Situaciones de brousseau

Matemática
Serie 2 para docentes de Secundaria
Didáctica de la Matemática
Fascículo 1: ASPECTOS METODOLÓGICOS EN
EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS
NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES EN
SECUNDARIA.
© Ministerio de Educación
Van de Velde 160, San Borja
Primera edición, 2007
Tiraje: 14 000 ejemplares
Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A.
Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,
Chacra Ríos Sur, Lima 01
Hecho el Depósito Legal en la
Biblioteca Nacional del Perú
Nro. 2007-00260
Coordinación y supervisión general MED
Antonieta Cubas Mejía
Supervisión pedagógica MED
Luis Enrique Eyzaguirre Espino
Verificación de estilo MED
Miguel Humberto Fuentes Huerta
Autoría
Ediciones El Nocedal S.A.C.
Coordinador
Rubén Hildebrando Gálvez Paredes
Elaboración pedagógica
Felipe Eduardo Doroteo Petit
Itala Esperanza Navarro Montenegro
Edgar Justo Chacón Nieto
Daniel José Arroyo Guzmán
Colaboración especial
Marisol Edith Zelarayan Adauto
Revisión pedagógica
Hno. Marino La Torre Mariño
Revisión académica
Armando Zenteno Ruiz
Diseño y diagramación
Virginia Rosalía Artadi León
Ilustraciones
Patricia Nishimata Oishi
Brenda Román González
Fotografía
Enrique Bachmann
Corrector de estilo
Marlon Aquino Ramírez
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
Z_Creditos S2 F1 D.indd 1 6/13/07 6:54:49 PM

PRESENTACIÓN
En la actualidad, ser docente en Matemática es un gran reto, pues es una tarea
compleja que requiere multiplicidad de saberes. No es sufi ciente dominar los
contenidos temáticos del área, sino ser capaces de que los estudiantes desa-rrollen
las capacidades del área (razonamiento y demostración, comunicación
matemática y resolución de problemas), los valores y las actitudes que les
permitan una educación integral para alcanzar su autorrealización. Esto exige
que los docentes se encuentren actualizados y familiarizados con las nuevas
tendencias curriculares y metodológicas.
La sumilla del Fascículo 1: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de los
sistemas de números naturales, enteros, racionales y reales, en secundaria,
indica: “Comprenderá el desarrollo de los principios, estrategias y algoritmos
que rigen los procesos de desarrollo de capacidades que permitan comprender
y, además, operar con los sistemas de números naturales, enteros, racionales
y reales. Desarrollará, asimismo, ejercicios, problemas, juegos matemáticos y
sugerencias de construcción y utilización del material educativo respectivo”.
Así, nos sumergiremos en un proceso didáctico de estudio, pues aprender es
un medio al servicio de un fi n que es el estudio, que no es enseñar lo que se ha
aprendido, sino responder a una cuestión que se ha planteado. En muchos casos,
para responder a las cuestiones planteadas, se tendrá que aprender a aprender,
aprender a hacer, aprender a convivir y aprender a ser.
En la sociedad, enseñar y aprender son sólo medios para que cierto número
de personas adquieran los conocimientos necesarios para realizar ciertas
actividades. Sin embargo, no debemos olvidar que la Matemática sirve, sobre
todo, para resolver problemas, y no sólo para que se aprenda y se enseñe.
En este fascículo nos internaremos dentro de un proceso de estudio de los sistemas
numéricos , , y , a través de la teoría de situaciones didácticas de
Brousseau y el aprendizaje de las mismas a través de las seis etapas de Dienes,
pues éste postula básicamente el aprendizaje de la Matemática mediante juegos.
No se trata de jugar por jugar, sino jugar basándonos en una teoría didáctica
para conseguir el desarrollo del pensamiento a través de la Matemática, así
como las capacidades inherentes a ella.
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ÍNDICE
Presentación ........................................................................................................................................ 1
Índice ................................................................................................................................................... 2
Organizador visual de contenidos ....................................................................................................... 3
Motivación .......................................................................................................................................... 4
Logros de aprendizaje ......................................................................................................................... 4
Recuperación de saberes previos ........................................................................................................ 4
1. LA TEORÍA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS DE GUY BROUSSEAU VS. LAS
SEIS ETAPAS DE APRENDIZAJE SEGÚN Z. DIENES .............................................................................. 5
1.1 Estrategia didáctica .............................................................................................................. 5
1.2 Propuestas didácticas según Brousseau ............................................................................... 6
1.3 Etapas de Dienes vs. situaciones didácticas ........................................................................ 8
1.4 Aplicación de las seis etapas de Zoltan Dienes en el aprendizaje del teorema de
Pitágoras .............................................................................................................................. 9
2. SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL APRENDIZAJE DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES .............. 11
2.1 Situación didáctica: palitos y cuñas ..................................................................................... 11
Actividad 1 ................................................................................................................................... 14
3. SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL APRENDIZAJE DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS .................. 15
3.1 Situación didáctica: descubriendo al número entero .......................................................... 15
3.2 Situación problemática: ciudadanos buenos y malos ......................................................... 18
3.3 Situación a-didáctica: casinos para la adición y sustracción de
números enteros .................................................................................................................. 18
Actividad 2 ................................................................................................................................... 20
4. SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL APRENDIZAJE DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES. ............ 21
4.1 Situación didáctica: Repartiendo una rodaja de jamonada ................................................. 21
4.2 Situación a-didáctica: dominó de fracciones ...................................................................... 23
Actividad 3 ................................................................................................................................... 25
5. SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL APRENDIZAJE DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES. .................... 26
5.1 Situación didáctica: un cuadrado de más ........................................................................... 26
Actividad 4 ................................................................................................................................... 28
6. EVALUACIÓN .................................................................................................................................. 29
7. METACOGNICIÓN ........................................................................................................................... 30
Bibliografía comentada ....................................................................................................................... 31
Enlaces web ......................................................................................................................................... 32

3
ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS
DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES
comprende el
estudio de
Marco teórico
Situaciones
didácticas
en el
Aprendizaje
de los
Sistemas
Números
Naturales
Situaciones
didácticas
de los
Situaciones
problemáticas
Situaciones
A - didácticas
proponiendo
bajo un
desarrollado por
Guy
Brousseau
Fases didácticas
Números
enteros
Números
racionales
Números
reales
Zoltan
Dienes
en sus
Seis etapas
ofreciendo un
ejemplo
de
Aplicación
en sus
para docentes

4
ASPECTOS Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
METODOLÓGICOS
en el APRENDIZAJE de los
NÚMEROS NATURALES, ENTEROS
RACIONALES y REALES
Motivación
Parece que la expresión “colegio invisible” la empleó por primera
vez el inglés Robert Boyle (1627-1691), quien bautizó así al grupo
de científi cos con los que intercambiaba información acerca de
las investigaciones llevadas a cabo por cada uno de ellos. Este
grupo informal fue el germen de la creación, en 1662, de la Royal
Society. “La compañía, que ya no se limitaba a los eminentes y
respetables residentes de una capital se convirtió en un colegio
invisible. Para ser escuchado en la Royal Society de Londres no
era necesario asistir a sus reuniones. John Beale podía escribir
www.usno.navy.mil/library/rare/boyle21.jpg
desde Herefordshire, en el oeste de Inglaterra, y describir el problema de las huertas… Nathaniel
Fairfax, de Suffolk, informó sobre unas personas que comían personas y sapos… La lista también
incluía a John Flamsteed, que escribió sobre astronomía desde Derbyshire y a Martin Listen que
escribió desde Cork sobre biología y, desde luego, había frecuentes comunicaciones entre Boyle y
Newton”.
(Boorstin, D.J. Los descubridores. Ed. Crítica. Barcelona, 1986. p.378).
La historia nos invita a interesarnos por los problemas en común y establecer
contactos para formar equipos de investigadores educadores y establecer una
comunidad de estudio para comunicarnos constantemente aunque no tengamos
que vernos, ello es posible hoy en día, gracias a las tecnologías avanzadas.
RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS
Antes de empezar con el desarrollo del presente fascículo
es indispensable que recuerdes algunas precisiones. Lee
atentamente las preguntas y responde en una hoja aparte.
¿Qué es la didáctica?
¿Qué tomas en cuenta para planifi car una sesión de
aprendizaje?
¿Cómo podemos presentar los sistemas numéricos?
Describe algunas actividades para desarrollar capacidades
específi cas en los sistemas numéricos: , , y .
¿Qué papel cumple el juego didáctico en el estudio de la
Matemática?
LOGROS DE APRENDIZAJE
Analiza la teoría de situaciones didácticas y
la aplica en el aula en situaciones concretas.
Interpreta datos implícitos, procesos, repre-sentaciones
gráfi cas relativas, analizando los
sistemas numéricos.
Aplica y utiliza las defi niciones, los teore-mas,
propiedades sobre sistemas numéricos,
en forma adecuada a cada situación.
Interpreta enunciados matemáticos presen-tados
en un lenguaje formal o en un lenguaje
común a través de la lectura, la decodifi ca-ción,
la codifi cación, la clasifi cación, la dis-cusión
y la representación.
Procesa la información mediante la rela-ción,
la transformación y la aplicación.
www.biografiasyvidas.com/.../
b/fotos/boyle.jpg

