo se divide en subgrupos entre los cuales se
distribuyen diferentes temas.
METODOLOGÍA
Para realizar este trabajo se requiere investigar el tema en libros y en Internet,
asimismo, se requiere aprender a utilizar la herramienta Matlab.

4. Para aplicar este método a problemas cotidianos es necesario realizar un
trabajo de investigación y entrevistas a personas que laboran en diferentes
empresas y que han requerido utilizar este tipo de métodos para resolver sus
problemas.

5. INDICE
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ___________________________________________________ 6
OBJETIVOS___________________________________________________________________________ 6
MARCO TEÓRICO________________________________________________________________________ 7
 Integración Numérica___________________________________________________________ 7
MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON _________________________________________________ 7
 CAUDAL ________________________________________________________________________16
MODELO MATEMÁTICO: ______________________________________________________________19
MÉTODOS DE SOLUCIÓN ______________________________________________________________19
ALGORITMO COMPUTACIONAL:______________________________________________________24
Resultados O CONCLUSIONES:________________________________________________________25
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y/O LINKOGRAFIA: ______________________________25
ANEXOS _________________________________________________________________________________25

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
¿De qué manera se calcularía la velocidad de un caudal de agua determinado,
haciendo uso del método numérico de integración numérica?
OBJETIVOS
Los ingenieros encuentran con frecuencia el problema de integrar funciones
que están definidas en forma tabular o en forma gráfica y no como funciones
explícitas. Se pueden utilizar métodos gráficos, pero los métodos numéricos
son mucho más precisos.
El objetivo de este proyecto es investigar sobre el método numérico “la Regla
de Simpson y de trapecio” buscar la forma de aplicarlo a problemas cotidianos
con los que se enfrentan los ingenieros.
Objetivo Principal:
Determinar la velocidad de un caudal de agua determinado, haciendo
uso del método numérico de integración numérica.

7. MARCO TEÓRICO
 Integración Numérica
La integración numérica consiste en encontrar una buena aproximación al área
bajo la curva que representa una función f(x), que ha sido determinada a partir
de datos experimentales o a partir de una expresión matemática.
Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos más
comunes de integración numérica; se basan en la estrategia de reemplazar una
función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea
fácil de integrar.
MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON
Una forma de obtener una aproximación adecuada de una integral es usar
polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la función real.
El método de Simpson, a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir
en un mayor número de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden
superior en lugar de una línea recta como en la Regla Trapezoidal.
Sea una función f(x), si entre f(a) y f( b) existe un tercer punto, entonces será
posible ajustar por ellos una parábola, en la misma forma, si existe dos puntos
entre f (a) y f( b), entonces por esos cuatro puntos se podrá ajustar una curva
de grado tres, y así sucesivamente.
En la figura 1, se muestra la función que es una parábola que aproxima
a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la parábola
que une los tres puntos. Note que hay tres puntos y dos segmentos, por lo que
se verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 1/3.

8. Por lo tanto las fórmulas que resultan de tomar integrales bajo estos polinomios
se conocen como regla de Simpson.
Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 1/3.
Se muestra la función que describe una ecuación cúbica que aproxima a la
función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la cúbica que une
los cuatro puntos. Note que hay cuatro puntos y tres segmentos, por lo que se
verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 3/8.
Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8

