Calculo de instalacion de tuberias

INTRODUCCIÓN
El presente capítulo desea ofrecer una ayuda valiosa al Técnico Proyectista de instalaciones de tube-
rías. Para ello se han recopilado los temas más específicos de aplicación y se ha pretendido darles una
forma, que su utilización haga cómodos y ágiles los procedimientos de cálculo.
Los métodos y fórmulas empleados en el cálculo de una tubería tienen por lo general un carácter
común, aunque lógicamente deberán aplicarse los parámetros correspondientes al tipo de material que
se pretenda utilizar.
CARACTERÍSTICAS DE LAS CONDUCCIONES
Las aplicaciones que se pueden dar a una tubería, al transportar un fluido líquido o gaseoso, son
diversas. En este capítulo se van a tratar exclusivamente las instalaciones destinadas a la circulación de
agua y sus consecuencias.
Cualquier tubería destinada a esta función se puede considerar como una conducción, aunque este
nombre, como tal, suele aplicarse a la tubería de transporte o trasvase de agua entre dos puntos, indife-
rentemente de la energía que se utilice para producir el desplazamiento del agua.
La circulación por el interior de la tubería se logra siempre por alguno de los medios siguientes:
•Circulación por gravedad
Cuando el sentido del líquido es descendente y se aprovecha el propio desnivel de la tubería.
• Circulación impulsada
Cuando el sentido del líquido es ascendente y tiene que vencerse el desnivel de la tubería, efec-
tuándose la impulsión por medio de un grupo de bombeo.
• Circulación por gravedad e impulsión
En aquellos casos que, circulando el líquido en sentido descendente, se requiere además un aumen-
to de presión como consecuencia de desnivel insuficiente.
Las instalaciones, en sus aplicaciones más habituales, pueden clasificarse en:
A.– Instalaciones de tuberías a presión (tubería completamente llena).
• Conducciones (trasvase entre dos puntos)
• Redes de distribución
• Riegos
• Emisarios submarinos.
8.1Cálculo de tuberías TUBOS SAENGER

B.– Instalaciones de tuberías sin presión (tubería parcialmente llena).
• Evacuación de aguas residuales en interiores de edificios
• Evacuación horizontal de aguas residuales.
CALCULO DE TUBERÍAS A PRESIÓN
Datos necesarios para el cálculo de una conducción
Para el cálculo dimensional, diámetro y espesor de una tubería es necesario disponer de los datos
referentes a los siguientes conceptos:
• Longitud total
Correspondiente al propio trazado de la tubería y que equivale a la distancia existente entre el ini-
cio o punto de captación y el extremo final o punto de utilización.
• Desnivel
Equivalente a la altura geométrica que es la diferencia de cotas geográficas de nivel entre los pun-
tos inicial y final de la tubería.
• Presión deseada en el extremo final
Que será establecida por las condiciones de servicio que requiera la utilización del agua, según el
fin a que vaya destinada.
• Caudal a circular
Que estará en función del consumo que se prevea, teniendo en cuenta las condiciones generales de
éste y la posible simultaneidad de funcionamiento entre los distintos servicios que toman el agua de la
tubería.
• Material de la tubería
Para aplicarle el correspondiente valor de tensión circunferencial de trabajo (σ) y deducir, en fun-
ción de ello, el espesor necesario de pared para soportar la presión de trabajo, que estará en relación
con la presión nominal (Pn) de la tubería a instalar, de acuerdo con las dimensiones normalizadas.
• Características topográficas del terreno
Que reflejen la situación de la tubería en planos de planta y perfil.
Dotaciones de agua
Los valores indicados en este capítulo son los más generales.
Estos pueden utilizarse como base de cálculo para instalaciones normales.
En otro caso deberán tomarse las cifras que solicite el peticionario del proyecto.
8.2 Cálculo de tuberíasTUBOS SAENGER

INSTALACIONES PARA SERVICIO PRIVADO DE VIVIENDA
Consumo total general
Consumos de detalle
INSTALACIONES PARA SERVICIO PÚBLICO
TIPO DE POBLACIÓN UNIDADES CANTIDAD
Medio rural Litros al día por habitante 30 a 50
Ciudad pequeña Litros al día por habitante 50 a 100
Ciudad media Litros al día por habitante 100 a 200
Ciudad grande Litros al día por habitante 200 a 300
Zonas residenciales Litros al día por habitante 200 a 300
CONCEPTO UNIDADES CANTIDAD
Para bebida, cocina y limpieza Litros por habitante y día 20 a 30
Lavado de ropa Litros por habitante y día 10 a 15
Descarga de retrete Litros por una 10 a 15
Baño Litros por uno 300
Ducha Litros por una 20 a 30
Lavado de coche Litros por uno 200
INSTALACIÓN UNIDADES CANTIDAD
Bocas de incendio Litros por segundo 5 a 10
Bocas de riego Litros por segundo 3
Cuarteles Litros por persona y día 50
Cuarteles con caballerizas Litros por caballo y día 60
Escuelas Litros por persona y día 50
Establecimientos de baño:
Ducha Litros por una 60
Baño corriente Litros por uno 500
Baño de vapor Litros por uno 700
Establecimientos comerciales Litros por m2 y día 2
Fuentes con grifo Litros por día 3.000
Fuentes con salida continua Litros por día 15.000 a 20.000
Hospitales y sanatorios Litros por persona y día 100 a 500
Hoteles: 1ª categoría Litros por persona y día 300
2ª categoría Litros por persona y día 200
3ª categoría Litros por persona y día 150
Lavanderías Litros por kg de ropa seca 35 a 50
Mercados Litros por m2 y día 5
Oficinas Litros por persona y día 50
Piscinas públicas Litros por m2 y día 500
Prisiones Litros por persona y día 50
Urinarios públicos:
Con lavado intermitente Litros por plaza y hora 50
Con lavado continuo Litros por plaza y hora 150

INSTALACIONES INDUSTRIALES
INSTALACIONES PARA RIEGOS Y GANADERÍA
* Los caudales a considerar en las instalaciones de riego por aspersión son muy variables, dependiendo en todos los casos de la pluvio-
metría deseada, que estará en función principalmente del tipo de plantación, del terreno y de la climatología de la zona.
El tipo de aspersor elegido estará condicionado por la pluviometría, la distancia de implantación y
la presión disponible en la red. En la página siguiente se incluye tabla de caudales consumidos.
Simultaneidad de consumo en los núcleos urbanos
El consumo de agua, principalmente en los núcleos urbanos, no se produce uniformemente a lo
largo de las 24 horas del día, sino que éste, a consecuencia de los horarios más o menos coincidentes
regidos por la población, se concentra en unas horas determinadas. Debido a esta simultaneidad de utili-
zación, se puede considerar que el total de los consumos establecidos se produce en un número más
reducido de horas.
La relación entre los dos valores horarios indica el coeficiente de simultaneidad, según se refleja en
la tabla siguiente:
Horas de consumo y coeficientes de simultaneidad
TIPO DE INDUSTRIA UNIDADES CANTIDAD
Azucareras Litros por kg de azúcar 100
Bodegas vinícolas Litros por litro de vino 2
Carnicerías Litros por día 600
Centrales lecheras Litros por litro de leche 8
Conserveras Litros por kg de conserva 6 a 15
Curtidos Litros por kg de producto fabricado 10
Destilerías de alcohol Litros por litro de alcohol 40
Depósitos frigoríficas Litros por Tm día de producto 400
Fábricas de cerveza Litros por litro de cerveza 15
Mataderos Litros por res y día 150 a 400
Sidrerías Litros por litro de sidra 4
CONCEPTO UNIDADES CANTIDAD
Calles con pavimento asfaltado Litros por m2 y día 1
Calles con pavimento empedrado Litros por m2 y día 1,5
Jardines Litros por m2 y día 2
Riego por goteo Litros por hora 2 a 12
Riego por micro-aspersión Litros por hora 30 a 90
Riego por aspersión* Litros por segundo 0,2 a 40
Ganadería:
Res mayor Litros por día 50
Res menor Litros por día 10 a 15
CARACTERÍSTICAS DEL NÚCLEO A ABASTECER NÚMERO DE HORAS SUPUESTAS CONSUMO DIARIO COEFICIENTE DE SIMULTANEIDAD
Núcleos urbanos con predominio
industrial 6 4
Núcleos urbanos con desarrollo
industrial normal 8 3
Núcleos con predominio
residencial 10 2,4
Núcleos con tendencia
a desarrollo agrícola 12 2

La siguiente tabla indica el caudal orientativo de agua consumido por los aspersores de característi-
cas medias, en función del diámetro de la boquilla y de la presión de servicio.
CAUDALES ORIENTATIVOS CONSUMIDOS POR LOS ASPERSORES, EN l/s
Presión estática y piezométrica
En toda instalación de tubería para la conducción de agua, y en cualquier punto de la misma, se
produce una presión estática cuando no hay circulación del líquido y una presión dinámica o piezométri-
ca cuando sí existe circulación. La presión o altura piezométrica será menor o mayor que la presión está-
tica, según que la conducción sea por gravedad o por impulsión.
En las figuras siguientes se han representado perfiles correspondientes a conducciones con los dis-
tintos tipos de circulación, con indicación de las líneas de presión estática y piezométrica.
PRESIÓN DE TRABAJO, EN kg/cm2
1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9
1,5 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,06
2 0,05 0,06 0,07 0,07 0,08 0,08
2,5 0,07 0,09 0,10 0,11 0,12 0,12
3 0,12 0,14 0,15 0,17 0,18 0,19
3,5 0,13 0,17 0,18 0,20 0,24 0,27 0,31 0,31
4 0,25 0,26 0,31 0,32 0,34 0,36 0,38
5 0,41 0,46 0,50 0,53 0,56 0,58
6 0,58 0,65 0,70 0,75 0,80 0,83
8 1,15 1,26 1,36 1,45 1,51
10 2,10 2,23 2,36 2,45 2,73 2,99
12 2,72 2,92 3,15 3,24 3,59 3,88
14 3,80 4,09 4,38 4,55 5,05 5,50
16 4,90 5,32 5,63 6,12 6,63
18 6,50 7,43 8,30 8,95 9,65
20 8,60 9,70 10,8 11,6 12,5
22 10,9 11,8 13,0 14,0 15,0
24 12,9 13,9 15,4 16,5 17,9
26 15,7 16,9 18,7 20,1 21,9
28 17,3 18,6 20,3 22,6 24,0
30 20,0 22,3 24,3 26,5 28,6
32 23,0 25,2 27,8 29,9 32,0
34 30,5 33,0 35,3 38,0
36 33,3 36,0 38,6 41,1
Diámetrodelaboquilla,enmm

Circulación por gravedad e impulsión
A = Equipo de bombeo
Hg = Altura geométrica
Hman = Altura manométrica
Hs = Altura hidráulica de servicio ( o presión de servicio)
Línea piezométrica
J
Hp
B
C
A Línea de carga estática
Hg
Circulación por gravedad.
Hg = Altura geométrica, equivalente a la diferencia de cotas entre los puntos A y B y que determina
la presión estática en el punto B.
J = Pérdida de carga, producida por los rozamientos de las partículas de agua con las paredes de la
tubería. Esta va desde un mínimo (0), al no producirse circulación de agua, hasta un máximo
(J=Hg), cuando el brocal de salida de la tubería es con abertura total libre. En este caso se
tiene:
Pérdida de carga = Pendiente motriz
A = Suministro de agua (depósito u otro sistema)
B = Válvula regulación de salida
C = Tubería
Hp = Altura piezométrica
J
Hi
B
A
Línea de carga estática
Hman
Hg
A
Línea piezométrica por gravedad
Línea piezométrica por bombeo
Hs
Hman
Circulación impulsada
A = Equipo de bombeo
B = Depósito receptor u otra salida de servicio
Hi = Altura de impulsión, que equivale a la altura geométrica
J = Pérdida de carga, equivalente a los rozamientos producidos en la tubería y que deben ser ven-
cidos por el equipo de bombeo.
En caso de precisarse una presión determinada en el punto B, a la altura (J+Hi) que deberá vencer la
bomba, tendrá que sumarse la equivalente a la presión de utilización.
Hman = Altura manométrica. Es la presión que necesariamente deberá aportar el grupo de bombeo
para vencer la resistencia ofrecida por el agua debida a la altura de impulsión más las pérdidas de carga.