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Fascículo 1 / ASPECTOS
METODOLÓGICOS EN EL
APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE
NÚMEROS NATURALES, ENTEROS,
RACIONALES Y REALES
1. La TEORÍAde las
SITUACIONES
DIDÁCTICAS de
GUY BROUSSEAU
vs.
SEIS ETAPAS
deAPRENDIZAJE
segúnZ. DIENES
En esta sección se describe una explicación detallada de los juegos como
estrategias de aprendizaje en la Matemática, relacionándolos a las seis etapas
de aprendizaje según Z. Dienes versus la teoría de las situaciones didácticas,
según Brousseau.
En primer lugar, veamos qué signifi ca estrategia didáctica, y cómo se estructura
un juego según Dienes, relacionando dicha estructuración dentro de una
situación a-didáctica.
1.1 Estrategia didáctica
Estrategia:
Es un proceso regulable, el conjunto de las
reglas que aseguran una decisión óptima en cada
momento.
De esta defi nición se puede afi rmar que: la
estrategia didáctica es el conjunto de métodos y
procedimientos acompañados de los medios y
materiales didácticos.
Luego, las estrategias didácticas ofrecen situaciones
en las cuales el estudiante estimula, educa su
Estrategia
didáctica
Medios y
Métodos materiales
Procedimientos Técnicas
Estrategia
Puede defi nirse como la
mejor forma de alcanzar los
objetivos buscados al inicio
de una situación confl ictiva.
El confl icto no implica
necesariamente una pelea,
sino la lucha por obtener una
de dos o más situaciones
hipotéticas que no pueden
darse simultáneamente.
Algunos dicen que
“estrategia” es todo lo que
se hace antes de ingresar al
confl icto. Luego empieza la
“táctica”.
Establecer una “estrategia”
implica conocer de antemano
las distintas formas en
las que se va a dirimir un
confl icto y de qué forma
enfrentarlo conociendo
las metas que se desean
alcanzar. La estrategia puede
verse como un plan que
debería permitir la mejor
distribución de los recursos y
medios disponibles a efectos
de poder obtener aquellos
objetivos deseados.
http://www.estrategia.com/
las

6
Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
http://math.unipa.it/~grim/
brous.jpg
Fase o momento
de la secuencia
libertad de elección y decisión; propicia situaciones en las que debe pensar,
organizar, proyectar, imaginar y llegar a conclusiones; facilita el ambiente para
que los estudiantes se sientan a sí mismos y se expresen libremente.
1.2 Propuestas didácticas según Brousseau
Para Brousseau, la didáctica de la Matemática es la ciencia que tiene la misión
de explicar los fenómenos didácticos.
Desarrolla su teoría sobre la base del sistema didáctico formado por el profesor,
el alumno y el saber actuando en el aula. (Microsistema).
Una situación didáctica es el conjunto de relaciones establecidas explícita o
implícitamente entre el alumno, un cierto medio -otros alumnos, eventualmente
instrumentos u otros objetos- y un profesor con el fi n de que estos alumnos se
apropien de un saber constituido o en vías de construcción.
De esta descripción se desprende inmediatamente que el universo de la situación
didáctica es la sala de clases.
Entre las situaciones didácticas, Brousseau distingue las situaciones o fases de:
acción, de formulación, de validación, institucionalización y evaluación. A estas
situaciones están asociadas formas dialécticas que tienen funciones diferentes.
Dialéctica de la acción: en esta etapa el alumno es confrontado a una situación
que le plantea un problema, para buscar una solución, el alumno realiza acciones
que pueden desembocar en la creación de un saber hacer. Él puede explicar más
o menos o validar sus acciones, pero la situación no se lo exige.
Dialéctica de la formulación: esta etapa está dedicada al necesario intercambio
de informaciones y la creación de un lenguaje para asegurar el intercambio. El
alumno podría justifi car sus posiciones, pero la situación de formulación no se
lo exige.
Dialéctica de la validación: en esta etapa los intercambios no conciernen
solamente a las informaciones sino a las declaraciones. Hay que probar lo que
se afi rma, no por acciones, sino dando razones apoyadas en los datos iniciales
(hipótesis) o en relaciones pertinentes (teoremas o propiedades).
Veamos cómo estas situaciones se dan en los momentos principales de una
situación didáctica en el educando:
Cuestiones didácticas Acciones del docente
Acción
Las situaciones de enseñanza tienen que ser
tales que representen un problema (en senti-do
amplio) para el alumno.
El docente traspasa la responsabilidad de la
situación al alumno.
Expone la situación y las consignas, y se ase-gura
que han sido bien comprendidas: si es ne-cesario
parte de los conocimientos anteriores u
“organizadores previos” mediante actividades
especiales para este fi n.
GUY BROUSSEAU
Nació en Francia en
1933. Distingue entre
las situaciones: las
didácticas (aprendizaje
de un conocimiento); las
a-didácticas (no tienen
en vista un conocimiento
sino el desarrollo de
comportamientos, modos de
actuar, de decir, de explicar,
de argumentar, de expresar,
de escribir, de escuchar…) y
las no didácticas (tiene lugar
fuera del aula).

7
RACIONALES Y REALES
Fase o momento
de la secuencia
Acción
En la base de todo el proceso cognitivo está
la percepción. Por lo tanto, el proceso que de-nominaremos
de “Resolución de situaciones
problemáticas” debe comenzar analizando los
factores que defi nen al problema como tal y la
factibilidad del solucionario.
Se comienza a concebir la solución. Aparece
mentalmente una representación mediadora
entre el sujeto y la situación. Imaginar la si-tuación
requiere de conocimientos implícitos
o en “acto”.
Esta fase involucra tanto aspectos cognitivos
como cuestiones de índole práctica, ambos
dirigidos a la solución de problemas que es
preciso resolver en condiciones específi cas y
con recursos limitados.
Adopta el rol de un “coordinador descentrado”
que interviene solamente como facilitador de la
búsqueda, pero se abstiene de brindar informa-ciones
que condicionen la acción de los alum-nos:
aclara las consignas, alerta sobre obstáculos
inexistentes agregados por los alumnos, señala
contradicciones en los procedimientos, etc.
Promueve la aparición de muchas ideas, pues
esta fase es la más creativa y la que debe poner
en juego la imaginación, la inventiva, la intui-ción,
y el intercambio entre los miembros del
grupo, asegurándose que el grupo no siga ade-lante
sin antes tomarse el tiempo para la discu-sión
y los acuerdos.
Formulación
Es la fase en que se “materializan” el plan
proyectivo que ordena los recursos y el pro-ducto
que resuelve los problemas. Concretar
la solución exige al alumno que explicite los
conocimientos en un lenguaje que los demás
puedan entender. Para ello se utilizan medios
convencionales de representación que permi-ten
la comunicación tecnológica.
Se pone énfasis en el manejo de lenguajes muy
variados, ya sea de tipo verbal, escrito, gráfi co,
plástico, informático y matemático. Se busca
la adquisición de destrezas para la utilización
de decodifi cación de los lenguajes más apro-piados,
y se mejora progresivamente la clari-dad,
el orden y la precisión de los mensajes.
Estimula a los alumnos, mantente siempre vigi-lante
para evitar que pierdan el “hilo” del pro-ceso,
y procura que se organicen de modo que
puedan diseñar y materializar la solución (se-leccionar
los materiales, las herramientas, di-vidir
las tareas etc.). Si es necesario, indica las
pautas para que los alumnos utilicen los medios
de representación apropiados.
Sondea el “estado del saber” y los aspectos
efectivos y actitudinales; detecta procedimien-tos
inadecuados, prejuicios, obstáculos, y difi -
cultades, para trabajarlos con los alumnos, en
ese momento o más adelante, según convenga
a su estrategia.
Validación
Es una fase de balance y representación de
resultados, y de confrontación de procedi-mientos.
La situación debe permitir la “autovalida-ción”;
es decir que la verifi cación de los pro-ductos
o de los resultados pueden ser efec-tuados
por el propio alumno - como parte de
las situaciones mismas sin tener que recurrir
al dictamen del o la docente. Un caso típico
de estas situaciones es el momento de ensa-yos
y pruebas a los que los alumnos someten
sus producciones.
Se trata de someter las producciones al “con-trol
ajeno”, un proceso de “metacognición”
que se completa en la fase siguiente.
El docente estimula y coordina las pruebas, los
ensayos, las exposiciones, los debates y las jus-tifi
caciones.
Absuelve las dudas y las contradicciones que
aparezcan, señala procedimientos diferentes,
lenguajes inapropiados, y busca que el consenso
valide los saberes utilizados. En este momento
crece el valor de las intervenciones del docente,
que debe recurrir a las explicaciones teóricas y
metodológicas necesarias de acuerdo con las di-fi
cultades surgidas.
Esta es una buena oportunidad para tomar datos
evaluativos y para introducir nuevas variantes
de problematización.
Coordina y resume las conclusiones que son cla-ve
para la sistematización de la próxima fase.