9. 1. Regla de Simpson 1/3
Esta regla resulta cuando se utiliza una interpolación polinomial de segundo
orden:
𝐼 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓2( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
La función 2f , es la interpolación polinomial de segundo orden. Esto se logra
con el polinomio de Lagrange de segundo grado. Sea c= (a+b)/2.
La función f2 es un polinomio de LaGrange de Segundo grado. Sea c= (a+b)/2.
𝑝2( 𝑥) =
(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑏)
(𝑎 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏)
𝑓(𝑎) +
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)
(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏)
𝑓(𝑐) +
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑐)
(𝑏 − 𝑎)(𝑏 − 𝑐)
𝑓(𝑏)
= 𝐿1( 𝑥) 𝑓( 𝑎) + 𝐿2( 𝑥) 𝑓( 𝑐)+ 𝐿3( 𝑥) 𝑓(𝑏)
Sustituyendo en la ecuación de la integral, se obtiene:
𝐼(𝑓) = ∫ 𝑝2( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫[ 𝐿1( 𝑥) 𝑓( 𝑎) + 𝐿2( 𝑥) 𝑓( 𝑐) + 𝐿3( 𝑥) 𝑓( 𝑏)] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑓(𝑎)∫ 𝐿1( 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑐)∫ 𝐿2( 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑏)
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
∫ 𝐿3( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
A continuación haremos todo el análisis matemático para obtener el valor de la
ecuación que es conocida como la regla de Simpson.
Tome en cuenta que h = (b-a)/2 y c =(a+b)/2 para la demostración.
Para b hacemos la siguiente sustitución:
  ahb
ab
h 

 2
2

10. La expresión   baca  la sustituimos de la siguiente forma.
    
    
  
  
    
   2
22
2
2
2
2
22
22
2
2
2
hcaba
hhhcaba
h
ab
hcaba
ba
hbhcaba
chbhcaba
cahcaba
hba
ab
h
















 






Y obteneos lo siguiente
∫ 𝐿1( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑏)
(𝑎 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏)
𝑑𝑥 =
1
2ℎ2
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
∫ (𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑏)𝑑𝑥
𝑏𝑎+2ℎ
𝑎
Usando la expresión: u = x-a, para el cambio de variable:
 
 
 
  hucx
ba
ucx
ba
aucx
caucx






2
2
 
 
  hubx
ab
ubx
baubx




2
2
2
En donde se obtiene:

11. =
1
2ℎ2
∫ ( 𝑢 − ℎ)( 𝑢 − 2ℎ) 𝑑𝑢 =
ℎ
3
2ℎ
0
En forma similar se obtiene que
∫ 𝐿2( 𝑥) 𝑑𝑥 =
4ℎ
3
,
𝑏
𝑎
∫ 𝐿3( 𝑥) 𝑑𝑥 =
ℎ
3
,
𝑏
𝑎
Tenemos pues que
𝐼(𝑓) ≈
ℎ
3
[𝑓( 𝑎) + 4𝑓 (
𝑎 + 𝑏
2
) + 𝑓( 𝑏)]
La ecuación anterior se conoce como la regla de Simpson 1/3. La
especificación 1/3 se origina del hecho que h está dividida en tres intervalos.
Recordando que la expresión h = (b-a)/2, podemos expresar la ecuación
anterior de la siguiente manera.
6
)(
2
4)(
)(
bf
ba
faf
abI





 

 (1.1)
Además se puede determinar que la ecuación anterior tiene un error asociado
de:
)(
90
1 )4(5
fhEt 


La expresión anterior se puede expresar también así:
  )(
2880
)4(
5
f
ab
Et

 (1.2)

12. El término  4
f lo podemos aproximar al promedio de la cuarta derivada.
 
 
ab
di
i
b
a


 

)4(
)4(
(1.3)
El error asociado a la regla de Simpson nos indica que este método es más
exacto que otros métodos de integración como la regla del trapecio. Vemos
que el error es proporcional a la cuarta derivada, por lo tanto el coeficiente del
tercer grado se hace cero en la interpolación polinomial. Por lo tanto, para
ecuaciones de tercer grado se obtienen ecuaciones exactas aunque se
aproxime con una parábola. Así, el método de Simpson es muy relevante.
De las ecuaciones (1.1) y (1.2). La integral es igual a:
   )4(5
5
28806
)(
2
4)(
)( fh
ab
bf
ba
faf
abI 







 

 (1.4)
2. Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.
La aplicación múltiple utiliza la misma idea que la regla de Simpson con
la diferencia que se divide el intervalo de integración en muchos segmentos o
sub-intervalos, como se observa en la figura 3. Es decir en lugar de 2
segmentos se hace para n segmentos donde n es de la forma 2k.
Por lo tanto tomamos h = (b-a)/n.