Cambios de timbraje en las tuberías
Las tuberías a utilizar en las conducciones deberán estar dimensionadas en función del caudal a
transportar y de la presión a soportar.
El caudal establecerá el diámetro necesario y el cálculo correspondiente se tratará en el siguiente
apartado.
Las presiones que actúan en los distintos puntos de la conducción podrán hallarse fácilmente con
ayuda del plano de perfil , trazando paralelas a la línea piezométrica o a la línea de carga estática, a unas
distancias equivalentes a las alturas que corresponden a la presión de trabajo de la tubería y que por
intersección con ésta determinará las distintas zonas de presión y en consecuencia los timbrajes de la
tubería en cada una de ellas, según puede observarse en las tres figuras siguientes:
Cambios de timbraje
en una conducción
por gravedad, con
válvula de cierre en la
parte baja.
Cambios de timbraje
en una conducción
por gravedad, sin
posibilidad de cierre.
Cambios de timbraje
en una conducción
impulsada.
40m
0,4MPa 0,6MPa 1,0MPa
0,4MPa 0,4MPa0,6MPa 0,6MPa1,0MPa
1,6MPa
60m
100m
40m
60m
100m
160m
Timbrajes necesarios en la tubería
0,4MPa0,6MPa1,0MPa1,6MPa
40m
60m
100m
120m

PÉRDIDA DE CARGA EN LAS TUBERÍAS
Como condición general debe considerarse que:
A – Los valores de rozamiento del agua con las paredes de la tubería son independientes de la pro-
pia presión del agua.
B – En toda conducción, con diámetro interior constante, a igualdad de caudal corresponde una
velocidad media del agua uniforme.
C – Los factores principales que influyen en la pérdida de carga, para un mismo diámetro de tubería
son: la velocidad de circulación del agua y el valor de rugosidad de las paredes interiores de la tubería.
En una conducción por gravedad, con abertura total en B (ver figura adjunta), se tiene
siendo:
Hg = Altura geométrica, en m
L = Longitud de la conducción, en m
j = Pendiente motriz, en m.c.d.a./100 m (metros de columna de agua por cien metros de longitud).
La velocidad alcanzada por el agua en su recorrido depende principalmente de la pendiente motriz.
Cuando se alcancen valores superiores a 2 m/s deberán extremarse las precauciones en la instalación o
disminuir la velocidad, mediante una reducción de la sección de la tubería en el extremo de salida (por
ejemplo, mediante una válvula parcialmente cerrada).
El caudal de agua capaz de abastecer una conducción viene determinado por los siguientes facto-
res:
D = Diámetro interior de la tubería
J = Pérdida de carga
v = Velocidad media circulante del agua
Q = Caudal de agua a circular, por unidad de tiempo.
Hg × 100
= j
L
Hg
L
B

Dichos factores intervienen directa o indirectamente en todas las fórmulas de pérdida de carga
investigadas y desarrolladas por diversos autores, que gracias a la experiencia alcanzada en hidráulica, a
lo largo de su historia, han ido apareciendo cada vez más fiables y mejor adaptadas a los distintos mate-
riales.
Cuando un líquido circula por una tubería con un caudal determinado, se producen variaciones de
presión a lo largo de la misma, debidas:
• A las variaciones de velocidad, motivadas por la transformación de la energía potencial en cinéti-
ca.
• A la diferencia de cotas entre distintos puntos en que se mide la presión.
• A los rozamientos del agua con las paredes de la tubería.
• A rozamientos adicionales, provocados por accidentes y accesorios a lo largo de la tubería, como
cambios de dirección, cambios de diámetro, válvulas, etc.
La pérdida de presión o de carga total en una conducción vendrá expresada por:
J = J t + J a
siendo:
J t = Pérdida de carga por rozamientos propios en la tubería
J a = Pérdida de carga por rozamientos adicionales.
La pérdida de carga adicional de un accesorio corresponde a la pérdida de carga equivalente a una
longitud determinada de tubería recta del mismo diámetro. En la página 8.31 se presenta el ábaco de
estas equivalencias.
Durante la circulación del agua (u otro fluido) se producen rozamientos entre las partículas de ésta
y las paredes interiores de la tubería, afectando a las zonas de contacto y de influencia.
El rozamiento, definido por su coeficiente λ, depende de la rugosidad interior de la tubería.
Rugosidad absoluta K es la altura máxima de las asperezas de su superficie interior y rugosidad rela-
tiva K/D es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro del tubo.
La resistencia de rozamiento depende de la rugosidad o aspereza relativa, pues una misma rugosi-
dad absoluta estará relacionada con el mayor o menor diámetro del tubo.
Valor de K para tubería comerciales
MATERIAL K (mm)
Vidrio, bronce, cobre, polietileno (PE) 0 a 0,0015
Policloruro de vinilo (PVC) 0 a 0,010
Amianto-cemento 0,0125
Hierro forjado y acero 0,05 a 0,15
Fundición asfaltada 0,10 a 0,15
Hierro galvanizado 0,15
Fundición nueva 0,5 a 1,0
Fundición en servicio 1,5 a 3,0
Hormigón liso 0,3 a 3,0
Hormigón rugoso 3,0 a 20,0
Acero roblonado 1,0 a 10,0

El líquido puede circular por el interior del tubo en régimen laminar o turbulento, según las condi-
ciones que se presenten. Estas y el propio coeficiente λ dependerán de:
• El diámetro interior de la tubería
• La velocidad media de circulación
• La rugosidad de las paredes interiores de la tubería
• La viscosidad cinemática del líquido, a la temperatura de servicio.
Estos factores son independientes de la presión del líquido en el interior del tubo.
La fórmula de Reynolds, conocida por el coeficiente o número de Reynolds (Re), está relacionada
con el coeficiente de rozamiento λ y combina, sin dimensiones, estas magnitudes.
La expresión matemática del número de Reynolds viene dada por:
siendo:
v = Velocidad media circulante del agua, en m/s
D = Diámetro interior de la tubería, en m
ν = Viscosidad cinemática del líquido, en m2/s
El valor del número de Reynolds, referido a la corriente de un líquido por el interior de una tube-
ría, determina el tipo de esta corriente:
Re < 2.000, corriente laminar. Influyen los esfuerzos que corresponden a la viscosidad, referidos al
número de Reynolds.
Re > 40.000, corriente turbulenta. Influye la rugosidad de las paredes de la tubería, referida al coe-
ficiente de rozamiento λ.
2.000< Re< 40.000, régimen de transición, pudiendo determinar corrientes de una u otra clase.
Influyen simultáneamente el número de Reynolds y la rugosidad.
Cuando Re = 2.000, se produce la velocidad crítica inferior.
Cuando Re = 40.000, se produce la velocidad crítica superior.
Viscosidad cinemática del agua, a temperaturas normales de conducción.
v D
Re =
ν
TEMPERATURA °C VISCOSIDAD CINEMÁTICA m2/s
4 1,57×10–6
10 1,31×10–6
12 1,24×10–6
15 1,14×10–6
20 1,01×10–6
25 0,91×10–6
30 0,83×10–6
35 0,74×10–6
40 0,66×10–6
45 0,58×10–6

La temperatura de 45°C, corresponde a la máxima recomendable de utilización, para conducciones
a presión y trabajo continuo, en tuberías de PVC y PE,
Para temperaturas superiores a 2O°C deberá aplicarse un factor de corrección de la presión de tra-
bajo de la tubería. (Ver capítulo 6).
La fórmula general de Darcy-Weisbach, para pérdida de carga de conducciones, obedece a:
siendo:
j = Pérdida de carga unitaria
λ = Coeficiente de fricción o de rozamiento
v = Velocidad media circulante
g = Aceleración de la gravedad
D = Diámetro interior de la tubería
Pérdida de carga en régimen laminar
Los movimientos de las
partículas de agua, durante la
circulación, correspondientes a
distintos puntos de una sección
de la tubería, son lineales y cons-
tantes, aunque decrecientes
desde el eje hasta las paredes.
Para el régimen laminar (Re<2000), Hagen Poiseuille estableció una relación entre el número de
Reynolds y el coeficiente de rozamiento, expresado por la fórmula:
Sustituyendo ésta en la fórmula general de Darcy-Weisbach,
se tiene
v2
j = λ
2 g D
64
λ =
Re
v2
j = λ
2 g D
64 v2 32 v2
j = =
2 g D Re g D Re

o bien, teniendo en cuenta que
siendo todos los factores ya indicados en el presente capítulo.
Pérdida de carga en régimen turbulento
Los movimientos de las partícu-
las no se mantienen lineales,
produciendo por lo tanto com-
ponentes de dirección radial.
También en este caso el conjun-
to de velocidades es decreciente
desde el eje hasta las paredes.
Para el cálculo de la pérdida de carga en régimen turbulento, que es el caso que se produce en la
mayoría de las conducciones, es necesario conocer el valor de λ, en función de las características ya indi-
cadas.
Conocido el factor de fricción λ, es posible calcular, para cada caso, la pérdida de carga unitaria j.
Con ello la pérdida de carga por rozamientos será J = j (L + La), siendo L la longitud total real de la tube-
ría y La una longitud virtual de tubería de iguales características, cuya pérdida de carga será equivalente
a la de las resistencias adicionales ( ver pág. 8.31 ).
Existen gran número de fórmulas empíricas para determinar el coeficiente de fricción.
A continuación se presentan varias de ellas con indicación de su campo de aplicación.
En algunas de las fórmulas que se citarán interviene el factor de aspereza relativa K/D.
En otras fórmulas interviene el factor
que se denomina coeficiente de frotamiento.
v D
Re = , será
ν
32 v2 32 v ν
j = =
g D Re g D2
λ
b =
8g

En función de él, la fórmula general de la pérdida de carga unitaria toma la forma:
y aplicando a la misma el radio hidráulico para tuberías llenas
siendo:
R = Radio hidráulico
S = Sección interior de la tubería
c = Longitud de la circunferencia interior
D = Diámetro interior
la fórmula queda:
Fórmulas empíricas de pérdidas de carga
• Fórmula de Blasius
Aplicable a tubos lisos y establecida para números de Reynolds, Re, inferiores a 105 (Regímenes de
corrientes turbulentas y de transición).
• Fórmula de Schiller y Herman
Válida para Re = 2.000.000
• Fórmula de Nikuradse (exponencial)
Para valores de Re, de 3.240.000
• Fórmula de Dupuit
El coeficiente de frotamiento b es constante, siendo:
b = 0,0003858
4 b v2
j =
D
v2
j = b
R
0,396
λ = 0,0054 +
Re0,30
0,3164
λ =
Re0,25
S D
R = =
c 4
0,221
λ = 0,0032 +
Re0,237

con lo que la pérdida de carga resulta:
Esta expresión, a pesar de su simplicidad, da resultados aceptables para tuberías rugosas y diáme-
tros inferiores a 0,8 m.
• Fórmula de Darcy
Este autor llevó a cabo una serie de experiencias en tuberías de hierro fundido, plomo, hierro
dulce, fundición asfaltada y vidrio. Según él, el coeficiente de frotamiento b, viene dado por la expre-
sión:
siendo D el diámetro interior y α y β constantes:
Para tuberías de fundición nuevas:
α = 2,535×10 –4
β = 6,47×10 –6
Para tuberías de fundición en servicio:
α = 5,07×10–4
β = 1,294×10–5
• Fórmula de Levy
siendo:
α = 36,4 para tuberías de fundición nuevas.
α = 20,5 para las mismas en servicio.
En función del coeficiente α y sustituyendo valores en la fórmula de Levy
acostumbra a emplearse en la forma
• Fórmula de Kutter
Estableció el coeficiente de frotamiento según:
β
b = α +
D
v2 v2
j = 0,0003858 = 0,0015432
R D
1 1
b = ×
2α2
1+2,12132 D
D(1 + 2,12132 D)
v = α
2
4 b v2
j =
D
j
α +
2
b =
2.500 D
D
4

en la que:
α = 0,15 para tuberías metálicas nuevas y de hormigón enlucido.
α = 0,35 para las mismas, en servicio.
Llevado el valor b a la fórmula general
• Fórmula de Bazin
En esta, el coeficiente de frotamiento vale:
siendo:
α = 0,16 para tuberías en servicio, de diámetro menor a 0,70 m
α = 0,31 id., para diámetros superiores a 0,70 m.
Aplicando el coeficiente b a la fórmula general se obtiene:
• Fórmula de Prony
Que llevado a la fórmula general, resulta:
j D = 0,00006933 v + 0,001393 v2
• Fórmula de Weisbach
Con coeficiente de frotamiento
conduce a:
j D = 0,0007336 v2 + 0,0004828 v3/2
TUBOS SAENGER
50 D
v =
2α + D
1 + 2α 2
b = D
87
4 b v2
j = , resulta:
D
8.15Cálculo de tuberías
j
43,5 D
v =
D + 2α
j
0,000017333
b = + 0,00034826
v
0,0001207
b = 0,000183 +
ν

• Fórmula de Flamant
Según este autor el coeficiente de frotamiento vale:
siendo:
α = 0,00013 ÷ 0,000155 para tuberías de plomo, vidrio y palastro.
α = 0,000185 para tuberías de fundición nuevas y hormigón.
α = 0,00023 para tuberías en servicio.
aplicando este coeficiente a la fórmula general da:
• Fórmula de Hazen y Williams
o bien, en función de la velocidad:
α toma los valores siguientes:
Tuberías de PVC α = 150
Tuberías de amianto-cemento, nuevas α = 140
Tuberías de fundición, nuevas α = 130
Tuberías de hormigón enlucido α = 128
Tuberías de fundición, en servicio α = 100
Tuberías de palastro roblonado, nuevas α = 114
Tuberías de palastro roblonado, en servicio α = 97
• Fórmula de Manning-Strickler
Su forma más usual es:
α
b =
4
D v
v7
j = 4α
D5
4
v = 1 R2/3 j1/2
n
D 0,63
v = 0,85 α j0,54
4
v
1/0,54
j =
0,355 α D
0,63

tomando el coeficiente n los siguientes valores:
• Fórmula de Scimemi
v = 61,5 DO,68 jO,56
• Fórmulas de Colebrook, Von Karman, Nikuradse
Considerando nuevamente la fórmula general para el movimiento uniforme turbulento:
el caso más general es considerar el coeficiente de fricción λ como función:
a/ Del número de Reynolds, Re.
b/ De la aspereza o rugosidad relativa de la tubería K/D.
La influencia de estos dos parámetros sobre el coeficiente de fricción es cuantitativamente muy dis-
tinta según las características de la corriente. En régimen laminar desaparece la influencia del término
rugosidad, puesto que las asperezas de la superficie quedan envueltas en un movimiento ordenado y λ
sólo depende de Re (fórmula de Hagen-Poiseuille). Por el contrario, cuando el número de Reynolds es
muy alto, su influencia se anula a su vez, resultando λ dependiente sólo de la rugosidad relativa.
En la zona de transición influyen simultáneamente Re y K/D.
• Fórmula de Colebrook (cálculo de λλ)
Fue desarrollada empíricamente y puede considerarse de aplicación general para tuberías lisas,
semirugosas y rugosas, para Re>2000 (a excepción del régimen laminar, Re<2000, que debe utilizarse la
fórmula de Poiseuille).
En la fórmula de Colebrook se relaciona λ con la rugosidad relativa y el número de Reynolds.
• Fórmula de Von Karman (cálculo de λλ)
Partiendo de la fórmula de Colebrook y para tubos hidráulicamente lisos en que el valor de K tiende
a cero o es cero, el primer término encerrado en el paréntesis de la citada fórmula puede despreciarse,
MATERIAL
PVC, PE
Hormigón liso, amianto-cemento
Hormigón en bruto, hierro fundido
Acero roblonado
Ladrillo
Tierra
VALOR n
0,006 ÷ 0,008
0,011 ÷ 0,013
0,013 ÷ 0,017
0,014 ÷ 0,019
0,012 ÷ 0,030
0,020 ÷ 0,030
v2
j = λ
2 g D
1 K 2,51
= – 2 log +
λ 3,71D Re λ