Fase o momento
de la secuencia
8
MATEMÁTICA
Institucionalización
El saber se descontextualiza y se desperso-naliza
para ganar el estatus cultural y social
de objeto tecnológico autónomo, capaz de
funcionar como herramienta efi caz en otras
situaciones.
Aquí se debe explicar y redondear el len-guaje
apropiado y avanzar en los niveles de
abstracción correspondientes. La síntesis
conceptual, además de producir un efecto de
“cierre” en la elaboración del saber, contri-buye
a resignifi car el aprendizaje en el con-texto
global del alumno.
Es un proceso de objetivación, generali-zación
y abstracción de los contenidos, en
cierta medida es inversa al de la primera fase
donde la situación es una situación particular
que se busca que sea contextualizada y per-sonalizada
por los alumnos.
Rescata la semántica y los medios de represen-tación
apropiados. Éste es un aspecto decisivo
del rol del docente como mediador de códigos
de comunicación.
Esta alfabetización o transmisión cultural es
propia de la escuela como institución, y relativa
a los códigos que caracterizan a nuestra “socie-dad
tecnológica”.
Explica, sintetiza, resume y rescata los conoci-mientos
puestos en juego para resolver la situa-ción
planteada. Habrá contenidos viejos y nue-vos
(pero que puedan consolidarse o ampliar-se)
y éste será el momento en el que el docente
destaca su funcionalidad.
Mediante esta refl exión (metacognición) com-partida
con sus alumnos sobre “lo que hicimos”,
extrae de la experiencia realizada en el aula los
contenidos que quiere enseñar.
Rescata el valor de las nociones y los métodos
utilizados. Señala su alcance, su generalidad y
su importancia.
Evaluación
Tanto la evaluación de los aprendizajes que
realiza el docente, como la auto evaluación
del alumno y la co-evaluación entre pares,
deben ser también instancias de aprendizaje:
de este modo, en el aula, aprendizaje y eva-luación
debieran marchar juntos en un pro-ceso
recursivo.
Para que el cierre de la secuencia no signifi -
que un corte que le deje aislada, o “descol-gada”
de la planifi cación anual, se plantea el
escenario de una nueva secuencia articulada
con los temas aquí tratados.
El seguimiento del docente desde la aparición
de los primeros borradores y bocetos hasta el
producto fi nal, pasando por las demás fases, es
una de las formas de evaluar la situación y el
desempeño de los alumnos.
Puede presentar algunos trabajos adicionales
con el propósito de obtener más datos evaluati-vos
y permitir la transferencia y la nivelación.
Anticipa una nueva secuencia articulada con los
temas y/o contenidos tratados en esta.
La situación didáctica es un “aspecto más general” que engloba a una situación
“a-didáctica”, luego una situación a-didáctica es un “aspecto particular”.
Así, las fases de: acción, formulación, validación, institucionalización y eva-luación
están presentes en las seis etapas de Dienes; veamos.
1.3 Etapas de Dienes vs. situaciones didácticas
Para que el alumno aprenda, según Dienes, debe haber modifi cado su
comportamiento respecto a su medio. Así, señala tres procesos de aprendizaje:
1. Proceso de abstracción.
2. Proceso de generalización.
3. Proceso de comunicación.
Es en el primero donde distingue las seis etapas de aprendizaje en matemática,
allí se debe tener en cuenta la organización de la enseñanza para el aprendizaje
signifi cativo, es decir, que parta del medio del “aprendiz” para que así pueda
construir sus conocimientos.

9
RACIONALES Y REALES
Sin embargo, le compete al docente diseñar situaciones didácticas o a -didácticas
para lograr el aprendizaje signifi cativo.
En este caso, las seis etapas de aprendizaje en la Matemática según Zoltan Dienes
quedan enmarcadas dentro de una situación a-didáctica, pues partiendo de un
medio natural, como es el juego, se pretende llegar a la abstracción de cuestiones
matemáticas, mediados en primera instancia por la sensación, percepción e
intuición, para luego, con la lógica del pensamiento llegar a abstraer los objetos
matemáticos y, es más, interrelacionar dichos objetos para poder seguir en este
proceso de abstracción.
Este proceso tan delicado, mediado por el docente, es el que se consigna en las
siguientes etapas, a saber:
Etapas Proceso de abstracción
I Adaptación : juego libre
II Estructuración: restricciones, reglas de juego
III
Abstracción: conexiones de naturaleza
abstracta, juego de isomorfi smo.
IV Representación: gráfi ca o esquemática
V Descripción de las representaciones: el lenguaje
VI Formalización: Método.
Acción
Formulación
Validación
Institucionalización
E
v
a
l
u
a
c
i
ó
n
PRIMERA ETAPA: DEL JUEGO LIBRE.
Se produce la adaptación mediante el juego libre.
SEGUNDA ETAPA: DE LAS REGLAS DE JUEGO.
Se dan las reglas de juego (restricciones) que conllevarán a lo que se pretende
lograr.
TERCERA ETAPA: DE LA ABSTRACCIÓN.
Los niños obtienen la estructura común de los juegos y se deshacen de los
aspectos carentes de interés.
CUARTA ETAPA: DE LA REPRESENTACIÓN.
Se representa la estructura común de una manera gráfi ca o esquemática.
QUINTA ETAPA: DE LA DESCRIPCIÓN DE LAS REPRESENTACIONES
(EL LENGUAJE).
Se estudian las propiedades de la representación, es decir, las propiedades de la
estructura abstracta. Para ello es necesario inventar un lenguaje.
SEXTA ETAPA: DE LA FORMALIZACIÓN.
Limitamos la descripción a un número fi nito de palabras, porque no se pueden
describir todas las propiedades, pero se inventa un procedimiento para deducir
las demás.
1.4 Aplicación de las seis etapas de Zoltan Dienes en el
aprendizaje del teorema de Pitágoras
Primera etapa: del juego libre.
Se les presenta a los estudiantes el material (rompecabezas pitagórico) y se les
pide que jueguen con él.
La Matemática es una
ciencia que no se aprende
pasivamente, no basta con
observar al docente en el aula
y en sus diferentes espacios,
sino por el contrario, es
necesario comprometerse con
la actividad matemática en
el aula y fuera de ella, esto
es cultivando tres aspectos
fundamentales como:
UTILIDAD, DISFRUTE
Y CONFIANZA; luego
es fundamental que los o
las estudiantes, se vuelvan
concientes de la utilidad
de la Matemática en su
vida diaria y en la forma de
cultivar la mente, disfrutando
de sus aportes y sobre todo
teniéndole la respectiva
confi anza, debido a que es
una creación importante del
hombre.
1+1=3

10
MATEMÁTICA Segunda etapa: de las reglas de juego.
Ahora se les pide que primero armen las dos fi guras pequeñas y luego con las
mismas piezas armen la fi gura grande.
2 3
1 4 5
1 2
5
4 3
B A
C
Tercera etapa: de la abstracción.
Se les pregunta a los estudiantes:
1. ¿Qué fi guras geométricas observas?
2. ¿Qué observas con respecto al armado de las dos primeras fi guras y el
armado de la segunda fi gura?
3. ¿Cuál es la relación que existe entre el armado de las fi guras y la fi gura
ubicada en el centro?
4. ¿Qué relación guardan las fi guras A y B con la fi gura C?
5. Comprueba tomando las medidas de cada uno de los lados de las fi guras y
luego determina las áreas. Relaciona los resultados.
6. ¿Qué fi gura se formó entre los tres cuadrados?
7. ¿Qué tipo de triángulo es?
8. ¿Cómo se llaman los lados que forman el ángulo recto?
¿Cómo se llama el lado opuesto al ángulo recto?
9. ¿Será cierto que si sumamos los cuadrados de los catetos será igual al
cuadrado de la hipotenusa? Compruébalo considerando sus medidas.
10. ¿Qué relación encuentras entre el cuadrado de la hipotenusa y el área del
cuadrado C?
Cuarta etapa: de la representación.
Se les pide a los estudiantes que representen gráfi camente o esquemáticamente
este hecho.
Quinta etapa: de la descripción de las representaciones (el lenguaje).
Se les pide a los estudiantes que describan tal representación en lenguaje usual
o materno.
Sexta etapa: de la formalización.
Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito en lenguaje
formal, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simbólico.
Se les pregunta a los estudiantes: ¿cómo podemos llamar a lo deducido? (Teorema
de Pitágoras). ¿Cómo llamaremos a todo este procedimiento hecho para llegar
a deducir lo que queríamos? (Comprobación). Ahora sí, el estudiante está en
condiciones de hacer una demostración formal del teorema de Pitágoras, el
mismo que puede realizarse con cualquiera de las muchas formas de hacerla.
Esta aplicación esquemática así descrita, y otras más que puedes plantear, se
llevarán al aula bajo el esquema de una sesión de aprendizaje.
http://cantemar.com/
Pitagoras.jpg
PITÁGORAS
Nació en el año 572 a. C.
en la isla de Samos, fi lósofo
y matemático griego,
cuyas doctrinas infl uyeron
mucho en Platón. Fue
instruido en las enseñanzas
de los primeros fi lósofos
jonios Tales de Mileto,
Anaximandro y Anaxímenes.
Se dice que Pitágoras había
sido condenado a exiliarse
de Samos por su aversión
a la tiranía de Polícrates.
Murió en Metaponto
alrededor de 497 a. C.

11
RACIONALES Y REALES
2. SITUACIONES
DIDÁCTICAS
en el APRENDIZAJE
del SISTEMA de los
NÚMEROS NATURALES
En los primeros grados de Educación Secundaria, es fundamental iniciar las
enseñanzas con el uso de números naturales, pero destacándolo como un sistema
numérico. Para tal efecto, es inprescindible priorizar el conocimiento y dominio
de las propiedades de los números, y sus relaciones entre los mismos. Para
ello se necesita introducir intuitivamente este sistema, para luego formalizarlo
y considerar sus aplicaciones instrumentales y formativas, en función de las
capacidades matemáticas específi cas que han de desarrollarse en el estudiante.
El profesor fomentará la comunicación de ideas entre los estudiantes que
analizarán los patrones numéricos utilizando el material, para así, ir más allá.
Se plantea una situación didáctica puesta en aula para un tema específi co.
2.1 Situación didáctica: palitos y cuñas
1. TEMA: SUCESIONES y SERIES.
2. TIEMPO: 90 minutos.
3. GRADO DE ESTUDIO : Primero de Secundaria.
4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA.
Destreza: interpreta (razonamiento y demostración).
– Infi ere y deduce estrategias, propiedades y conceptos al determinar una
sucesión en situaciones de su vida diaria.
– Es perseverante al inducir las simbolizaciones de sucesión en situaciones
de su vida diaria (perseverancia).
5. MÉTODOS, PROCEDIMIENTOS y TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN.
Inter esante
¿SABÍAS QUÉ?
Los números naturales
tienen su origen en una
necesidad tan antigua como
las primeras civilizaciones:
la necesidad de contar.
El hombre primitivo
identifi caba objetos con
características iguales y
podía distinguir entre uno
y muchos; pero no le era
posible captar la cantidad
a simple vista. Por ello,
empezó a representar las
cantidades haciendo marcas
en huesos, trozos de madera
o piedra. Por cada objeto
observado, colocaba una
marca que fuera familiar, así
concibió la idea del número.
Para contar también utilizó
su propio cuerpo: los dedos
de la mano, los de los pies,
los brazos, las piernas,
el torso y la cabeza, las
falanges y las articulaciones.
http://www.itc.edu.
co/carreras_itc/
Sistema%20Numerico/index.
html

