breve descripción de los números complejos y la forma de representarlos.

1. Realizado por: José E. Quevedo Colina

2. Definición de un Numero complejo:
Llamaremos i = √ -1 a la unidad imaginaria. Un número complejo se define como u=a+bi (forma
binómica) donde a se llama parte real y b se llama parte imaginaria. En su representación gráfica el
extremo del vector se llama afijo del nº complejo.
Asigna los valores adecuados a los parámetros de la escena para representar los números
complejos 3+7i, -6+8i y 4-5i.
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3. Suma de Números complejos
Para la representación gráfica de esta operación utilizaremos la forma
binómica.
Suma los complejos (3-5i)+(6+2i) , (6-i)+(-2+5i) y anota los resultados en tu
cuaderno.
Observa que el complejo suma es (gráficamente) la diagonal del
paralelogramo definido por los dos complejos (arrastra con el ratón los afijos
de u y de v para comprobarlo)
Números Complejos

4. Resta de Números Complejos
Para la representación gráfica de esta operación utilizaremos la forma
binómica.
3. Resta los complejos (3-5i)-(6+2i) , (6-i)-(-2+5i) y anota los resultados en tu
cuaderno
.
Observa que ahora es el complejo u el que (gráficamente) es la diagonal del
paralelogramo definido por los otros dos complejos.
Números Complejos

5. Forma Polar . Paso de binómica a polar
Dado un complejo en forma binómica u=a+bi definimos su módulo r
como: r=√ a2 + b2 y su argumento como arg= arctg(b/a) . La
expresión r(arg) la llamaremos forma polar del número complejo u.
Pasa a forma polar los complejos -2-4i , -8+6i , 3+4i , 1-i , 1+i , 5 , 3i ,
-8i y anota los resultados en tu cuaderno.
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6. Paso de Polar a Binomica
La parte real de un complejo u=r(arg) es a=r.cos(arg) y la parte
imaginaria es b=r.sen(arg), con lo cual su forma binómica será
u=r.cos(arg)+r.sen(arg)i.
Pasa a forma binómica los complejos 5(30º) , 3(180º) , 2(270º) ,
3(200º) , 4(100º) y anota los resultados en tu cuaderno.
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7. Producto y Cociente de Números Complejos
Para la representación gráfica de estas operaciones utilizaremos la forma
polar, para multiplicar dos números complejos (el cociente de complejos es
muy similar).
Dados los complejos u=5(30º) , v=3(200º) , w=-4(45º) realiza los productos
u.v , u.w , v.w y anota los resultados en tu cuaderno. Deduce cuál es el
método para multiplicar complejos en forma polar.
Utilizando las escenas números 4 , 5 y 6 anota en tu cuaderno los productos
(5-3i)*(-2+4i) y (1+i)*(3-2i) dando los resultados en forma binómica.
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8. Potenciación de Números complejos
En la siguiente escena estudiaremos las potencias de exponente natural, de
complejos dados en forma polar.
Dados los complejos u=5(60º) y v=2(45º) calcula las potencias u^2 y v^4 y
anota los resultados en tu cuaderno. Deduce cuál es el método para realizar
potencias de complejos en forma polar.
Utilizando las escena números 4 , 5 y 7 anota en tu cuaderno las potencias
(1+i)^7 y (5-3i)^3 dando los resultados en forma binómica.
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9. Radicación de Números Complejos
En la siguiente escena estudiaremos las raíces cúbicas de un número
complejo dado en forma polar.
Dados los complejos u=27(150º) y v=8(45º) halla sus raíces cúbicas y anota
los resultados en tu cuaderno. Deduce cuál es el método para realizar raíces
cúbicas de complejos en forma polar.
Utilizando las escena números 4 , 5 y 8 anota en tu cuaderno las raíces
cúbicas de cada uno de los complejos 27 y 9+6i dando los resultados en
forma binómica.
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10. Plano de los números complejos o Diagrama de
Argand
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números
complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y
la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando
coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de
los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos
de los términos.
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos
y los ceros de una función en el plano complejo.
El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de
la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como
en física, electrónica y muchos otros campos.
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11. Aplicaciones
En matemáticas
Soluciones de ecuaciones polinómicas
Un raíz o cero [2]
del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta
definición es que todas las ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n
soluciones en el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que
cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z
es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como
Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un
cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos
números más naturales[cita requerida]
que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.
Variable compleja o análisis complejo
Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una
gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las
matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de
teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de
un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de
cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar
ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o
animaciones en 3D para representar las cuatro.
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12. Fin de la Presentación
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