TUBOS SAENGER
quedando reducida a:
Los valores de λ conseguidos experimentalmente por varios autores coinciden sensiblemente con
los resultados que da la fórmula de Von Karman.
• Fórmula de Nikuradse (cálculo de λλ)
Partiendo también de la fórmula de Colebrook y en este caso para tuberías hidráulicamente rugo-
sas, cuando se obtiene un valor de Re muy elevado, el segundo término del interior del paréntesis tiende
a cero y éste puede despreciarse, quedando la fórmula:
Consideraciones a la fórmula de Manning
Debido a la baja viscosidad del agua, se alcanzan números de Reynolds elevados. Considerando
además las velocidades normales de circulación, en la práctica todas las instalaciones de tubería emplea-
das para la conducción de agua producen corrientes de tipo turbulento.
Tan sólo los líquidos viscosos, como por ejemplo los aceites, dan números de Reynolds inferiores a
2.000 debiéndose, en estos casos, calcular las pérdidas de carga por la fórmula de Poiseuille
Los tubos de PVC y PE presentan unas superficies hidráulicamente lisas y las posibles ondulaciones
de las paredes no influyen prácticamente en las pérdidas de carga. Lo que realmente cuenta es el tipo de
superficie, es decir, presencia de granos o rugosidades, que en estos materiales es imposible que suceda.
Cuando más lisa es la tubería, más se acercan los resultados a los calculados por la fórmula de Von
Karman, al permitir despreciar el término no afectado de la rugosidad relativa K/D.
Se han realizado numerosos ensayos para comprobar si esta fórmula y las aproximaciones a la
misma son utilizables para las tuberías de PVC y PE.
El Instituto Oficial Belga de Ensayos, BECETEL, efectuó un estudio comparativo de los resultados
dados por las fórmulas de Blasius, Nikuradse (exponencial) y Von Karman, determinándose los factores
de fricción reales de las conducciones de PVC. Los resultados reales son prácticamente iguales a los
dados por las fórmulas, en el campo de aplicación de las mismas.
Aunque según la teoría resulta aconsejable la utilización de la fórmula de Von Karman (por simplifi-
cación de la fórmula de Colebrook) para el cálculo del coeficiente de rozamiento λ en las tuberías de PVC
y PE, su aplicación práctica resulta engorrosa, a menos que no se disponga de programa para ordenador,
tabulación de valores o ábaco suficientemente exacto. Dadas las dificultades prácticas que esto repre-
senta en muchos sectores, se ha pensado en la sustitución de esta fórmula por otra, previamente ajusta-
da a los mismos valores.
8.18 Cálculo de tuberías
1 2,51
= – 2 log
λ Re λ
1 K
= – 2 log
λ 3,71D

El gráfico siguiente reproduce los resultados obtenidos por el Instituto BECETEL.
La fórmula de Manning
ya indicada anteriormente, presenta una aceptable correspondencia de resultados al aplicarle, para las
tuberías de PVC y PE, un valor de n = 0,008
Por este motivo y por su simplicidad, ya que permite ser tabulada y representada en ábacos con
facilidad y por la experiencia de largos años que han demostrado que sus resultados son totalmente
satisfactorios, es por lo que TUBOS SAENGER adoptó generalmente esta fórmula para el cálculo de sus
tuberías.
⊗
•
×
Ley de Blasius
λ = 0,3164
Re1/4
Fórmula de Nikuradse
λ = 0,0032 + 0,221 Re –0,237
Ley general de los tubos lisos
(Von Karman)
1
= 2 log.
Re λ
λ 2,51
Resultado experimental
para tubo de PVC ∅50
0.0300
0.0250
0.0200
0.0150
0.0100
10.000 2.104 3.104 4.104 5.104 100.000 1.5.105 2.105 2.5.105 3.5.105
3.105
Re
f
v =
1
R 2 / 3 j 1 / 2
n

DIÁMETRO INTERIOR DE LAS TUBERÍAS
Pn
MPa
PVC HERSAGUA PE 100
Dn
mm 0,4 KE 0,6 1,0 1,6 0,4 0,6 1,0 1,6
16
20
25
32
40
50
63
75
90
110
125
140
160
180
200
225
250
280
315
355
400
450
500
560
630
710
800
900
1000
1200
14,0
18,0
22,6
29,6
37,2
47,2
59,4
71,4
86,4
105,6
120,0
134,4
153,6
172,8
192,0
–
240,2
–
302,6
–
384,2
–
480,4
–
605,2
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
104,0
118,8
–
152,0
–
190,2
–
237,8
–
299,6
–
380,4
–
475,6
–
599,2
–
–
–
–
–
–
17,4
22,6
29,2
36,4
46,4
59,2
70,6
84,6
103,6
117,6
131,8
150,6
169,4
188,2
–
235,4
–
296,6
–
376,6
–
470,8
–
593,2
–
–
–
–
–
–
–
22,0
28,4
36,0
45,2
57,0
67,8
81,4
99,4
113,0
126,6
144,6
162,8
180,8
–
226,2
–
285,0
–
361,8
–
452,2
–
–
–
–
–
–
–
13,6
17,0
21,2
27,2
34,0
42,6
53,6
63,8
76,6
93,6
106,4
119,2
136,2
153,2
170,4
–
213,0
–
268,2
–
340,6
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
59,0
71,0
85,6
104,6
118,8
133,0
152,0
171,2
190,2
214,0
237,6
266,2
299,6
337,6
380,4
428,0
475,4
532,6
599,2
675,2
760,8
856,0
951,2
1141,4
14,0
17,8
22,4
29,0
36,0
46,0
58,2
69,2
83,0
101,6
115,4
129,2
147,6
166,2
184,6
207,8
230,8
258,6
290,8
333,6
369,2
415,6
461,8
517,2
581,8
655,6
738,8
830,8
923,0
1107,6
13,6
17,2
21,0
28,0
35,2
44,0
55,4
66,0
79,2
96,8
110,2
123,4
141,0
158,6
176,2
198,2
220,4
246,8
277,6
312,8
352,6
396,6
440,8
493,6
555,2
626,0
705,2
793,4
881,4
–
12
16
20,4
26,2
32,6
40,8
51,4
61,4
73,6
90,0
102,2
114,6
130,6
147,2
163,6
184,0
204,6
229,2
257,8
290,4
327,2
368,0
409,0
458,2
515,4
581,0
–
–
–
–
TABLAS Y ÁBACOS PARA EL CÁLCULO DE LA PÉRDIDA DE CARGA

DIÁMETRO INTERIOR DE LAS TUBERÍAS
Pn
MPa HERSALEN PE 50A HERSAFLEX PE 50B HERSALIT PE 32
Dn
mm
0,4 0,6 1,0 1,6 0,6 1,0 1,6 0,4 0,6 1,0 1,6
TUBOS SAENGER 8.21Cálculo de tuberías
En las páginas siguientes se adjuntan las tablas según la fórmula de Manning, habiendo sido tomados:
n = 0,008 Dint = mm Q = l/s
v = m/s j = m.c.d.a./100 m
La línea quebrada indica el límite de velocidades aconsejables, a partir de las cuáles deberán extremarse
los medios para atenuar las sobrepresiones por golpe de ariete.
16
20
25
32
40
50
63
75
90
110
125
140
160
180
200
225
250
280
315
355
400
450
500
560
630
710
800
900
1000
1200
14,0
17,8
22,4
29,0
36,0
46,0
58,2
69,2
83,0
101,6
115,4
129,2
147,6
166,2
184,6
207,8
230,8
258,6
290,8
333,6
369,2
415,6
461,8
517,2
581,8
655,6
738,8
830,8
923,0
1107,6
13,6
17,2
21,0
28,0
35,2
44,0
55,4
66,0
79,2
96,8
110,2
123,4
141,0
158,6
176,2
198,2
220,4
246,8
277,6
312,8
352,6
396,6
440,8
493,6
555,2
626,0
705,2
793,4
881,4
–
12,0
16,0
20,4
26,2
32,6
40,8
51,4
61,4
73,6
90,0
102,2
114,6
130,6
147,2
163,6
184,0
204,6
229,2
257,8
290,4
327,2
368,0
409,0
458,2
515,4
581,0
–
–
–
–
11,6
14,4
18,0
23,2
29,0
36,2
45,8
54,4
65,2
79,6
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
21,0
28,0
35,2
44,0
55,4
66,0
79,2
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
16,0
20,4
26,2
32,6
40,8
51,4
61,4
73,6
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
14,4
18,0
23,2
29,0
36,2
45,8
54,4
65,2
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
14,0
17,4
21,0
28,0
35,2
44,0
55,4
66,0
79,2
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
12,0
16,0
20,4
26,2
32,6
40,8
51,4
61,4
73,6
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
11,6
14,4
18,0
23,2
29,0
36,2
45,8
54,4
65,4
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
9,6
12,0
15,0
19,2
24,0
30,0
37,8
45,0
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–