Personalidades las ideas
Agresivo se
Firme se
Dócil se
12
MATEMÁTICA Inductivo-deductivo, activos colectivizados, interrogación didáctica, lluvia
de ideas, entre otros.
6. MEDIOS Y MATERIALES.
Palitos, cuñas, fi cha de trabajo estructurada, papelógrafos, plumones de
colores y cinta adhesiva
FICHA DE TRABAJO: PALITOS Y CUÑAS
Reglas de acción:
Cada equipo se agrupa con 4 integrantes. Organízate dentro de tu grupo.
Intenta primero resolver el problema de manera individual. Intercambia
en el grupo tus puntos de vista. Por unanimidad, escojan la estrategia que
mejor crean conveniente y justifíquenla.
Cierto día, el niño Juan y la niña Ana deciden reunir varios palitos y
cuñas para construir torres de diferentes pisos. Tal como vemos a
continuación.
1º Piso 2º Piso 3º Piso
1. COMPLETAR LOS CASILLEROS EN BLANCO
Número de palitos por torre.
1º Piso 2º Piso 3º Piso 4º Piso 5º Piso 6º Piso 7º Piso 8º Piso
2 6 12
Número de cuñas por torre.
1º Piso 2º Piso 3º Piso 4º Piso 5º Piso 6º Piso 7º Piso 8º Piso
1 3 6
2. RESPONDE:
a. ¿Cuántos palitos emplearán para su torre de 13 pisos? Justifi ca tu
respuesta.
b. ¿Cuántas cuñas más tiene la torre de 15 pisos en comparación a la torre
de 7? Justifi ca.
c. ¿Qué diferencias encuentras entre la torre de 12 pisos y la de 6? Enumera
y explica todas las diferencias posibles.
7. APLICACIÓN:
7.1 ACCIÓN:
Se les presenta las hojas de trabajo y las hojas en blanco, donde, en primer
lugar, ellos se enfrentan individualmente al problema.
¿En Matemática, qué pasa con
las ideas propias y las de los
demás?
propias
las ideas de
los demás
aplican
se
ignoran
escuchan
se
escuchan
ignoran
se
aplican
Como podrás apreciar, es
fundamental escuchar a las
personas, cualquiera fuera su
personalidad, para que pueda
existir mejor comunicación,
razonamiento objetivo y
con ello poder abordar los
diversos ejercicios y resolver
los problemas en la misma
Matemática y en nuestro
entorno social.

13
RACIONALES Y REALES
Los estudiantes escriben en la fi cha de trabajo presentada, tratando de dar
respuestas a las interrogantes allí mencionadas.
Al plantearles el problema sobre series mediante un material, el educando
utilizará sus conocimientos previos, específi camente el saber conceptual,
e intentará encontrar solución para el problema, razonando y aplicando
procedimientos lógicamente válidos.
Manipulará el material y realizará acciones para solucionar el problema:
• Los estudiantes pueden dibujar torres de todos los pisos.
• Cuadros más grandes a partir del cuadro presentado.
• Despejar las cifras de los casilleros para determinar una relación entre
los números, dibujando, etc.
7.2 FORMULACIÓN:
Se intercambian las informaciones obtenidas y se crea un lenguaje formal,
adecuado, simple y coherente para explicar los procedimientos que se
realizaron a los demás de una manera entendible, el intercambio de
conocimientos y aprendizajes obtenidos durante la etapa de acción.
Los estudiantes cotejan sus resultados y estrategias empleadas para así
escoger la más acertada y llenar en la hoja grupal.
7.3 VALIDACIÓN:
Para validar los intercambios de información procesada se requiere de una
situación teórica-práctica de los contenidos matemáticos utilizados.
Probar lo que se afi rma signifi ca fundamentar el contenido matemático de la
sucesión basándose en las etapas de acción y formulación.
7.4 INSTITUCIONALIZACIÓN:
Una vez validadas las estrategias de solución, se formaliza el concepto de
sucesión y serie, de una manera entendible y auxiliándose del trabajo hecho
en todo el proceso anterior.
El docente debe investigar acerca del saber científi co (en un texto de nivel
superior), al que se denomina un saber descontextualizado para no distor-sionar
los conceptos matemáticos que se transmitirán a los estudiantes (sa-ber
del aprendizaje), por tal motivo debe ser el más adecuado, sin salirse del
marco del saber científi co.
Así, el saber descontextualizado se contextualiza para su aprendizaje me-diante
las actividades planteadas, luego, en la institucionalización se trata
de llegar a lo sumo a la descontextualización y para ser más entendible, se
plantea el aspecto práctico, contextualizando nuevamente, observando la
utilidad que tiene el nuevo saber aprendido, y es así como se va avanzando
en la construcción de los conocimientos matemáticos; es decir, buscando las
nuevas zonas de desarrollo próximo.
7.5 EVALUACIÓN:
Después de haber formalizado, y haber trabajado ejercicios y problemas, se
verifi ca el aprendizaje de los estudiantes.
• ANÁLISIS A-PRIORI DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA.
Es el análisis que se hace antes de llevar a cabo la situación didáctica;
es decir, aquí el docente hace la solución previa de la fi cha de trabajo
http://aula.almundo.es/aula/
laminas/numeros.pdf
Inter esante
Los números naturales
¿SABÍAS QUÉ?
Hacia el año 3300 a.C.,
apareció la representación
escrita de los números,
paralelamente al nacimiento
de la escritura, en Sumer
(Mesopotamia). En las
primeras tablillas de arcilla
que han revelado la escritura,
aparecen signos específi cos
destinados a representar los
números. En cada cultura
se empleó una forma
particular de representar los
números. Por ejemplo, los
babilonios usaban tablillas
con varias marcas en forma
de cuña y los egipcios
usaban jeroglífi cos, que aún
aparecen en las paredes y
columnas de los templos.
Las cifras que hoy utilizamos
tienen su origen en las
culturas hindú y árabe.
http://www.itc.edu.
co/carreras_itc/
Sistema%20Numerico/
index.html

14
MATEMÁTICA
Un mate...
propuesta a los estudiantes, para sacar el máximo provecho posible a la
situación durante el trabajo en el aula.
• ANÁLISIS A-POSTERIORI DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA.
Es el análisis que se hace después de aplicar la situación didáctica; por
ejemplo:
– Quizás algún grupo encontró una manera más sencilla de determinar
el número de cuñas, dándose cuenta que la cantidad de cuñas de cada
torre era igual a la mitad de palitos de dicha torre, un detalle que quizá
no se había previsto.
– Quizás algún grupo no pudo encontrar la relación correcta, porque
no se le agregó a los números de este cuadro el número 10, para que
lograsen tener un mejor panorama.
– ¿Qué le dice el 1 al 10?
– Para ser como yo, debes
ser sincero
Actividad 1
en grupo...
investiga con tus colegas
Discute con tus colegas sobre la solución de los
siguientes problemas y luego arma, a partir de ello,
una situación problemática en clase. ¿Cómo lo
harías?
1. Fase de acción:
Situación problemática:
En la expresión: * representa un dígito primo
mayor que 1.
* * * x
* *
* * * * +
* * * *
* * * * *
Expresa esta situación en números naturales, de
acuerdo con las condiciones planteadas.
Luego de haberse familiarizado con la situación
se formulan las posibles soluciones y solución
definitiva a la situación.
2. Fase de formulación:
Se socializa la solución a la situación formulada,
así:
7 7 5 x
3 3
2 3 2 5
2 3 2 5
2 5 5 7 5
3. Fase de validación:
Se confrontan soluciones diversas a la solución
planteada, así como a los procedimientos
utilizados. Esto es: los estudiantes someten a
prueba sus producciones realizadas.
4. Fase de la institucionalización:
Aquí, se establecen las generalizaciones a to-das
las soluciones particulares y se señalan y
desarrollan formalmente los contenidos ma-temáticos
necesarios; en este caso: adición y
multiplicación en , así como números pri-mos.
5. Fase de evaluación
Se pone en práctica la autoevaluación y la co-laboración,
y se deja establecido el tratamiento
de otros contenidos matemáticos como sustrac-ción
y división en .
Para presentar tu propuesta didáctica, considera
un contenido matemático que ofrezca mayor
dificultad en su compresión, formula las fases de
acuerdo con el aporte didáctico de Guy Brousseau
y trabájalo con tus estudiantes en el aula de clases,
finalmente expón esta experiencia a tus colegas.
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15
RACIONALES Y REALES
3. SITUACIONES
DIDÁCTICAS
en el APRENDIZAJE
del SISTEMA de los
NÚMEROS ENTEROS
Los docentes deben animar a los estudiantes a que deduzcan y justifi quen sus
conclusiones, asimismo, los estudiantes deben entender íntegramente el concepto
de conjunto numérico, comprender los números, las formas de representarlos y
las relaciones entre ellos.
A continuación, se presenta la formación del concepto de número entero a través
de una situación didáctica.
3.1 Situación didáctica: descubriendo al número entero
1. TEMA: EL NÚMERO ENTERO.
3. GRADO DE ESTUDIO: Primero de Secundaria.
Destreza: Codifi ca.
– Conceptualiza los números enteros a partir de situaciones de su vida
diaria.
– Participa activamente en el trabajo en equipo. (Solidaridad y cooper-ación).
5. MÉTODOS, PROCEDIMIENTOS y TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN.
Inductivo-deductivo, activos colectivizados, interrogación didáctica, lluvia
6. MEDIOS Y MATERIALES:
– Ficha de trabajo estructurada.
– Papeles, hojas bond, plumones.
Inter esante
Los números enteros
¿SABÍAS QUÉ?
Hacia los siglos VI y VII,
los hindúes fueron los
pioneros en el uso de las
cantidades negativas como
medio para representar las
deudas.
Sin embargo, la aceptación
de número negativo en
occidente fue un proceso de
una lentitud sorprendente,
pues, por varios siglos,
los números negativos no
eran considerados como
cantidades verdaderas,
dada la imposibilidad de
representarlos en el mundo
físico.
Con mucha difi cultad, los
números negativos fueron
fi nalmente considerados en
la resolución de ecuaciones,
según se refl eja en los
escritos del matemático
italiano Jerónimo Cardano:
“olvidad las torturas
mentales que esto os
producirá e introducid estas
cantidades en la ecuación.”
En el siglo XIX, aún existía
entre los matemáticos
de occidente, una gran
desconfi anza en el
manejo de las cantidades
matemáticas, hasta que en
el mismo siglo Weisrestrass
hizo la construcción formal
de los números enteros
a partir de los números
naturales.
http://www.itc.edu.
co/carreras_itc/
Sistema%20Numerico/index.
html