13. -
Figura 3 Se toman n segmentos
Por lo tanto, aplicando la regla de Simpson a cada sub-intervalo se obtiene.
     dxxfdxxfdxxfI
n
n
x
x
x
x
x
x



1
4
2
2
0
...
Utilizando la fórmula (1.1) a cada integral se obtiene:
   
 
6
)(4)(
)(...
6
)(4)(
)(
6
)(4)(
)(
12
432210
nnn xfxfxf
ab
xfxfxf
ab
xfxfxf
abI







Sacando a factor común (b-a) y agrupando términos obtenemos.
       
n
xfxffxfxf
abI
n
j
nj
n
i
i
3
24
)(
2
...6,4,2
1
...5,3,1
0 





 (1.5)

14. La ecuación anterior es la regla de Simpson 1/3 generalizada a un número par
de segmentos e impar de puntos.
El error en este caso es de:
  )4(
4
5
180
f
n
ab
Ea

 (1.6)
3. Regla de Simpson 3/8
A continuación se describe la regla de integración de Simpson 3/8 para la
“integración cerrada”, es decir, para cuando los valores de la función en los
extremos de los límites de integración son conocidos.
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina, otra forma
de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de
polinomios de orden superior para conectar los puntos (en lugar de utilizar
líneas para conectarlos).
Las reglas de Simpson son las fórmulas que resultan al tomar las integrales
bajo los polinomios que conectan a los puntos.
La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla
de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer
grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la
parábola de tercer grado es:
𝑌 = 𝐴𝑋2 + 𝑏𝑋2 + 𝑐𝑋 + 𝑑

15. Figura 4 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8
En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a
través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo
de integración es de - 3∆𝑋/2 a 3∆𝑋/2 lo que produce:
𝐴3𝑓𝑎𝑗𝑎𝑠 = ∫ 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋2 + 𝑐𝑋 + 𝑑)𝑑𝑥 =
3∆𝑋
8
(𝑌𝐼 + 𝑌𝐼+1 + 𝑌𝐼+2 + 𝑌𝐼+3)
3∆𝑋
2
−3∆𝑋
2
que es la regla de los tres octavos de Simpson.
La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:
𝐸 𝑇 = −
3
80
𝑓 𝐼𝑉(𝛿)(∆𝑋)5
Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.

16. La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que
alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos
necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en
las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.
 CAUDAL
El estudio del movimiento de los fluidos se puede realizar a través de la
dinámica como también de la energía que estos tienen en su movimiento.
Una forma de estudiar el movimiento es fijar la atención en una zona del
espacio, en un punto en un instante t, en el se especifica la densidad, la
velocidad y la presión del fluido. En ese punto se examina lo que sucede con el
fluido que pasa por él.
Al movimiento de un fluido se le llama “flujo” y dependiendo de las
características de este se les puede clasificar en:
1. Flujo viscoso y no viscoso: los flujos viscosos son aquellos que
presentan resistencia al avance. Todos los fluidos reales son
viscosos.
2. Flujo incompresible y compresible: Los flujos incompresibles son
aquellos en que la densidad (ρ = Masa/Volumen) prácticamente
permanece constante.
3. Flujo laminar y turbulento: en el flujo laminar, el fluido se desplaza
en láminas o capas paralelas. En el turbulento las partículas se
mueven siguiendo trayectorias muy irregulares.
4. Flujo permanente: si las propiedades como la densidad, la
velocidad, la presión no cambian en el tiempo en un punto del
espacio, entonces se dice que el flujo es permanente, pudiendo