PÉRDIDA DE CARGA, en m.c.d.a./100m.
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70
D int. Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v
12 0,01 0,06 0,01 0,08 0,01 0,10 0,01 0,12 0,01 0,13 0,02 0,14 0,02 0,16 0,02 0,18 0,02 0,20 0,02 0,22
14 0,01 0,06 0,01 0,09 0,02 0,11 0,02 0,13 0,02 0,14 0,02 0,16 0,03 0,18 0,03 0,20 0,03 0,22 0,04 0,24
16 0,01 0,07 0,02 0,10 0,02 0,12 0,03 0,14 0,03 0,16 0,03 0,17 0,04 0,20 0,04 0,22 0,05 0,24 0,05 0,26
18 0,02 0,08 0,03 0,11 0,03 0,13 0,04 0,15 0,04 0,17 0,05 0,19 0,06 0,22 0,06 0,24 0,07 0,26 0,07 0,29
20 0,02 0,08 0,04 0,12 0,04 0,14 0,05 0,16 0,06 0,18 0,06 0,20 0,07 0,23 0,08 0,26 0,09 0,28 0,10 0,31
25 0,04 0,09 0,06 0,13 0,08 0,16 0,09 0,19 0,10 0,21 0,11 0,23 0,13 0,27 0,15 0,30 0,16 0,33 0,17 0,35
30 0,07 0,11 0,11 0,15 0,13 0,19 0,15 0,21 0,17 0,24 0,18 0,26 0,21 0,30 0,24 0,34 0,26 0,37 0,28 0,40
35 0,11 0,12 0,16 0,17 0,20 0,21 0,23 0,24 0,26 0,27 0,28 0,29 0,33 0,34 0,37 0,38 0,39 0,41 0,42 0,44
40 0,16 0,13 0,23 0,18 0,28 0,22 0,33 0,26 0,36 0,29 0,40 0,32 0,47 0,37 0,52 0,41 0,57 0,45 0,62 0,49
45 0,22 0,14 0,32 0,20 0,38 0,24 0,45 0,28 0,49 0,31 0,54 0,34 0,64 0,40 0,70 0,44 0,78 0,49 0,84 0,53
50 0,29 0,15 0,41 0,21 0,51 0,26 0,59 0,30 0,67 0,34 0,73 0,37 0,84 0,43 0,94 0,48 1,02 0,52 1,10 0,56
55 0,38 0,16 0,55 0,23 0,67 0,28 0,76 0,32 0,86 0,36 0,93 0,39 1,07 0,45 1,21 0,51 1,33 0,56 1,43 0,60
60 0,48 0,17 0,68 0,24 0,82 0,29 0,96 0,34 1,07 0,38 1,19 0,42 1,36 0,48 1,53 0,54 1,67 0,59 1,81 0,64
65 0,60 0,18 0,83 0,25 1,03 0,31 1,19 0,36 1,33 0,40 1,46 0,44 1,69 0,51 1,89 0,57 2,06 0,62 2,22 0,67
70 0,73 0,19 1,04 0,27 1,27 0,33 1,46 0,38 1,62 0,42 1,77 0,46 2,04 0,53 2,31 0,60 2,50 0,65 2,69 0,70
75 0,88 0,20 1,24 0,28 1,50 0,34 1,72 0,39 1,94 0,44 2,12 0,48 2,47 0,56 2,74 0,62 3,00 0,68 3,27 0,74
80 1,06 0,21 1,46 0,29 1,81 0,36 2,06 0,41 2,31 0,46 2,51 0,50 2,92 0,58 3,27 0,65 3,57 0,71 3,87 0,77
85 1,19 0,21 1,70 0,30 2,10 0,37 2,44 0,43 2,72 0,48 3,01 0,53 3,46 0,61 3,86 0,68 4,20 0,74 4,54 0,80
90 1,40 0,22 2,04 0,32 2,48 0,39 2,86 0,45 3,18 0,50 3,50 0,55 4,01 0,63 4,45 0,70 4,90 0,77 5,28 0,83
100 1,89 0,24 2,67 0,34 3,22 0,41 3,77 0,48 4,16 0,53 4,63 0,59 5,34 0,68 5,97 0,76 6,52 0,83 6,99 0,89
110 2,38 0,25 3,42 0,36 4,18 0,44 4,85 0,51 5,42 0,57 5,89 0,62 6,84 0,72 7,70 0,81 8,36 0,88 9,03 0,95
120 3,05 0,27 4,30 0,38 5,32 0,47 6,11 0,54 6,79 0,60 7,46 0,66 8,60 0,76 9,61 0,85 10,5 0,93 11,4 1,01
130 3,72 0,28 5,31 0,40 6,50 0,49 7,57 0,57 8,49 0,64 9,29 0,70 10,7 0,81 11,9 0,90 13,1 0,99 14,2 1,07
140 4,62 0,30 6,47 0,42 8,00 0,52 9,24 0,60 10,3 0,67 11,2 0,73 13,0 0,85 14,6 0,95 16,0 1,04 17,2 1,12
150 5,48 0,31 7,78 0,44 9,54 0,54 11,1 0,63 12,3 0,70 13,6 0,77 15,7 0,89 17,4 0,99 19,0 1,08 20,6 1,17
160 6,64 0,33 9,25 0,46 11,4 0,57 13,0 0,65 14,6 0,73 16,0 0,80 18,5 0,92 20,7 1,03 22,7 1,13 24,5 1,22
170 7,72 0,34 10,9 0,48 13,3 0,59 15,4 0,68 17,2 0,76 18,8 0,83 21,7 0,96 24,5 1,08 26,7 1,18 28,8 1,27
180 8,91 0,35 12,7 0,50 15,5 0,61 18,0 0,71 20,1 0,79 22,1 0,87 25,4 1,00 28,5 1,12 31,3 1,23 33,5 1,32
190 10,4 0,37 14,7 0,52 18,1 0,64 20,7 0,73 23,2 0,82 25,5 0,90 29,4 1,04 32,8 1,16 36,0 1,27 38,8 1,37
200 11,9 0,38 16,9 0,54 20,7 0,66 23,8 0,76 26,7 0,85 29,2 0,93 33,6 1,07 37,7 1,20 41,1 1,31 44,6 1,42
210 13,5 0,39 19,0 0,55 23,5 0,68 27,0 0,78 30,4 0,88 33,2 0,96 38,4 1,11 42,9 1,24 47,1 1,36 50,9 1,47
220 15,2 0,40 21,6 0,57 26,6 0,70 30,7 0,81 34,2 0,90 37,6 0,99 43,3 1,14 48,6 1,28 53,2 1,40 57,4 1,51
230 17,4 0,42 24,5 0,59 29,9 0,72 34,4 0,83 38,6 0,93 42,3 1,02 49,0 1,18 54,8 1,32 59,8 1,44 64,8 1,56
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250 21,6 0,44 30,4 0,62 37,3 0,76 43,2 0,88 48,1 0,98 53,0 1,08 61,3 1,25 68,2 1,39 74,6 1,52 80,9 1,65
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280 28,9 0,47 41,2 0,67 50,4 0,82 58,5 0,95 65,2 1,06 71,4 1,16 82,5 1,34 92,3 1,50 100 1,64 100 1,78
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0,80 0,90 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 10,00
D int Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v
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110 9,69 1,02 10,2 1,08 10,8 1,14 13,2 1,39 15,3 1,61 17,1 1,80 18,7 1,97 21,6 2,28 26,5 2,79 34,2 3,60
120 12,2 1,08 12,8 1,14 13,6 1,21 16,7 1,48 19,3 1,71 21,6 1,91 23,6 2,09 27,2 2,41 33,4 2,96 43,2 3,82
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160 26,3 1,31 27,9 1,39 29,3 1,46 35,9 1,79 41,6 2,07 46,4 2,31 50,8 2,53 58,7 2,92 71,9 3,58 92,8 4,62
170 30,8 1,36 32,6 1,44 34,5 1,52 42,2 1,86 48,8 2,15 54,7 2,41 59,9 2,64 69,0 3,04 84,6 3,73 109 4,81
180 35,8 1,41 38,1 1,50 40,2 1,58 49,3 1,94 57,0 2,24 63,6 2,50 69,7 2,74 80,4 3,16 98,4 3,87 127 5,00
190 41,6 1,47 44,2 1,56 46,5 1,64 56,9 2,01 65,7 2,32 73,4 2,59 80,5 2,84 93,0 3,28 113 4,02 146 5,18
200 47,7 1,52 50,5 1,61 53,4 1,70 65,3 2,08 75,4 2,40 84,1 2,68 92,3 2,94 106 3,39 130 4,16 168 5,36
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220 61,5 1,62 65,3 1,72 68,8 1,81 84,0 2,21 97,3 2,56 108 2,86 118 3,13 137 3,62 168 4,43 217 5,72
230 69,3 1,67 73,5 1,77 77,2 1,86 94,7 2,28 109 2,63 122 2,94 134 3,23 154 3,72 189 4,56 244 5,89
240 77,3 1,71 82,3 1,82 86,8 1,92 106 2,35 122 2,71 137 3,03 150 3,32 173 3,83 212 4,69 274 6,06
250 86,3 1,76 91,7 1,87 96,7 1,97 118 2,41 136 2,78 152 3,11 167 3,41 193 3,94 236 4,82 305 6,23
260 96,1 1,81 101 1,92 107 2,02 131 2,47 151 2,86 169 3,20 185 3,50 214 4,04 262 4,95 339 6,39
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0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70
D int. Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v Q v
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350 52,9 0,55 75,0 0,78 91,4 0,95 105 1,10 118 1,23 129 1,35 150 1,56 167 1,74 183 1,91 198 2,06
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460 109 0,66 154 0,93 189 1,14 219 1,32 245 1,48 269 1,62 310 1,87 347 2,09 380 2,29 410 2,47
470 116 0,67 164 0,95 201 1,16 232 1,34 260 1,50 284 1,64 329 1,90 367 2,12 402 2,32 435 2,51
480 123 0,68 173 0,96 213 1,18 246 1,36 275 1,52 302 1,67 347 1,92 389 2,15 427 2,36 459 2,54
490 130 0,69 184 0,98 224 1,19 260 1,38 290 1,54 318 1,69 367 1,95 411 2,18 450 2,39 486 2,58
0,0001 0,0005 0,001 0,002 0,003 0,004 0,05 0,1 0,15 0,2
500 5,89 0,03 13,7 0,07 19 0,10 27,4 0,14 33,3 0,17 39,2 0,20 137 0,70 194 0,99 237 1,21 274 1,40
510 6,13 0,03 14,3 0,07 20 0,10 28,6 0,14 34,7 0,17 40,8 0,20 145 0,71 204 1,00 251 1,23 290 1,42
520 6,37 0,03 14,8 0,07 21,2 0,10 29,7 0,14 38,2 0,18 42,4 0,20 152 0,72 214 1,01 263 1,24 303 1,43
530 6,62 0,03 15,4 0,07 22,0 0,10 33,0 0,15 39,7 0,18 46,3 0,21 161 0,73 227 1,03 277 1,26 319 1,45
540 6,87 0,03 16,0 0,07 22,9 0,10 34,3 0,15 41,2 0,18 48,0 0,21 169 0,74 238 1,04 290 1,27 336 1,47
550 7,13 0,03 16,6 0,07 26,1 0,11 35,6 0,15 42,7 0,18 49,8 0,21 175 0,74 249 1,05 306 1,29 354 1,49
560 7,39 0,03 19,7 0,08 27,0 0,11 36,9 0,15 44,3 0,18 51,7 0,21 184 0,75 263 1,07 322 1,31 371 1,51
570 7,66 0,03 20,4 0,08 28,0 0,11 38,2 0,15 48,4 0,19 56,1 0,22 193 0,76 275 1,08 336 1,32 390 1,53
580 7,93 0,03 21,1 0,08 29,0 0,11 39,6 0,15 50,2 0,19 58,1 0,22 203 0,77 287 1,09 354 1,34 406 1,54
590 8,20 0,03 21,8 0,08 30,0 0,11 43,7 0,16 51,9 0,19 60,1 0,22 213 0,78 300 1,10 369 1,35 426 1,56
600 11,3 0,04 22,6 0,08 31,1 0,11 45,2 0,16 53,7 0,19 62,2 0,22 223 0,79 316 1,12 387 1,37 446 1,58
610 11,6 0,04 23,3 0,08 32,1 0,11 46,7 0,16 58,4 0,20 67,2 0,23 233 0,80 330 1,13 403 1,38 467 1,60
620 12,0 0,04 24,1 0,08 33,2 0,11 48,3 0,16 60,3 0,20 69,4 0,23 244 0,81 344 1,14 422 1,40 486 1,61
630 12,4 0,04 24,9 0,08 37,4 0,12 49,8 0,16 62,3 0,20 71,7 0,23 255 0,82 358 1,15 439 1,41 508 1,63
640 12,8 0,04 25,7 0,08 38,6 0,12 51,4 0,16 64,3 0,20 73,9 0,23 263 0,82 376 1,17 460 1,43 530 1,65
650 13,2 0,04 26,5 0,08 39,8 0,12 56,4 0,17 66,3 0,20 79,6 0,24 275 0,83 391 1,18 477 1,44 550 1,66
660 13,6 0,04 27,3 0,08 41,0 0,12 58,1 0,17 71,8 0,21 82,1 0,24 287 0,84 407 1,19 499 1,46 574 1,68
670 14,1 0,04 28,2 0,08 42,3 0,12 59,9 0,17 74,0 0,21 84,6 0,24 299 0,85 423 1,20 518 1,47 599 1,70
680 14,5 0,04 32,6 0,09 43,5 0,12 61,7 0,17 76,2 0,21 87,1 0,24 312 0,86 439 1,21 541 1,49 624 1,72
690 14,9 0,04 33,6 0,09 44,8 0,12 63,5 0,17 78,5 0,21 93,4 0,25 325 0,87 456 1,22 560 1,50 646 1,73
700 15,3 0,04 34,6 0,09 46,1 0,12 65,4 0,17 80,8 0,21 96,2 0,25 334 0,87 477 1,24 581 1,51 673 1,75
710 15,8 0,04 35,6 0,09 47,5 0,12 71,2 0,18 87,1 0,22 98,9 0,25 348 0,88 494 1,25 605 1,53 700 1,77
720 16,2 0,04 36,6 0,09 52,9 0,13 73,2 0,18 89,5 0,22 101 0,25 362 0,89 513 1,26 627 1,54 724 1,78
730 16,7 0,04 37,6 0,09 54,4 0,13 75,3 0,18 92,0 0,22 104 0,25 376 0,90 531 1,27 652 1,56 753 1,80
740 17,2 0,04 38,7 0,09 55,9 0,13 77,4 0,18 94,6 0,22 111 0,26 391 0,91 550 1,28 675 1,57 782 1,82

0,80 0,90 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 10,00
330 181 2,12 192 2,25 202 2,37 248 2,90 286 3,35 320 3,75 350 4,10 405 4,74 496 5,80 640 7,49
340 196 2,16 207 2,29 219 2,42 268 2,96 310 3,42 346 3,82 380 4,19 438 4,83 537 5,92 693 7,64
350 211 2,20 225 2,34 236 2,46 290 3,02 334 3,48 375 3,90 410 4,27 474 4,93 580 6,03 749 7,79
360 229 2,25 242 2,38 255 2,51 312 3,07 361 3,55 404 3,97 442 4,35 510 5,02 626 6,15 808 7,94
370 246 2,29 261 2,43 275 2,56 336 3,13 389 3,62 434 4,04 476 4,43 549 5,11 673 6,26 868 8,08
380 264 2,33 280 2,47 294 2,60 361 3,19 417 3,68 466 4,11 511 4,51 590 5,21 722 6,37 933 8,23
390 283 2,37 299 2,51 316 2,65 387 3,24 446 3,74 500 4,19 548 4,59 633 5,30 775 6,49 999 8,37
400 302 2,41 320 2,55 338 2,69 414 3,30 478 3,81 535 4,26 585 4,66 677 5,39 829 6,60 1070 8,52
410 323 2,45 343 2,60 361 2,74 442 3,35 510 3,87 571 4,33 625 4,74 723 5,48 885 6,71 1143 8,66
420 344 2,49 365 2,64 385 2,78 472 3,41 544 3,93 609 4,40 667 4,82 770 5,56 943 6,81 1219 8,80
430 367 2,53 389 2,68 410 2,83 502 3,46 580 4,00 649 4,47 710 4,89 820 5,65 1004 6,92 1298 8,94
440 390 2,57 413 2,72 436 2,87 533 3,51 617 4,06 690 4,54 755 4,97 872 5,74 1068 7,03 1379 9,07
450 415 2,61 438 2,76 462 2,91 567 3,57 655 4,12 733 4,61 803 5,05 927 5,83 1135 7,14 1464 9,21
460 438 2,64 465 2,80 491 2,96 601 3,62 694 4,18 776 4,67 850 5,12 982 5,91 1203 7,24 1553 9,35
470 464 2,68 492 2,84 520 3,00 636 3,67 735 4,24 822 4,74 900 5,19 1040 6,00 1275 7,35 1644 9,48
480 492 2,72 522 2,89 550 3,04 673 3,72 778 4,30 870 4,81 953 5,27 1100 6,08 1348 7,45 1740 9,62
490 520 2,76 552 2,93 580 3,08 712 3,78 822 4,36 920 4,88 1006 5,34 1163 6,17 1423 7,55 1838 9,75
0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5
500 306 1,56 335 1,71 388 1,98 433 2,21 475 2,42 512 2,61 549 2,80 581 2,96 614 3,13 752 3,83
510 322 1,58 353 1,73 408 2,00 457 2,24 500 2,45 541 2,65 578 2,83 612 3,00 647 3,17 792 3,88
520 339 1,60 373 1,76 431 2,03 482 2,27 526 2,48 569 2,68 609 2,87 645 3,04 681 3,21 834 3,93
530 357 1,62 392 1,78 452 2,05 507 2,30 555 2,52 600 2,72 642 2,91 679 3,08 717 3,25 878 3,98
540 375 1,64 412 1,80 476 2,08 533 2,33 584 2,55 629 2,75 673 2,94 714 3,12 753 3,29 922 4,03
550 396 1,67 432 1,82 501 2,11 558 2,35 612 2,58 662 2,79 708 2,98 750 3,16 791 3,33 969 4,08
560 416 1,69 455 1,85 524 2,13 586 2,38 642 2,61 694 2,82 741 3,01 788 3,20 830 3,37 1017 4,13
570 436 1,71 477 1,87 551 2,16 614 2,41 673 2,64 727 2,85 778 3,05 826 3,24 870 3,41 1066 4,18
580 457 1,73 499 1,89 575 2,18 644 2,44 705 2,67 763 2,89 816 3,09 863 3,27 911 3,45 1117 4,23
590 475 1,74 522 1,91 604 2,21 675 2,47 738 2,70 798 2,92 853 3,12 904 3,31 954 3,49 1167 4,27
600 497 1,76 545 1,93 630 2,23 706 2,50 771 2,73 834 2,95 893 3,16 947 3,35 998 3,53 1221 4,32
610 520 1,78 569 1,95 660 2,26 736 2,52 806 2,76 873 2,99 932 3,19 987 3,38 1043 3,57 1277 4,37
620 543 1,80 597 1,98 688 2,28 769 2,55 842 2,79 911 3,02 975 3,23 1032 3,42 1089 3,61 1334 4,42
630 567 1,82 623 2,00 720 2,31 804 2,58 879 2,82 950 3,05 1016 3,26 1078 3,46 1137 3,65 1390 4,46
640 591 1,84 649 2,02 749 2,33 839 2,61 916 2,85 990 3,08 1061 3,30 1125 3,50 1183 3,68 1450 4,51
650 617 1,86 676 2,04 779 2,35 872 2,63 955 2,88 1032 3,11 1105 3,33 1171 3,53 1234 3,72 1513 4,56
660 643 1,88 704 2,06 814 2,38 910 2,66 995 2,91 1077 3,15 1149 3,36 1221 3,57 1286 3,76 1577 4,61
670 669 1,90 733 2,08 846 2,40 948 2,69 1036 2,94 1121 3,18 1198 3,40 1269 3,60 1339 3,80 1639 4,65
680 697 1,92 762 2,10 882 2,43 984 2,71 1078 2,97 1165 3,21 1245 3,43 1321 3,64 1394 3,84 1706 4,70
690 725 1,94 792 2,12 916 2,45 1024 2,74 1121 3,00 1211 3,24 1293 3,46 1372 3,67 1447 3,87 1772 4,74
700 754 1,96 823 2,14 950 2,47 1066 2,77 1166 3,03 1258 3,27 1346 3,50 1427 3,71 1504 3,91 1843 4,79
710 779 1,97 855 2,16 989 2,50 1104 2,79 1211 3,06 1306 3,30 1397 3,53 1484 3,75 1563 3,95 1916 4,84
720 810 1,99 887 2,18 1026 2,52 1148 2,82 1258 3,09 1355 3,33 1449 3,56 1539 3,78 1624 3,99 1986 4,88
730 841 2,01 920 2,20 1063 2,54 1188 2,84 1305 3,12 1406 3,36 1506 3,60 1598 3,82 1682 4,02 2063 4,93
740 873 2,03 954 2,22 1105 2,57 1234 2,87 1350 3,14 1462 3,40 1561 3,63 1655 3,85 1746 4,06 2137 4,97