16
MATEMÁTICA
FICHA DE TRABAJO
Juan le ha prestado a María ocho soles. Pasada una semana, María le ha
devuelto a Juan solamente cuatro soles. Representa este hecho simbólicamente
en la tabla siguiente y coloca el numeral:
A Juan le pagan cuatro soles
María debe cuatro soles a Juan
1. Si Juan le hubiera prestado a María 6 soles y ella hubiese pagado 3 soles,
¿cómo puedes representar este hecho simbólicamente?
A Juan le pagan tres soles
María debe tres soles a Juan
2. Pero, si Juan le hubiera prestado a María 4 soles y pagado sólo 2 soles,
¿cómo sería esta representación en símbolos?
A Juan le pagan dos soles
María debe dos soles a Juan
3. Si Juan le hubiera prestado a María 2 soles y luego, pagado sólo un sol,
¿cómo representas simbólicamente este hecho?
A Juan le pagan un sol
María debe un sol a Juan
4. ¿Cómo representarías simbólicamente, ahora, el hecho de que María
haya pagado toda su cuenta, si Juan le prestó ocho soles?
A Juan le pagan ocho soles
María no debe a Juan
7. APLICACIÓN: (SITUACION DIDÁCTICA).
7.1 ACCIÓN:
Los estudiantes trabajan en la fi cha de trabajo presentada tratando de dar
respuestas a las interrogantes allí planteadas.
7.2 FORMULACIÓN:
Los estudiantes sacan sus conclusiones y representan en una recta numérica
todas las simbolizaciones hechas en su material.
7.3 VALIDACIÓN:
Cuando decimos, cómo puede justifi car la existencia de números negativos,
su posible respuesta será: por las deudas.
Con la guía del docente: ellos afi rmarán que hay la misma distancia del cero
a cierto número negativo y del cero a dicho numeral, pero positivo.
La institucionalización se hará respecto a los siguientes términos matemáticos:
Números enteros, representación en la recta numérica, valor absoluto de un
número entero. Nociones de comparación de números enteros.
curiosidades
matemáticas
Para que un todo, dividido en
dos partes desiguales parezca
hermoso desde el punto de vista
de la forma, debe presentar entre
la parte menor y la mayor, la
misma relación que entre ésta y
el todo. Esta notable división se
llama división áurea o división
media y extrema razón.
La proporción es la siguiente.
segmento total =
parte mayor
parte mayor
parte menor
Esta división es más o menos:
= 1,618.
809
500
En las líneas principales
del rostro femenino
“matemáticamente hermoso”
resulta constante aquella
relación.

17
RACIONALES Y REALES
ANÁLISIS A-PRIORI DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA.
• Luego de que los estudiantes salen a exponer las conclusiones del grupo, se
les pide que representen en una sola recta numérica todas las simbolizaciones
que hayan hecho en cada uno de los cuadros.
• Se aprovecha esta situación de la gráfi ca para poder dar la idea del valor
absoluto para cada cuadro en la gráfi ca y la preservación de distancias del
mismo con respecto al cero, añadimos también que el cero es neutro y, por
lo tanto, no lleva signo.
7.5 EVALUACIÓN:
Se puede aplicar, por ejemplo, una fi cha de trabajo como evaluación, muy
similar a la anterior, pero de manera individual; veamos:
TEMPERATURAS
APELLIDOS Y NOMBRES:
GRADO Y SECCIÓN:
Los estudiantes del primer año de secundaria decidieron salir de excursión a
los distintos lugares del Perú, para esto fueron a averiguar las temperaturas
de los sitios a visitar.
Los sitios son: Lima, Junín, Pasco, Cuzco
y Loreto.
Para esto, la meteoróloga les dijo:
En Lima la temperatura es de diecisiete
AMAZONAS
grados centígrados (C).
En Junín la temperatura es de ocho grados
centígrados (C).
En Pasco la temperatura es de ocho grados
centígrados (C) bajo cero.
O C E A N O
En Cuzco la temperatura es de dos grados
P A C I F I C O
centígrados (C) bajo cero.
En Loreto la temperatura es de veinticinco
grados centígrados (C).
1.- ¿Cómo representarías el numeral de la temperatura de Junín que es de
ocho grados centígrados y la temperatura de Pasco que es de ocho grados
centígrados bajo cero?
2. Son iguales el número de las temperaturas de Junín y Pasco.
¿Sí o No? ¿Por qué?
3. En los casilleros blancos, completa el numeral de las temperaturas de los
lugares indicados.
Cuzco Lima Loreto
4.- En una recta numérica, escribe los numerales de las distintas temperaturas
de los departamentos indicados.
Pasco Junín
Representación del número de la temperatura
LAGO
TITICACA
TUMBES
PIURA
LAMBAYEQUE
CAJAMARCA
LORETO
SAN MARTIN
LA LIBERTAD
ANCASH
HUANUCO
CERRO DE PASCO UCAYALI
JUNIN
LIMA
HUANCAVELICA
ICA AYACUCHO
CUZCO
MADRE DE DIOS
APURIMAC
AREQUIPA
PUNO
MOQUEGUA
TACNA
0

18
MATEMÁTICA 3.2 Situación problemática: ciudadanos buenos y malos
Una situación problemática es una situación didáctica, donde partiendo de
un problema se trata de explicar de una manera más comprensible, conceptos
matemáticos, acercándolos a los casos reales.
A continuación se presenta una situación problemática para explicar “las reglas
de los signos” en los números enteros: Para el desarrollo del mismo tiene un
tiempo de treinta minutos.
En la isla de San Lorenzo hay ciudadanos “buenos” a los que se les asigna el
signo +, y ciudadanos “malos” a los que se les asigna el signo – . Se acuerda que:
“salir” de la isla equivale al signo –, y “entrar” a la isla equivale al signo +.
• Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a la isla de San Lorenzo, el resultado
para la isla es positivo: (+) (+) = (+).
• Si un ciudadano malo (-) sale de la isla de San Lorenzo, el resultado para la
isla es positivo: (-)(-) = (+).
• Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de la isla de San Lorenzo, el resultado
para la isla es negativo: (+) (-) = (-).
• Si un ciudadano malo (-) entra (+) a la isla de San Lorenzo, el resultado para
la isla es negativo: (+) (-) = (-).
Sin embargo, también se cita otra manera de abordar la explicación de “las
reglas de los signos” en los números enteros, veamos:
• El amigo de mi amigo es mi amigo: (+)(+) = (+)
• El amigo de mi enemigo es mi enemigo: (+)(-) = (-)
• El enemigo de mi amigo es mi enemigo: (-)(+) = (-)
• El enemigo de mi enemigo es mi amigo: (-)(-) = (+)
3.3 Situación a-didáctica: casinos para la adición y
sustracción de números enteros
Cuando un estudiante manipula ciertos conceptos todavía no claros para él,
puede resultar ciertamente complejo y desalentador dicho intento voluntario.
Entonces es necesario esclarecer de manera práctica y sencilla la teoría mediante
un juego.
Además, cuando el docente presenta un juego didáctico en el aula, también le
es posible trabajar muy arduamente el aspecto actitudinal que el estudiante de
manera natural muestra en el proceso.
Esquematizaré, ahora, la aplicación de las seis etapas de aprendizaje en
Matemática de Dienes, en el aprendizaje de la adición y sustracción de números
enteros; se hará a través de una situación a-didáctica: CASINOS PARA LA
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
1. TEMA: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
Destreza: aplica (razonamiento y demostración).
• Aplica los procedimientos adecuados para determinar la suma y resta de
números enteros.
Casinos para la adición y sustracción
de números enteros.
Un mate...
Este número resulta de una
operación muy peculiar:
25 x 92 = 2 592