17. cambiar de un punto a otro.
La ecuación de continuidad
La figura 1.1 representa una tubería por la que circula líquido de densidad
constante ρ. Sean A1 y A2 las áreas de las secciones transversales en dos
puntos diferentes del tubo. Designemos por v1 la velocidad del fluido en A1 y
por v2 la del fluido en A2. En el intervalo de tiempo ∆t, un elemento de fluido
recorre una distancia v∆t. Entonces, la masa del fluido ∆m1 es
aproximadamente,
∆m1 = ρA1v1∆t
Es decir, el flujo de masa ó caudal másico, ∆m1t / ∆t es aproximadamente
ρA1v1. Debemos tomar ∆t suficientemente pequeño para que en este intervalo
de tiempo ni v ni A cambien apreciablemente en la distancia que recorre el
fluido. En el límite, cuando ∆t 0, obtenemos las definiciones precisas:
Flujo de masa en A1 = ρA1v1 [kg/s]

18. Flujo de masa en A2 = ρA2v2 [kg/s]
Ya que ningún fluido puede salir por las paredes del tubo y puesto que no hay
“fuentes” ni “sumideros” en los que se pueda crear o destruir fluido en el tubo,
la masa que cruza cada sección del tubo por unidad de tiempo debe ser la
misma.
ρA1v1 = ρA2v2
Es decir,
ρAv = cte.
Este resultado expresa la ley de la conservación de la masa en la dinámica
de los fluidos.
Si el fluido es incompresible, la última ecuación toma la forma más sencilla
A1v1 = A2v2 [l/s]
Es decir
Av = cte.
El producto Av da el flujo de volumen ó caudal volumétrico.

19. MODELO MATEMÁTICO:
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
𝑄 =
𝑉𝑜𝑙
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
[
𝑚3
𝑠
]
Q: Caudal
Vol: Volumen
Datos
TIEMPO [s] PRIMERA
PRUEBA
SEGUNDA
PRUEBA
TERCERA
PRUEBA
PROMEDIO [m3]
0 0 0 0 0
5 1* 10-3 0.7*10-3 0.9* 10-3 0.8667*10-3
10 1.5*10-3 1.1* 10-3 1.4*10-3 1.3333*10-3
15 2* 10-3 2*10-3 1.9*10-3 1.9667*10-3

20. 20 2.5*10-3 2.4*10-3 2.4*10-3 2.433*10-3
25 3.2*10-3 3*10-3 3.2*10-3 3.133*10-3
30 3.7*10-3 3.6*10-3 3.6*10-3 3.633*10-3
TEMPO (s) Q [
𝑚3
𝑠
]
0
5 1.7334*10-4
10 1.3333*10-4
15 1.3111*10-4
20 1.2165*10-4
25 1.2532*10-4
30 1.211*10-4
𝑄 = 𝑉𝑒𝑙 ∗ 𝐴𝑟𝑒𝑎 [
𝑚3
𝑠
]
De acuerdo con la Tabla 1. El área de una tubería con un diámetro de 1’’ es de 5.6
cm2 ≈ 5.6 ∗ 10−4
TIEMPO [s] Q [
𝑚3
𝑠
] VELOCIDAD [
𝑚
𝑠
]
0 0 0
5 1.7334*10-4 0.30954
10 1.3333*10-4 0.23809
15 1.3111*10-4 0.23413
20 1.2165*10-4 0.21723
25 1.2532*10-4 0.22379

21. 30 1.211*10-4 0.21625
|
REGLA DEL TRAPECIO
ℎ = 𝑏 − 𝑎
ℎ = 5 − 0 = 5
- 𝐼 = ℎ ∗
[𝑓( 𝑎)+𝑓( 𝑏)]
2
𝐼 = ℎ ∗
[𝑓(0) + 𝑓(5)]
2
𝐼 = 5 ∗
[0 + 0.30954]
2
𝐼 = 0.77385
- 𝐼 = ℎ ∗
[𝑓( 𝑎)+𝑓( 𝑏)]
2
𝐼 = ℎ ∗
[𝑓(5) + 𝑓(10)]
2
𝐼 = 5 ∗
[0.30954 + 0.23809]
2
𝐼 = 1.36908
0
0.30954
0.23809 0.23413
0.21723 0.22379 0.21625
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 5 10 15 20 25 30 35
VELOCIDAD[m/s]
TIEMPO [s]