0,0001 0,0005 0,001 0,002 0,003 0,004 0,05 0,1 0,15 0,2
750 17,6 0,04 39,7 0,09 57,4 0,13 79,5 0,18 97,1 0,22 114 0,26 406 0,92 569 1,29 702 1,59 808 1,83
760 18,1 0,04 40,8 0,09 58,9 0,13 81,6 0,18 104 0,23 117 0,26 417 0,92 594 1,31 725 1,60 839 1,85
770 18,6 0,04 41,9 0,09 60,5 0,13 88,4 0,19 107 0,23 121 0,26 433 0,93 614 1,32 749 1,61 866 1,86
780 19,1 0,04 43,0 0,09 62,1 0,13 90,7 0,19 109 0,23 129 0,27 449 0,94 635 1,33 778 1,63 898 1,88
790 19,6 0,04 44,1 0,09 63,7 0,13 93,1 0,19 112 0,23 132 0,27 465 0,95 656 1,34 803 1,64 931 1,90
800 20,1 0,04 50,2 0,10 70,3 0,14 95,5 0,19 115 0,23 135 0,27 482 0,96 678 1,35 834 1,66 960 1,91
810 20,6 0,04 51,5 0,10 72,1 0,14 97,9 0,19 123 0,24 139 0,27 494 0,96 700 1,36 860 1,67 994 1,93
820 21,1 0,04 52,8 0,10 73,9 0,14 100 0,19 126 0,24 142 0,27 512 0,97 723 1,37 887 1,68 1024 1,94
830 21,6 0,04 54,1 0,10 75,7 0,14 108 0,20 129 0,24 151 0,28 530 0,98 752 1,39 919 1,70 1060 1,96
840 22,1 0,04 55,4 0,10 77,5 0,14 110 0,20 133 0,24 155 0,28 548 0,99 775 1,40 947 1,71 1097 1,98
850 22,7 0,04 56,7 0,10 79,4 0,14 113 0,20 136 0,24 158 0,28 567 1,00 800 1,41 976 1,72 1129 1,99
860 23,2 0,04 58,0 0,10 81,3 0,14 116 0,20 145 0,25 162 0,28 580 1,00 824 1,42 1010 1,74 1167 2,01
870 29,7 0,05 59,4 0,10 83,2 0,14 118 0,20 148 0,25 172 0,29 600 1,01 850 1,43 1040 1,75 1200 2,02
880 30,4 0,05 60,8 0,10 85,1 0,14 121 0,20 152 0,25 176 0,29 620 1,02 875 1,44 1070 1,76 1240 2,04
890 31,1 0,05 62,2 0,10 93,3 0,15 130 0,21 155 0,25 180 0,29 640 1,03 902 1,45 1107 1,78 1275 2,05
900 31,8 0,05 63,6 0,10 95,4 0,15 133 0,21 159 0,25 184 0,29 655 1,03 928 1,46 1138 1,79 1316 2,07
910 32,5 0,05 65,0 0,10 97,5 0,15 136 0,21 169 0,26 188 0,29 676 1,04 956 1,47 1170 1,80 1352 2,08
920 33,2 0,05 66,4 0,10 99,7 0,15 139 0,21 172 0,26 199 0,30 698 1,05 983 1,48 1209 1,82 1396 2,10
930 33,9 0,05 74,7 0,11 101 0,15 142 0,21 176 0,26 203 0,30 720 1,06 1012 1,49 1243 1,83 1433 2,11
940 34,7 0,05 76,3 0,11 104 0,15 145 0,21 180 0,26 208 0,30 735 1,06 1047 1,51 1276 1,84 1478 2,13
950 35,4 0,05 77,9 0,11 106 0,15 148 0,21 184 0,26 212 0,30 758 1,07 1077 1,52 1318 1,86 1516 2,14
960 36,1 0,05 79,6 0,11 108 0,15 159 0,22 188 0,26 224 0,31 781 1,08 1107 1,53 1353 1,87 1563 2,16
970 36,9 0,05 81,2 0,11 110 0,15 162 0,22 199 0,27 229 0,31 805 1,09 1138 1,54 1389 1,88 1603 2,17
980 37,7 0,05 82,9 0,11 113 0,15 165 0,22 203 0,27 233 0,31 822 1,09 1169 1,55 1433 1,90 1651 2,19
990 38,4 0,05 84,6 0,11 123 0,16 169 0,22 207 0,27 238 0,31 846 1,10 1200 1,56 1470 1,91 1693 2,20
1000 39,2 0,05 86,3 0,11 125 0,16 172 0,22 212 0,27 243 0,31 871 1,11 1233 1,57 1507 1,92 1743 2,22
1010 40,0 0,05 88,1 0,11 128 0,16 176 0,22 216 0,27 256 0,32 897 1,12 1265 1,58 1546 1,93 1786 2,23
1020 40,8 0,05 89,8 0,11 130 0,16 179 0,22 228 0,28 261 0,32 915 1,12 1299 1,59 1593 1,95 1838 2,25
1030 41,6 0,05 91,6 0,11 133 0,16 191 0,23 233 0,28 266 0,32 941 1,13 1333 1,60 1633 1,96 1883 2,26
1040 42,4 0,05 93,4 0,11 135 0,16 195 0,23 237 0,28 271 0,32 968 1,14 1367 1,61 1673 1,97 1936 2,28
1050 43,3 0,05 95,2 0,11 138 0,16 199 0,23 242 0,28 277 0,32 995 1,15 1402 1,62 1714 1,98 1982 2,29
1060 44,1 0,05 105 0,12 141 0,16 202 0,23 247 0,28 291 0,33 1014 1,15 1438 1,63 1764 2,00 2038 2,31
1070 44,9 0,05 107 0,12 143 0,16 206 0,23 251 0,28 296 0,33 1043 1,16 1474 1,64 1807 2,01 2086 2,32
1080 45,8 0,05 109 0,12 155 0,17 210 0,23 265 0,29 302 0,33 1071 1,17 1511 1,65 1850 2,02 2143 2,34
1090 46,6 0,05 111 0,12 158 0,17 223 0,24 270 0,29 307 0,33 1091 1,17 1549 1,66 1894 2,03 2192 2,35
1100 47,5 0,05 114 0,12 161 0,17 228 0,24 275 0,29 313 0,33 1121 1,18 1587 1,67 1948 2,05 2242 2,36
1110 48,3 0,05 116 0,12 164 0,17 232 0,24 280 0,29 329 0,34 1151 1,19 1625 1,68 1993 2,06 2303 2,38
1120 49,2 0,05 118 0,12 167 0,17 236 0,24 285 0,29 334 0,34 1182 1,20 1665 1,69 2039 2,07 2354 2,39
1130 50,1 0,05 120 0,12 170 0,17 240 0,24 290 0,29 340 0,34 1203 1,20 1704 1,70 2085 2,08 2416 2,41
1140 51,0 0,05 122 0,12 173 0,17 244 0,24 306 0,30 347 0,34 1235 1,21 1745 1,71 2143 2,10 2470 2,42
1150 51,9 0,05 124 0,12 176 0,17 249 0,24 311 0,30 353 0,34 1267 1,22 1786 1,72 2191 2,11 2534 2,44
1160 52,8 0,05 126 0,12 179 0,17 253 0,24 317 0,30 369 0,35 1289 1,22 1828 1,73 2240 2,12 2589 2,45
1170 64,5 0,06 129 0,12 182 0,17 268 0,25 322 0,30 376 0,35 1322 1,23 1870 1,74 2290 2,13 2644 2,46

0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5
750 905 2,05 989 2,24 1144 2,59 1281 2,90 1400 3,17 1515 3,43 1616 3,66 1714 3,88 1806 4,09 2217 5,02
760 939 2,07 1025 2,26 1184 2,61 1324 2,92 1451 3,20 1569 3,46 1678 3,70 1778 3,92 1873 4,13 2295 5,06
770 968 2,08 1061 2,28 1229 2,64 1373 2,95 1504 3,23 1625 3,49 1736 3,73 1839 3,95 1941 4,17 2374 5,10
780 1003 2,10 1099 2,30 1271 2,66 1419 2,97 1557 3,26 1681 3,52 1796 3,76 1906 3,99 2006 4,20 2460 5,15
790 1039 2,12 1137 2,32 1313 2,68 1470 3,00 1607 3,28 1740 3,55 1857 3,79 1970 4,02 2078 4,24 2543 5,19
800 1075 2,14 1176 2,34 1357 2,70 1518 3,02 1663 3,31 1799 3,58 1920 3,82 2040 4,06 2146 4,27 2633 5,24
810 1113 2,16 1216 2,36 1406 2,73 1571 3,05 1721 3,34 1860 3,61 1989 3,86 2107 4,09 2220 4,31 2720 5,28
820 1146 2,17 1256 2,38 1452 2,75 1621 3,07 1779 3,37 1922 3,64 2054 3,89 2175 4,12 2297 4,35 2809 5,32
830 1184 2,19 1298 2,40 1498 2,77 1677 3,10 1834 3,39 1985 3,67 2120 3,92 2250 4,16 2369 4,38 2905 5,37
840 1224 2,21 1341 2,42 1546 2,79 1729 3,12 1895 3,42 2044 3,69 2189 3,95 2322 4,19 2449 4,42 2998 5,41
850 1265 2,23 1384 2,44 1600 2,82 1787 3,15 1957 3,45 2110 3,72 2258 3,98 2394 4,22 2525 4,45 3092 5,45
860 1301 2,24 1428 2,46 1649 2,84 1841 3,17 2015 3,47 2178 3,75 2329 4,01 2474 4,26 2608 4,49 3189 5,49
870 1343 2,26 1474 2,48 1700 2,86 1902 3,20 2080 3,50 2247 3,78 2401 4,04 2550 4,29 2687 4,52 3293 5,54
880 1386 2,28 1520 2,50 1751 2,88 1958 3,22 2146 3,53 2317 3,81 2475 4,07 2627 4,32 2773 4,56 3393 5,58
890 1424 2,29 1561 2,51 1804 2,90 2021 3,25 2214 3,56 2388 3,84 2556 4,11 2706 4,35 2855 4,59 3496 5,62
900 1469 2,31 1609 2,53 1857 2,92 2080 3,27 2277 3,58 2461 3,87 2633 4,14 2792 4,39 2939 4,62 3600 5,66
910 1515 2,33 1658 2,55 1918 2,95 2139 3,29 2347 3,61 2536 3,90 2712 4,17 2874 4,42 3030 4,66 3713 5,71
920 1562 2,35 1708 2,57 1974 2,97 2207 3,32 2413 3,63 2612 3,93 2792 4,20 2958 4,45 3117 4,69 3822 5,75
930 1603 2,36 1759 2,59 2031 2,99 2268 3,34 2486 3,66 2683 3,95 2873 4,23 3043 4,48 3213 4,73 3933 5,79
940 1651 2,38 1811 2,61 2088 3,01 2338 3,37 2560 3,69 2762 3,98 2956 4,26 3136 4,52 3303 4,76 4045 5,83
950 1701 2,40 1864 2,63 2147 3,03 2402 3,39 2629 3,71 2842 4,01 3040 4,29 3225 4,55 3395 4,79 4160 5,87
960 1744 2,41 1910 2,64 2207 3,05 2468 3,41 2707 3,74 2924 4,04 3126 4,32 3315 4,58 3496 4,83 4277 5,91
970 1795 2,43 1965 2,66 2268 3,07 2542 3,44 2785 3,77 3007 4,07 3214 4,35 3406 4,61 3591 4,86 4396 5,95
980 1848 2,45 2021 2,68 2338 3,10 2609 3,46 2858 3,79 3085 4,09 3303 4,38 3499 4,64 3688 4,89 4518 5,99
990 1893 2,46 2078 2,70 2401 3,12 2678 3,48 2940 3,82 3171 4,12 3394 4,41 3594 4,67 3794 4,93 4641 6,03
1000 1947 2,48 2136 2,72 2466 3,14 2756 3,51 3015 3,84 3259 4,15 3487 4,44 3699 4,71 3895 4,96 4775 6,08
1010 2003 2,50 2195 2,74 2531 3,16 2828 3,53 3100 3,87 3348 4,18 3581 4,47 3797 4,74 3997 4,99 4903 6,12
1020 2051 2,51 2247 2,75 2598 3,18 2900 3,55 3178 3,89 3440 4,21 3677 4,50 3897 4,77 4110 5,03 5033 6,16
1030 2108 2,53 2308 2,77 2666 3,20 2982 3,58 3266 3,92 3524 4,23 3774 4,53 3999 4,80 4216 5,06 5166 6,20
1040 2166 2,55 2370 2,79 2735 3,22 3058 3,60 3346 3,94 3618 4,26 3865 4,55 4103 4,83 4323 5,09 5300 6,24
1050 2216 2,56 2433 2,81 2805 3,24 3134 3,62 3437 3,97 3714 4,29 3965 4,58 4208 4,86 4433 5,12 5437 6,28
1060 2276 2,58 2488 2,82 2876 3,26 3221 3,65 3521 3,99 3803 4,31 4068 4,61 4315 4,89 4553 5,16 5577 6,32
1070 2328 2,59 2553 2,84 2949 3,28 3300 3,67 3614 4,02 3902 4,34 4172 4,64 4424 4,92 4666 5,19 5718 6,36
1080 2391 2,61 2620 2,86 3023 3,30 3380 3,69 3701 4,04 4003 4,37 4278 4,67 4534 4,95 4781 5,22 5862 6,40
1090 2454 2,63 2687 2,88 3098 3,32 3471 3,72 3797 4,07 4105 4,40 4385 4,70 4647 4,98 4898 5,25 6000 6,43
1100 2508 2,64 2755 2,90 3174 3,34 3554 3,74 3886 4,09 4200 4,42 4495 4,73 4761 5,01 5027 5,29 6148 6,47
1110 2574 2,66 2815 2,91 3251 3,36 3638 3,76 3986 4,12 4306 4,45 4606 4,76 4886 5,05 5148 5,32 6299 6,51
1120 2640 2,68 2886 2,93 3330 3,38 3724 3,78 4078 4,14 4413 4,48 4719 4,79 5004 5,08 5270 5,35 6453 6,55
1130 2697 2,69 2958 2,95 3409 3,40 3820 3,81 4182 4,17 4512 4,50 4823 4,81 5124 5,11 5395 5,38 6608 6,59
1140 2766 2,71 3031 2,97 3490 3,42 3909 3,83 4276 4,19 4623 4,53 4940 4,84 5246 5,14 5522 5,41 6767 6,63
1150 2825 2,72 3095 2,98 3573 3,44 3998 3,85 4383 4,22 4736 4,56 5058 4,87 5370 5,17 5660 5,45 6928 6,67
1160 2895 2,74 3170 3,00 3656 3,46 4089 3,87 4480 4,24 4840 4,58 5178 4,90 5495 5,20 5791 5,48 7091 6,71
1170 2956 2,75 3246 3,02 3741 3,48 4182 3,89 4590 4,27 4956 4,61 5300 4,93 5622 5,23 5923 5,51 7257 6,75