19
RACIONALES Y REALES
curiosidades
matemáticas
• Actúa de manera disciplinada.
5. MÉTODOS, PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN.
Inductivo-deductivo, activos colectivizados, rally, entre otros.
– Mazos de 54 cartas de casinos y hojas de trabajo.
7. APLICACIÓN: (SITUACIÓN A-DIDÁCTICA).
Primera etapa:
Se presenta el material a los alumnos, en grupos de cuatro integrantes, y se
les pide que jueguen con él (barajarán las cartas).
Segunda etapa:
Ahora se les pide que:
• Se repartan las cartas, cuatro cartas para cada jugador.
• Se coloquen dos cartas en la mesa.
• Se designe el orden de las jugadas.
El jugador, mediante las operaciones de adición y sustracción llevará las
cartas si tiene la suma o diferencia de la operación realizada.
• Estas operaciones se anotarán en una hoja de práctica.
• Gana el jugador que haya llevado y registrado más operaciones que los
demás, previa verifi cación.
CAMPEONATO: “EL PUNTO DE ORO DEL CERO”.
• Los jugadores serán cuatro y jugarán por parejas.
• Si un jugador levanta todas las cartas que hay sobre la mesa marcará un
“PUNTO DE ORO”.
• Si un jugador levanta cartas cuyo resultado sea cero marcará un “PUNTO
DE ORO”.
• Luego se seguirá la ronda, jugando la persona ubicada a la derecha de la
anterior, y así sucesivamente.
• Cuando se acabe el mazo se contará los puntos de oro que se hayan
conseguido.
• Luego repartirá las cartas otro jugador, llevándose a cabo la segunda
mano; después la tercera y por último la cuarta mano. Al cabo de ella
ganará la pareja que haya conseguido mayor cantidad de puntos y haya
hecho correctamente las operaciones de cada jugada en su cuaderno de
trabajo.
• Por último, se asignará el primer y segundo puesto del campeonato, para
lo cual, se hará una tabla de posiciones donde se anotará la ronda de
ganadores y perdedores.
Tercera etapa:
En primer lugar se les retira el material a los equipos y seguidamente se
les pregunta: ¿qué es la adición? ¿Qué es la suma? ¿Qué es la sustracción?
¿Qué es la resta?
Multiplicaciones por múltiplos
de 9:
12345679 9 = 111111111
12345679 18 = 222222222
12345679 27 = 333333333
12345679 36 = 444444444
12345679 45 = 555555555
12345679 54 = 666666666
12345679 63 = 777777777
12345679 72 = 888888888
12345679 81 = 999999999

20
MATEMÁTICA
Les preguntamos a nuestros
estudiantes si ellos realmente
creen que la escritura, la
lectura y los conocimientos
de la Matemática, son
importantes para su vida
presente y futura; al respecto
podemos decirles que por
la nueva época que nos ha
tocado vivir, es fundamental
que se dominen estas tres
áreas y no sólo en un idioma,
sino en más de dos.
Un mate...
Cuarta etapa:
Se les pide a los estudiantes que representen gráfi camente el hecho de que
signos iguales se suman y, signos diferentes se restan y se coloca el signo
del número que posee mayor valor absoluto.
Quinta etapa:
Se les pide a los estudiantes que describan tal representación en lenguaje
usual o materno, ideando una estrategia para recordarlo siempre.
Sexta etapa:
Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito en
lenguaje usual, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simbólico.
Se les pregunta a los estudiantes: ¿Cómo podemos llamar a lo deducido?
Actividad 2
en grupo...
¿Qué le dijo el 1 al 0?
Oye, amigo, ponte a rebajar.
Y el 0 responde: “No, porque
después me pongo negativo”.
Discute con tus colegas sobre la solución de los siguientes problemas y
luego arma, a partir de ello, una situación problemática en clase.¿Cómo
lo harías?
1. ¿CUÁNTOS CAMELLOS?
Dos beduinos se encuentran en el desierto, se saludan y entablan la
siguiente conversación:
– Si me regalas un camello tendré el doble que tú.
El otro le contesta:
– Regálame tú uno a mí y así tendremos los dos el mismo número de
camellos.
¿Cuántos camellos tiene cada beduino?
2. Un torneo de ping-pong
• La cuestión inicial.
Un colegio organiza un torneo de ping–pong en forma de liga. La
comisión organizadora debe decidir cuántos días durará el torneo,
los horarios de los partidos, el número de mesas que necesitarán,
el tipo de premios, etc. Dado que se dispone de un presupuesto
limitado, hay que hacer un estudio previo de lo que costará la
organización del evento.
Las decisiones que hay que tomar dependen evidentemente del
número de partidos que se jugarán en la liga, en la que todos
los jugadores juegan contra todos los demás. Los organizadores
dudan entre poner o no un límite al número de inscripciones, por
miedo a que una avalancha de jugadores haga totalmente inviable
la realización del torneo. Para ello, necesitan prever cuál será el
número total de partidos que se jugarán a partir del número de
jugadores inscritos.
• Problema.
Si en una liga de ping-pong juegan n jugadores, ¿cuál es el número
total de partidos que se realizarán?
Considere el aporte didáctico de Dienes y adapta tu presentación a las seis
etapas.

21
RACIONALES Y REALES
4. SITUACIONES
DIDÁCTICASen el
APRENDIZAJE
SISTEMA
del
de los
NÚMEROS RACIONALES
Es importante que el estudiante tenga experiencia, primero con fracciones sencillas
relacionadas con situaciones de la vida diaria y con problemas útiles, empezando
con las fracciones comunes expresadas en el lenguaje que traen a la clase. Por
ejemplo: “mitad”. A este respecto, es muy importante que los estudiantes se den
cuenta de cuándo las cosas están divididas en partes iguales. Deberán ser capaces
de identifi car tres partes entre cuatro partes iguales, o tres cuartos de un papel
doblado que han sido sombreados, y entender que “cuartos” signifi ca cuatro
partes iguales de un todo. Esto ayudará a crear una base para un aprendizaje más
profundo de la notación de fracción.
4.1 Situación didáctica: repartiendo una rodaja de jamonada
Después de haber trabajado los números enteros, vemos que éstos no alcanzan
para comprender, expresar y trabajar sobre otros problemas que se presentan en
la realidad.
Para comenzar la búsqueda de la solución a situaciones imposibles de resolver
solamente con números enteros, se propone una situación didáctica sencilla: de
repartir una rodaja de jamonada. Veamos:
1. TEMA: FRACCIÓN.
Destreza: reproduce (razonamiento y demostración).
– Conceptualiza los números fraccionarios a partir situaciones de su vida
diaria.
– Dice la verdad (honestidad).
Interesante
Los números racionales
¿SABÍAS QUÉ?
La noción general de número
racional como relación entre
dos enteros fue utilizada por
los pitagóricos en el siglo
VI a.C. Años antes, los
babilonios y los egipcios
habían utilizado algunas
fracciones, las que tenían
como numerador 1, por
ejemplo:
y algunas en particular como:
http://www.itc.edu.
co/carreras_itc/
Sistema%20Numerico/
index.html

22
MATEMÁTICA 6. MEDIOS Y MATERIALES:
Para llevar a cabo esta situación didáctica de fracción, concepto y equiva-lencia;
cada grupo contará con un material necesario de fi guras en papel de
calcar:
– 5 tiras rectangulares de 12cm por 2cm.
– 3 círculos de 3cm de diámetro.
– 1 cuadrado de 5cm por 5cm.
Además: transportador, regla, una rodaja de jamonada de forma circular de
aproximadamente 1cm de espesor.
FICHA DE TRABAJO
• Lean atentamente y sigan las instrucciones cuidadosamente:
1. Repartan una rodaja de jamonada entre los integrantes de cada grupo y
el profesor, de modo que a todos los chicos del grupo les corresponda la
misma cantidad y al profesor el doble de lo que le tocó a cada miembro
del equipo (sólo por esta ocasión). Trabajen con la mayor precisión
posible para que no haya quejas.
2. Hagan un esquema de la solución que le dieron.
3. ¿Qué parte del entero le corresponde a un chico del grupo?
4. ¿Qué parte del entero le corresponde a todos los chicos de un grupo?
5. ¿Qué parte del entero le corresponde al profesor?
6. Sugieran la defi nición de fracción.
• Pero existen muchas fracciones: analicen algunas de ellas.
7. Pinten: los de un rectángulo; los del cuadrado, los de los círculos.
8. Peguen las fi guras.
9. Observando lo pintado deduzcan las condiciones que tiene que cumplir
una fracción para ser:
a. Igual que la unidad.
b. Mayor que la unidad.
c. Menor que la unidad.
10. Dividan las tiras rectangulares. Una de ellas en medios, otra en cuartos,
otra en sextos y otra en octavos. Péguenlas en este rectángulo (en forma
de librito).
11. Rayen: en la tira dividida en medios: la cantidad de cuartos que
representen la misma parte del entero que , en la tira dividida en cuartos:
la misma porción en las otras tiras.
12. ¿Todas estas fracciones son equivalentes? ¿Por qué?
13. Sugieran la defi nición de fracciones equivalentes.
– Escriban 10 fracciones equivalentes de . ¿Habrán más?
– Escriban 10 fracciones equivalentes de . ¿Habrán más?
Interesante
¿SABÍAS QUÉ?
Fueron los hindúes quienes
se encargaron de las reglas
para ejecutar las operaciones
entre números fraccionarios.
Unas reglas generales fueron
las planteadas por Aryabhata,
y luego Bramagupta,
en los siglos VI y VII
respectivamente. Más adelante
fueron los mismos hindúes
quienes se encargaron de
sistematizar y ampliar estas
reglas.
Durante el siglo XV el
matemático persa Al-kashi
planteó la escritura decimal
de los números fraccionarios
y al mismo tiempo estableció
las reglas de cálculo con
los números decimales. En
el occidente cristiano, a las
fracciones decimales se les
conocía como fracciones de
los turcos.
Posteriormente a las
fracciones equivalentes que
pueden ser simplifi cadas
se les denominó números
racionales, mientras que la
fracción siempre será un
término que no tiene factores
comunes entre el numerador
y el denominador, es decir, es
irreducible.
http://www.itc.edu.
co/carreras_itc/
Sistema%20Numerico/
index.html