22. - 𝐼 = ℎ ∗
[𝑓( 𝑎)+𝑓( 𝑏)]
2
𝐼 = ℎ ∗
[𝑓(10) + 𝑓(15)]
2
𝐼 = 5 ∗
[0.23809 + 0.23413]
2
𝐼 = 1.18055
- 𝐼 = ℎ ∗
[𝑓( 𝑎)+𝑓( 𝑏)]
2
𝐼 = ℎ ∗
[𝑓(15) + 𝑓(20)]
2
𝐼 = 5 ∗
[0.23413 + 0.21723]
2
𝐼 = 1.1284
- 𝐼 = ℎ ∗
[𝑓( 𝑎)+𝑓( 𝑏)]
2
𝐼 = ℎ ∗
[𝑓(20) + 𝑓(25)]
2
𝐼 = 5 ∗
[0.21723 + 0.22379]
2
𝐼 = 1.10255
- 𝐼 = ℎ ∗
[𝑓( 𝑎)+𝑓( 𝑏)]
2
𝐼 = ℎ ∗
[𝑓(25) + 𝑓(30)]
2
𝐼 = 5 ∗
[0.22379 + 0.21625]
2
𝐼 = 1.1001
∑(1.001 + 1.10255 + 1.1284 + 1.18055 + 1.36908 + 0.77385) = 6.65453

23. REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTO
- 𝐼 = ℎ ∗
[𝑓( 𝑥0)+(2∗∑ 𝑓( 𝑥 𝑖)+ … )+𝑓( 𝑥 𝑛)]
2
𝐼 = ℎ ∗
[𝑓(0) + (2 ∗ ∑ 𝑓(5) + 𝑓(10)+ 𝑓(15)+ 𝑓(20) + 𝑓(25))+ 𝑓(30)]
2
𝐼 = 5 ∗
[0 + 2(0.30954+ 0.23809 + 0.23413 + 0.21723 + 0.22379) + 0.21625]
2
𝐼 = 6.6545
REGLA DE SIMPSON COMPUESTA
- 𝐼 = ℎ ∗
[𝑓( 𝑥0)+4∗∑ 𝑓( 𝑥 𝑖−1)+2∗∑ 𝑓( 𝑥 𝑖−2)+𝑓( 𝑥 𝑛)]
3
𝐼 = ℎ ∗
[𝑓(0) + (4 ∗ ∑ 𝑓(5)+ 𝑓(15) + 𝑓(25)) + (2 ∗ ∑ 𝑓(10) + 𝑓(20)) + 𝑓(30)]
3
𝐼 = 5 ∗
[0 + (4 ∗ ∑ 0.30954 + 0.23413+ 0.22379) + ( 2 ∗ ∑ 0.23809+ 0.21723) + 0.21625]
3
𝐼 = 6.63253

24. ALGORITMO COMPUTACIONAL:
function y=f(x)
y=0;
end
function y=fu(z)
y=0.30954;
end
function y=fun(x)
y=0.23809;
end
function y=func(x)
y=0.23413;
end
function y=funci(x)
y=0.21723;
end
function y=funcio(x)
y=0.22379;
end
function y=funcion(x)
y=0.21625;
end
function Inte=tra(f,fu,fun,func,funci,funcio,funcion,a,b)
h=b-a;
Inte=((h/2)*(feval(f,a)+feval(fu,b)))+((h/2)*(feval(fu,a)+feval(fun,b)
))+((h/2)*(feval(fun,a)+feval(func,b)))+((h/2)*(feval(func,a)+feval(fu
nci,b)))+((h/2)*(feval(funci,a)+feval(funcio,b)))+((h/2)*(feval(funcio
,a)+feval(funcion,b)))
end

25. Resultados O CONCLUSIONES:
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y/O LINKOGRAFIA:
ANEXOS
http://www.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/procesos/apuntes/Medicion_de_Caudal.pdf