Ábaco para el cálculo de tuberías según la fórmula de Manning
Valores:
n = Coeficiente de rozamiento de Manning
v = Velocidad, en m/s
D = Diámetro interior, en mm
j = Pérdida de carga, en m.c.d.a./100 m
Q = Caudal, en l/s
Explicación:
Uniendo la pérdida de carga admisible con la “n”
correspondiente al material del tubo se obtiene un punto
en la recta auxiliar, el cual, alineado con el caudal, da el
diámetro y la velocidad.
Ejemplo:
Para j = 0,5 m/100 m. y Q = 12 l/s tomando n = 0,007
Resulta: D = 124 mm y v = 0,99 m/s
n
v
D
j
Q
Cauces irregulares
Mampostería - Tierra
Acero roblonado
Hormigón en bruto
Hierro fundido
Fibrocemento
Hormigón liso
Acero
PVC, PE

Ábaco para el cálculo de tuberías según la fórmula de Colebrook
Valores:
v = Velocidad, en m/s
D = Diámetro interior, en mm
j = Pérdida de carga, en m.c.d.a./100 m
Q = Caudal, en l/s
Explicación:
Uniendo la pérdida de carga admisible con el caudal
necesario se obtiene el diámetro y la velocidad.
Ejemplo:
Para j = 0,88 m/100 m. y Q = 20 l/s
Resulta: D = 140 mm y v = 1,44 m/s
v
D
j
Q

Ábaco para el cálculo de tuberías según la fórmula de Darcy - Weisbach
FÓRMULA DE DARCY - WEISBACH
v2
j = λ
2 g D
Valores:
j = Pérdida de carga unitaria, en m.c.d.a/km
λ = Coeficiente de fricción o de rozamiento
v = Velocidad media circulante en m / s
g = Aceleración de la gravedad
D = Diámetro interior de la tubería en mm.
Q = Caudal en l / s
Ejemplo:
para j = 20 m / km
Q = 10 l / s
Resulta:
D = 95 mm
v = 1,45 m / s
Q
D j v

Ábaco para el cálculo de pérdidas de carga adicionales
Longitudequivalentedetuberíarectaenmetros
Diámetrointeriorenmm.

Golpe de ariete
Cuando un líquido está circulando por una tubería con régimen permanente y en un momento dado
se maniobra sobre algún elemento de la instalación (una válvula que se cierra o se abre, variación del
régimen de una bomba, parada de ella, etc.) sea instantáneamente o empleando cierto tiempo, se produ-
cen unas variaciones de caudal y de presión en el punto donde se ha producido la perturbación, creando
por consiguiente, un desequilibrio que hace que los caudales vayan variando sucesivamente en todos los
puntos de la conducción. Estos desequilibrios producen variaciones de la energía cinética del agua, tra-
duciéndose en alteraciones de su presión, que constituyen el golpe de ariete.
En este caso, para calcular los caudales y presiones no serán suficientes las ecuaciones de la dinámi-
ca ordinaria ya que nos hallamos en un caso concreto de aplicación de la dinámica de los cuerpos elásti-
cos. El caudal ya no será el mismo en todos los puntos de la tubería, puesto que se producen variaciones
de la sección de la misma, así como contracciones y dilataciones del líquido, que dependen de los módu-
los de elasticidad de ambos. En estas condiciones se dice que el líquido circula con régimen variable.
Cuando se establece un régimen variable dentro de una tubería aparecen unas variaciones de pre-
sión y caudal que se propagan a través de toda la masa líquida como un movimiento ondulatorio. La
velocidad de propagación de la onda se denomina celeridad y su valor es, según la fórmula de Allievi:
siendo:
a = Velocidad de propagación o celeridad, en m/s
g = Aceleración de la gravedad, en m/s2
El = Módulo de elasticidad del líquido (para el agua, El = 2,1x108 kg/m2)
Dn = Diámetro exterior del tubo, en mm.
e = Espesor de la pared del tubo, en mm.
Et = Módulo de elasticidad del material del tubo, en kg/m2
γ = Peso específico del líquido (para el agua, γ = 1.000 kg/m3)
El valor de la velocidad de propagación de la onda es función del módulo de elasticidad del agua,
cuyo valor varía poco en función de la temperatura, y del módulo de elasticidad del material de la tube-
ría, que varía entre amplios límites. Cuanto más bajo sea dicho valor (más deformable la tubería) más
baja es la velocidad de propagación de la onda y con ello disminuye el valor de la sobrepresión que
puede originarse en la tubería. De aquí que sea aconsejable el empleo de tuberías de materiales plásti-
cos, por su bajo módulo de elasticidad, pues en las mismas condiciones de funcionamiento dan lugar a
sobrepresiones muy inferiores a las que se producirían con el empleo de materiales clásicos, considera-
blemente más rígidos.
g
a =
1 + 1 × Dn γ
El Et e

Tabla de los valores de celeridad de las tuberías
El estudio del golpe de ariete ha sido realizado por numerosos autores según teorías más o menos
complicadas aunque casi siempre incompletas. El fenómeno, abordado en toda su magnitud, es extraor-
dinariamente complejo puesto que en él intervienen cuatro variables: presión, caudal, espacio y tiempo,
que varían simultáneamente.
Los métodos analíticos para la resolución del golpe de ariete conducen a resultados parciales en los
que generalmente no se tiene en cuenta que cualquier variación de presión va acompañada de una varia-
ción de caudal, el cual origina una nueva variación de presión y así sucesivamente, hasta que se amorti-
gua con el tiempo, debido a las pérdidas de carga. No obstante, en la práctica, la mayoría de veces, los
resultados obtenidos por métodos analíticos son suficientes.
Si se desea un estudio más completo, deberá realizarse mediante procedimiento gráfico.
En este manual se han considerado los métodos de cálculo que tienen en cuenta las elasticidades
del agua y del tubo y que fundamentalmente son los de Michaud, Joukowski, Allievi y Bergerón (gráfico).
Michaud en su método no tiene aparentemente en cuenta la elasticidad del agua ni la de la tubería.
Parte de la hipótesis de un cierre realizado de manera que el caudal varíe linealmente con el tiempo.
Dn Et a
MATERIAL e
kg/m2
m/s
Acero 28 2,2 × 1010
1.280
Fundición Fe. 11 1,1 × 10
10
1.300
Amianto-cemento 10 1,85 × 10
9
980
PVC:
tubos de 0,4 MPa. 51 3 × 108 240
tubos de 0,6 MPa. 34 " 290
tubos de 1,0 MPa. 21 " 365
tubos de 1,6 MPa. 14 " 440
PE - HERSALEN (HDPE-50 A)
tubos de 0,4 MPa. 26 9 × 107 185
tubos de 0,6 MPa. 17 " 225
tubos de 1,0 MPa. 11 " 280
PE - HERSAGUA (PE100)
tubos de 0,4 MPa. 41 12 × 107 170
tubos de 0,6 MPa. 26 " 210
tubos de 1,0 MPa. 17 " 260
tubos de 1,6 MPa. 11 " 320
PE - HERSALIT (LDPE-32)
tubos de 0,4 MPa. 17 2 × 107 110
tubos de 0,6 MPa. 11 " 135
tubos de 1,0 MPa. 7 " 170

El caudal que pasa por un orificio viene dado por la fórmula Q = S 2 g h y para que varíe lineal-
mente, si se mantiene constante la altura o presión, deberá variar del mismo modo la sección. No obs-
tante la presión no es constante sino que, debido a la misma maniobra de cierre, es oscilante, lo que
implica que para mantener lineal la variación de caudal sería preciso cerrar la válvula según una ley muy
complicada que, en algún caso particular, puede tener una forma parecida a la de la figura siguiente.
Siguiendo en su hipótesis, Michaud expresa en su fórmula solamente el golpe de ariete producido
junto a la válvula y éste resulta directamente proporcional a la longitud de la conducción e inversamente
proporcional al tiempo de maniobra.
• Fórmula de Michaud:
en la que:
∆H = Incremento de presión o de altura, o golpe de ariete.
L = Longitud de la tubería.
v = Velocidad de circulación del agua.
g = Aceleración de la gravedad.
t = Tiempo de apertura o cierre de la válvula.
• Fórmula de Allievi:
Allievi demostró que en maniobras bruscas, cuando t < 2
a
L , el valor de incremento de pre-
sión es independiente de la longitud, pero proporcional a la celeridad y toma el valor:
Gracias a los valores de celeridad bajos de las tuberías de PVC y PE, las sobrepresiones que pueden
producirse son muy inferiores a las que se presentan empleando materiales tradicionales.
2 L v
∆ H = ±
g t
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
S
So
t
T
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
a v
∆H = ±
g

Si se forma la igualdad, llamada Tiempo de Allievi:
sustituyendo en la fórmula de Michaud se tiene:
Resultado que llega de nuevo a la fórmula de Allievi.
La aplicación de estas fórmulas, para el cálculo del golpe de ariete vendrá determinada por las
siguientes comparaciones:
2 L
Para t > (maniobra lenta), fórmula de Michaud,
a
2 L
Para t < (maniobra rápida), fórmula de Allievi,
a
• Fórmula de E. Mendiluce:
En las conducciones impulsadas por grupo de bombeo, el tiempo t es el transcurrido entre la inte-
rrupción de funcionamiento del grupo y el cese de la velocidad de circulación del agua, la cual desciende
progresivamente. Este tiempo viene determinado por la fórmula de E. Mendiluce:
en la que:
C = Coeficiente, función de la relación
Hman
M = Coeficiente, función de L
L
L = Longitud de la impulsión, en m
v = Velocidad de circulación del agua, en m/s
g = Aceleración de la gravedad, en m/s
2
Hman = Altura manométrica, en m.c.d.a.
a v
∆H = ±
g
2 L
t =
a
M L v
t = C +
g Hman
2 L v 2 L v a v
∆H = ± = ± = ±
g t g
2
a
L g
2 L v
∆H = ±
g t

Coeficiente C
Coeficiente M
Los valores intermedios de las tablas pueden sacarse por interpolación.
De las relaciones expuestas anteriormente
En toda impulsión, aún cuando se cumpla L >
a
2
t
y deba aplicarse por tanto la fórmula de
Allievi, si se sigue la conducción en el sentido circulatorio del agua, siempre existirá un punto intermedio
que cumplirá L1 =
a
2
t
y a partir de éste, se tendrá L1 <
a
2
t
, debiendo aplicar en esta zona la
Fórmula de Michaud.
Por lo tanto el punto designado por la distancia final de la conducción L1 =
a
2
t
, será el separati-
vo de las zonas a calcular por cada una de las mencionadas fórmulas, según se indica en la figura siguien-
te.
Hman % 10 20 25 30 35 40
L
C 1 1 0,8 0,5 0,4 0
L 250 500 1.000 1.500 2.000
M 2 1,75 1,50 1,25 1,15
2 L
t = ≤ , se deduce:
a
a t
Para L < (impulsión corta), fórmula de Michaud,
2
a t
Para L > (impulsión larga), fórmula de Allievi,
2
a v
∆H = ±
g
2 L v
∆H = ±
g t