23
RACIONALES Y REALES
Un mate...
– Expliquen un método para encontrar fracciones equivalentes a una
fracción dada.
– Y si la fracción fuera , ¿cuál es el equivalente de ella, tal que el
numerador y denominador sean los números naturales más pequeños
posibles?
14. Anotar las conclusiones en asamblea.
7. APLICACIÓN: (SITUACION DIDÁCTICA).
7.1 ACCIÓN:
Se les presenta la fi cha de trabajo.
7.2 FORMULACIÓN:
Los estudiantes intercambian información para ir respondiendo
paulatinamente a las preguntas.
7.3 VALIDACIÓN:
Todos los grupos mostrarán la solución dada al problema, evidenciando la
necesidad de números fraccionarios, en primer lugar; luego justifi carán su
defi nición de fracciones equivalentes.
El docente institucionalizará la necesidad de extender a . El concepto
de fracción. Fracciones equivalentes.
7.5 EVALUACIÓN:
Se llevará a cabo mediante los ítems planteados en la fi cha de trabajo.
4.2 Situación a-didáctica: dominó de fracciones
Debemos recordar que las situaciones a-didácticas son “casos particulares” de
una situación didáctica.
La siguiente situación es un juego de un dominó de fracciones equivalentes con
conversiones de fracciones decimales o fracciones comunes y el cálculo de la
generatriz de una fracción decimal exacta y decimal periódica pura.
1. TEMA: FRACCIONES.
Destreza: interpreta (comunicación matemática).
– Codifi ca la información recibida de fracciones (transfi ere la información
del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático).
– Decodifi ca la información de fracciones Identifi ca fracciones (transforma
el lenguaje simbólico al lenguaje cotidiano).
– Actúa de manera disciplinada.
5. MÉTODOS, TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN.
Inductivo-deductivo, activos colectivizados, activos individualizados, rally
interrogación didáctica, lluvia de ideas, entre otros.
¿Qué es un niño complejo?
Un niño con la madre real y
el padre imaginario.

curiosidades
24
MATEMÁTICA
matemáticas
7. APLICACIÓN (SITUACION A-DIDÁCTICA):
Este dominó es muy parecido al dominó normal, la única diferencia es que
en lugar de números enteros tiene fracciones. Así, la fi cha más alta, en lugar
de ser la mula de 6, es la mula de 1.
Primera etapa:
Se les presenta a los estudiantes, en grupos de 4 integrantes, el material y se
les pide que jueguen con él.
Segunda etapa:
• Se colocan las fi chas boca abajo y se revuelven. Esto se llama “hacer la
sopa”.
• Cada jugador toma 7 fi chas al azar.
• El jugador con la mula de 1 es el que inicia el juego.
• El jugador que esté a la derecha tirará una fi cha con un 1.
• El siguiente jugador a la derecha puede escoger, para tirar, uno de los
dos extremos de la hilera.
• Siempre tendrá que tirar una fi cha que coincida con el número de alguno
de los extremos.
• Cada jugador tirará una sola fi cha en su turno y si no tiene ninguna que
pueda acomodar tendrá que pasar.
• Gana el primer jugador que se coloque todas sus fi chas.
• Si esto no sucede porque ya ningún jugador puede acomodar fi chas, se
dice que el juego está cerrado.
• En un juego cerrado, cada jugador deberá sumar todos los números de
sus fi chas.
• Ganará el que menos puntos tenga.
Tercera etapa:
En primer lugar se les retira el material a los equipos y seguidamente se
les pregunta: ¿qué es una fracción? ¿Cuándo una fracción es equivalente?
¿Cómo encontramos la generatriz de una fracción? ¿Cómo podemos pasar
una fracción a un número decimal?
1
6
4
24
1
3
28
0,3 8 3,5
3
2
5
3
4
1,6 4
2
5
3
18
1,6
2
2
6
4
7
7
10
6
0,3
2
6
3
2
4
10
1,6
2
12
4
10
20
12
8
20
9
6
15
9
3
2
6
15
3
9
5
5
4
12
7
2
10
25
14
4
21
6
3
3
8
8
4
24 0,3
0,3
3
2
7
2
5
3
4
10
3
18
1,5 1 0,4
1,5
1 1,5 3,5
2
12
1,5
El siguiente cuadrado de 16
casillas es llamado diabólico.
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12
15 10 3 6
La constante 34 de este
cuadrado mágico no solamente
se obtiene sumando los
números de una misma
columna, o de una misma fila, o
de una diagonal, sino también,
sumando de otras maneras
cuatro números del cuadro; por
ejemplo:
4 + 5+ 11 + 14 = 34
4+ 9 + 6 + 15 = 34
1 + 11 + 16 + 6 = 34… y así,
de 86 modos diferentes.
– 28 cartillas de fi chas del dominó fraccionario
– Hojas de trabajo

25
RACIONALES Y REALES
Un mate...
Cuarta etapa:
Se les pide a los estudiantes que representen gráfi camente el hecho de:
– Obtener fracciones equivalentes.
– Obtener la fracción generatriz.
Quinta etapa:
Se les pide a los estudiantes que describan tal representación en lenguaje
usual o materno, ideando una estrategia para recordarlo siempre.
Sexta etapa:
Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito en
lenguaje usual, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simbólico.
Se les pregunta a los estudiantes: ¿cómo podemos llamar a lo deducido?
¿Qué le dijo el número 1 al
1/2?
Que era un cobarde, porque
siempre andaba a medias.
Actividad 3
en grupo...
Discute con tus colegas sobre la solución de los siguientes problemas y luego arma, a partir de ello, una
situación problemática en clase. ¿Cómo lo harías?
1. El testamento de un granjero
Un granjero poseía 14 vacas. Su mujer estaba embarazada y el granjero dejó escrito en su testamento
que si tenía un hijo varón, recibiría 2/3 de la herencia y 1/3 la madre; si tenía una niña, recibiría 1/3 de
la herencia y 2/3 la madre. Falleció el granjero y nacieron gemelos: niño y niña. ¿Cómo se repartieron
de forma equitativa las 14 vacas entre los tres?
2. La liebre y la tortuga se inscriben para correr una carrera desde Chaclacayo a Chosica. ¡Pobre tortuga! ,
la velocidad de la liebre es 10 veces mayor. Por eso los organizadores, para equilibrar un poco las cosas,
imponen a la liebre la siguiente condición: el primer día debe correr sólo la mitad del camino: el segundo
día, la mitad de lo que le faltaba; el tercer día la mitad del resto, y así sucesivamente. ¿Quién llegará antes
a la meta? ¿Por qué?
3. Estrella mágica:
Distribuye los números del 1 al 16 de tal manera que la suma de los cuatro números que se hallan en cada
lado siempre sea 34.
Para socializar la solución de las situaciones presentadas, considere las seis etapas de Zoltan Dienes y para
la solución de la situación 3, combine con números, dígitos y números compuestos adecuadamente.

26
MATEMÁTICA
5. SITUACIONES
DIDÁCTICAS
APRENDIZAJE
SISTEMA
en el
del
Cuando planteamos una situación didáctica, o situación problemática, debemos
sacar el máximo provecho posible de la situación durante el acto educativo.
Se plantea ahora, una situación problemática para descubrir el número de oro o
número irracional.
5.1 Situación didáctica: un cuadrado de más
1. TEMA: NÚMERO IRRACIONAL.
3. GRADO DE ESTUDIO: Segundo de Secundaria.
Destreza: procesa (resolución de problemas).
– Relaciona las variables pertinentes.
– Expresa las variables, de acuerdo con el enunciado.
– Resuelve las ecuaciones aplicando los procedimientos adecuados para
encontrar el número de oro.
– Es perseverante al encontrar el número de oro.
– Ficha de trabajo estructurada.
– Cartulina y regla.
de los
NÚMEROS REALES
Interesante
Los números irracionales
¿SABÍAS QUÉ?
Al parecer fueron los griegos
hacia el siglo V a.C., los
descubridores de la existencia
de números no racionales.
Este descubrimiento hizo
tambalear uno de los
principios de los pitagóricos,
que consistía en considerar
que la esencia de todas las
cosas, tanto en la geometría
como en los asuntos teóricos
y prácticos del hombre,
era explicable en términos
de arithmos, es decir, de
propiedades de los números
enteros y de sus razones.
Puesto que la existencia de
tales números era evidente,
los griegos no tuvieron más
remedio que aceptarlos con
el nombre de irracionales.
De esta manera, el campo de
los números se extendió para
superar la incapacidad de los
racionales para representar
todas las medidas de
magnitudes.

27
RACIONALES Y REALES
“UN CUADRADO DE MÁS”
Reglas de acción:
– Forma grupos de cuatro estudiantes.
– Organízate dentro de tu grupo.
– Intenta, primero, resolver de manera individual manipulando el
material.
– Intercambia tus puntos de vista en el grupo.
– Por unanimidad, escojan la estrategia que mejor crean conveniente
y justifíquenla.
• Trace el cuadrado en la cartulina, según la fi gura mostrada, teniendo
en cuenta sus medidas, y obtén las piezas que se señalan.
• En las siguientes dos fi guras, considere las medidas del cuadrado y
el rectángulo:
• RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:
A. ¿De la descomposición del cuadrado se obtiene el rectángulo?
B. ¿Por qué el área del cuadrado y el área del rectángulo no son
iguales?
C. Si usted repite la situación, pero considera el cuadrado con las
medidas 8 y 5 (en lugar de 5 y 3). ¿Qué puede decir respecto a
las mismas respuestas anteriores?
D. ¿Existirán dos números reales, tales que al transformar el
cuadrado (descompuesto en forma similar: en dos trapecios y
dos triángulos) en el rectángulo, tengan igual área? Justifi que
su respuesta.
7. APLICACIÓN: (SITUACIÓN DIDÁCTICA).
Ahora te toca a ti esbozar la situación didáctica estableciendo las
actividades para cada una de las fases. No olvides que dichas fases
son: ACCIÓN, FORMULACIÓN, VALIDACIÓN, INSTITUCIO-NALIZACIÓN
y no debemos obviar a la EVALUACIÓN.
5 3
5 5
3 5
8
3
8 5
3
3
5
Como la constante en este fascículo es profundizar experiencias para
reforzar la resolución de problemas, recomendamos la lectura de Guy
Brousseau *, autor que aborda aspectos de la experiencia didáctica.
Interesante
Los números reales
¿SABÍAS QUÉ?
Dos siglos después de
la determinación de los
números irracionales, el
matemático y poeta Omar
Khayyam estableció una
teoría general de número y
añadió algunos elementos a
los números racionales, como
son los irracionales, para que
pudieran ser medidas todas las
magnitudes. Sólo a fi nales del
siglo XIX pudo formalizarse
la idea de continuidad y se dio
una defi nición satisfactoria
del conjunto de los números
reales, con los trabajos de
Cantor, Dedekind, Weierstrass,
Heine y Meray, entre otros.
* “Fundamentos y métodos en Didáctica de las Matemáticas”, trad. de su tesis de graduación, Facultad
de Matemática Universidad de Cordova, 1986.

28
MATEMÁTICA Actividad 4
en grupo...
Discute con tus colegas sobre la solución del siguiente problema y luego arma a partir de ello una situación
problemática en clase. ¿Cómo lo harías?
Hay dos círculos que delimitan una corona y, en el círculo pequeño, hay una foto en forma de cuadrado
inscrito. Si el lado del cuadrado divide el radio del círculo mayor por la mitad y la diferencia entre los
radios de los dos círculos es de 45cm:
• Determina el tamaño real de la foto.
• Determina el radio r del círculo exterior.
1. Fase de acción: situación problemática del futuro
Un hombre cobró el cheque de su pensión. El cajero automático se equivocó y le entregó tantos soles
como centavos fi guraban en el cheque y tantos centavos como soles le correspondía. De la suma
recibida, el hombre dió cinco centavos a un medigo y contó entonces el dinero: tenía en sus manos el
doble del importe del cheque. ¿Cuál era la cantidad que aparecía en el cheque? Familiarízate con la
situación problemática y encuentra la solución adecuada.
2. Fase de formulación:
Se socializa la solución obtenida para la situación, esto es:
x . y representa número de soles representa en número de centavos
fi guraba en el cheque. Luego
3. Fase de validación
entonces; se tiene:
Los estudiantes ponen a prueba sus diversas soluciones, discutiéndolas y haciendo que se adopte la
mejor solución.
4. Fase de institucionalización
Se establece generalizaciones para estos casos particulares y se refuerza los contenidos de: Números
Decimales, relaciones de Orden en .
5. Fase de evaluación
Se pone en práctica la autoevaluación y coevaluación, y se inicia el estudio de la solución de ecuaciones
en .
Ahora, selecciona un problema matemático que haya ofrecido mayor difi cultad en su comprensión
del sistema de números reales, y resuélvelo siguiendo el modelo de situaciones didácticas de Guy
Brousseau.

29
6. EVALUACIÓN
Responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cuándo una situación es: didáctica, a-didáctica, no didáctica?
2. ¿Cuáles son las fases de la teoría de las situaciones didácticas?
3. Describe las acciones del docente en las diferentes fases de las situaciones didácticas.
4. ¿En qué proceso de aprendizaje, según Dienes, sitúa sus etapas de aprendizaje en Matemática? ¿Por
qué?
5. ¿Cuántas y cuáles son las etapas de aprendizaje en matemática, según Dienes? Descríbelas.
6. ¿Qué debe tener en cuenta el docente en la fase de institucionalización?
7. ¿Por qué es importante establecer el análisis a-priori de una situación didáctica?
8. ¿Por qué es importante realizar el análisis a-posteriori de una situación didáctica?
9. Comenta sobre la importancia de establecer las reglas de acción.
10. Elabora una situación a-didáctica para los números naturales.
11. Elabora una situación didáctica para los números enteros.
12. Elabora una situación problemática para los números racionales.
13. Elabora una situación a-didáctica para los números reales.
Opine críticamente sobre la situación desarrollada.
1 Fase de acción:
Situación problemática
Un libro tiene 100 páginas, para numerar todas las páginas, ¿cuántos dígitos 2 se escriben?
Familiarizarse con la situación y establecer la solución correcta.
2 Fase de formulación
Se comunica la solución a la situación planteada; esto es :
Secuencias Números
1 → 10 → 2
11 → 20 → 12; 20
21 → 30 → 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29
31 → 40 → 32
41 → 50 → 42
51 → 60 → 52
61 → 70 → 62
71 → 80 → 72
81 → 90 → 82
91 → 100 → 92
Total 20
3 Fase de validación
Los estudiantes someten a prueba sus producciones estableciendo debates al respecto y buscando la
mejor solución.
4 Fase de institucionalización
Aquí establecemos generalizaciones para la situación particular resuelta, iniciando o reforzando
formalmente contenidos matemáticos. En este caso: números pares, múltiplos y submúltiplos de ese
número, entre otros.
5 Fase de evaluación
Se practica la autoevaluación y coevaluación como reforzadores de la heteroevaluación, y se considera
establecido el tratamiento de otros contenidos matemáticos como divisibilidad por 3.

30
MATEMÁTICA
7. METACOGNICIÓN
Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir,
sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.
Responde en una hoja aparte:
1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades
propuestas?
2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?
3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?
4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?
5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?
6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?
7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?
8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?
9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este
fascículo?
10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este
fascículo?
Muy bueno Bueno Regular Defi ciente
¿Por qué?
N O E S C R I B I R
11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?
Explica.
12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas?
¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

31
RACIONALES Y REALES
BIBLIOGRAFÍA comentada
1. Chevallard, Y.; Bosh, M.; Gascón, J. Estudiar Matemáticas: el eslabón perdido entre
enseñanza y aprendizaje. Barcelona. ICE HORSORI, 1997.
Desarrolla una profunda refl exión sobre el estudio de la Matemática, la contextualización
de los problemas y las situaciones didácticas, y sobre aspectos prácticos.
2. Chirinos M., Daniel. Didáctica de la Matemática. Lima. La Cantuta, 2000.
Entre otros aspectos, trata la didáctica de la Matemática como ciencia y esboza la teoría de
situaciones didácticas.
3. Chirinos M., Daniel. Diseño y Elaboración de Materiales Educativos. Lima. La Cantuta,
2004.
Trata sobre aspectos generales de los medios y materiales, así como su aplicación en el
aula, a la luz de la teoría de las situaciones didácticas.
4. Colectivo de Autores. Didáctica General y Optimización del proceso de enseñanza
aprendizaje. La Habana. Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño (IPLAC),
2001.
Presenta los principios didácticos y aspectos profundamente refl exivos sobre una didáctica
desarrolladora.
5. Labinowicz, E. Introducción a Piaget: Pensamiento-aprendizaje-enseñanza. México.
Fondo Educativo Interamericano, 1986.
Sustenta la teoría genética de manera experimental y muy sencilla de comprender.
6. Lima, Elon. Mi Profesor de Matemática y otras historias. Lima. IMCA-UNI, 1998.
Está dedicado a la enseñanza y divulgación de la Matemática por medio de una literatura
de alta calidad científi ca.
7. National Council of Teachers of Mathematics; Sociedad Andaluza de Educación Matemática
THALES. Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sevilla. Proyecto
Sur Industrias Gráfi cas, 2003.
Es una guía para todos los que toman decisiones que afectan a la educación matemática.
Sus recomendaciones están basadas en la idea de que todos los estudiantes deberían
aprender de manera comprensiva conceptos y procesos matemáticos importantes. Este
documento ofrece argumentos sobre la importancia de tal comprensión, y describe formas
de lograrla.

32
MATEMÁTICA
ENLACES web
1. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci
Página web que contiene aspectos sobre la sucesión de Fibonacci.
2. http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/Didactica_Numeros_Naturales.pdf
De Carlos Luque Arias y Lyda Mora Johana Torres. Es una didáctica sobre la notación de
números naturales, contiene antecedentes históricos y actividades de aula.
3. http://www.elhuevodechocolate.com/acertijo6.htm;
Página web que contiene aspectos recreativos como acertijos y chistes en Matemática.
4. http://www.oya-es.net/reportajes/
Contiene biografías de matemáticos notables, así como situaciones didácticas e históricas
de contenidos matemáticos diversos.
5. http://www.ejournal.unam.mx/ciencias/
Contiene diversos artículos de la comunidad científi ca de México y del mundo. Tiene aportes
de contenidos matemáticos y sus respectivas sugerencias didácticas.
6. http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/numeros.html
En esta página se puede encontrar un completo panorama de los números naturales desde su
defi nición hasta sus aplicaciones.
7. http://www.escolar.com/matem/13nument.htm
Página web dedicada a la enseñanza, de manera didáctica y detallada, de los números
enteros.
8. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/racional.htm
Esta es una página nacional muy interesante. En ella se puede encontrar todo lo referente al
estudio de los números racionales.

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