Punto separativo de las zonas de Michaud y Allievi.
La presión máxima alcanzada por la impulsión será igual a la suma de la presión estática o altura
geométrica, con la sobrepresión máxima + ∆ H.
Hmax = Hg+∆ H
La presión mínima será la diferencia entre la presión estática o altura geométrica y la sobrepresión
mínima – ∆ H
Hmin = Hg – ∆ H
Cuando por las características de la instalación el diagrama de presiones presenta la curva de sobre-
presión mínima (o parte de ella) por debajo del perfil de la impulsión, en estas zonas se producen presio-
nes negativas, con posible rotura de la vena líquida.
Diagrama de golpe de ariete negativo.
L1
Zona de Allievi Zona de Michaud
+ ∆ H
– ∆ H
– ∆ H

Introducción al método de Bergerón
Los métodos hasta ahora citados no permiten comprobar qué es lo que sucede después de haber
cesado la corriente de agua, mereciendo no obstante un especial interés los casos en que se presenta
cavitación, es decir, en aquellos que la sobrepresión alcanzada sea mayor que la presión estática incre-
mentada en la pérdida de carga y la presión atmosférica.
El método de Bergerón, aceptado internacionalmente como el más completo de los actualmente
conocidos, permite abordar el problema en toda su magnitud y conocer en cada instante el caudal y la
presión en todos y cada uno de los puntos de la conducción, sean cuáles sean las características de la
maniobra y de los elementos que formen parte del conjunto.
Para determinar la celeridad, Bergerón obtuvo una fórmula idéntica a la hallada por Allievi, pero
además demostró que en cada punto de la instalación las variaciones de caudal están relacionadas con
las variaciones de presión, por la expresión:
en la que:
∆H = Incremento de presión
a = Celeridad.
g = Aceleración de la gravedad.
S = Sección útil de la tubería.
∆Q = Incremento de caudal.
El signo menos de la expresión corresponde a las ondas que se propagan en el mismo sentido que
el caudal, y el más, a las que lo hacen en sentido contrario.
Una alteración del régimen permanente produce oscilaciones de presión y caudal. Al llegar al otro
extremo del tubo, la onda generalmente encuentra unas condiciones que son incompatibles con el cau-
dal y la presión que deberían establecerse como consecuencia de la misma, por lo que se produce una
nueva perturbación que da lugar a otra onda que avanzará en sentido contrario.
Bergerón imaginó lo que encontraría un observador que se desplazara por el interior de la tubería a
una velocidad igual a la celeridad.
Es evidente que no notaría las perturbaciones producidas por la onda que avanzara en el mismo
sentido, pero sí las que produce la onda que se desplaza en sentido contrario al suyo. Los valores posi-
bles de presión y caudal para cada punto deben cumplir la relación (1), de tal manera que conocido el
régimen en un punto determinado, para un cierto instante, un observador que salga de dicho punto en
el instante considerado, encuentra presiones y caudales situados en la recta:
Lo expuesto constituye los rudimentos del método gráfico de Bergerón, que son suficientes para
resolver el cálculo del golpe de ariete partiendo de las hipótesis de los métodos anteriores. No obstante,
en la práctica resulta muy laborioso debido a la complejidad del fenómeno estudiado. En general será
preciso hacer hipótesis simplificativas para evitar que el gráfico resulte excesivamente complicado, esco-
giéndolos de forma que se aproximen lo máximo posible a la realidad.
a
∆H = ± ∆Q (1)
g S
a
∆H = ± ∆Q
g S

En este manual no se estudiará con profundidad el método de Bergerón, pero sí se pretende dar
algunas nociones orientadas al cálculo de la cavitación, que en la práctica es lo que más interesa al pro-
yectista de conducciones hidráulicas, por alcanzarse en estos casos las máximas sobrepresiones y en con-
secuencia las que más deberán tenerse en cuenta.
El régimen de circulación en cada punto y en cada instante viene representado por el punto de
intersección de dos curvas características en un gráfico de caudales/presiones. Cuando el régimen es
permanente las dos curvas características son la de la tubería y la del elemento que provoca el movimien-
to del fluido. Estas dos curvas características deben ser precisamente constantes para que el régimen sea
permanente. En caso de tratarse de régimen variable, no puede considerarse la característica de la tube-
ría, puesto que los caudales son distintos en los distintos puntos de la misma. En su lugar deberán
tomarse las características que correspondan a observadores que se desplacen por el interior de la
misma a la velocidad de la onda, o sea, con velocidad igual a la celeridad.
Veamos el caso de cierre de una válvula en una conducción por gravedad, en un tiempo
t <
2
a
L
(ver la siguiente figura)
Prescindiendo de las pérdidas de carga, el funcionamiento en régimen permanente viene determi-
nado por la curva característica de la válvula y la de la tubería, que en este caso es la horizontal a nivel
Hg.
Tomando como unidad de tiempo , es decir, el que tarda la onda en recorrer la tubería, en el
instante cero habrá régimen permanente en los puntos B y A. Si justo en este momento se inicia la
maniobra de la válvula B el tiempo 1 será el último de régimen permanente en A. El observador que
parte de A en el instante 1, llegará a B en el 2, encontrando, por hipótesis, cerrada la válvula, la sobrepre-
sión será:
correspondiente a la fórmula de Allievi.
Lt = a
a v
∆H = ±
g
+ ∆ H
– ∆ H
Hg
A (3)
B (2)
A
B
B (4)
B (0), A(0), A(1) Hg
Q

El observador que parte de B en el instante 2, llegará a A en el 3, cuyo nivel es constante, encon-
trando un caudal negativo. Finalmente partiendo de A en este instante 3, llegará a B en el 4, encontran-
do cerrada la válvula, con una presión menor que la estática, siendo el valor de la depresión , por
simetría de la figura.
¿Qué sucedería si esta depresión fuera mayor que la presión estática Hg incrementada de la presión
atmosférica?
Vamos a realizar este caso para una impulsión, suponiendo que la inercia del grupo de bombeo es
despreciable y que a la salida de la bomba está instalada una válvula de retención, que se cierra justo en
el momento que la velocidad es nula.
Tomando la unidad de tiempo , un observador que parte del punto B en el instante 0, repre-
sentado por B(0) (ver figura siguiente), encontrará regímenes que estarán sobre la recta Y. Suponiendo
que al llegar a A la bomba ya no suministra caudal y que:
el punto representativo sería A(1), pero éste no puede estar por debajo de la línea Hg+ Pa, puesto que
no puede haber una depresión mayor que el vacío absoluto (o la tensión del vapor de agua, la cual es
muy pequeña a temperaturas normales de funcionamiento), si el punto A(1) sale por debajo de esta línea,
deberá tomarse como punto representativo el A’(1). Si no hubiera sido así se podrían hallar los puntos
B(2) y A(3).
Siguiendo el gráfico se
puede observar que dicho
vacío no se llenará hasta el
instante 3, para el cual en A
hay un caudal negativo.
Un observador que
parta de A en dicho instante,
alcanzará el punto B en el
instante 4, representado por
B′(4). El paso siguiente con-
duce al punto A, al que se
llega en el instante 5, encon-
trando cerrada la válvula de
retención, por lo que la
sobrepresión alcanzada,
representada por el punto
A′(5), es mucho mayor que la
que se habría producido en
el tiempo 3, punto A(3), en
caso de no haberse presenta-
do vacío.
av
g
Lt = a
a v
∆H = > Hg + Pa
g
Hg
Pa
A (3)
A’ (5)
A’ (1)
A (1)
A’ (3)
B (2) B’ (2)
A
B
B’ (4) B (0),A(0)
Hg
Y

Esto es completamente lógico, puesto que al invertirse el sentido del caudal, deberá ser llenado
previamente este vacío, con lo que el líquido tendrá tiempo de adquirir velocidad suficiente para provo-
car una sobrepresión mayor.
En el límite, la sobrepresión máxima A(5) es tres veces superior a la sobrepresión en el instante de
cierre de la válvula, es decir, en el caso más desfavorable puede alcanzar hasta tres veces la sobrepresión
calculada por la fórmula de Allievi.
Sin embargo, en algunos casos, es posible admitir el vacío, aun a sabiendas de que pueden produ-
cirse sobrepresiones entre una y tres veces la calculada por la fórmula de Allievi.
Sobrepresión producida por la cavitación
Partiendo de la sobrepresión dada por Allievi a v , pueden distinguirse dos casos:
g
A) a v < Hg + J + Pa
g
siendo:
Hg = Altura geométrica o presión estática
J = Pérdida de carga total
Pa = Presión atmosférica.
En este caso no hay cavitación y la sobrepresión máxima es la de Allievi.
B) a v > Hg + J + Pa
g
En este caso hay cavitación y la sobrepresión máxima vendrá determinada por la expresión:
siendo Y un factor tal que 1 ≤ Y ≤ 3 y que depende de la relación:
A partir de los gráficos de Bergerón realizados en condiciones límite, se ha podido relacionar Y con X.
La curva representativa de esta relación aparece en el ábaco de la figura que sigue y llega a un valor
límite Y= X + 2 cuando se consideran despreciables las pérdidas de carga con relación a Hg + J.
X
a v
∆Hmax = Y
g
a v
g
X = Hg + J + Pa

Curvas límites de sobrepresiones máximas producidas por válvula de retención colocada a la salida de la
bomba, en la parada brusca de la misma.
Las propias pérdidas de carga de la tubería y de los accesorios contribuyen a amortiguar el golpe de
ariete y es interesante tenerlas en cuenta, ya que si bien a más velocidad de circulación del líquido mayor
es el golpe de ariete, dado por la fórmula de Allievi, por otra parte, aumentan también las pérdidas de
carga, resultando una sobrepresión máxima final menos elevada de la que se hubiera podido esperar de
no tener en cuenta los rozamientos.
Trazando los correspondientes gráficos de Bergerón para distintos valores de A
Hg + J + Pa
teniendo en cuenta las pérdidas de carga, se han hallado distintas curvas límites, según el tanto por cien-
to que representan éstas con relación a Hg + J. Estas curvas límites están también reflejadas en el ábaco
figura anterior.
Medios para atenuar el golpe de ariete
Si bien los materiales plásticos PVC y PE ofrecen una respuesta muy favorable ante las sobrepresio-
nes por golpe de ariete, el número de maniobras que efectúa la instalación y en consecuencia de sobre-
presiones que reciben las tuberías, podrían llegar a provocar una fatiga cíclica de la misma, según se
expone en el capítulo 6, por lo tanto, según sea la intensidad de las sobrepresiones, como medida de
seguridad a largo plazo, es aconsejable la instalación de algún dispositivo para su atenuación
A =
a v
(Sobrepresión de Allievi)g
a = Celeridad, en m/s
v = Velocidad de régimen, en m/s
Hmax = Sobrepresión máxima (si no hay cavitación Hmax ≤ A), en m.c.d.a.
Hg = Presión o altura estática, en m.c.d.a.
J = Pérdida de carga, en m.c.d.a.
Pa = Presión atmosférica, en m.c.d.a.
Y =
X+2
curva límite de las sobrepresiones
X
si no hay pérdida de carga
3
2,5
2
1,5
1
x =
A
Hg + J + Pa
0 1 2 3 4 5 6
Y =
Hmax
A
J
Hg + J
0%
2,5%
5%
7,5%
10%
15% 20%

a) Retardador de parada del grupo de bombeo
Para evitar el paro brusco; el tiempo de parada depende de su propia inercia y teniendo en cuenta
que la de la bomba es despreciable y la del motor muy pequeña, solo se podría aumentar dicha inercia
mediante un volante acoplado al eje del motor.
Según las características de la instalación a proteger, el cálculo del volante necesario puede resultar
con unas dimensiones exageradas del mismo, o incluso a no ser posible esta ejecución, sobre todo en
grupos de bombeo sumergidos. lo que limita considerablemente su empleo.
b) Depósito de aire
Consiste en un depósito acoplado a la tubería, en el cual hay agua y aire a presión.
Cuando por el paro de la bomba se produzca una depresión, el aire comprimido impulsará el agua
del depósito hacia la tubería, evitando de esta manera la formación de cavitación.
Este tipo de protección necesita mantenimiento puesto que el aire a presión se disuelve paulatina-
mente en el agua, siendo necesario reponer con cierta periodicidad el aire. Por ello este sistema de pro-
tección solo resulta aconsejable si hay posibilidad de inspecciones muy frecuentes.
c) Pulmón neumático
Este sistema es parecido al depósito de aire, pero para evitar que éste (u otro gas) se disuelva en el
agua, en vez de estar en contacto directo con ella, está contenido dentro de una membrana elástica. En
este caso el mantenimiento que se precisa es mínimo.
d) Chimenea de equilibrio
Consiste en un depósito vertical, cuya sección puede ser variable, acoplado a la tubería y de altura
mayor que la equivalente a la presión que soporta la misma.
Dicha solución es la preferida, siempre que el tipo de instalación lo permita, por no requerir mante-
nimiento. La limitación proviene normalmente de la altura necesaria para dicha chimenea. Asimismo es
preciso tener en cuenta las temperaturas mínimas del lugar donde se construya a fin de evitar la forma-
ción de hielo en el interior de la misma.
e) Depósito de agua
Se enlaza la tubería con un depósito parcialmente lleno de agua mediante una válvula que se abre a
la depresión y se cierra lentamente con presión. Este dispositivo sirve para evitar la cavitación local de
un punto alto de la instalación, donde no se pueda construir una chimenea.
f) Ventosas
Se emplean para evitar la cavitación en los puntos altos de la instalación. Permiten la entrada del
aire cuando se produce la depresión y su salida cuando la tubería se pone de nuevo en servicio.
g) Válvulas de seguridad
Dichos accesorios se usan cuando se admite la cavitación que, como se ha dicho, da lugar a fuertes
sobrepresiones. Las válvulas de seguridad se abren automáticamente al aumentar la presión. Requieren
mantenimiento, por ello está limitado su uso.

h) Válvulas de retención
Se instalan normalmente en las impulsiones para proteger el grupo de bombeo y evitar el vaciado
de la tubería a través de la propia bomba.
Pueden colocarse también válvulas de retención
en otros lugares de la impulsión que se produzca
cavitación.
En general, conviene que estas válvulas estén pro-
vistas de sistema de doble paso, ya que al cerrarse
la clapeta, éste es el que puede evitar la forma-
ción de cavitación.
Es conveniente calcular correctamente la sección
del doble paso, así como la situación exacta de las
propias válvulas, pues. un error puede provocar
golpes de ariete mayores.
En casos que la altura de aspiración es poca y el
peligro de cavitación se halla solamente a la salida
de la válvula de retención, es decir, si la pendiente
de la impulsión es siempre positiva, se puede
adoptar, si la anchura del pozo lo permite. la solu-
ción de la figura adjunta.
De esta forma cuando se vaya a producir cavita-
ción en A, el agua será aspirada por el tubo B, no
llegando a producirse el vacío.
Si se trata de una impulsión en la cual la bomba
está situada en un punto intermedio de la tubería,
una solución a adoptar puede ser la de la figura,
de la izquierda
El aire en el interior de las tuberías
El aire acumulado en el interior de una tubería, cualquiera que sea el material de ésta, produce
unos fenómenos necesarios a tener en cuenta para evitar las graves consecuencias que éste puede oca-
sionar.
Estos fenómenos se pueden clasificar en tres grupos y corresponden a las distintas condiciones de
trabajo de la tubería:
• Durante el llenado
• En las arrancadas del grupo de bombeo
• Cuando la tubería es vaciada.
El aire ocupa siempre los puntos altos de la con-
ducción y si éste no tiene salida al exterior, se acu-
mula en estos puntos produciendo un estrangula-
miento en el paso del agua con la consiguiente
reducción del caudal, pudiendo ocasionar incluso
una obstrucción total.
A
B
A
B

Cuando se efectúa la operación de llenado de la tubería es necesario eliminar todo el aire de su
interior. Ello se consigue mediante ventosas colocadas debidamente en aquellos puntos que se requiera
y que permitirán la extracción del aire de forma automática.
La figura adjunta presenta una ven-
tosa de simple efecto. Consta de un cuer-
po metálico A en cuyo interior aloja a una
esfera B de material más ligero que el
agua, y que está situada en la parte infe-
rior del alojamiento dejando libre el orifi-
cio C por donde se va expulsando el aire
empujado por el agua. Cuando el nivel
de llenado llega a la ventosa, la esfera
flota encima del agua obturando el orifi-
cio y produciéndose el cierre de forma
automática.
Cuando una conducción presenta un perfil ondulante, para expulsar todo el aire será necesario la
colocación de una ventosa en cada punto superior de la onda.
El llenado deberá efectuarse lentamente para permitir la salida del aire y las distintas ventosas
actuarán según la figura siguiente y el orden indicado.
Llenado del tramo El aire sale por las ventosas
1 A – B – C – D
2 A – B – C – D
3 B – C – D
4 C – D
5 D
A
B
C
A
B
C
D
1 2 3 4 5
U
U
U
U
Tramos:

El agua puede llevar aire en suspensión, principalmente en las impulsiones, originado por la agita-
ción provocada por el grupo de bombeo. En este momento la tubería ya está en carga y las ventosas de
simple efecto no permiten la expulsión del aire, ya que la misma presión interior empuja la esfera mante-
niendo la salida cerrada.
En estos casos es conveniente la colocación de ventosas de
doble efecto, las cuáles disponen de una parte A que actúa de
manera idéntica que las simples y de una parte B que, aún
estando la tubería en carga, permite la eliminación del aire que
se va acumulando, sin dar salida al agua.
La tabla que sigue indica el diámetro orientativo de las vento-
sas a colocar, para los distintos diámetros de tubería.
Diámetros orientativos de ventosas
La no colocación de las ventosas adecuadas puede ocasionar que queden zonas de aire, con lo cual
una vez llena la tubería y en funcionamiento, el problema se agrava, ya que por efecto de la presión y
velocidad del agua, el aire puede ser desplazado sufriendo una compresión capaz de originar sobrepre-
siones que pueden causar rotura de la tubería.
La presión final alcanzada en una bolsa de aire acumulado depende de:
• El diámetro de la tubería
• La velocidad de circulación del agua.
• El volumen del aire acumulado
• La distancia de situación de la bolsa de aire.
Esta presión final se puede determinar de acuerdo al siguiente ejemplo que representa una impul-
sión con las siguientes características:
Tubería PVC de diámetro 250 mm, Pn 0,6 MPa (diám. interior = 235,4 mm)
Longitud: 1.800 m
Caudal circulante 70 l/s
Velocidad de circulación del agua 1,6 m/s
El perfil de la tubería, según la figura siguiente, presenta dos zonas altas, situadas respectivamente
a 1.100 y 1.500 m del origen y cuyas presiones estáticas corresponden a 2,0 y 5,0 kg/cm2, formándose en
cada una de ellas, por falta de ventosas, una bolsa de aire de 2 m de longitud.
VENTOSA,DIÁMETRO TUBERÍA, DIÁMETRO
40 mm 40 a 200 mm
60 mm 140 a 315 mm
80 mm 200 a 400 mm
100 mm 400 a 630 mm
A B

•Punto A
La energía cinética producida por el agua en movimiento a los 1.100 m del origen, obedecerá a la fórmu-
la:
1
Ec =
2 m v2
y como m = P = π D2 LA× 1.000 = π 0,2354
2
× 1.100 × 1.000 = 4.800 kg masa
g 4 g 4 × 9,81
Ec = 4.880 × 1,62
= 6.246 kg m
2
Esta energía cinética se transforma en trabajo de compresión del aire encerrado en la tubería.
El volumen de éste es:
V = 2 π × 0,23542
= 0,087 m3
4
El trabajo absorbido por el aire es:
P V × ln P’
P
siendo:
P = Presión estática, 2,0 kg/cm2
V = Volumen de aire, 0,087 m3
ln : logarítmo neperiano
Se formará la igualdad:
1 m v2 = P V × ln P’
2 P
6.246 = 2 × 10.000 × 0,087 × ln P
P
20m
A
B
50m

De donde log. hiper. P’ = 3,5896
P
y P’ = 36,2
P
Por lo tanto la presión alcanzada por el aire acumulado en A será:
P’ = 36,2 × 2 = 72,4 kg/cm2
Con toda seguridad nos produciría la rotura por sobrepresión en la tubería.
• Punto B
Siguiendo idéntico procedimiento que en el anterior y teniendo en cuenta
los valores constantes, será:
La presión en el punto B será: P" = 7,1 × 5 = 35,5 kg/cm2
Presión que también provocaría la rotura de la tubería.
En estos casos la rotura de la tubería se produce con explosión y proyección de trozos de material
debido a la fuerza expansiva del aire.
Cuando la tubería
está enterrada, el
relleno de tierra
impide la expansión
y la rotura presenta,
en la mayoría de los
casos, las formas
representadas en la
figura adjunta.
Ec = 1 m v2 = 8.518 kg m
2
1 m v2 = P1 × V × ln P’’
2 P1
8.518 = 5 × 10.000 × 0,087 × ln P’’
P1
ln P’’ = 1,96 ; P’’ = 7,1
P1 P1
línea de rotura
línea de rotura

Como ya se ha comentado anteriormente, la única solución a este problema es la colocación de
ventosas en los puntos donde se requiera.
Otro peligro que se puede presentar en una conducción a consecuencia del aire es el fenómeno de
depresión.
Este puede producirse en los siguientes casos:
a) Por cierre de una válvula
instalada en la salida de un
depósito .
El agua del interior de la tube-
ría desciende, por su propio
peso, dando lugar
a una succión interior con for-
mación de presión negativa.
b) Por descenso brusco en el
trazado de la tubería.
En condiciones de circulación,
cuando la tubería es toda del
mismo diámetro, en el tramo
A, al aumentar la pendiente,
aumenta también la velocidad,
sin variar el caudal, en conse-
cuencia el agua no llena por
completo la sección de la
tubería, produciéndose una
depresión en su interior.
Si ésta vierte a través de
una salida libre, el aire entrará
por el extremo, evitando la
depresión.
A

Si el extremo de la tubería
queda situado por debajo del
nivel de agua de un depósito o
recipiente, ésta actúa de sello
hidráulico no permitiendo la
entrada de aire y produciéndo-
se por tanto depresión interior
c) Por golpe de ariete negativo, si este produce rotura de la vena líquida.
En las tuberías de PVC y PE una depresión interna puede provocar su aplastamiento. La resistencia
que estas ofrecen a la presión interior negativa depende del tipo de material y de la relación existente
entre el diámetro y el espesor de pared.
El espesor de pared necesario para que una tubería resista una determinada presión interior negati-
va vendrá dado por la fórmula, establecida por Allievi:
siendo:
e = Espesor en mm.
P = Presión en kg/cm2 (máx. 1 kg/cm2)
Ks = Coeficiente de seguridad (se toma K=1)
D = Diámetro en mm.
E = Módulo elástico en kg/cm2
Las tuberías de PVC y PE, de Pn 0,4 MPa sometidas a estas condiciones, se aplastarán antes de llegar
al vacío absoluto. con lo cual necesariamente tendrán que colocarse ventosas para evitarlo.
Las tuberías con espesor de pared a partir de Pn 0,6 MPa pueden soportar, sin riesgo de aplasta-
miento, una depresión equivalente al vacío absoluto.
Cálculo de la potencia del grupo de bombeo
Altura manométrica es la suma de las alturas de aspiración, de impulsión y de todas las pérdidas de
carga que se producen en la tubería. En caso de precisarse una presión determinada de servicio en el
extremo final de la impulsión, deberá sumarse esta, expresándola en metros de columna de agua
Hman = Ha+Hi+ v2
+ Ja + Ji2 g
siendo:
Hman = Altura manométrica, en m.c.d.a.
Ha = Altura de aspiración, en m
Hi = Altura de impulsión, en m
v = Velocidad del agua, en m/s
Ja = Pérdida de carga total en la tubería de aspiración, en m.c.d.a.
Ji = Pérdida de carga total en la tubería de impulsión, en m.c.d.a.
e = D
Ks P
2Ε
3

Las pérdidas de carga son las
motivadas por el rozamiento en la
tubería más las pérdidas adiciona-
les por accesorios, cambios de
dirección, etc.
En caso de que el nivel inferior del líquido esté por encima del eje de la bomba, no habrá una altura
de aspiración Ha, sino una altura de carga Hc. En este caso deberá tomarse:
Hman = Hi — Hc + v2
+ Jc + Ji
2g
La potencia absorbida por la bomba vendrá determinada por la fórmula:
N =
γ Q H man
75 η
siendo:
N = Potencia absorbida por la bomba, en C.V.
γ = Densidad del líquido que se impulsa
Q = Caudal, en l/s
Hman= Altura manométrica, en m.c.d.a.
η = Rendimiento de la bomba (depende del tipo, puede oscilar entre 0,6 y 0,8)
La potencia necesaria del motor será igual a la potencia absorbida por la bomba, dividido por el
rendimiento del motor.
No obstante, deberá tenerse presente que el rendimiento de una bomba no es constante, sino que
en general, depende del caudal y de la altura de elevación, y con frecuencia deberá variarse el régimen
óptimo de funcionamiento de la misma, por no coincidir este con el deseado. El estudio de las variacio-
nes de rendimiento de una bomba, deberá hacerse por medio de las curvas características propias de la
misma.
Hi
Ha

MODELO DE CÁLCULO DE UNA INSTALACIÓN
Se presenta a continuación un caso ficticio, aunque basado en la realidad, de una instalación típica
de abastecimiento. En él los cálculos son efectuados de acuerdo a los temas expuestos en los correspon-
dientes apartados anteriores.
Se trata de abastecer agua, según el plano representado en la figura que sigue, a los puntos
siguientes:
A. Zona residencial con 200 viviendas unifamiliares para 6 habitantes cada una y una presión de ser-
vicio a la entrada, de 0,3 MPa.
B. Complejo deportivo con una piscina de 25 x 8 m, más un caudal de 3 l/s para los diversos servi-
cios, con una presión de entrada de 0,3 MPa
C. Granja con 60 reses de ganado mayor.
D. Finca de regadío, con una extensión de 1 Ha., con cobertura total de aspersores con boquilla de
5 mm, para trabajar a una presión de 0,35 MPa. y con una implantación de 16 x 16 m.
Trazado de las conducciones.

La captación se encuentra en la cota 100, en el punto E y consiste en un pozo con una profundidad
del nivel de agua, de 80 m.
El depósito regulador se ha previsto colocarlo en la cota 155, representado por F. El trazado de las
tuberías corresponde a los indicados en el mismo plano.
La instalación se desea con tubería de PVC - PRESIÓN, con uniones por medio de junta elástica,
serie KM.
Los perfiles de la impulsión y de la conducción por gravedad corresponden a las figuras adjuntas.
En ellas están indicadas las cotas del terreno y las longitudes de las conducciones.
Perfil de la conducción por impulsión.
Perfil de la conducción por gravedad.
250 200 200 150 400 200 300
250 450 650 800 1200 1400 1700
0 1 2 3 4 5 6 7
100 104 113 127 122 147 140 155
COTAS DEL TERRENO
DISTANCIAS PARCIALES
DISTANCIAS AL ORIGEN
PUNTOS
ESCALA: H = 1:12.500
V = 1:1.250
COTAS DEL TERRENO
DISTANCIAS PARCIALES
DISTANCIAS AL ORIGEN
PUNTOS
ESCALA: H = 1:25.000
V = 1:1.250
0’ 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’
155 148 130 118 123 95 94 93 90
500 600 500 700 300 500 400 400
500 1100 1600 2300 2600 3100 3500 3900
E
F
F
D
C B
A

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